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MATHEMATICS
LOGIC

命題論理

命題論理の基本単位は「真または偽のどちらか一方であるような主張」であり、これを命題変数と呼ばれる概念として定式化します。また、より複雑な主張を生成する操作を命題変数どうしを組み合わせる操作として定式化し、そのような操作のルールを定めます。その上で、与えられたルールからどのような推論規則が導かれるかを明らかにしようとします。

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述語論理

命題論理の基本単位が命題変数であったのに対し、述語論理では命題関数と呼ばれる概念が基本単位となります。それにより扱うことのできる言明の範囲が広がるとともに、量化と呼ばれる操作が可能になります。

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SET

集合

集合論は数学の土台です。あらゆる数学的概念は集合を用いて記述できます。ここでは集合を定義した上で、集合演算とその性質について学び、さらには集合族や直積集合、関係などについて学びます。

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写像

初等数学で学んだ「関数」とは、入力した実数に対して何らかの実数を返す概念として理解できます。関数を一般化した概念が写像です。写像とはある集合のそれぞれの要素に対して別の集合の要素を1つずつ定めるような規則のことです。本節では写像について学びます。

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関係

複数の物事が互いに関わり合っている状態を「関係」と呼びますが、これは数学的には2つの集合の直積の部分集合として定義されます。関係や二項関係、同値関係などについて解説します。

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集合の濃度

有限個の要素を持つ集合については、その要素の個数は有限な自然数として表現されます。一方、無限個の要素を持つ集合については、すべての要素を数え尽くすことができないため、要素の個数を自然数として表現できません。集合の濃度とは要素の個数を一般化した概念であり、これを用いることにより無限どうしを比較できるようになります。

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REAL NUMBER

実数の定義

実数を無限小数として定義する場合、実数に関する議論はすべて無限小数に関する議論として行うことになり面倒です。そこで代替的な方法として公理主義的なアプローチのもとで実数を定義します。ここでは実数を特徴づける公理について解説します。

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数列

数列に関するテキストと演習問題です。数列という概念を定義した上で、さらに収束列、単調数列、区間列、部分列などについて学び、これらの概念を使って実数の連続性を表現できることを確認します。

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直線の位相

実数空間すなわち数直線の位相に関するテキストと演習問題です。実数空間上の開集合や閉集合など、位相を規定する概念について解説します。

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関数

関数に関するテキストと演習問題です。実数の点集合上に定義され実数を値としてとる関数について、収束の概念や連続性の概念を中心に解説します。

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EUCLIDEAN SPACE

ユークリッド空間の定義

n 次元空間上にベクトル加法やスカラー乗法などの演算や大小関係を定義すると、実順序ベクトル空間になります。実順序ベクトル空間上にユークリッド距離と呼ばれる概念を定義したものがユークリッド空間です。

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ユークリッド空間上の点列

ユークリッド空間上の無限個の点を順番に並べたものを点列と呼びます。点列は実数列を一般化した概念です。ここでは点列が収束することの意味を定義した上で、収束点列の性質について解説します。

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位相

ユークリッド空間における位相を定義した上で、その性質を精査します。

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曲線

実数空間もしくはその部分集合を定義とし、ユークリッド空間を終集合とする写像を曲線やベクトル値関数などと呼びます。ここでは曲線の収束や連続性などについて解説します。

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スカラー場

ユークリッド空間もしくはその部分集合を定義とし、値として実数をとる写像をスカラー場や多変数関数などと呼びます。ここではスカラー場の収束や連続性などについて解説します。

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CALCULUS

関数の微分

1変数関数の微分について学びます。具体的には、微分の概念を定義した上で、微分の基本性質や初等関数の微分、平均値の定理、高階の微分、テイラーの定理などについて学びます。これらの知識は後に1変数関数を目的関数とする最適化について学ぶ上での基盤になります。

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スカラー場の微分

スカラー場(多変数関数)について、その微分(偏微分・方向微分・全微分)を定義した上で、微分に関して成り立つ様々な性質を解説します。

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CONVEX ANALYSIS

凸集合

凸集合と呼ばれる概念を定義した上で、凸集合どうしの集合演算に関して成立する性質や凸集合の位相的性質について解説します。

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凸関数・凹関数

CONVEX FUNCTION / CONCAVE FUNCTION OVERVIEW 本節で学ぶ内容 凸関数について学びます。 OUTLINE 1. 凸集合 2. 凸集合の演算 3. 凸集合の位相 必須知識 発展知識

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CORRESPONDENCE

対応

集合のそれぞれの要素に対して別の集合の部分集合を1つずつ定める規則を対応と呼びます。ここでは対応、対応による像、逆像(上逆像・下逆像)、逆対応、対応の連続性(上連続性・下連続性)、ベルジュの最大値定理、および不動点定理などについて解説します。

