ルベーグ積分に関する微分積分学の第1基本定理

リーマン積分に関する微分積分学の第1基本定理

\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を端点とする有界な閉区間\(\left[ a,b\right] \)上に定義された関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が\(\left[ a,b\right] \)上でリーマン積分可能であるものとします。つまり、定積分\begin{equation*}\int_{a}^{b}f\left( x\right) dx
\end{equation*}が有限な実数として定まるということです。

区間\(\left[ a,b\right] \)上でリーマン積分可能な関数\(f\)は\(\left[ a,b\right] \)の部分集合である任意の有界閉区間上においてもリーマン積分可能であるため、点\(x\in \left[ a,b\right] \)を任意に選んだとき、関数\(f\)は区間\(\left[ a,x\right] \)上でリーマン積分可能であり、したがって定積分\begin{equation*}\int_{a}^{x}f\left( t\right) dt
\end{equation*}が有限な実数として定まることが保証されます。このような事情を踏まえると、\(\left[ a,b\right] \)上でリーマン積分可能な関数\(f\)が与えられた場合、それぞれの\(x\in \left[ a,b\right] \)に対して、\begin{equation*}F\left( x\right) =\int_{a}^{x}f\left( t\right) dt
\end{equation*}を値として定める関数\begin{equation*}
F:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。以上の条件のもとでは、この関数\(F\)は\(\left[ a,b\right] \)上で連続になることが保証されます。

仮定より関数\(f\)は\(\left[ a,b\right]\)上でリーマン積分可能ですが、リーマン積分可能な関数は必ずしも連続であるとは限らないことに注意してください。そこで、関数\(f\)が点\(x\in \left[ a,b\right] \)において連続である場合には、先の関数\(F\)は点\(x\)において連続であるだけでなく微分可能であることも保証されるとともに、微分係数が以下の条件\begin{equation*}\frac{dF\left( x\right) }{dx}=f\left( x\right)
\end{equation*}を満たすことが保証されます。つまり、関数\(f\)が区間\(\left[ a,b\right] \)上でリーマン積分可能であるとともに点\(x\in \left[a,b\right] \)において連続である場合には、その点\(x\)において関数\(F\)はもとの関数\(f\)の原始関数になります。関数\(F\)の定義より、上の関係を、\begin{equation*}\frac{d}{dx}\int_{a}^{x}f\left( t\right) dt=f\left( x\right)
\end{equation*}と表現することもできます。つまり、関数\(f\)を区間\(\left[ a,x\right] \)上でリーマン積分して得られた結果を微分すると、もとの関数\(f\)が点\(x\)に対して定める値\(f\left( x\right) \)が得られるということです。いずれにせよ、これを微分積分学の第1基本定理（first fundamental theorem of calculus）と呼びます。

ルベーグ積分可能な関数のルベーグ積分は絶対連続

ルベーグ積分に関しても微分積分学の第1基本定理は成立するのでしょうか。順番に考えます。

実数空間\(\mathbb{R} \)とルベーグ可測集合族\(\mathfrak{M}_{\mu }\)およびルベーグ測度\(\mu \)からなるルベーグ測度空間\(\left( \mathbb{R} ,\mathfrak{M}_{\mu },\mu \right) \)が与えられているものとします。

\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を端点とする有界閉区間上に定義された関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が\(\left[ a,b\right] \)上においてルベーグ積分可能であるものとします。つまり、\(f\)の\(\left[ a,b\right] \)上におけるルベーグ積分\begin{equation*}\int_{\left[ a,b\right] }f=\int_{\left[ a,b\right] }f^{+}-\int_{\left[ a,b\right] }f^{-}
\end{equation*}が有限な実数として定まるということです。

ルベーグ可測集合上でルベーグ積分可能な関数は、その可測集合の部分集合であるような可測集合上においてもルベーグ積分可能です。有界閉区間\(\left[ a,b\right] \)はルベーグ可測集合ですが、点\(x\in \left[ a,b\right] \)を任意に選んだとき、区間\(\left[ a,x\right] \)もまたルベーグ可測集合です。したがって、\(f\)が\(\left[ a,b\right] \)上においてルベーグ積分可能である場合、\(f\)は\(\left[a,x\right] \)上においてもルベーグ積分可能です。このような事情を踏まえると、ルベーグ積分可能な関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、それぞれの\(x\in \left[ a,b\right] \)に対して、\begin{equation*}F\left( x\right) =\int_{\left[ a,x\right] }f\in \mathbb{R} \end{equation*}を値として定める関数\begin{equation*}
F:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。

