1変数関数の上リーマン積分と下リーマン積分（ダルブーの定理）

区間の分割とその大きさ

\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、それらを端点とする有界な閉区間\begin{equation*}\left[ a,b\right] =\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a\leq x\leq b\right\}
\end{equation*}を定義します。それに対して、以下の条件\begin{equation*}
a=x_{0}<x_{1}<\cdots <x_{n-1}<x_{n}=b
\end{equation*}を満たす有限個の点\(x_{0},x_{1},\cdots ,x_{n-1},x_{n}\in \mathbb{R} \)からなる集合\begin{equation*}P=\left\{ x_{0},x_{1},\cdots ,x_{n}\right\} =\left\{ x_{k}\right\} _{k=0}^{n}
\end{equation*}を区間\(\left[ a,b\right] \)の分割（partition）と呼びます。なお、分割\(P\)の要素である分点の個数や、分点間の距離は自由に選ぶことができるものとします。分点どうしは等間隔である必要もありません。

区間\(\left[ a,b\right] \)の分割\(P=\left\{x_{k}\right\} _{k=0}^{n}\)が与えられれば、区間\(\left[ a,b\right] \)の部分集合である有限\(n\)個の小区間\begin{eqnarray*}J_{1} &=&\left[ x_{0},x_{1}\right] \\
J_{2} &=&\left[ x_{1},x_{2}\right] \\
&&\vdots \\
J_{n} &=&\left[ x_{n-1},x_{n}\right] \end{eqnarray*}が得られます。すべての小区間\(J_{1},J_{2},\cdots ,J_{n}\)の和集合をとればもとの区間\(\left[ a,b\right] \)が得られます。また、2つの小区間どうしは境界においてのみ交わり得るため、2つの小区間を任意に選んだとき、それらの内部どうしは互いに素です。

分割\(P=\left\{ x_{k}\right\} _{k=0}^{n}\)を通じて区間\(\left[ a,b\right] \)を有限個\(n\)の小区間\(\left\{ J_{k}\right\} _{k=1}^{n}\)へと分割した場合、それぞれの小区間\(J_{k}=\left[x_{k-1},x_{k}\right] \)の長さは、\begin{equation*}\left\vert J_{k}\right\vert =x_{k}-x_{k-1}
\end{equation*}と定まります。すべての小区間\(J_{1},\cdots ,J_{n}\)の長さ\(\left\vert J_{1}\right\vert ,\cdots ,\left\vert J_{n}\right\vert \)どうしを比べた上で、その中の最大値を分割\(P\)の大きさ（norm）と定義し、それを、\begin{eqnarray*}\left\vert P\right\vert &=&\max \left\{ \left\vert J_{k}\right\vert \in \mathbb{R} \ |\ k\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} \right\} \\
&=&\max \left\{ x_{k}-x_{k-1}\in \mathbb{R} \ |\ k\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} \right\}
\end{eqnarray*}で表記します。

関数の上リーマン和と下リーマン和

有界な閉区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \)が有界であるものとします。つまり、\(f\)の値域\begin{equation*}f\left( \left[ a,b\right] \right) =\left\{ f\left( x\right) \in \mathbb{R} \ |\ a\leq x\leq b\right\}
\end{equation*}が有界な\(\mathbb{R} \)の部分集合であるということです。言い換えると、以下の条件\begin{equation*}\exists U\in \mathbb{R} ,\ \exists L\in \mathbb{R} ,\ \forall x\in \left[ a,b\right] :L\leq f\left( x\right) \leq U
\end{equation*}が成り立つということです。ただし、\(U\)は\(f\)の値域の上界であり、\(L\)は下界です。

