変数xに関する関数のグラフとx軸によって囲まれる領域の面積と積分

変数xに関する関数のグラフの下側の領域の面積

\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を端点とする有界閉区間上に定義された変数\(x\)に関する関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が\(\left[ a,b\right] \)上において連続であるものとします。加えて、この関数\(f\)は\(\left[ a,b\right] \)上において非負値のみをとる状況を想定します。つまり、\begin{equation*}\forall x\in \left[ a,b\right] :f\left( x\right) \geq 0
\end{equation*}が成り立つということです（下図）。

その上で、関数\(f\)のグラフと\(x\)軸によって囲まれる領域\(S\)の面積を特定します（上図）。この領域\(S\)は関数のグラフに相当する曲線\(y=f\left( x\right) \)と\(x\)軸、および2本の垂直な直線\(x=a\)と\(x=b\)によって囲まれています。

関数\(f\)の定義域である区間\(\left[ a,b\right] \)の分割\(P=\left\{x_{k}\right\} _{k=0}^{n}\)および代表点の組\(P^{\ast }=\left\{ x_{k}^{\ast }\right\} _{k=1}^{n}\)が与えられれば、関数\(f\)の区間\(\left[ a,b\right] \)上におけるリーマン和が、\begin{equation*}S\left( f,P,P^{\ast }\right) =\sum_{k=1}^{n}\left( x_{k}-x_{k-1}\right)
\cdot f\left( x_{k}^{\ast }\right)
\end{equation*}として定まります。ただし、区間\(\left[ a,b\right] \)の分割\(P\)とは以下の条件\begin{equation*}a=x_{0}<x_{1}<\cdots <x_{n-1}<x_{n}=b
\end{equation*}を満たす有限個の点\(x_{0},x_{1},\cdots ,x_{n-1},x_{n}\in \mathbb{R} \)からなる組であり、代表点の組\(P^{\ast }\)とは以下の条件\begin{equation*}x_{k}^{\ast }\in \left[ x_{k-1},x_{k}\right] \end{equation*}を満たす有限個の点\(x_{1}^{\ast },\cdots ,x_{n}^{\ast }\in \mathbb{R} \)からなる組です。

リーマン和は上図の青い領域の面積に相当します。リーマン和の値は分割\(P\)や代表点の組\(P^{\ast }\)の選び方に依存します。分割\(P\)の大きさは、\begin{equation*}\left\vert P\right\vert =\max \left\{ x_{k}-x_{k-1}\in \mathbb{R} \ |\ k\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} \right\}
\end{equation*}と定義されますが、分割\(P\)の大きさを\(0\)へ近づける形で分割を変更していった場合、リーマン和を構成する個々の四角形はより細かくなるため、リーマン和の値は領域\(S\)の面積へと近づいていきます。

仮定より関数\(f\)は\(\left[ a,b\right]\)上で連続であるため、この関数\(f\)は\(\left[ a,b\right] \)上でリーマン積分可能です。したがって、分割\(P\)の大きさを\(0\)に限りなく近づける形で分割を変更していった場合、代表点の組\(P^{\ast }\)の選び方とは関係なく、関数\(f\)のリーマン和は有限な実数へ限りなく近づきます。つまり、関数\(f\)の\(\left[ a,b\right] \)上における定積分\begin{equation*}\int_{a}^{b}f\left( x\right) dx
\end{equation*}が有限な実数として定まるということです。先の考察より、分割\(P\)の大きさを\(0\)に近づけるにつれてリーマン和\(S\left( f,P,P^{\ast }\right) \)の値は領域\(S\)の面積へ近づいていくため、リーマン和の極限に相当する定積分\(\int_{a}^{b}f\left(x\right) dx\)は領域\(S\)の面積と限りなく一致します。このような事情を踏まえた上で、\begin{equation*}S\text{の面積}=\int_{a}^{b}f\left( x\right) dx
\end{equation*}と定めます。

結論を整理すると、有界閉区間上に定義された変数\(x\)に関する関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \)が区間\(\left[ a,b\right] \)上において連続であるとともに非負値をとる場合、以下の4つの要素\begin{eqnarray*}\text{関数のグラフ} &:&y=f\left(
x\right) \\
x\text{軸} &:&y=0 \\
\text{左側の垂直線} &:&x=a \\
\text{右側の垂直線} &:&x=b
\end{eqnarray*}によって囲まれる領域\(S\)の面積は、\begin{equation*}S\text{の面積}=\int_{a}^{b}f\left( x\right) dx
\end{equation*}と定義されるということです。

