ルベーグ積分に関する微分積分学の第2基本定理

リーマン積分に関する微分積分学の第2基本定理

\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を端点とする有界な閉区間上に定義された関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が\(\left[ a,b\right] \)上でリーマン積分可能でることは判明している一方で、その定積分は明らかではない状況を想定します。つまり、定積分\begin{equation*}\int_{a}^{b}f\left( x\right) dx
\end{equation*}が有限な実数として定まることは判明しているものの、その具体的な値は不明であるということです。

関数\(f\)と定義域を共有する関数\begin{equation*}F:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}の中に、以下の2つの条件を満たすものが存在する状況を想定します。

1つ目の条件は、この関数\(F\)が区間\(\left[ a,b\right] \)上で連続であるということです。つまり、関数\(F\)は定義域の内部\(\left( a,b\right) \)上の任意の点において連続であるとともに、定義域の左側の端点\(a\)において右側連続であり、定義域の右側の端点\(b\)において左側連続です。

2つ目の条件は、関数\(F\)は区間\(\left[ a,b\right] \)の内部\(\left(a,b\right) \)上で微分可能であるとともに、その導関数\(\frac{dF}{dx}:\mathbb{R} \supset \left( a,b\right) \rightarrow \mathbb{R} \)が\(\left( a,b\right) \)上において関数\(f\)と一致すること、すなわち、\begin{equation*}\forall x\in \left( a,b\right) :\frac{dF\left( x\right) }{dx}=f\left(
x\right)
\end{equation*}が成り立つということです。このとき、\(\left( a,b\right) \)上において関数\(F\)は関数\(f\)の原始関数であると言います。

以上の条件が満たされる場合、関数\(f\)の\(\left[a,b\right] \)上の定積分が、\begin{equation*}\int_{a}^{b}f\left( x\right) dx=F\left( b\right) -F\left( a\right)
\end{equation*}として定まることが保証されます。つまり、関数\(f\)が区間\(\left[ a,b\right]\)上でリーマン積分可能である場合、リーマン積分の定義にもとづいて関数\(f\)の定積分を導出する作業は煩雑になりがちですが、\(\left[ a,b\right] \)上で連続な原始関数\(F\)が存在する場合には、関数\(f\)の定積分を以下の関係\begin{equation*}\int_{a}^{b}f\left( x\right) dx=F\left( b\right) -F\left( a\right)
\end{equation*}から容易に導出できます。関数\(F\)の定義より、上の関係を、\begin{equation*}\int_{a}^{b}\frac{dF\left( x\right) }{dx}dx=F\left( b\right) -F\left(
a\right)
\end{equation*}と表現することもできます。つまり、\(\left[ a,b\right] \)上で連続かつ\(\left( a,b\right) \)上で微分可能な関数\(F\)の導関数を\(\left[ a,b\right] \)上で積分すると、関数\(F\)の値の変化量が得られます。いずれにせよ、これを微分積分学の第2基本定理（second fundamental theorem of calculus）や求積分定理（evaluatioin theorem）などと呼びます。

ルベーグ積分に関して微分積分学の第2基本定理は成り立つとは限らない

以下の例から明らかであるように、ルベーグ積分に関しては微分積分学の第2基本定理は成り立つとは限りません。

カントール関数は連続かつ有界変動ですが、絶対連続関数ではありません。ルベーグ積分に関して微分積分学の第2基本定理の主張が成り立つことを保証するためには、関数が絶対連続である必要があります。以下で順番に解説します。

絶対連続関数が定数関数であるための十分条件

実数空間\(\mathbb{R} \)とルベーグ可測集合族\(\mathfrak{M}_{\mu }\)およびルベーグ測度\(\mu \)からなるルベーグ測度空間\(\left( \mathbb{R} ,\mathfrak{M}_{\mu },\mu \right) \)が与えられているものとします。