区間\(\left[ a,b\right] \)の分割\(P=\left\{x_{k}\right\} _{k=0}^{n}\)を選ぶと有限\(n\)個の小区間\begin{equation*}J_{k}=\left[ x_{k-1},x_{k}\right] \quad \left( k=1,\cdots ,n\right)
\end{equation*}が得られますが、この小区間\(J_{k}\)上において関数\(f\)がとり得る値からなる集合は、\begin{eqnarray*}f\left( J_{k}\right) &=&f\left( \left[ x_{k-1},x_{k}\right] \right) \\
&=&\left\{ f\left( x\right) \in \mathbb{R} \ |\ x\in \left[ x_{k-1},x_{k}\right] \right\}
\end{eqnarray*}と定まります。仮定より関数\(f\)は区間\(\left[ a,b\right]\)上で有界であるため、その部分集合である小区間\(J_{k}\)上でも有界であり、したがって\(f\left( J_{k}\right) \)は有界な\(\mathbb{R} \)の部分集合です。すると、実数の連続性より、その上限と下限\begin{eqnarray*}\sup f\left( J_{k}\right) &=&\sup \left\{ f\left( x\right) \in \mathbb{R} \ |\ x\in J_{k}\right\} \\
\inf f\left( J_{k}\right) &=&\inf \left\{ f\left( x\right) \in \mathbb{R} \ |\ x\in J_{k}\right\}
\end{eqnarray*}がそれぞれ有限な実数として定まることが保証されます。

区間\(\left[ a,b\right] \)に対して分割\(P=\left\{ x_{k}\right\} _{k=1}^{n}\)を指定した場合、それぞれの小区間\begin{equation*}J_{k}=\left[ x_{k-1},x_{k}\right] \end{equation*}の長さは、\begin{equation*}
\left\vert J_{k}\right\vert =x_{k}-x_{k-1}
\end{equation*}と定まる一方で、小区間\(J_{k}\)上において関数\(f\)がとり得る上限と下限は、\begin{eqnarray*}&&\sup f\left( J_{k}\right) \\
&&\inf f\left( J_{k}\right)
\end{eqnarray*}です。そこで、これらの積\begin{eqnarray}
\left\vert J_{k}\right\vert \cdot \sup f\left( J_{k}\right) &=&\left(
x_{k}-x_{k-1}\right) \cdot \sup f\left( J_{k}\right) \quad \cdots (1) \\
\left\vert J_{k}\right\vert \cdot \inf f\left( J_{k}\right) &=&\left(
x_{k}-x_{k-1}\right) \cdot \inf f\left( J_{k}\right) \quad \cdots (2)
\end{eqnarray}をそれぞれとります。\(\left( 1\right) \)は小区間\(J_{k}\)を底辺とし、高さが\(\sup f\left( J_{k}\right) \)であるような長方形の面積である一方、\(\left( 2\right) \)は小区間\(J_{k}\)を底辺とし、高さが\(\inf f\left( J_{k}\right) \)であるような長方形の面積です。そこで、以降では\(\left( 1\right) ,\left( 2\right) \)を小区間\(J_{k}\)を底辺とする長方形の符号付き面積（signed area）と呼びます。小区間\(J_{k}\)は有界であるためその長さ\(\left\vert J_{k}\right\vert \)は有限な実数として定まります。また、先述の理由により\(\sup f\left( J_{k}\right) \)と\(\inf f\left( J_{k}\right) \)もまた有限な実数として定まります。以上より、符号付き面積\(\left(1\right) ,\left( 2\right) \)は有限な実数どうしの積であるため、これらもまた有限な実数として定まります。\(\sup f\left( J_{k}\right) \)を高さとする長方形の符号付き面積\(\left( 1\right) \)は下図のグレーの領域（青い領域を含む）に相当し、\(\inf f\left( J_{k}\right) \)を高さとする長方形の符号付き面積\(\left( 2\right) \)は下図の青い領域の面積に相当します。

