1変数関数の積分

1変数関数のリーマン積分について学びます。具体的には、積分の概念を定義した上で、積分の基本性質や初等関数の積分、微分と積分の関係、関連する諸定理について学びます。

学習内容

リーマン積分

1変数関数のリーマン積分を定義します。

定積分の基本性質

定積分の基本的な性質について解説します。

単調関数のリーマン積分可能性

有界な閉区間上に定義された単調関数（単調増加関数または単調減少関数）はリーマン積分可能です。

連続関数のリーマン積分可能性

有界な閉区間上に定義された連続関数はリーマン積分可能ですが、リーマン積分可能な関数は連続であるとは限りません。その一方で、リーマン積分可能な関数は無限個の点において連続です。

不連続関数のリーマン積分可能性

有界な閉区間上に定義された有界関数が定義域の端点において片側連続でない場合においても、一定の条件のもとではリーマン積分可能です。また、定義域上の有限個の点においてのみ不連続な関数はリーマン積分可能です。

定積分の加法性

関数が有界閉区間上においてリーマン積分可能であることと、それぞれの小区間においてリーマン積分可能であることが必要十分であるとともに、小区間上の定積分の総和をとれば区間上の定積分が得られます。

1変数関数の定数倍の定積分（定数倍の法則）

リーマン積分可能な1変数関数の定数倍として定義される関数もまたリーマン積分可能であり、もとの関数の定積分の定数倍をとれば新たな関数の定積分が得られます。

1変数関数の和の定積分（和の法則）

リーマン積分可能な関数の和として定義される関数もまたリーマン積分可能であり、もとの関数の定積分の和をとれば新たな関数の定積分が得られます。

1変数関数の差の定積分（差の法則）

リーマン積分可能な関数の差として定義される関数もまたリーマン積分可能であり、もとの関数の定積分の差をとれば新たな関数の定積分が得られます。

1変数関数の積の定積分（積の法則）

リーマン積分可能な関数どうしの積として定義される関数もまたリーマン積分可能であることが保証されます。

1変数関数の商の定積分（商の法則）

リーマン積分可能な関数どうしの商として定義される関数もまたリーマン積分可能であることが保証されます。

定積分と順序（定積分の単調性）

有界閉区間上でリーマン積分可能な2つの関数について、一方の関数が定める値が他方の関数が定める値以上であるとき、両者の定積分の間にも同様の大小関係が成り立ちます。

絶対値と定積分

有界閉区間上に定義された有界な関数がリーマン積分可能である場合、その絶対値として定義される関数もまたリーマン積分可能です。

定積分に関する平均値の定理

有界な閉区間上に定義された連続関数に対してその平均値を定義するとともに、連続関数が定義域上の少なくとも1つの点に対して定める値が平均値と一致することを示します。

微分と積分の関係

微分積分学の基本定理を中心に、微分と積分の間に成立する関係について解説します。

微分積分学の第2基本定理（求積分定理）

有界な閉区間上に定義された関数がリーマン積分可能であり、その関数の原始関数であるような連続関数が存在する場合、原始関数が区間の端点に対して定める値の差は、もとの関数の定積分と一致します。

純変化量としての定積分（純変化量定理）

関数の導関数を区間上でリーマン積分した場合、得られた定積分の値は、もとの関数の区間上での変化と一致することが保証されます。これを純変化量定理と呼びます。

微分積分学の第1基本定理

有界な閉区間上に定義された関数が連続である場合には、その関数の定積分を特定する関数を微分すればもとの関数が得られることが保証されます。

関数の原始関数と不定積分

関数の原始関数および不定積分と呼ばれる概念を定義するとともに、区間上に定義された連続関数に関しては両者は一致することを示します。

積分の基本性質

微分積分学の基本定理を踏まえた上で、不定積分や定積分に関する基本的な性質を提示します。

定数関数の原始関数・不定積分・定積分

区間上に定義された定数関数の原始関数と不定積分および定積分を明らかにします。また、定数関数の積分の応用例を提示します。

恒等関数の原始関数・不定積分・定積分

区間上に定義された1変数の恒等関数の原始関数と不定積分および定積分を明らかにします。また、恒等関数の積分の応用例を提示します。

多項式関数の原始関数・不定積分・定積分

区間上に定義された1変数の多項式関数の原始関数と不定積分および定積分を明らかにします。また、多項式関数の積分の応用例を提示します。

連続関数の定数倍の原始関数・不定積分・定積分（定数倍の法則）

区間上に定義された連続関数と、その定数倍として定義される関数について、両者の原始関数、不定積分、定積分の間に成立する関係について解説します。

連続関数の和の原始関数・不定積分・定積分（和の法則）

区間上に定義された2つの連続関数と、それらの和として定義される関数について、それらの原始関数、不定積分、定積分の間に成立する関係について解説します。

連続関数の差の原始関数・不定積分・定積分（差の法則）

区間上に定義された2つの連続関数と、それらの差として定義される関数について、それらの原始関数、不定積分、定積分の間に成立する関係について解説します。

置換積分（逆置換の定理）

区間上に定義された関数の不定積分ないし定積分を具体的に特定することが困難である場合には、被積分関数の変数を適切な形で変換することにより容易に積分できるようになる場合があります。

