自然指数関数の不定積分
区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)が自然指数関数であるものとします。つまり、\(f\)がそれぞれの\(x\in I\)に対して定める値は、\begin{equation*}f\left( x\right) =e^{x}
\end{equation*}であるということです。自然指数関数\(e^{x}\)は連続であるため不定積分が存在しますが、具体的には以下のようになります。
命題（自然指数関数の不定積分）
区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in I\)に対して定める値が、\begin{equation*}f\left( x\right) =e^{x}
\end{equation*}であるものとする。\(f\)の不定積分は、\begin{equation*}\int f\left( x\right) dx=e^{x}+C
\end{equation*}である。ただし、\(C\)は積分定数である。
\end{equation*}であるものとする。\(f\)の不定積分は、\begin{equation*}\int f\left( x\right) dx=e^{x}+C
\end{equation*}である。ただし、\(C\)は積分定数である。
例（自然指数関数の不定積分）
自然指数関数は全区間\(\mathbb{R} \)上に定義可能であるため、それぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =e^{x}
\end{equation*}を定める関数が定義可能です。先の命題より、\(f\)の不定積分は、\begin{equation*}\int f\left( x\right) dx=e^{x}+C
\end{equation*}となります。ただし、\(C\)は積分定数です。
\end{equation*}を定める関数が定義可能です。先の命題より、\(f\)の不定積分は、\begin{equation*}\int f\left( x\right) dx=e^{x}+C
\end{equation*}となります。ただし、\(C\)は積分定数です。
例（自然指数関数の不定積分）
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =3e^{x}+7
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は連続関数であるため不定積分を持ちます。具体的には、\begin{eqnarray*}\int f\left( x\right) dx &=&\int \left( 3e^{x}+7\right) dx\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\int 3e^{x}dx+\int 7dx\quad \because \text{関数の和の不定積分} \\
&=&3\int e^{x}dx+\int 7dx\quad \because \text{関数の定数倍の不定積分} \\
&=&3e^{x}+7x+C\quad \because \text{自然指数関数と定数関数の不定積分}
\end{eqnarray*}となります。ただし、\(C\)は積分定数です。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は連続関数であるため不定積分を持ちます。具体的には、\begin{eqnarray*}\int f\left( x\right) dx &=&\int \left( 3e^{x}+7\right) dx\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\int 3e^{x}dx+\int 7dx\quad \because \text{関数の和の不定積分} \\
&=&3\int e^{x}dx+\int 7dx\quad \because \text{関数の定数倍の不定積分} \\
&=&3e^{x}+7x+C\quad \because \text{自然指数関数と定数関数の不定積分}
\end{eqnarray*}となります。ただし、\(C\)は積分定数です。
例（自然指数関数の不定積分）
関数\(h:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}h\left( x\right) =xe^{x}
\end{equation*}を定めるものとします。\(h\)は区間\(\mathbb{R} \)上で連続であるため不定積分が存在します。\(h\)は恒等関数\(x\)と指数関数\(e^{x}\)の積として定義される関数です。恒等関数\(x\)は微分するとシンプルになり、指数関数\(e^{x}\)は積分しても複雑にならないため、\begin{eqnarray*}f\left( x\right) &=&x \\
g^{\prime }\left( x\right) &=&e^{x}
\end{eqnarray*}と定義すれば、\begin{equation*}
h=f\cdot g^{\prime }
\end{equation*}という関係が成立します。さらに、\begin{eqnarray*}
f^{\prime }\left( x\right) &=&1 \\
g\left( x\right) &=&e^{x}
\end{eqnarray*}です。関数\(f,g\)はともに\(C^{1}\)級であるため、\begin{eqnarray*}\int h\left( x\right) dx &=&\int \left( f\cdot g^{\prime }\right) \left(