有界な閉区間上に定義された有界な関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、区間\(\left[ a,b\right] \)の分割\(P=\left\{x_{k}\right\} _{k=0}^{n}\)を選べば、それぞれの小区間を底辺とする長方形の符号付き面積が明らかになるため、それらの総和\begin{eqnarray*}U\left( f,P\right) &=&\sum_{k=1}^{n}\left[ \left\vert J_{k}\right\vert
\cdot \sup \left( J_{k}\right) \right] \\
&=&\left\vert J_{1}\right\vert \cdot \sup \left( J_{1}\right) +\left\vert
J_{2}\right\vert \cdot \sup \left( J_{2}\right) +\cdots +\left\vert
J_{n}\right\vert \cdot \sup \left( J_{n}\right) \\
&=&\left( x_{1}-x_{0}\right) \cdot \sup \left( J_{1}\right) +\left(
x_{2}-x_{1}\right) \cdot \sup \left( J_{2}\right) +\cdots +\left(
x_{n}-x_{n-1}\right) \cdot \sup \left( J_{n}\right)
\end{eqnarray*}および、\begin{eqnarray*}
L\left( f,P\right) &=&\sum_{k=1}^{n}\left[ \left\vert J_{k}\right\vert
\cdot \inf \left( J_{k}\right) \right] \\
&=&\left\vert J_{1}\right\vert \cdot \inf \left( J_{1}\right) +\left\vert
J_{2}\right\vert \cdot \inf \left( J_{2}\right) +\cdots +\left\vert
J_{n}\right\vert \cdot \inf \left( J_{n}\right) \\
&=&\left( x_{1}-x_{0}\right) \cdot \inf \left( J_{1}\right) +\left(
x_{2}-x_{1}\right) \cdot \inf \left( J_{2}\right) +\cdots +\left(
x_{n}-x_{n-1}\right) \cdot \inf \left( J_{n}\right)
\end{eqnarray*}がそれぞれ得られます。\(U\left( f,P\right) \)を関数\(f\)の分割\(P\)に関する上リーマン和（upper Riemann sum of \(f\) for \(P\)）や上ダルブー和（upper Darboux sum）、上限和、または過剰和などと呼び、\(L\left( f,P\right) \)を関数\(f\)の分割\(P\)に関する下リーマン和（lower Riemann sum of \(f\) for \(P\)）やや下ダルブー和（lower Darboux sum）、下限和、または不足和などと呼びます。

それぞれの小区間\(J_{k}\)を底辺とする長方形の高さとして\(\sup \left( J_{k}\right) \)と\(\inf \left( J_{k}\right) \)のどちらを採用する場合でも、個々の長方形の符号付き面積は有限な実数として定まるため、上リーマン和や下リーマン和は有限個の有限な実数の和であり、したがって有限な実数として定まります。上リーマン和は下図のグレーの領域（青い領域を含む）の面積に相当し、下リーマン和は下図の青い領域の面積に相当します。関数が与えられたとき、分割の選び方に応じてそれぞれの長方形は変化するため、上リーマン和や下リーマン和の値もまた分割の選び方に依存します。

上リーマン和と下リーマン和の性質

有界な閉区間上に定義された有界な関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、区間\(\left[ a,b\right] \)の分割\(P=\left\{x_{k}\right\} _{k=0}^{n}\)を任意に選べば、任意の小区間\(J_{k}\)について、\begin{eqnarray*}\sup f\left( J_{k}\right) &=&\sup \left\{ f\left( x\right) \in \mathbb{R} \ |\ x\in J_{k}\right\} \\
&\geq &\inf \left\{ f\left( x\right) \in \mathbb{R} \ |\ x\in J_{k}\right\} \quad \because \text{上限と下限の関係} \\
&=&\inf f\left( J_{k}\right)
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation}
\sup f\left( J_{k}\right) \geq \inf f\left( J_{k}\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立つため、上リーマン和と下リーマン和の間には、\begin{eqnarray*}
U\left( f,P\right) &=&\sum_{k=1}^{n}\left[ \left\vert J_{k}\right\vert
\cdot \sup f\left( J_{k}\right) \right] \quad \because U\left( f,P\right)
\text{の定義} \\
&\geq &\sum_{k=1}^{n}\left[ \left\vert J_{k}\right\vert \cdot \inf f\left(
J_{k}\right) \right] \quad \because \left( 1\right) \\
&=&L\left( f,P\right) \quad \because L\left( f,P\right) \text{の定義}
\end{eqnarray*}という関係が成り立ちます。つまり、区間\(\left[ a,b\right] \)の分割\(P\)を任意に選んだとき、上リーマン和は下リーマン和以上になることが保証されるということです。これは、下図においてグレーの領域（青い領域を含む）の面積が青い領域の面積以上であることを意味します。

上の命題では、上リーマン和と下リーマン和を算出する際に同一の分割を採用していますが、実は、上リーマン和をとる場合の分割と、下リーマン和をとる場合の分割が異なる場合にも同様の命題が成り立ちます。まずは以下の補題を示します。

