数の概念が自然数から整数、そして有理数へと拡張されてきた背景には、もとの数の範囲では不可能であった演算を可能にするという動機があります。また、数直線上に点を隙間なく並べるためには数の概念を有理数から実数へ拡張する必要があります。
命題論理では個々の命題が具体的に何について言及しているかを問題とせず、それらを単に真か偽のどちらかの値をとる変数とみなした上で、考察対象である推論を記号化します。
実数は有理数と無理数をあわせたもののことです。有理数は循環する無限小数であり無理数は循環しない無限小数ですから、実数とは循環するものとしないものを含めたすべての無限小数のことです。
拡大実数系における四則演算（加法・減法・乗法・除法）を定義します。
区間の長さと、その区間を分割して得られる小区間の長さの関係は、数直線の部分集合どうしの外延量の関係として捉えることができます。つまり、「区間の長さ」という外延量は数直線の部分集合族に導入されるということです。この集合族は集合半環としての性質を満たします。
拡大実数系における順序（大小関係・狭義大小関係）を定義するとともに、それに付随して定義される諸概念（最大値・最小値・上界・下界・上限・下限・絶対値）について解説します。
実数を無限小数として定義する場合、実数に関する議論はすべて無限小数に関する議論として行うことになるため不便です。そこで登場するのが公理主義という手法です。
ユークリッド空間上の区間（直方体）という概念を定義するとともに、区間からなる集合族は集合半環であることを示します。
実ベクトル空間において基底を変換する方法やベクトルの座標を変換する方法を解説するとともに、それらの操作の関係について説明します。
ユークリッド空間もしくはその部分集合を定義域とし、値としてユークリッド空間上の点をとるような写像を多変数のベクトル値関数やベクトル場などと呼びます。
標本点に対して実数を1つずつ割り当てる写像を確率変数と呼びます。確率論の公理と整合的な形で確率変数の概念を定義します。
拡大実数系は区間と位相同型であるため、同相写像を利用することにより、区間上の距離を用いて拡大実数系上の距離を定義できます。
複素数列の無限個の複素数を順番通りに加えることにより得られる和を複素級数と呼びます。
ユークリッド空間上のルベーグ集合上に定義された多変数関数によるボレル集合の逆像がルベーグ可測であることが保証される場合、そのような関数はルベーグ可測であると言います。
多変数のベクトル値関数（ベクトル場）が与えられたとき、1つの変数以外のすべての変数の値を固定し、あたかも1変数のベクトル値関数であるかのようにみなした上で定義される微分概念を偏微分と呼びます。
連立1次方程式およびその解の概念を定義するとともに、連立1次方程式の具体例を提示します。
変数がとり得る値が実数であるような複素関数について、その積分を定義するとともに、基本的な性質について解説します。
異なる種類の商品が同時に売りに出され、入札者が商品の組合せに対して入札を行うオークションを分析するにあたり、問題をモデル化します。
有限な測度を持つルベーグ集合上に定義された単関数のルベーグ積分を定義します。
有限n個の実数空間の直積集合をn次元空間と呼びます。これは実数のn組（成分が実数であるようなn次元ベクトル）をすべて集めてできる集合です。
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