x\right) dx\quad \because h=f\cdot g^{\prime } \\
&=&\left( f\cdot g\right) \left( x\right) -\int \left( f^{\prime }\cdot
g\right) \left( x\right) dx\quad \because \text{部分積分} \\
&=&xe^{x}-\int e^{x}dx \\
&=&xe^{x}-e^{x}+C\quad \because \frac{d}{dx}e^{x}=e^{x}
\end{eqnarray*}となります。ただし、\(C\)は積分定数です。
\end{equation*}を定めるものとします。\(h\)は区間\(\mathbb{R} \)上で連続であるため不定積分が存在します。\(h\)は恒等関数\(x\)と指数関数\(e^{x}\)の積として定義される関数です。恒等関数\(x\)は微分するとシンプルになり、指数関数\(e^{x}\)は積分しても複雑にならないため、\begin{eqnarray*}f\left( x\right) &=&x \\
g^{\prime }\left( x\right) &=&e^{x}
\end{eqnarray*}と定義すれば、\begin{equation*}
h=f\cdot g^{\prime }
\end{equation*}という関係が成立します。さらに、\begin{eqnarray*}
f^{\prime }\left( x\right) &=&1 \\
g\left( x\right) &=&e^{x}
\end{eqnarray*}です。関数\(f,g\)はともに\(C^{1}\)級であるため、\begin{eqnarray*}\int h\left( x\right) dx &=&\int \left( f\cdot g^{\prime }\right) \left(
x\right) dx\quad \because h=f\cdot g^{\prime } \\
&=&\left( f\cdot g\right) \left( x\right) -\int \left( f^{\prime }\cdot
g\right) \left( x\right) dx\quad \because \text{部分積分} \\
&=&xe^{x}-\int e^{x}dx \\
&=&xe^{x}-e^{x}+C\quad \because \frac{d}{dx}e^{x}=e^{x}
\end{eqnarray*}となります。ただし、\(C\)は積分定数です。
自然指数関数の定積分
先の命題を用いると、自然指数関数の定積分を以下のように特定できます。
命題（自然数ベキ関数の定積分）
区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in I\)に対して定める値が、\begin{equation*}f\left( x\right) =e^{x}
\end{equation*}であるものとする。\(a<b\)を満たす点\(a,b\in I\)を任意に選んだとき、\(f\)は\(\left[a,b\right] \)上でリーマン積分可能であり、定積分は、\begin{eqnarray*}\int_{a}^{b}f\left( x\right) dx &=&\left[ e^{x}\right] _{a}^{b} \\
&=&e^{b}-e^{a}
\end{eqnarray*}となる。
\end{equation*}であるものとする。\(a<b\)を満たす点\(a,b\in I\)を任意に選んだとき、\(f\)は\(\left[a,b\right] \)上でリーマン積分可能であり、定積分は、\begin{eqnarray*}\int_{a}^{b}f\left( x\right) dx &=&\left[ e^{x}\right] _{a}^{b} \\
&=&e^{b}-e^{a}
\end{eqnarray*}となる。
例（自然指数関数の定積分）
自然指数関数は全区間\(\mathbb{R} \)上に定義可能であるため、それぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =e^{x}
\end{equation*}を定める関数が定義可能です。\(a<b\)を満たす\(a,b\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}\int_{a}^{b}f\left( x\right) dx &=&\int_{a}^{b}e^{x}dx\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\left[ e^{x}\right] _{a}^{b}\quad \because \text{自然指数関数の定積分} \\
&=&e^{b}-e^{a}
\end{eqnarray*}となります。したがって、例えば、\begin{eqnarray*}
\int_{0}^{1}f\left( x\right) dx &=&e^{1}-e^{0}=e-1 \\
\int_{-1}^{1}f\left( x\right) dx &=&e^{1}-e^{-1} \\
\int_{-1}^{0}f\left( x\right) dx &=&e^{0}-e^{-1}=1-e^{-1}
\end{eqnarray*}などとなります。