以上の命題を踏まえた上で以下を示します。

上リーマン積分と下リーマン積分

有界な閉区間上に定義された有界な関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、区間\(\left[ a,b\right] \)の分割\(P\)を任意に選ぶと、\(P\)のもとでの上リーマン和\(U\left( f,P\right) \)が1つの実数として定まることが保証されます。分割が変われば上リーマン和の値も変わるため、上リーマン和がとり得る値からなる集合は、\begin{equation}\left\{ U\left( f,P\right) \in \mathbb{R} \ |\ P\text{は}\left[ a,b\right] \text{の分割}\right\} \quad \cdots (1)
\end{equation}となります。区間\(\left[ a,b\right] \)の分割\(Q\)を任意に選んだとき、先の命題より、区間\(\left[ a,b\right] \)の任意の分割\(P\)に対して、\begin{equation*}L\left( f,Q\right) \leq U\left( f,P\right)
\end{equation*}という関係が成り立つため、\(\left( 1\right) \)は下に有界な\(\mathbb{R} \)の部分集合です。したがって、実数の連続性（下限性質）より、\(\left( 1\right) \)の下限\begin{equation*}\inf \left\{ U\left( f,P\right) \in \mathbb{R} \ |\ P\text{は}\left[ a,b\right] \text{の分割}\right\}
\end{equation*}が有限な実数として定まることが保証されます。そこでこれを\(f\)の\(\left[ a,b\right] \)上での上リーマン積分（upper Riemann integral from \(a\) to \(b\)）や上ダルブー積分（upper Darboux integral）、または上積分（upper integral）などと呼び、\begin{equation*}\overline{\int }_{a}^{b}f\left( x\right) dx=\inf \left\{ U\left( f,P\right)
\in \mathbb{R} \ |\ P\text{は}\left[ a,b\right] \text{の分割}\right\}
\end{equation*}で表記します。

下リーマン和についても同様に考えます。つまり、有界な閉区間上に定義された有界な関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、区間\(\left[ a,b\right] \)の分割\(P\)を任意に選ぶと、\(P\)のもとでの下リーマン和\(L\left( f,P\right) \)が1つの実数として定まることが保証されます。分割が変われば下リーマン和の値も変わるため、下リーマン和がとり得る値からなる集合は、\begin{equation}\left\{ L\left( f,P\right) \in \mathbb{R} \ |\ P\text{は}\left[ a,b\right] \text{の分割}\right\} \quad \cdots (2)
\end{equation}となります。区間\(\left[ a,b\right] \)の分割\(Q\)を任意に選んだとき、先の命題より、区間\(\left[ a,b\right] \)の任意の分割\(P\)に対して、\begin{equation*}L\left( f,P\right) \leq U\left( f,Q\right)
\end{equation*}という関係が成り立つため、\(\left( 2\right) \)は上に有界な\(\mathbb{R} \)の部分集合です。したがって、実数の連続性（上限性質）より、\(\left( 2\right) \)の上限\begin{equation*}\sup \left\{ L\left( f,P\right) \in \mathbb{R} \ |\ P\text{は}\left[ a,b\right] \text{の分割}\right\}
\end{equation*}が有限な実数として定まることが保証されます。そこでこれを\(f\)の\(\left[ a,b\right] \)上での下リーマン積分（lower Riemann integral from \(a\) to \(b\)）や下ダルブー積分（lower Darboux integral）、または下積分（lower integral）などと呼び、\begin{equation*}\underline{\int }_{a}^{b}f\left( x\right) dx=\sup \left\{ L\left( f,P\right)
\in \mathbb{R} \ |\ P\text{は}\left[ a,b\right] \text{の分割}\right\}
\end{equation*}で表記します。

上リーマン積分と下リーマン積分はそれぞれ一意的

上リーマン積分と下リーマン積分はそれぞれ一意的に定まります。

上リーマン積分と下リーマン積分は一致するとは限らない

有界な閉区間上に定義された有界な関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、\(\left[ a,b\right] \)上での上リーマン積分と下リーマン積分はそれぞれ有限な実数として定まるとともに、それぞれ一意的に定まることが明らかになりました。その一方で、両者は一致するとは限りません。以下の例より明らかです。

ダルブーの定理（極限を用いた上積分と下積分の特定）

有界な閉区間上に定義された有界な関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、\(\left[ a,b\right] \)上での上リーマン積分は、\begin{equation*}\overline{\int }_{a}^{b}f\left( x\right) dx=\inf \left\{ U\left( f,P\right)
\in \mathbb{R} \ |\ P\text{は}\left[ a,b\right] \text{の分割}\right\}
\end{equation*}と定義されますが、先の議論から明らかになったように、これは1つの実数として定まることが保証されます。上リーマン積分を導出するためには上リーマン和がとり得る値からなる集合\begin{equation*}
\left\{ U\left( f,P\right) \in \mathbb{R} \ |\ P\text{は}\left[ a,b\right] \text{の分割}\right\}
\end{equation*}を特定した上で、その下限を求める必要があります。ただ、そのような手続きは煩雑になりがちであるため、より扱いやすい導出方法があれば、それはより望ましいと言えまます。具体的には以下の通りです。

