数の概念が自然数から整数、そして有理数へと拡張されてきた背景には、もとの数の範囲では不可能であった演算を可能にするという動機があります。また、数直線上に点を隙間なく並べるためには数の概念を有理数から実数へ拡張する必要があります。
命題論理では個々の命題が具体的に何について言及しているかを問題とせず、それらを単に真か偽のどちらかの値をとる変数とみなした上で、考察対象である推論を記号化します。
実数は有理数と無理数をあわせたもののことです。有理数は循環する無限小数であり無理数は循環しない無限小数ですから、実数とは循環するものとしないものを含めたすべての無限小数のことです。
区間の長さと、その区間を分割して得られる小区間の長さの関係は、数直線の部分集合どうしの外延量の関係として捉えることができます。つまり、「区間の長さ」という外延量は数直線の部分集合族に導入されるということです。この集合族は集合半環としての性質を満たします。
実数を無限小数として定義する場合、実数に関する議論はすべて無限小数に関する議論として行うことになるため不便です。そこで登場するのが公理主義という手法です。
実ベクトル空間において基底を変換する方法やベクトルの座標を変換する方法を解説するとともに、それらの操作の関係について説明します。
1変数関数が有限な実数に加えて正負の無限大を値としてとり得ることを認める場合、そのような関数を拡大実数値関数と呼びます。
集合 A のそれぞれの要素に対して集合 B の要素を 1 つずつ定める規則のことを A から B への写像と呼びます。
拡大実数系は区間と位相同型であるため、同相写像を利用することにより、区間上の距離を用いて拡大実数系上の距離を定義できます。
起こり得るすべての結果は分かっていても、その中のどの結果が実際に起こるかはランダムネスによって支配されている実験や観察を試行と呼びます。試行によって起こり得る個々の結果を標本点と呼び、すべての標本点からなる集合を標本集合と呼びます。試行によって起こり得る現象は標本空間の部分集合として定式化され、それを事象と呼びます。
公理主義的実数論では実数空間上に加法と呼ばれる二項演算を定義した上で、それが可換群（アーベル群）としての性質を満たすことを公理として定めます。加法に関する性質はいずれもそれらの公理から導かれて初めて正しいものとして認められます。
ユークリッド空間の部分集合に属する2つの点を任意に選んだとき、それらの任意の凸結合がその集合の要素であるならば、その集合を凸集合と呼びます。
関数の値を最大化するような点が定義域上に存在する場合、そのような点を最大点や大域的最大点と呼びます。また、関数が最大点に対して定める値を最大値や大域的最大値と呼びます。
「大きさ」と「方向」という2種類の情報によって表現される量をベクトルと呼びます。ベクトルの概念を定式化します。
囚人のジレンマとして広く知られるゲームの最も基本的なモデルを紹介し、それを戦略型ゲームとして定式化した上で、その均衡を分析します。
数列とは無限個の実数を順番に並べたものですが、その無限個の実数を順番通りに加えることで得られる和を無限級数や級数、無限和などと呼びます。
有限な測度を持つルベーグ集合上に定義された単関数のルベーグ積分を定義します。
実数空間もしくはその部分集合上に定義され、値としてユークリッド空間上の点をとるようなベクトル値関数（曲線）が微分可能であることの意味を定義します。
与えられた条件を満たす対象をすべて集めたものを集合と呼びます。集合は命題関数から定義することもできます。集合の表記方法としては、外延的表記と内包的表記があります。
実数を長方形に配列したものを行列と呼びます。行列を構成する横並びの実数の組を行列の行と呼び、行列を構成する縦並びの実数の組を行列の列と呼びます。
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