DINI DERIVATIVE

ディニ微分

OVERVIEW

微分を一般化したディニ微分と呼ばれる微分概念を導入するとともに、ルベーグ積分との関係について解説します。

OUTLINE

TABLE OF CONTENTS

関数が上ディニ微分可能かつ下ディニ微分可能であるとともに上下のディニ微分係数が一致することは、その関数が微分可能であるための必要十分条件です。しかもこのとき、微分係数は上下のディニ微分係数と一致します。

ONE-SIDED DINI DERIVATIVE

右上微分・左上微分・右下微分・右下微分の概念を定義します。

関数の平均変化率を変化量に関する関数とみなした場合の右側上極限を右上ディニ微分係数と呼び、左側上極限を左上ディニ微分係数と呼び、右側下極限を右下ディニ微分係数と呼び、左側下極限を左下ディニ微分係数と呼びます。

関数が右上ディニ微分可能かつ右下ディニ微分可能であるとともに右上と右下のディニ微分係数が一致することは、その関数が右側微分可能であるための必要十分条件です。しかもこのとき、右側微分係数は右上と右下のディニ微分係数と一致します。左側微分についても同様です。

DINI DERIVATIVE OF MONOTONE FUNCTION

単調関数のディニ微分について解説します。

有界閉区間上に定義された単調増加関数の上ディニ微分が正の無限になる点からなる集合の外測度はゼロです。また、有界閉区間上に定義された単調減少関数の下ディニ微分が負の無限になる点からなる集合の外測度はゼロです。

有界閉区間上に定義された単調増加関数の右上ディニ微分や左上微分が正の無限になる点からなる集合の外測度はゼロです。また、有界閉区間上に定義された単調減少関数の右下ディニ微分や左下ディニ微分が負の無限になる点からなる集合の外測度はゼロです。

開区間上に定義された単調関数は定義域上のほとんどいたるところで微分可能です。これをルベーグの定理と呼びます。

単調関数の導関数を区間上でルベーグ積分した場合、得られた値は、もとの関数の区間上での変化量以下になることが保証されます。

DDERIVATIVE OF FUNCTION OF BOUNDED VARIATION

有界変動関数の微分について解説します。

有界閉区間上に定義された有界変動関数は定義域上のほとんどいたるところで微分可能です。

有界変動関数の導関数を区間上でルベーグ積分した場合、得られた値は、もとの関数の区間上での全変動以下になることが保証されます。

DERIVATIVE OF ABSOLUTELY CONTINUOUS FUNCTION

絶対連続関数の微分について解説します。

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