1変数関数の商の定積分

関数の商の定積分

\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を端点とする有界な閉区間\(\left[ a,b\right] \)上に定義された関数\begin{eqnarray*}f &:&\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \\
g &:&\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\}
\end{eqnarray*}が与えられたとき、それぞれの\(x\in \left[ a,b\right] \)に対して、\begin{equation*}\left( \frac{f}{g}\right) \left( x\right) =\frac{f\left( x\right) }{g\left(
x\right) }
\end{equation*}を定める新たな関数\begin{equation*}
\frac{f}{g}:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。実数をゼロで割ることはできないため、関数\(g\)がとり得る値は非ゼロであることに注意してください。

関数\(f,g\)がともに\(\left[ a,b\right] \)上で有界かつリーマン積分可能であり、なおかつ関数\(\frac{1}{g}\)が\(\left[a,b\right] \)上で有界である場合には、関数\(\frac{f}{g}\)もまた\(\left[ a,b\right] \)上で有界かつリーマン積分可能であることが示されます。

まずは以下の補題を示します。

上の命題を踏まえた上で以下を示します。

リーマン積分可能な関数の定数倍、和、差などはいずれもリーマン積分可能であり、さらにそれらの定積分について、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \int_{a}^{b}\left( c f\right) \left( x\right)
dx=c\cdot \int_{a}^{b}f\left( x\right) dx \\
&&\left( b\right) \ \int_{a}^{b}\left( f+g\right) \left( x\right)
dx=\int_{a}^{b}f\left( x\right) dx+\int_{a}^{b}g\left( x\right) dx \\
&&\left( c\right) \ \int_{a}^{b}\left( f-g\right) \left( x\right)
dx=\int_{a}^{b}f\left( x\right) dx-\int_{a}^{b}g\left( x\right) dx
\end{eqnarray*}などの関係が成り立つことはすでに示した通りです。先の命題はリーマン積分可能な関数の商もまたリーマン積分可能であることを保証しますが、その定積分\begin{equation*}
\int_{a}^{b}\left( \frac{f}{g}\right) \left( x\right) dx
\end{equation*}を具体的に特定する指針は与えてくれません。積分可能な関数の商の定積分を具体的に導出する方法については場を改めて解説します。

演習問題