置換積分（直接置換の定理）

区間上に定義された関数の不定積分ないし定積分を具体的に特定することが困難である場合でも、被積分関数が複数の関数をあるパターンのもとで組み合わせる形で表現されていることに気づいた場合には、それを容易に積分できます。

部分積分

区間上に定義された関数が2つの関数の積として定義されている場合、それを巧みに解釈することにより不定積分や定積分を容易に特定できる場合があります。

広義積分

リーマン積分は有界閉区間上に定義された有界関数を対象とした積分概念です。無限区間上に定義された関数や、有界ではない関数などについては、広義積分と呼ばれる積分概念のもとで積分可能性を検討します。

有界ではない関数の広義積分（第2種の広義積分）

定義域である区間の端点において無限大を値としてとる有界ではない関数に関しては、リーマン積分を拡張した広義積分と呼ばれる積分概念のもとで積分可能性を検討します。

無限区間上での関数の広義積分（第1種の広義積分）

無限区間上に定義された関数に関しては、リーマン積分を拡張した広義積分と呼ばれる積分概念のもとで無限区間上における積分可能性を検討します。

初等関数の積分

代表的な関数の積分について解説するとともに、それらの知識を利用してより広範な関数を積分する方法を解説します。

自然指数関数の原始関数・不定積分・定積分

区間上に定義された自然指数関数の原始関数と不定積分および定積分を明らかにします。

一般の指数関数の原始関数・不定積分・定積分

区間上に定義された自然指数関数とは限らない一般の指数関数の原始関数と不定積分および定積分を明らかにします。

自然対数関数の原始関数・不定積分・定積分

自然対数関数の不定積分および定積分を求める方法を解説します。

一般の対数関数の原始関数・不定積分・定積分

区間上に定義された自然指数関数とは限らない一般の指数関数の原始関数と不定積分および定積分を明らかにします。

自然数ベキ関数の原始関数・不定積分・定積分

区間上に定義された自然数ベキ関数の原始関数と不定積分および定積分を明らかにします。また、自然数ベキ関数の積分の応用例を提示します。

整数ベキ関数の原始関数・不定積分・定積分

区間上に定義された整数ベキ関数の原始関数と不定積分および定積分を明らかにします。また、整数ベキ関数の積分の応用例を提示します。

無理関数の原始関数・不定積分・定積分

区間上に定義された無理関数の原始関数と不定積分および定積分を明らかにします。また、無理関数の積分の応用例を提示します。

絶対値関数の原始関数・不定積分・定積分

区間上に定義された絶対値関数の原始関数と不定積分および定積分を明らかにします。また、絶対値関数の積分の応用例を提示します。

有理数ベキ関数の原始関数・不定積分・定積分

区間上に定義された有理数ベキ関数の原始関数と不定積分および定積分を明らかにします。また、有理数ベキ関数の積分の応用例を提示します。

実数ベキ関数の原始関数・不定積分・定積分

区間上に定義された実数ベキ関数の原始関数と不定積分および定積分を明らかにします。また、実数ベキ関数の積分の応用例を提示します。

正弦関数（sin関数）の原始関数・不定積分・定積分

正弦関数の不定積分および定積分を求める方法を解説します。

余弦関数（cos関数）の不定積分と定積分

余弦関数の不定積分および定積分を求める方法を解説します。

正接関数（tan関数）の原始関数・不定積分・定積分

区間上に定義された正接関数の原始関数と不定積分および定積分を明らかにします。また、正接関数の積分の応用例を提示します。

正割関数（sec関数）の原始関数・不定積分・定積分

区間上に定義された正割関数の原始関数と不定積分および定積分を明らかにします。また、正割関数の積分の応用例を提示します。

逆正弦関数（arcsin関数）の原始関数・不定積分・定積分

区間上に定義された逆正弦関数の原始関数と不定積分および定積分を明らかにします。また、逆正弦関数の積分の応用例を提示します。

逆余弦関数（arccos関数）の原始関数・不定積分・定積分

区間上に定義された逆余弦関数の原始関数と不定積分および定積分を明らかにします。また、逆余弦関数の積分の応用例を提示します。

逆正接関数（arctan関数）の原始関数・不定積分・定積分

区間上に定義された逆正接関数の原始関数と不定積分および定積分を明らかにします。また、逆正接関数の積分の応用例を提示します。

三角関数の積分技法

三角関数に関する積分技法について解説します。

正弦関数と余弦関数のべきの積の積分

正弦関数と余弦関数の非負の整数べきどうしの積として定義される関数を積分する方法について、パターンごとに体系的に解説します。

正接関数と正割関数のべきの積の積分

正接関数と正割関数の非負の整数べきどうしの積として定義される関数を積分する方法について、パターンごとに体系的に解説します。

三角置換

三角置換は、一見複雑に見える無理関数の積分を解くための手法です。三角置換の基本3パターンを対象に、積分の解き方、置換の選び方、定義域の扱いまで解説します。

対称性を用いた積分技法

関数の対称性を利用して積分の計算を簡略化する手法について解説します。

偶関数と奇関数の定積分

偶関数、奇関数、中心をずらした偶関数、中心をずらした奇関数の定積分の計算を省力化する技法について解説します。

定積分の中点対称性（x→a+b-x型）

定積分の中点対称性（x→a+b-x型）を用いた解法を体系的に解説します。解法の基本原理から、和が定数になるパターン、低次化、分離型までを整理し、見抜き方と具体例を紹介します。