点\(x=a\)に関しては、\begin{eqnarray*}\left[ a,x\right] &=&\left[ a,a\right] \quad \because x=a \\
&=&\left\{ a\right\}
\end{eqnarray*}となりますが、1点集合\(\left\{ a\right\} \)はルベーグ可測集合であるため関数\(F\)は点\(a\)においても定義されるとともに、そこでの値は、\begin{eqnarray*}F\left( a\right) &=&\int_{\left[ a,a\right] }f\quad \because F\text{の定義} \\
&=&\int_{\left\{ a\right\} }f \\
&=&0\quad \because \left\{ a\right\} \text{は零集合}
\end{eqnarray*}となります。

以上のように定義された関数\(F\)は区間\(\left[ a,b\right]\)上において絶対連続になることが保証されます。つまり、以下の条件\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall \left( a\right) ,\left(
b\right) ,\left( c\right) \text{を満たす}\left\{ \left[ a_{i},b_{i}\right] \right\} _{i=1}^{n}:\left[ \sum_{i=1}^{n}\left\vert b_{i}-a_{i}\right\vert <\delta \Rightarrow \sum_{i=1}^{n}\left\vert
F\left( b_{i}\right) -F\left( a_{i}\right) \right\vert <\varepsilon \right] \end{equation*}が成り立つということです。ただし、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ n\in \mathbb{N} \\
&&\left( b\right) \ \forall i\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} :a\leq
a_{i}<b_{i}\leq b \\
&&\left( c\right) \ \forall i,j\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} :\left(
i\not=j\Rightarrow \left[ a_{i},b_{i}\right] \cap \left[ a_{j},b_{j}\right] =\phi \right)
\end{eqnarray*}です。つまり、どれほど小さい\(\varepsilon >0\)を任意に選んだ場合でも、それに対して何らかの\(\delta >0\)を選ぶことにより、以下の4つの条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ n\in \mathbb{N} \\
&&\left( b\right) \ \forall i\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} :a\leq
a_{i}<b_{i}\leq b \\
&&\left( c\right) \ \forall i,j\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} :\left(
i\not=j\Rightarrow \left[ a_{i},b_{i}\right] \cap \left[ a_{j},b_{j}\right] =\phi \right) \\
&&\left( d\right) \ \sum_{i=1}^{n}\left\vert b_{i}-a_{i}\right\vert <\delta
\end{eqnarray*}を満たす任意の閉区間族\(\left\{ \left[ a_{i},b_{i}\right] \right\} _{i=1}^{n}\)について、\begin{equation*}\sum_{i=1}^{n}\left\vert F\left( b_{i}\right) -F\left( a_{i}\right)
\right\vert <\varepsilon
\end{equation*}が成り立ちます。

ルベーグ積分の値によるルベーグ積分関数の特徴づけ

\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を端点とする有界閉区間上に定義された関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が区間\(\left[ a,b\right] \)上においてルベーグ積分可能であるものとします。この場合、それぞれの\(x\in \left[ a,b\right] \)に対して、\begin{equation*}F\left( x\right) =\int_{\left[ a,x\right] }f\in \mathbb{R} \end{equation*}を値として定める関数\begin{equation*}
F:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。

この関数\(F\)がゼロだけを値としてとるものとします。つまり、\begin{equation*}\forall x\in \left[ a,x\right] :F\left( x\right) =0
\end{equation*}が成り立つということです。\(F\)の定義より、これは、\begin{equation*}\forall x\in \left[ a,x\right] :\int_{\left[ a,x\right] }f=0
\end{equation*}と必要十分です。以上の条件のもとでは、関数\(f\)は\(\left[ a,b\right] \)上のほとんどいたるところで\(0\)を値としてとることが保証されます。つまり、\begin{equation*}\forall x\in \left[ a,b\right] \backslash A:f\left( x\right) =0
\end{equation*}を満たす零集合\(A\subset \left[ a,b\right] \)が存在するということです。

