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INTEGRAL OF FUNCTIONS

関数の積分

OVERVIEW

本節で学ぶ内容

1変数関数のリーマン積分について学びます。具体的には、積分の概念を定義した上で、積分の基本性質や初等関数の積分、微分と積分の関係、関連する諸定理について学びます。

TABLE OF CONTENTS

目次

SECTION 1

リーマン積分

1変数関数のリーマン積分を定義します。

上積分と下積分を用いた積分可能性の判定

1変数関数がリーマン積分可能であることを定義にもとづいて確認する作業は煩雑になりがちです。関数の上積分と下積分が一致することは関数が積分可能であるための必要十分条件であり、定積分は上積分および下積分と一致することが保証されます。

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SECTION 2

定積分の基本性質

積分に関して議論を行う上で最低限必要となる性質について解説します。

定積分の加法性

関数が有界閉区間上においてリーマン積分可能であることと、それぞれの小区間においてリーマン積分可能であることが必要十分であるとともに、小区間上の定積分の総和をとれば区間上の定積分が得られます。

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関数の定数倍の定積分

リーマン積分可能な関数の定数倍として定義される関数もまたリーマン積分可能であり、もとの関数の定積分の定数倍をとれば新たな関数の定積分が得られます。

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関数の和の定積分

リーマン積分可能な関数の和として定義される関数もまたリーマン積分可能であり、もとの関数の定積分の和をとれば新たな関数の定積分が得られます。

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関数の差の定積分

リーマン積分可能な関数の差として定義される関数もまたリーマン積分可能であり、もとの関数の定積分の差をとれば新たな関数の定積分が得られます。

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定積分に関する平均値の定理

有界な閉区間上に定義された連続関数に対してその平均値を定義するとともに、連続関数が定義域上の少なくとも1つの点に対して定める値が平均値と一致することを示します。

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SECTION 3

微分と積分の関係

微分積分学の基本定理を中心に、微分と積分の間に成立する関係について解説します。

微分積分学の第2基本定理

有界な閉区間上に定義された関数がリーマン積分可能であり、その原始関数がその区間で連続かつ区間の内部で微分可能である場合、原始関数が区間の端点に対して定める値の差は、もとの関数の定積分と一致します。

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微分積分学の第1基本定理

有界な閉区間上に定義された関数が連続である場合には、その関数の定積分を特定する関数を微分すればもとの関数が得られることが保証されます。

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SECTION 4

積分の基本性質

準備中です。

関数の和の不定積分と定積分

区間上に定義された連続関数どうしの和として定義される関数の不定積分は、もとの関数の不定積分どうしの和をとれば得られます。定積分についても同様の関係が成り立ちます。

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関数の差の不定積分と定積分

区間上に定義された連続関数どうしの差として定義される関数の不定積分は、もとの関数の不定積分どうしの差をとれば得られます。定積分についても同様の関係が成り立ちます。

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置換積分(逆置換の定理)

区間上に定義された関数の不定積分ないし定積分を具体的に特定することが困難である場合には、被積分関数の変数を適切な形で変換することにより容易に積分できるようになる場合があります。

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置換積分(直接置換の定理)

区間上に定義された関数の不定積分ないし定積分を具体的に特定することが困難である場合でも、被積分関数が複数の関数をあるパターンのもとで組み合わせる形で表現されていることに気づいた場合には、それを容易に積分できます。

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部分積分

区間上に定義された関数が2つの関数の積として定義されている場合、それを巧みに解釈することにより不定積分や定積分を容易に特定できる場合があります。

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SECTION 5

初等関数の積分

準備中です。

RELATED KNOWLEDGE

関連知識

REQUIRED KNOWLEDGE

必須知識

本節の内容を理解するためには以下の分野の知識が必要です。

関数の定義

実数空間もしくはその部分集合を定義域とし、実数空間を終集合とする写像を関数と呼びます。言い換えると、関数とはそれぞれの実数に対して実数を1つずつ定める規則です。

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数直線の位相

実数空間すなわち数直線の位相に関するテキストと演習問題です。実数空間上の開集合や閉集合など、位相を規定する概念について解説します。

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ADVANCED KNOWLEDGE

発展知識

本節で得た知識は以下の分野を学ぶ上での土台になります。

多変数関数の微分

スカラー場(多変数関数)について、その微分(偏微分・方向微分・全微分)を定義した上で、微分に関して成り立つ様々な性質を解説します。

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