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CARDINALITY OF SET

集合の濃度

OVERVIEW

集合の濃度とは何か?

有限個の要素を持つ集合については、その要素の個数は有限な自然数として表現されます。一方、無限個の要素を持つ集合については、すべての要素を数え尽くすことができないため、要素の個数を自然数として表現できません。集合の濃度とは要素の個数を一般化した概念であり、これを用いることにより無限どうしを比較できるようになります。
TABLE OF CONTENTS

目次

SECTION 1

集合の濃度

集合の濃度と呼ばれる概念を定義した上で、それをもとに集合を有限集合と無限集合の2種類に分類します。

集合の濃度

2 つの集合の間に全単射が存在する場合には、それらの集合の濃度は等しいと言います。集合の濃度が等しいことを二項関係と解釈したとき、これは反射律・対称律・推移律を満たす同値関係です。

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有限集合

有限個の要素を持つ集合を有限集合と呼びます。有限集合の濃度を有限濃度と呼びます。有限集合どうしの濃度が等しいことと、それらの集合に含まれる要素の個数が等しいことは必要十分です。

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無限集合

有限集合ではない集合、つまり無限個の要素を持つ集合を無限集合と呼びます。無限集合のすべての要素を数え上げることはできないため、無限集合の濃度を 1 つの自然数として表すことはできません。ただ、2 つの無限集合が与えられたとき、それらが等しい濃度を持つかどうかを調べることはできます。

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SECTION 2

可算集合

自然数集合と等しい濃度を持つ集合を可算集合と呼びます。

可算集合

すべての自然数からなる集合と等しい濃度を持つ集合を可算集合や可付番集合と呼びます。可算集合には無限個の要素が含まれるため、すべての要素を数え尽くすことはできませんが、要素を1番目から順番に数えることはできます。

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RELATED KNOWLEDGE

関連知識

REQUIRED KNOWLEDGE

必須知識

本節を学ぶ上で集合や写像、関係に関する知識が必須になります。

集合

集合論は数学の土台です。あらゆる数学的概念は集合を用いて記述できます。ここでは集合を定義した上で、集合演算とその性質について学び、さらには集合族や直積集合、関係などについて学びます。

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写像

初等数学で学んだ「関数」とは、入力した実数に対して何らかの実数を返す概念として理解できます。関数を一般化した概念が写像です。写像とはある集合のそれぞれの要素に対して別の集合の要素を1つずつ定めるような規則のことです。本節では写像について学びます。

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関係

複数の物事が互いに関わり合っている状態を「関係」と呼びますが、これは数学的には2つの集合の直積の部分集合として定義されます。関係や二項関係、同値関係などについて解説します。

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ADVANCED KNOWLEDGE

発展知識

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