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INTEGRAL OF FUNCTIONS

1変数関数の積分

OVERVIEW

1変数関数の積分

1変数関数のリーマン積分について学びます。具体的には、積分の概念を定義した上で、積分の基本性質や初等関数の積分、微分と積分の関係、関連する諸定理について学びます。

TABLE OF CONTENTS

目次

INTEGRAL

リーマン積分

1変数関数のリーマン積分を定義します。

1変数関数のリーマン積分と定積分

有界な閉区間上に定義された有界な1変数関数がリーマン積分可能であることの意味を定義するとともに、関連して定積分と呼ばれる概念を定義します。

上積分と下積分を用いた積分可能性の判定

1変数関数がリーマン積分可能であることを定義にもとづいて確認する作業は煩雑になりがちです。関数の上積分と下積分が一致することは関数が積分可能であるための必要十分条件であり、定積分は上積分および下積分と一致することが保証されます。

PROPERTIES OF DEFINITE INTEGRAL

定積分の基本性質

定積分の基本的な性質について解説します。

定積分の加法性

関数が有界閉区間上においてリーマン積分可能であることと、それぞれの小区間においてリーマン積分可能であることが必要十分であるとともに、小区間上の定積分の総和をとれば区間上の定積分が得られます。

関数の定数倍の定積分

リーマン積分可能な関数の定数倍として定義される関数もまたリーマン積分可能であり、もとの関数の定積分の定数倍をとれば新たな関数の定積分が得られます。

関数の和の定積分

リーマン積分可能な関数の和として定義される関数もまたリーマン積分可能であり、もとの関数の定積分の和をとれば新たな関数の定積分が得られます。

関数の差の定積分

リーマン積分可能な関数の差として定義される関数もまたリーマン積分可能であり、もとの関数の定積分の差をとれば新たな関数の定積分が得られます。

関数の積の定積分

リーマン積分可能な関数どうしの積として定義される関数もまたリーマン積分可能であることが保証されます。

関数の商の定積分

リーマン積分可能な関数どうしの商として定義される関数もまたリーマン積分可能であることが保証されます。

定積分と順序(定積分の単調性)

有界閉区間上でリーマン積分可能な2つの関数について、一方の関数が定める値が他方の関数が定める値以上であるとき、両者の定積分の間にも同様の大小関係が成り立ちます。

定積分に関する平均値の定理

有界な閉区間上に定義された連続関数に対してその平均値を定義するとともに、連続関数が定義域上の少なくとも1つの点に対して定める値が平均値と一致することを示します。

不連続関数のリーマン積分可能性

有界な閉区間上に定義された有界関数が定義域の端点において片側連続でない場合においても、一定の条件のもとではリーマン積分可能です。また、定義域上の有限個の点においてのみ不連続な関数はリーマン積分可能です。

FUNDAMENTAL THEOREM OF CALCULUS

微分と積分の関係

微分積分学の基本定理を中心に、微分と積分の間に成立する関係について解説します。d

微分積分学の第2基本定理(求積分定理)

有界な閉区間上に定義された関数がリーマン積分可能であり、その関数の原始関数であるような連続関数が存在する場合、原始関数が区間の端点に対して定める値の差は、もとの関数の定積分と一致します。

微分積分学の第1基本定理

有界な閉区間上に定義された関数が連続である場合には、その関数の定積分を特定する関数を微分すればもとの関数が得られることが保証されます。

関数の原始関数と不定積分

関数の原始関数および不定積分と呼ばれる概念を定義するとともに、区間上に定義された連続関数に関しては両者は一致することを示します。

PROPERTIES OF INTEGRAL

積分の基本性質

微分積分学の基本定理を踏まえた上で、不定積分や定積分に関する基本的な性質を提示します。

関数の定数倍の不定積分と定積分

区間上に定義された連続関数の定数倍として定義される関数の不定積分は、もとの関数の不定積分を定数倍すれば得られます。定積分についても同様の関係が成立します。

関数の和の不定積分と定積分

区間上に定義された連続関数どうしの和として定義される関数の不定積分は、もとの関数の不定積分どうしの和をとれば得られます。定積分についても同様の関係が成り立ちます。

関数の差の不定積分と定積分

区間上に定義された連続関数どうしの差として定義される関数の不定積分は、もとの関数の不定積分どうしの差をとれば得られます。定積分についても同様の関係が成り立ちます。

置換積分(逆置換の定理)

区間上に定義された関数の不定積分ないし定積分を具体的に特定することが困難である場合には、被積分関数の変数を適切な形で変換することにより容易に積分できるようになる場合があります。

置換積分(直接置換の定理)

区間上に定義された関数の不定積分ないし定積分を具体的に特定することが困難である場合でも、被積分関数が複数の関数をあるパターンのもとで組み合わせる形で表現されていることに気づいた場合には、それを容易に積分できます。

部分積分

区間上に定義された関数が2つの関数の積として定義されている場合、それを巧みに解釈することにより不定積分や定積分を容易に特定できる場合があります。

INTEGRAL OF ELEMENTARY FUNCTIONS

初等関数の積分

代表的な関数の積分について解説するとともに、それらの知識を利用してより広範な関数を積分する方法を解説します。

IMPROPER INTEGRAL

広義積分

リーマン積分は有界閉区間上に定義された有界関数を対象とした積分概念です。無限区間上に定義された関数や、有界ではない関数などについては、広義積分と呼ばれる積分概念のもとで積分可能性を検討します。

RELATED KNOWLEDGE

関連知識

REQUIRED KNOWLEDGE

前提知識

本節を学ぶ上で以下の知識が役に立ちます。

関数の定義

実数空間もしくはその部分集合を定義域とし、実数空間を終集合とする写像を関数と呼びます。言い換えると、関数とはそれぞれの実数に対して実数を1つずつ定める規則です。

数直線の位相

実数空間すなわち数直線の位相に関するテキストと演習問題です。実数空間上の開集合や閉集合など、位相を規定する概念について解説します。

1変数関数の微分

1変数関数の微分の概念を定義した上で、微分の基本性質や初等関数の微分、平均値の定理、高階の微分、テイラーの定理などについて学びます。これらの知識は後に1変数関数を目的関数とする最適化について学ぶ上での基盤になります。

ADVANCED KNOWLEDGE

発展知識

本節で得た知識は以下の分野を学ぶ上での基礎になります。

関数の最適化

与えられた制約条件のもとで関数の値を最大化または最小化する変数の値を求めることを最適化と呼びます。ここでは微分可能な関数を対象とする様々な最適化問題の解法を解説します。

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