\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を端点とする有界閉区間上に定義された関数\begin{equation*}F:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が\(\left[ a,b\right] \)上において絶対連続であるものとします。つまり、以下の条件\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall \left( a\right) ,\left(
b\right) ,\left( c\right) \text{を満たす}\left\{ \left[ a_{i},b_{i}\right] \right\} _{i=1}^{n}:\left[ \sum_{i=1}^{n}\left\vert b_{i}-a_{i}\right\vert <\delta \Rightarrow \sum_{i=1}^{n}\left\vert
F\left( b_{i}\right) -F\left( a_{i}\right) \right\vert <\varepsilon \right] \end{equation*}が成り立つということです。ただし、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ n\in \mathbb{N} \\
&&\left( b\right) \ \forall i\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} :a\leq
a_{i}<b_{i}\leq b \\
&&\left( c\right) \ \forall i,j\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} :\left(
i\not=j\Rightarrow \left[ a_{i},b_{i}\right] \cap \left[ a_{j},b_{j}\right] =\phi \right)
\end{eqnarray*}です。つまり、どれほど小さい\(\varepsilon >0\)を任意に選んだ場合でも、それに対して何らかの\(\delta >0\)を選ぶことにより、以下の4つの条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ n\in \mathbb{N} \\
&&\left( b\right) \ \forall i\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} :a\leq
a_{i}<b_{i}\leq b \\
&&\left( c\right) \ \forall i,j\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} :\left(
i\not=j\Rightarrow \left[ a_{i},b_{i}\right] \cap \left[ a_{j},b_{j}\right] =\phi \right) \\
&&\left( d\right) \ \sum_{i=1}^{n}\left\vert b_{i}-a_{i}\right\vert <\delta
\end{eqnarray*}を満たす任意の閉区間族\(\left\{ \left[ a_{i},b_{i}\right] \right\} _{i=1}^{n}\)について、\begin{equation*}\sum_{i=1}^{n}\left\vert F\left( b_{i}\right) -F\left( a_{i}\right)
\right\vert <\varepsilon
\end{equation*}が成り立ちます。

絶対連続関数はほとんどいたるところで微分可能であるため、\(F\)は\(\left( a,b\right) \)上のほとんどいたるところで微分可能です。したがって、導関数\begin{equation*}\frac{dF}{dx}:\left( a,b\right) \backslash A\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}の存在を保証する零集合\(A\subset \left( a,b\right) \)が存在します。この導関数\(\frac{dF}{dx}\)の定義域を\(\left[ a,b\right] \)に拡張することにより得られる関数\begin{equation*}\frac{dF}{dx}:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を任意に選んだとき、この関数\(\frac{dF}{dx}\)が\(\left[ a,b\right] \)上のほとんどいたるところでゼロを値としてとる場合には、つまり、\begin{equation*}\forall x\in \left[ a,b\right] \backslash A:\frac{dF\left( x\right) }{dx}=0
\end{equation*}を満たす零集合\(A\subset \left[ a,b\right] \)が存在する場合には、もとの関数\(F\)は\(\left[a,b\right] \)上において定数関数になることが保証されます。

ルベーグ積分に関する微分積分学の第2基本定理

\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を端点とする有界閉区間上に定義された関数\begin{equation*}F:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が\(\left[ a,b\right] \)上において絶対連続であるものとします。

絶対連続関数はほとんどいたるところで微分可能であるため、関数\(F\)は\(\left( a,b\right) \)上のほとんどいたるところで微分可能です。したがって、導関数\begin{equation*}\frac{dF}{dx}:\left( a,b\right) \backslash A\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}の存在を保証する零集合\(A\subset \left( a,b\right) \)が存在します。この導関数\(\frac{dF}{dx}\)の定義域を\(\left[ a,b\right] \)に拡張することにより得られる関数\begin{equation*}\frac{dF}{dx}:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を任意に選んだとき、この関数は\(\left[ a,b\right] \)上においてルベーグ積分可能であるとともに、以下の関係\begin{equation*}\int_{\left[ a,b\right] }\frac{dF}{dx}=F\left( b\right) -F\left( a\right)
\end{equation*}が成り立つことが保証されます。

関数\(f\)が区間\(\left[ a,b\right] \)上において絶対連続である場合には、\begin{equation*}\int_{\left[ a,b\right] }\frac{dF}{dx}=F\left( b\right) -F\left( a\right)
\end{equation*}が成り立つことが明らかになりました。つまり、\(\left[ a,b\right] \)上において絶対連続な関数\(F\)の導関数を\(\left[ a,b\right] \)上でルベーグ積分すると、関数\(F\)の値の変化量が得られます。以上より、絶対連続関数を対象とした場合には、ルベーグ積分についても微分積分学の第2基本定理が成立することが明らかになりました。