\end{equation*}を定める関数が定義可能です。\(a<b\)を満たす\(a,b\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}\int_{a}^{b}f\left( x\right) dx &=&\int_{a}^{b}e^{x}dx\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\left[ e^{x}\right] _{a}^{b}\quad \because \text{自然指数関数の定積分} \\
&=&e^{b}-e^{a}
\end{eqnarray*}となります。したがって、例えば、\begin{eqnarray*}
\int_{0}^{1}f\left( x\right) dx &=&e^{1}-e^{0}=e-1 \\
\int_{-1}^{1}f\left( x\right) dx &=&e^{1}-e^{-1} \\
\int_{-1}^{0}f\left( x\right) dx &=&e^{0}-e^{-1}=1-e^{-1}
\end{eqnarray*}などとなります。
例（自然指数関数の定積分）
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =3e^{x}+7
\end{equation*}を定めるものとします。\(a<b\)を満たす\(a,b\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}\int_{a}^{b}f\left( x\right) dx &=&\int_{a}^{b}\left( 3e^{x}+7\right)
dx\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\int_{a}^{b}3e^{x}dx+\int_{a}^{b}7dx\quad \because \text{関数の和の定積分} \\
&=&3\int_{a}^{b}e^{x}dx+\int_{a}^{b}7dx\quad \because \text{関数の定数倍の定積分} \\
&=&3\left[ e^{x}\right] _{a}^{b}+\left[ 7x\right] _{a}^{b}\quad \because
\text{自然指数関数と定数関数の定積分} \\
&=&3\left( e^{b}-e^{a}\right) +\left( 7b-7a\right)
\end{eqnarray*}となります。したがって、例えば、\begin{eqnarray*}
\int_{-1}^{2}f\left( x\right) dx &=&3\left( e^{2}-e^{-1}\right) +\left[
7\cdot 2-7\left( -1\right) \right] \\
&=&3\left( e^{2}-e^{-1}\right) +21
\end{eqnarray*}となります。
\end{equation*}を定めるものとします。\(a<b\)を満たす\(a,b\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}\int_{a}^{b}f\left( x\right) dx &=&\int_{a}^{b}\left( 3e^{x}+7\right)
dx\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\int_{a}^{b}3e^{x}dx+\int_{a}^{b}7dx\quad \because \text{関数の和の定積分} \\
&=&3\int_{a}^{b}e^{x}dx+\int_{a}^{b}7dx\quad \because \text{関数の定数倍の定積分} \\
&=&3\left[ e^{x}\right] _{a}^{b}+\left[ 7x\right] _{a}^{b}\quad \because
\text{自然指数関数と定数関数の定積分} \\
&=&3\left( e^{b}-e^{a}\right) +\left( 7b-7a\right)
\end{eqnarray*}となります。したがって、例えば、\begin{eqnarray*}
\int_{-1}^{2}f\left( x\right) dx &=&3\left( e^{2}-e^{-1}\right) +\left[
7\cdot 2-7\left( -1\right) \right] \\
&=&3\left( e^{2}-e^{-1}\right) +21
\end{eqnarray*}となります。
例（自然指数関数の定積分）
関数\(h:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}h\left( x\right) =xe^{x}
\end{equation*}を定めるものとします。\(h\)は区間\(\mathbb{R} \)上で連続であるため不定積分が存在します。\(h\)は恒等関数\(x\)と指数関数\(e^{x}\)の積として定義される関数です。恒等関数\(x\)は微分するとシンプルになり、指数関数\(e^{x}\)は積分しても複雑にならないため、\begin{eqnarray*}f\left( x\right) &=&x \\
g^{\prime }\left( x\right) &=&e^{x}
\end{eqnarray*}と定義すれば、\begin{equation*}
h=f\cdot g^{\prime }
\end{equation*}という関係が成立します。さらに、\begin{eqnarray*}
f^{\prime }\left( x\right) &=&1 \\