\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を端点とする有界閉区間上に定義された2つの関数\begin{eqnarray*}f &:&\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \\
g &:&\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}がともに区間\(\left[ a,b\right] \)上においてルベーグ積分可能であるものとします。この場合、それぞれの\(x\in \left[ a,b\right] \)に対して、\begin{eqnarray*}F\left( x\right) &=&\int_{\left[ a,x\right] }f\in \mathbb{R} \\
G\left( x\right) &=&\int_{\left[ a,x\right] }g\in \mathbb{R} \end{eqnarray*}を値として定める関数\begin{eqnarray*}
F &:&\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \\
G &:&\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}がそれぞれ定義可能です。

これらの関数\(F,G\)が一致するものとします。つまり、\begin{equation*}\forall x\in \left[ a,b\right] :F\left( x\right) =G\left( x\right)
\end{equation*}が成り立つということです。\(F,G\)の定義より、これは、\begin{equation*}\forall x\in \left[ a,b\right] :\int_{\left[ a,x\right] }f=\int_{\left[ a,x\right] }g
\end{equation*}と必要十分です。以上の条件のもとでは、関数\(f,g\)は\(\left[ a,b\right] \)上のほとんどいたるところで一致することが保証されます。つまり、\begin{equation*}\forall x\in \left[ a,b\right] \backslash A:f\left( x\right) =g\left(
x\right)
\end{equation*}を満たす零集合\(A\subset \left[ a,b\right] \)が存在するということです。証明では先の命題を利用します。

ルベーグ積分に関する微分積分学の第1基本定理

\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を端点とする有界閉区間上に定義された関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が区間\(\left[ a,b\right] \)上においてルベーグ積分可能であるものとします。この場合、それぞれの\(x\in \left[ a,b\right] \)に対して、\begin{equation*}F\left( x\right) =\int_{\left[ a,x\right] }f\in \mathbb{R} \end{equation*}を値として定める関数\begin{equation*}
F:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。

先に示したようにこの関数\(F\)は絶対連続です。絶対連続関数はほとんどいたるところで微分可能であるため、\(F\)は\(\left( a,b\right) \)上のほとんどいたるところで微分可能です。したがって、導関数\begin{equation*}\frac{dF}{dx}:\left( a,b\right) \backslash A\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}の存在を保証する零集合\(A\subset \left( a,b\right) \)が存在します。この導関数\(\frac{dF}{dx}\)の定義域を\(\left[ a,b\right] \)に拡張することにより得られる関数\begin{equation*}\frac{dF}{dx}:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を任意に選んだとき、2つの関数\(f,\frac{dF}{dx}\)は\(\left[ a,b\right] \)上のほとんどいたるところで等しくなることが保証されます。つまり、以下の条件\begin{equation*}\forall x\in \left[ a,b\right] \backslash A:\frac{dF\left( x\right) }{dx}=f\left( x\right)
\end{equation*}を成立させる零集合\(A\subset \left[ a,b\right] \)が存在します。

まずは、関数\(f\)が有界である場合に主張が成り立つことを示します。

以上の命題を踏まえた上で、関数\(f\)が有界であるとは限らないものの非負値をとる場合にも同様の主張が成り立つことを示します。

以上の命題を踏まえた上で、一般の関数\(f\)に関しても同様の主張が成り立つことを示します。

関数\(f\)が\(\left[ a,b\right] \)上においてルベーグ積分可能である場合には、\(\left[ a,b\right] \)上のほとんどいたるところにおいて、\begin{equation*}\frac{dF\left( x\right) }{dx}=f\left( x\right)
\end{equation*}が成り立つことが明らかになりました。関数\(F\)の定義より、上の関係を、\begin{equation*}\frac{d}{dx}\int_{\left[ a,x\right] }f=f\left( x\right)
\end{equation*}と表現することもできます。つまり、関数\(f\)を区間\(\left[ a,x\right] \)上でルベーグ積分して得られた結果を微分すると、もとの関数\(f\)が点\(x\)に対して定める値\(f\left( x\right) \)が得られるということです。以上より、ルベーグ積分についても微分積分学の第1基本定理が成立することが明らかになりました。

演習問題