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MEASURE

ルベーグ測度

長さや面積、体積などはいずれも同一種類の小さい量を加え合わせることでより大きな量をつくることができるという意味において外延的な量です。一般に、外延量は測度と呼ばれる概念として一般化されます。ここでは実数空間(数直線)の部分集合を測定対象とするルベーグ測度について解説します。

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PROBABILITY

確率

公理主義的な確率論について解説します。具体的には、確率空間や確率関数などの概念を定義した上で、確率空間の公理をもとに、確率空間が満たす基本的な性質を証明します。

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ECONOMICS
MICROECONOMICS

消費者理論

世の中に存在する資源は有限であり、加えて消費者は所得をはじめとする様々な制約に直面しているため、好きなものを好きなだけ消費できるわけではありません。だからこそ消費者が何をどのように選ぶのかという問題について考える意味があります。消費者理論は、様々な制約に直面する消費者がどのような意思決定を行うかを明らかにしようとします。

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生産者理論

世の中に存在する資源は有限であり、加えて生産者は技術水準や資本をはじめとする様々な制約に直面しているため、好きなものを好きなだけ生産できるわけではありません。生産者理論は、様々な制約に直面する生産者がどのような意思決定を行うかを明らかにしようとします。

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GAME THEORY

ゲーム理論とは何か?

ゲーム理論について本格的に学ぶ前に、ゲーム理論の概要を解説します。ゲーム理論の分析対象である戦略的相互依存関係とは何か、ゲームにはどのような種類が存在するか、ゲーム理論はどのような歴史を辿って発展してきたか、その概要を解説します。

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完備情報の静学ゲーム

完備情報の静学ゲームとは非協力かつ静学かつ完備情報であるようなゲームのことです。つまり、そこではプレイヤーたちの間に拘束的な合意は成立せず(非協力)、それぞれのプレイヤーは意思決定を行う際に他のプレイヤーたちが行った意思決定を事前に観察できず(静学)、なおかつゲームのルールはプレイヤーたちにとって共有知識です(完備情報)。完備情報ゲームにおける均衡概念はナッシュ均衡です。

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不完備情報の静学ゲーム

不完備情報の静学ゲームとは非協力かつ静学かつ不完備情報であるようなゲームのことです。つまり、そこではプレイヤーたちの間に拘束的な合意は成立せず(非協力)、それぞれのプレイヤーは意思決定を行う際に他のプレイヤーたちが行った意思決定を事前に観察できず(静学)、なおかつ少なくとも1人のプレイヤーがゲームのルールに関して私的情報を持ちます(不完備情報)。不完備情報ゲームにおける均衡概念はベイジアンナッシュ均衡です。

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完備情報の動学ゲーム

完備情報の動学ゲームとは非協力かつ動学かつ完備情報であるようなゲームのことです。つまり、そこではプレイヤーたちの間に拘束的な合意は成立せず(非協力)、それぞれのプレイヤーは順番に意思決定を行い(動学)、なおかつゲームのルールはプレイヤーたちの共有知識です(完備情報)。

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AUCTION THEORY

単一財オークション

1つの商品をめぐって複数の買い手たちが入札を行うオークションにおいて、それぞれの入札者は商品に対する評価額、すなわち商品に対して支払ってもよい金額を持っていますが、これは私的情報です。以上の状況において望ましいオークションルールを考察します。

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MATCHING THEORY

非分割財の交換経済

商品を1つずつ所有している複数のプレイヤーが、何らかのルールにもとづいて商品を交換しようとしている状況を非分割財の交換経済(シャプレー・スカーフ経済、住宅市場モデル)と呼ばれるモデルと定式化した上で、そこでの望ましいメカニズム、すなわち商品交換ルールについて考察します。

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ロルの定理

有界な閉区間上に定義された連続関数が定義域の内部において微分可能であるとともに定義域の端点において等しい値をとる場合、その関数は定義域の内部に停留点を持つことが保証されます。これをロルの定理と呼びます。

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コーシー列

項が先に進むにつれて項の変化がどこまでも小さくなっていく数列をコーシー列と呼びます。コーシー列の概念を厳密に定義した上で、コーシー列と収束列の関係を議論します。また、数列がコーシー列であるための判定条件について解説します。

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オイラー

数学者がオイラーの等式の美しさを称える理由

オイラーの数、三角関数、虚数単位、円周率などの概念は互いに独立しているようで実は相互に関係しており、オイラーの等式はその関係をシンプルな 1 つの式で綺麗に表現しています。オイラーの等式の意味と、その導出方法を解説します。

