n次元空間
有限\(n\)個の実数空間\(\mathbb{R} \)の直積集合を、\begin{eqnarray*}\mathbb{R} ^{n} &=&\mathbb{R} \times \cdots \times \mathbb{R} \\&=&\{\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \ |\ \forall i\in \left\{ 1,\cdots
,n\right\} :x_{i}\in \mathbb{R} \}
\end{eqnarray*}で表記し、これを\(n\)次元空間（\(n\)-dimensional space）やユークリッド\(n\)空間（Euclidean \(n\) space）などと呼びます。
\(n\)次元空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の要素\(\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \)を、\begin{equation*}\boldsymbol{x}=\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right)
\end{equation*}と表記できるものと定めます。\(\mathbb{R} ^{n}\)の要素を\(\mathbb{R} ^{n}\)の点（point）やベクトル（vector）、もしくは行ベクトル（row vector）などと呼びます。
ベクトル\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\)を構成する個々の実数\(x_{1},\cdots ,x_{n}\)をベクトル\(\boldsymbol{x}\)の成分（component）や座標（coordinate）などと呼びます。
ベクトル\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\)の成分を縦に並べて、\begin{equation*}\boldsymbol{x}=\left(
\begin{array}{c}
x_{1} \\
\vdots \\
x_{n}\end{array}\right)
\end{equation*}と表記してもよいものと定めます。これを列ベクトル（column vector）と呼びます。行ベクトルと列ベクトルは厳密には区別されるべき概念ですが、以降では特に断りのない限り、両者は交換可能であるものとします。
-3 &\in &\mathbb{R} ^{1} \\
\frac{1}{3} &\in &\mathbb{R} ^{1}
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。\(\mathbb{R} ^{1}\)の点\(x\)は数直線上の点として表現することができます。
\left( 1,2\right) &\in &\mathbb{R} ^{2} \\
\left( -3,1\right) &\in &\mathbb{R} ^{2} \\
\left( \frac{1}{2},-7\right) &\in &\mathbb{R} ^{2}
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。\(\mathbb{R} ^{2}\)の点\(\left( x_{1},x_{2}\right) \)は平面上の点として表現することができます。
\left( 1,0,2\right) &\in &\mathbb{R} ^{3} \\
\left( 1,-3,4\right) &\in &\mathbb{R} ^{3} \\
\left( \frac{1}{3},-8,-\frac{2}{3}\right) &\in &\mathbb{R} ^{3}
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。\(\mathbb{R} ^{3}\)の点\(\left( x_{1},x_{2},x_{3}\right) \)は空間上の点として表現することができます。
\left( 1,0,2,1\right) &\in &\mathbb{R} ^{4} \\
\left( 1,-3,4,-1\right) &\in &\mathbb{R} ^{4} \\
\left( \frac{1}{3},-8,-\frac{2}{3},\pi \right) &\in &\mathbb{R} ^{4}
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。\(\mathbb{R} ^{4}\)の点\(\left( x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}\right) \)を視覚的に表現することはできません。
等しい点
2つのベクトル\(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\)が同一次元の空間に属するとともに対応する成分がすべて等しい場合には\(\boldsymbol{x}\)と\(\boldsymbol{y}\)は等しい（equal）といい、そのことを、\begin{equation*}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{y}
\end{equation*}で表記します。つまり、2つのベクトル\begin{eqnarray*}
\boldsymbol{x} &=&\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \in \mathbb{R} ^{n} \\
\boldsymbol{y} &=&\left( y_{1},\cdots ,y_{m}\right) \in \mathbb{R} ^{m}
\end{eqnarray*}を等しいこととは、以下の2つの条件\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ n=m \\
&&\left( b\right) \ \forall i\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} :x_{i}=y_{i}
\end{eqnarray*}がともに成り立つこととして定義されます。
2つのベクトル\(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\)が等しくない場合には、そのことを、\begin{equation*}\boldsymbol{x}\not=\boldsymbol{y}
\end{equation*}で表記します。つまり、2つのベクトル\begin{eqnarray*}
\boldsymbol{x} &=&\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \in \mathbb{R} ^{n} \\
\boldsymbol{y} &=&\left( y_{1},\cdots ,y_{m}\right) \in \mathbb{R} ^{m}
\end{eqnarray*}を等しくないこととは、\begin{equation*}
n\not=m
\end{equation*}が成り立つか、もしくは、以下の2つの条件\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ n=m \\
&&\left( b\right) \ \exists i\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} :x_{i}\not=y_{i}
\end{eqnarray*}がともに成り立つことを意味します。
\end{equation*}となります。
\end{equation*}が成り立ちます。
\end{equation*}です。同一次元の空間に属し同じ数を成分として持つ場合でも、成分の並び方が変われば異なるベクトルとみなされるということです。
x+y &=&2 \\
z &=&1
\end{eqnarray*}がすべて成り立ちます。これを解くと、\begin{equation*}
\left( x,y,z\right) =\left( 3,-1,1\right)
\end{equation*}を得ます。
演習問題
- \(\left( 0,0\right) \)と\(\left( 0,0,0\right) \)は等しいベクトルである。
- \(\left( 1,2\right) \)と\(\left( 2,1\right) \)は等しいベクトルである。
- \(\left( 1,2,3\right) \)と\(\left( \frac{2}{2},\frac{4}{2},\frac{6}{2}\right) \)は等しいベクトルである。
&&\left( 4,2,3\right)
\end{eqnarray*}が一致するための条件を求めてください。
- \(\left( x,y,z\right) \)が\(x\)軸上の点であるための条件を特定してください。
- \(\left( x,y,z\right) \)が\(y\)軸上の点であるための条件を特定してください。
- \(\left( x,y,z\right) \)が\(y\)軸上の点であるための条件を特定してください。
- \(\left( x,y,z\right) \)が\(xy\)平面上の点であるための条件を特定してください。
- \(\left( x,y,z\right) \)が\(xz\)平面上の点であるための条件を特定してください。
- \(\left( x,y,z\right) \)が\(yz\)平面上の点であるための条件を特定してください。
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