有界な閉区間上に定義された有界な関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、区間\(\left[ a,b\right] \)の分割\(P=\left\{x_{k}\right\} _{k=0}^{n}\)を選べば、この分割\(P\)のもとでの関数\(f\)の上リーマン和が、\begin{eqnarray*}U\left( f,P\right) &=&\sum_{k=1}^{n}\left[ \left\vert J_{k}\right\vert
\cdot \sup \left( J_{k}\right) \right] \\
&=&\left( x_{1}-x_{0}\right) \cdot \sup \left( J_{1}\right) +\left(
x_{2}-x_{1}\right) \cdot \sup \left( J_{2}\right) +\cdots +\left(
x_{n}-x_{n-1}\right) \cdot \sup \left( J_{n}\right)
\end{eqnarray*}として定まります。さて、分割\(P\)の大きさ\(\left\vert P\right\vert \)が小さくなるように分割を変更すれば区間\(\left[ a,b\right] \)に含まれる最長の小区間の長さは小さくなるため、\(\left[ a,b\right] \)に含まれるすべての小区間の長さも小さくなり、その結果、区間\(\left[ a,b\right] \)はより多くの細かい小区間へ分割されることになります（\(n\)が増加する）。さらに、分割\(P\)の大きさ\(\left\vert P\right\vert \)が\(0\)へ限りなく近づくように分割を変更していけば、区間\(\left[ a,b\right] \)を構成するすべての小区間の長さもまた\(0\)へ限りなく近づきます。さて、分割\(P\)の大きさを\(0\)に限りなく近づける形で分割を変更していった場合、関数\(f\)の上リーマン和がある有限な実数\(L\in \mathbb{R} \)へ限りなく近づく場合には、すなわち、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall P:\left( \left\vert
P\right\vert <\delta \Rightarrow \left\vert U\left( f,P\right) -L\right\vert
<\varepsilon \right)
\end{equation*}が成り立つ場合には、\(f\)は\(\left[ a,b\right] \)上で上リーマン積分可能（upper Riemann integrable on \(\left[ a,b\right] \)）であると言い、そのことを、\begin{equation*}\lim_{\left\vert P\right\vert \rightarrow 0}U\left( f,P\right) =L
\end{equation*}で表記します。以上を踏まえたとき、有界閉区間\(\left[ a,b\right] \)上に定義された有界な関数\(f\)は常に\(\left[ a,b\right] \)上で上リーマン積分可能であるとともに、そこでの極限は、関数\(f\)の\(\left[a,b\right] \)上での上リーマン積分と一致することが保証されます。つまり、\begin{equation*}\lim_{\left\vert P\right\vert \rightarrow 0}U\left( f,P\right) =\overline{\int }_{a}^{b}f\left( x\right) dx
\end{equation*}が成り立つということです。これをダルブーの定理（Darboux’s theorem）と呼びます。