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広義の純粋戦略ナッシュ均衡

戦略型ゲームにおいてプレイヤーたちの純粋戦略の組に注目したときに、その組を構成する戦略がお互いに最適反応になっているならば、その組を純粋戦略ナッシュ均衡と呼びます。純粋戦略ナッシュ均衡は存在するとは限らず、存在する場合にも一意的であるとは限りません。

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逆写像

写像 f:A→B が終集合のそれぞれの要素 b∈B に対して定める逆像 f⁻¹(b) が 1点集合である場合には、f⁻¹(b)とそこに含まれる 1 つの要素を同一視した上で、B のそれぞれの要素 b に対して X の要素 f⁻¹(b) を 1 つずつ定める写像 f⁻¹:B→A を作ることができます。この写像 f⁻¹ を f の逆写像と呼びます。

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微分可能な関数の値の増減

区間上に定義された微分可能な関数を対象とした場合、その導関数を観察することにより、もとの関数の値の挙動(定数関数・単調関数・狭義単調関数)に関する情報を得ることができます。

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述語論理における消去法

結論が論理式 B,C を用いて B∨C で表される推論が与えられたとき、推論の前提に加えて ¬B が真であるということを出発点として C が真であることを示すことができれば、もとの推論が妥当であることを示したことになります。これを消去法と呼びます。

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述語論理における対偶法

推論の結論が偽であることを出発点として、推論の前提の少なくとも 1 つが偽であることを導くことができれば、対偶律よりもとの推論の妥当性が示されます。このような証明方法を対偶法と呼びます。

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コーシーの平均値の定理

コーシーの平均値の定理とは、有界閉区間上に定義された2つの関数について、関数の値の区間を通じた変化量と瞬間的な変化量の関係を規定する命題です。コーシーの平均値の定理はラグランジュの平均値の定理の一般化です。

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ラグランジュの平均値の定理

有界な閉区間上に定義された連続関数が定義域の内部において微分可能である場合には、そのグラフの両端の点を結んだ線分と平行な接線をグラフ上に引くことができます。

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述語論理における背理法

推論の結論が論理式 Bとして表されるとき、その否定 ¬B が真であることを仮定した上で、これと推論の前提に対して推論規則を適用して最終的に恒偽式を導くことができれば推論式が妥当であることを示したことになります。このような証明方法を背理法と呼びます。

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写真の発明が印象派の画家たちに与えた影響

写真が本格的に発達した19世紀の中頃は、絵画を中心に印象派が勃興した時代でもあります。印象派の作風は写実主義の対極にあるように見えますが、実は、その成り立ちは写真の発明や普及と深い関係があることが指摘されています。写真が普及するまでの歴史的経緯を追いながら、印象派に及ぼした影響について解説します。

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ゼロは自然数なのか?

0は自然数なのでしょうか。0を自然数に含める流儀と含めない流儀がありますが、どちらが正しいか決め手はありません。重要なのは定義を共有しておくことです。ここでは後続集合を用いた定義や、帰納的集合を用いた定義などを紹介します。

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モノの値段はなぜ変化するのか

モノの値段は需要と供給がバランスする点に落ち着くのであるならば、商品の需要や供給が何らかの理由によって変化したとき、両者がバランスする点も変わるため、それに応じて商品の価格も変化することになります。では、商品の総需要や総供給はどのような理由から変化するのでしょうか。経済学に馴染みのない方向けに分かりやすく解説します。

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オークション理論とは何か?

オークションの入札者は商品への評価額などを私的情報として持っています。入札者たちが自身の利益を最大化するために真の評価額とは異なる金額を入札する結果、オークション市場ではインセンティブの問題が発生します。オークション理論はインセンティブの問題を解消するためのオークションメカニズムを設計する学問です。

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アメリカの西進を支えた「明白な使命」とは何か?

もともとメキシコ領であったカリフォルニアからテキサスへ至る領域は、テキサス併合やメキシコ・アメリカ戦争(米墨戦争)などを経てアメリカへ編入されます。こうした動きを正当化するスローガンとして叫ばれたのが「明白な使命(マニフェスト・デスティニー)」。その意味を、時代背景やアメリカという国の成り立ちとともに解説します。

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お知らせ

【挑戦問題】イプシロン・デルタ論法を用いた「関数の連続性」の定義の妥当性

プレミアム会員向けの挑戦問題です。関数が定義域上の点において連続であることの意味は様々な形で表現されますが、その中でも、関数の極限を用いた定義とイプシロン・デルタ論法を用いた定義が必要十分であるか否かを示してください。回答提出期限は【2021年2月7日】です。

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