g\left( x\right) &=&e^{x}
\end{eqnarray*}です。関数\(f,g\)はともに\(C^{1}\)級であるため、\(a<b\)を満たす\(a,b\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}\int_{a}^{b}h\left( x\right) dx &=&\int_{a}^{b}\left( f\cdot g^{\prime
}\right) \left( x\right) dx\quad \because h=f\cdot g^{\prime } \\
&=&\left[ \left( f\cdot g\right) \left( x\right) \right] _{a}^{b}-\int_{a}^{b}\left( f^{\prime }\cdot g\right) \left( x\right) dx\quad
\because \text{部分積分} \\
&=&\left[ xe^{x}\right] _{a}^{b}-\int_{a}^{b}e^{x}dx \\
&=&\left[ xe^{x}\right] _{a}^{b}-\left[ e^{x}\right] _{a}^{b} \\
&=&\left( be^{b}-ae^{a}\right) -\left( e^{b}-e^{a}\right)
\end{eqnarray*}となります。したがって、例えば、\begin{eqnarray*}
\int_{-1}^{2}f\left( x\right) dx &=&\left[ 2e^{2}-\left( -1\right) e^{-1}\right] -\left( e^{2}-e^{-1}\right) \\
&=&2e^{2}+e^{-1}-e^{2}+e^{-1} \\
&=&e^{2}+2e^{-1}
\end{eqnarray*}となります。
\end{equation*}を定めるものとします。\(h\)は区間\(\mathbb{R} \)上で連続であるため不定積分が存在します。\(h\)は恒等関数\(x\)と指数関数\(e^{x}\)の積として定義される関数です。恒等関数\(x\)は微分するとシンプルになり、指数関数\(e^{x}\)は積分しても複雑にならないため、\begin{eqnarray*}f\left( x\right) &=&x \\
g^{\prime }\left( x\right) &=&e^{x}
\end{eqnarray*}と定義すれば、\begin{equation*}
h=f\cdot g^{\prime }
\end{equation*}という関係が成立します。さらに、\begin{eqnarray*}
f^{\prime }\left( x\right) &=&1 \\
g\left( x\right) &=&e^{x}
\end{eqnarray*}です。関数\(f,g\)はともに\(C^{1}\)級であるため、\(a<b\)を満たす\(a,b\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}\int_{a}^{b}h\left( x\right) dx &=&\int_{a}^{b}\left( f\cdot g^{\prime
}\right) \left( x\right) dx\quad \because h=f\cdot g^{\prime } \\
&=&\left[ \left( f\cdot g\right) \left( x\right) \right] _{a}^{b}-\int_{a}^{b}\left( f^{\prime }\cdot g\right) \left( x\right) dx\quad
\because \text{部分積分} \\
&=&\left[ xe^{x}\right] _{a}^{b}-\int_{a}^{b}e^{x}dx \\
&=&\left[ xe^{x}\right] _{a}^{b}-\left[ e^{x}\right] _{a}^{b} \\
&=&\left( be^{b}-ae^{a}\right) -\left( e^{b}-e^{a}\right)
\end{eqnarray*}となります。したがって、例えば、\begin{eqnarray*}
\int_{-1}^{2}f\left( x\right) dx &=&\left[ 2e^{2}-\left( -1\right) e^{-1}\right] -\left( e^{2}-e^{-1}\right) \\
&=&2e^{2}+e^{-1}-e^{2}+e^{-1} \\
&=&e^{2}+2e^{-1}
\end{eqnarray*}となります。
自然指数関数との合成関数の積分
自然指数関数との合成関数もしくはそのような合成関数を含む関数を積分する際には、置換積分や部分積分などを利用します。具体例を挙げます。
例（自然指数関数との合成関数の積分）
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =e^{-x}
\end{equation*}を定めるものとします。この関数\(f\)は自然指数関数\(e^{x}\)と関数\(-x\)の合成関数です。\(f\)は\(\mathbb{R} \)上で連続であるため不定積分が存在します。そこで、\begin{equation}u=-x \quad \cdots (1)
\end{equation}とおくと、変数\(u\)に関する関数\begin{equation}x=g\left( u\right) =-u \quad \cdots (2)