変数xに関する関数のグラフの上側の領域の面積

\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を端点とする有界閉区間上に定義された変数\(x\)に関する関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が\(\left[ a,b\right] \)上で連続であるものとします。加えて、この関数\(f\)は\(\left[a,b\right] \)上において非正値のみをとる状況を想定します。つまり、\begin{equation*}\forall x\in \left[ a,b\right] :f\left( x\right) \leq 0
\end{equation*}が成り立つということです（下図）。

その上で、関数\(f\)のグラフと\(x\)軸によって囲まれる領域\(S\)の面積を特定します（上図）。この領域\(S\)は関数のグラフに相当する曲線\(y=f\left( x\right) \)と\(x\)軸、および2本の垂直な直線\(x=a\)と\(x=b\)によって囲まれています。

仮定より関数\(f\)は\(\left[ a,b\right]\)上で連続であるため、この関数\(f\)は\(\left[ a,b\right] \)上でリーマン積分可能です。つまり、関数\(f\)の\(\left[ a,b\right] \)上における定積分\begin{equation*}\int_{a}^{b}f\left( x\right) dx
\end{equation*}が有限な実数として定まるということです。ただし、仮定より関数\(f\)は\(\left[ a,b\right] \)上において非正値をとるため、定積分の値は非正の実数になります。その一方で、面積は非負の実数であるため、この場合には、\begin{equation*}S\text{の面積}=\left\vert \int_{a}^{b}f\left( x\right)
dx\right\vert
\end{equation*}と定めます。

結論を整理すると、有界閉区間上に定義された変数\(x\)に関する関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \)が区間\(\left[ a,b\right] \)上において連続であるとともに非正値をとる場合、以下の4つの要素\begin{eqnarray*}\text{関数のグラフ} &:&y=f\left(
x\right) \\
x\text{軸} &:&y=0 \\
\text{左側の垂直線} &:&x=a \\
\text{右側の垂直線} &:&x=b
\end{eqnarray*}によって囲まれる領域\(S\)の面積は、\begin{equation*}S\text{の面積}=\left\vert \int_{a}^{b}f\left( x\right)
dx\right\vert
\end{equation*}と定義されるということです。

変数xに関する関数のグラフとx軸によって囲まれる領域の面積

\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を端点とする有界閉区間上に定義された変数\(x\)に関する関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が\(\left[ a,b\right] \)上で連続であるものとします。加えて、この関数\(f\)は\(\left[a,c\right] \)上において非正値のみをとり、\(\left[ c,b\right] \)上において非負値のみをとる状況を想定します。つまり、\begin{eqnarray*}\left( a\right) \ \forall x &\in &\left[ a,c\right] :f\left( x\right) \leq 0
\\
\left( b\right) \ \forall x &\in &\left[ c,b\right] :f\left( x\right) \geq 0
\end{eqnarray*}がともに成り立つということです（下図）。

その上で、関数\(f\)のグラフと\(x\)軸によって囲まれる領域\(S\)の面積を特定します。この領域\(S\)は2つの領域\(S_{1},S_{2}\)に分割可能です（上図）。

仮定より関数\(f\)は\(\left[ a,b\right]\)上で連続であるため、この関数\(f\)は\(\left[ a,b\right] \)上でリーマン積分可能です。区間上でリーマン積分可能な関数は部分区間上においてもリーマン積分可能であるためこの関数\(f\)は\(\left[ a,c\right] \)上および\(\left[ b,c\right] \)上においてリーマン積分可能です。つまり、関数\(f\)の\(\left[a,c\right] \)上および\(\left[ c,b\right] \)上における定積分\begin{eqnarray*}&&\int_{a}^{c}f\left( x\right) dx \\
&&\int_{c}^{b}f\left( x\right) dx
\end{eqnarray*}がともに有限な実数として定まります。

領域\(S\)は2つの領域\(S_{1},S_{2}\)に分割されるため、\(S\)の面積は\(S_{1}\)の面積と\(S_{2}\)の面積の和と一致します。以上の事実とこれまでの議論を踏まえると、領域\(S\)の面積は、\begin{eqnarray*}S\text{の面積} &=&S_{1}\text{の面積}+S_{2}\text{の面積} \\
&=&\left\vert \int_{a}^{c}f\left( x\right) dx\right\vert +\left\vert
\int_{c}^{b}f\left( x\right) dx\right\vert
\end{eqnarray*}と定まります。

演習問題