下リーマン積分についても同様の主張が成り立ちます。具体的には以下の通りです。

有界な閉区間上に定義された有界な関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、区間\(\left[ a,b\right] \)の分割\(P=\left\{x_{k}\right\} _{k=0}^{n}\)を選べば、この分割\(P\)のもとでの関数\(f\)の下リーマン和が、\begin{eqnarray*}L\left( f,P\right) &=&\sum_{k=1}^{n}\left[ \left\vert J_{k}\right\vert
\cdot \inf \left( J_{k}\right) \right] \\
&=&\left( x_{1}-x_{0}\right) \cdot \inf \left( J_{1}\right) +\left(
x_{2}-x_{1}\right) \cdot \inf \left( J_{2}\right) +\cdots +\left(
x_{n}-x_{n-1}\right) \cdot \inf \left( J_{n}\right)
\end{eqnarray*}として定まります。さて、分割\(P\)の大きさ\(\left\vert P\right\vert \)が小さくなるように分割を変更すれば区間\(\left[ a,b\right] \)に含まれる最長の小区間の長さは小さくなるため、\(\left[ a,b\right] \)に含まれるすべての小区間の長さも小さくなり、その結果、区間\(\left[ a,b\right] \)はより多くの細かい小区間へ分割されることになります（\(n\)が増加する）。さらに、分割\(P\)の大きさ\(\left\vert P\right\vert \)が\(0\)へ限りなく近づくように分割を変更していけば、区間\(\left[ a,b\right] \)を構成するすべての小区間の長さもまた\(0\)へ限りなく近づきます。さて、分割\(P\)の大きさを\(0\)に限りなく近づける形で分割を変更していった場合、関数\(f\)の下リーマン和がある有限な実数\(L\in \mathbb{R} \)へ限りなく近づく場合には、すなわち、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall P:\left( \left\vert
P\right\vert <\delta \Rightarrow \left\vert L\left( f,P\right) -L\right\vert
<\varepsilon \right)
\end{equation*}が成り立つ場合には、\(f\)は\(\left[ a,b\right] \)上で下リーマン積分可能（lower Riemann integrable on \(\left[ a,b\right] \)）であると言い、そのことを、\begin{equation*}\lim_{\left\vert P\right\vert \rightarrow 0}L\left( f,P\right) =L
\end{equation*}で表記します。以上を踏まえたとき、有界閉区間\(\left[ a,b\right] \)上に定義された有界な関数\(f\)は常に\(\left[ a,b\right] \)上で下リーマン積分可能であるとともに、そこでの極限は、関数\(f\)の\(\left[a,b\right] \)上での下リーマン積分と一致することが保証されます。つまり、\begin{equation*}\lim_{\left\vert P\right\vert \rightarrow 0}L\left( f,P\right) =\underline{\int }_{a}^{b}f\left( x\right) dx
\end{equation*}が成り立つということです。これが下リーマン積分に関するダルブーの定理です。証明は先の命題と同様です。

上積分と下積分の候補を特定する方法

有界な閉区間上に定義された有界な関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \)が上リーマン積分可能であることを示すためには、ある有限な実数\(L\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall P:\left( \left\vert
P\right\vert <\delta \Rightarrow \left\vert U\left( f,P\right) -L\right\vert
<\varepsilon \right)
\end{equation*}が成り立つことを示す必要があります。加えて、ダルブーの定理より、この極限\(L\)は上リーマン積分と一致します。では、上リーマン積分\(L\)の候補をどのように絞り込めばよいでしょうか。

本来、関数\(f\)が上リーマン積分可能であることを示すためには、大きさが\(\left\vert P\right\vert <\delta \)を満たす「任意の」分割\(P\)に対して上の命題が成り立つことを示す必要があります。ただ、関数\(f\)が「特定の」分割\(P\)のもとで上リーマン和がある有限な実数\(L\)へ収束することが判明した場合、その実数\(L\)をそのまま上リーマン積分とみなすことができます。なぜなら、関数\(f\)は常に上リーマン積分可能であり、なおかつ上リーマン積分は一意的に定まるからです。上積分の候補を特定する際には、区間\(\left[ a,b\right] \)を等分する分割が頻繁に利用されます。以下が具体例です。

下積分についても同様です。具体的には以下の通りです。

有界な閉区間上に定義された有界な関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \)が下リーマン積分可能であることを示すためには、ある有限な実数\(L\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall P:\left( \left\vert
P\right\vert <\delta \Rightarrow \left\vert L\left( f,P\right) -L\right\vert
<\varepsilon \right)
\end{equation*}が成り立つことを示す必要があります。加えて、ダルブーの定理より、この極限\(L\)は下リーマン積分と一致します。では、下リーマン積分\(L\)の候補をどのように絞り込めばよいでしょうか。

本来、関数\(f\)が下リーマン積分可能であることを示すためには、大きさが\(\left\vert P\right\vert <\delta \)を満たす「任意の」分割\(P\)に対して上の命題が成り立つことを示す必要があります。ただ、関数\(f\)が「特定の」分割\(P\)のもとで下リーマン和がある有限な実数\(L\)へ収束することが判明した場合、その実数\(L\)をそのまま下リーマン積分とみなすことができます。なぜなら、関数\(f\)は常に下リーマン積分可能であり、なおかつ下リーマン積分は一意的に定まるからです。下積分の候補を特定する際には、区間\(\left[ a,b\right] \)を等分する分割が頻繁に利用されます。以下が具体例です。

演習問題