\end{equation}を得ます。\(g\)の定義域を\(\mathbb{R} \)とすれば、その値域は\(\mathbb{R} \)となり、これは\(f\)の定義域と一致します。加えて、\(g\)は\(C^{1}\)級です。また、\(g\)は狭義単調減少であるため単射であり、逆関数\begin{equation}u=g^{-1}\left( x\right) =-x \quad \cdots (3)
\end{equation}が存在します。したがって、\begin{eqnarray*}
\int f\left( x\right) dx &=&\int e^{-x}dx\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\int e^{u}g^{\prime }\left( u\right) du\quad \because \left( 1\right)
,\left( 2\right) \text{および置換積分} \\
&=&\int -e^{u}du\quad \because \left( 2\right) \\
&=&-\int e^{u}du\quad \because \text{関数の定数倍の不定積分} \\
&=&-e^{u}+C\quad \because \text{自然指数関数の不定積分} \\
&=&-e^{-x}+C\quad \because \left( 3\right)
\end{eqnarray*}となります。ただし、\(C\)は積分定数です。
\end{equation*}を定めるものとします。この関数\(f\)は自然指数関数\(e^{x}\)と関数\(-x\)の合成関数です。\(f\)は\(\mathbb{R} \)上で連続であるため不定積分が存在します。そこで、\begin{equation}u=-x \quad \cdots (1)
\end{equation}とおくと、変数\(u\)に関する関数\begin{equation}x=g\left( u\right) =-u \quad \cdots (2)
\end{equation}を得ます。\(g\)の定義域を\(\mathbb{R} \)とすれば、その値域は\(\mathbb{R} \)となり、これは\(f\)の定義域と一致します。加えて、\(g\)は\(C^{1}\)級です。また、\(g\)は狭義単調減少であるため単射であり、逆関数\begin{equation}u=g^{-1}\left( x\right) =-x \quad \cdots (3)
\end{equation}が存在します。したがって、\begin{eqnarray*}
\int f\left( x\right) dx &=&\int e^{-x}dx\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\int e^{u}g^{\prime }\left( u\right) du\quad \because \left( 1\right)
,\left( 2\right) \text{および置換積分} \\
&=&\int -e^{u}du\quad \because \left( 2\right) \\
&=&-\int e^{u}du\quad \because \text{関数の定数倍の不定積分} \\
&=&-e^{u}+C\quad \because \text{自然指数関数の不定積分} \\
&=&-e^{-x}+C\quad \because \left( 3\right)
\end{eqnarray*}となります。ただし、\(C\)は積分定数です。
演習問題
問題（自然指数関数の不定積分）
関数\(h:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}h\left( x\right) =x^{2}e^{x}
\end{equation*}を定めるものとします。不定積分\begin{equation*}
\int h\left( x\right) dx
\end{equation*}を求めてください。
\end{equation*}を定めるものとします。不定積分\begin{equation*}
\int h\left( x\right) dx
\end{equation*}を求めてください。
問題（自然指数関数との合成関数の定積分）
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =e^{-x}
\end{equation*}を定めるものとします。以下の定積分\begin{equation*}
\int_{-2}^{3}f\left( x\right) dx
\end{equation*}を求めてください。
\end{equation*}を定めるものとします。以下の定積分\begin{equation*}
\int_{-2}^{3}f\left( x\right) dx
\end{equation*}を求めてください。
問題（自然指数関数との合成関数の不定積分）
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =xe^{x^{2}}
\end{equation*}を定めるものとします。不定積分\begin{equation*}
\int f\left( x\right) dx
\end{equation*}を求めてください。
\end{equation*}を定めるものとします。不定積分\begin{equation*}
\int f\left( x\right) dx
\end{equation*}を求めてください。
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