定積分の逆数対称性（x→k/x型）

定積分の逆数対称性（x→k/x型）を用いた解法を体系的に解説します。解法の基本原理から、和が定数になるパターンや低次化までを整理し、見抜き方と具体例を紹介します。

有理関数の積分

有理関数を積分する方法について解説します。

対数関数を用いた有理関数の積分

有理関数をそのままの形で積分するのは容易ではありません。対数関数を用いて有理関数を積分する方法について解説します。

部分分数分解を用いた有理関数の積分

有理関数をそのままの形で積分するのは容易ではありません。有理関数を部分分数分解可能してから積分する方法について解説します。

平方完成を用いた有理関数の積分

有理関数をそのままの形で積分するのは容易ではありません。有理関数の分母を平方完成してから方法について解説します。

平面上の曲線の長さと積分

リーマン積分を用いて平面上に存在する曲線の長さを求める方法を解説します。

平面上に存在する曲線（弧）の長さと積分

平面上に存在する滑らかな曲線が媒介変数表示されている状況において、曲線の長さを積分を用いて求める方法を解説します。

変数xに関する関数のグラフの長さと積分

区間上に定義された変数xに関する連続微分可能な関数のグラフの長さを積分を用いて特定する方法を解説します。

変数yに関する関数のグラフの長さと積分

区間上に定義された変数yに関する連続微分可能な関数のグラフの長さを積分を用いて特定する方法を解説します。

円（円弧）の長さと積分

平面上に存在する円ないし円弧が媒介変数表示されている状況において、その長さを積分を用いて特定する方法を解説します。

楕円（楕円弧）の長さと積分

平面上に存在する楕円ないし楕円弧が媒介変数表示されている状況において、その長さを積分を用いて特定する方法を解説します。

空間上の曲線の長さと積分

リーマン積分を用いて空間上に存在する曲線の長さを求める方法を解説します。

空間上に存在する曲線（弧）の長さと積分

空間上に存在する滑らかな曲線が媒介変数表示されている状況において、曲線の長さを積分を用いて求める方法を解説します。

螺旋（円螺旋）の長さと積分

空間上に存在する螺旋上の弧が媒介変数表示されている状況において、その長さを積分を用いて特定する方法を解説します。

体積と積分

リーマン積分を用いて様々な立体の体積を求める方法を解説します。

変数xに関する関数のグラフとx軸によって囲まれる領域の面積と積分

有界閉区間上に定義された変数xに関する連続関数とx軸によって囲まれた領域の面積をリーマン積分を利用して求める方法を解説します。

変数yに関する関数のグラフとy軸によって囲まれる領域の面積と積分

有界閉区間上に定義された変数yに関する連続関数とy軸によって囲まれた領域の面積をリーマン積分を利用して求める方法を解説します。

変数xに関する2つの関数のグラフに囲まれた領域の面積

有界閉区間上に定義された変数xに関する2つの連続関数のグラフによって囲まれた領域の面積をリーマン積分を利用して求める方法を解説します。

変数yに関する2つの関数のグラフに囲まれた領域の面積

有界閉区間上に定義された変数yに関する2つの連続関数のグラフによって囲まれた領域の面積をリーマン積分を利用して求める方法を解説します。

媒介変数曲線とx軸によって囲まれる領域の面積と積分

平面上に存在する曲線が媒介変数表示されている状況において、曲線とx軸によって囲まれる領域の面積をリーマン積分を用いて求める方法を解説します。

媒介変数曲線とy軸によって囲まれる領域の面積と積分

平面上に存在する曲線が媒介変数表示されている状況において、曲線とy軸によって囲まれる領域の面積をリーマン積分を用いて求める方法を解説します。

その他の応用例

リーマン積分の応用例を紹介します。

積分を用いたテイラーの定理の表現（積分型の剰余項）

テイラーの定理（マクローリンの定理）において剰余項を積分を用いて表現するとともに、積分を用いてテイラー展開（マクローリン展開）可能であることを判定する方法について解説します。

区分求積法（積分を用いた級数の和の特定）

積分を用いて無限級数の和を特定する方法について解説します。

確認テスト

1変数関数の積分に関する確認テストです。

確認テスト I（関数の積分）

1変数関数のリーマン積分に関する確認テストです。

確認テスト II（関数の積分）