関数のディニ微分（上微分・下微分）
関数の平均変化率を変化量に関する関数とみなした場合の上極限を上ディニ微分係数と呼び、下極限を下ディニ微分係数と呼びます。
OVERVIEW
ディニ微分
微分を一般化したディニ微分と呼ばれる微分概念を導入するとともに、ルベーグ積分との関係について解説します。
OUTLINE
TABLE OF CONTENTS
目次
DINI DERIVATIVE
ディニ微分（上・下微分）
上微分と下微分の概念を定義します。
ディニ微分を用いた関数の微分可能性の判定
関数が上ディニ微分可能かつ下ディニ微分可能であるとともに上下のディニ微分係数が一致することは、その関数が微分可能であるための必要十分条件です。しかもこのとき、微分係数は上下のディニ微分係数と一致します。
ONE-SIDED DINI DERIVATIVE
片側ディニ微分（右上・左上・右下・左下微分）
右上微分・左上微分・右下微分・右下微分の概念を定義します。
関数の片側ディニ微分（右上微分・左上微分・右下微分・左下微分）
関数の平均変化率を変化量に関する関数とみなした場合の右側上極限を右上ディニ微分係数と呼び、左側上極限を左上ディニ微分係数と呼び、右側下極限を右下ディニ微分係数と呼び、左側下極限を左下ディニ微分係数と呼びます。
片側ディニ微分を用いた関数の片側微分可能性の判定
関数が右上ディニ微分可能かつ右下ディニ微分可能であるとともに右上と右下のディニ微分係数が一致することは、その関数が右側微分可能であるための必要十分条件です。しかもこのとき、右側微分係数は右上と右下のディニ微分係数と一致します。左側微分についても同様です。
DINI DERIVATIVE OF MONOTONE FUNCTION
単調関数のディニ微分
単調関数のディニ微分について解説します。
単調関数のディニ微分（上微分・下微分）
有界閉区間上に定義された単調増加関数の上ディニ微分が正の無限になる点からなる集合の外測度はゼロです。また、有界閉区間上に定義された単調減少関数の下ディニ微分が負の無限になる点からなる集合の外測度はゼロです。
単調関数の片側ディニ微分（右上微分・左上微分・右下微分・左下微分）
有界閉区間上に定義された単調増加関数の右上ディニ微分や左上微分が正の無限になる点からなる集合の外測度はゼロです。また、有界閉区間上に定義された単調減少関数の右下ディニ微分や左下ディニ微分が負の無限になる点からなる集合の外測度はゼロです。
ルベーグの定理（単調関数の微分可能性）
開区間上に定義された単調関数は定義域上のほとんどいたるところで微分可能です。これをルベーグの定理と呼びます。
単調関数とルベーグ積分に関する純変化量定理
単調関数の導関数を区間上でルベーグ積分した場合、得られた値は、もとの関数の区間上での変化量以下になることが保証されます。
DDERIVATIVE OF FUNCTION OF BOUNDED VARIATION
有界変動関数の微分
有界変動関数の微分について解説します。
有界変動関数の微分可能性
有界閉区間上に定義された有界変動関数は定義域上のほとんどいたるところで微分可能です。
有界変動関数とルベーグ積分に関する純変化量定理
有界変動関数の導関数を区間上でルベーグ積分した場合、得られた値は、もとの関数の区間上での全変動以下になることが保証されます。
DERIVATIVE OF ABSOLUTELY CONTINUOUS FUNCTION
絶対連続関数の微分
絶対連続関数の微分について解説します。
絶対連続関数の微分可能性
有界閉区間上に定義された絶対連続関数は定義域上のほとんどいたるところで微分可能です。リプシッツ関数は絶対連続関数であるため、有界閉区間上に定義されたリプシッツ関数もまたほとんどいたるところで微分可能です。
ルベーグ積分に関する微分積分学の第1基本定理
ルベーグ積分に関しても微分積分学の第1基本定理は成立します。つまり、区間[a,b]上においてルベーグ積分可能な関数fが与えられたとき、区間[a,b]上の点xを任意に選んだ上で関数fを区間[a,x]上でルベーグ積分して得られた結果を微分すると、関数fが点xに対して定める値f(x)が得られます。
ルベーグ積分に関する微分積分学の第2基本定理
絶対連続関数を対象とした場合、ルベーグ積分に関しても微分積分学の第2基本定理は成立します。つまり、有界閉区間上に定義された絶対連続関数の導関数をルベーグ積分すると関数の変化量が得られます。
RELATED KNOWLEDGE
関連知識
REQUIRED KNOWLEDGE
前提知識
本節を学ぶ上で以下の知識が役に立ちます。
1変数関数の微分
1変数関数の微分の概念を定義した上で、微分の基本性質や初等関数の微分、平均値の定理、高階の微分、テイラーの定理などについて学びます。これらの知識は後に1変数関数を目的関数とする最適化について学ぶ上での基盤になります。
1変数関数の積分
1変数関数のリーマン積分について学びます。具体的には、積分の概念を定義した上で、積分の基本性質や初等関数の積分、微分と積分の関係、関連する諸定理について学びます。
ルベーグ測度
長さや面積、体積などはいずれも同一種類の小さい量を加え合わせることでより大きな量をつくることができるという意味において外延的な量です。一般に、外延量は測度と呼ばれる概念として一般化されます。ここでは実数空間（数直線）の部分集合を測定対象とするルベーグ測度について解説します。
ルベーグ可測関数
ルベーグ集合上に定義された関数によるボレル集合の逆像がルベーグ可測であることが保証される場合、そのような関数をルベーグ可測関数と呼びます。代表的な可測関数について、その性質を解説します。
ルベーグ積分
ルベーグ積分とは測度論を用いてより一般的な関数に対して積分を定義する手法です。ルベーグ積分を用いることにより、リーマン積分では積分できなかった様々な関数が積分可能になります。
ADVANCED KNOWLEDGE
発展知識
本節で得た知識は以下の分野を学ぶ上での基礎になります。
