実数の公理を満たす実数空間 R が与えられたとき、n 個の R の直積集合を n 次元空間と呼びます。これは実数の n-組(成分が実数であるようなn次元ベクトル)をすべて集めてできる集合です。
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\(n\)次元空間

すべての実数からなる集合\( \mathbb{R} \)上には加法\(+\)および乗法\(\cdot \)と呼ばれる二項演算と大小関係\(\leq \)と呼ばれる二項関係が定義されており、これらは実数の公理を満たすものとします。実数の公理について簡単に復習します。

まず、\(( \mathbb{R} ,+,\cdot )\)は体としての性質を満たすものと定めます。

公理(実数の演算)
\( \mathbb{R} \)上に定義された加法\(+\)と乗法\(\cdot \)は以下を満たすものと定める。\begin{eqnarray*}
&&\left( R_{1}\right) \ \forall x,y,z\in \mathbb{R} :\left( x+y\right) +z=x+\left( y+z\right) \\
&&\left( R_{2}\right) \ \exists 0\in \mathbb{R} ,\ \forall x\in \mathbb{R} :x+0=x \\
&&\left( R_{3}\right) \ \forall x\in \mathbb{R} ,\ \exists -x\in \mathbb{R} :x+\left( -x\right) =0 \\
&&\left( R_{4}\right) \ \forall x,y\in \mathbb{R} :x+y=y+x \\
&&\left( R_{5}\right) \ \forall x,y,z\in \mathbb{R} :\left( x\cdot y\right) \cdot z=x\cdot \left( y\cdot z\right) \\
&&\left( R_{6}\right) \ \exists 1\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} ,\ \forall x\in \mathbb{R} :x\cdot 1=x \\
&&\left( R_{7}\right) \ \forall x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} ,\ \exists x^{-1}\in \mathbb{R} :x\cdot x^{-1}=1 \\
&&\left( R_{8}\right) \ \forall x,y\in \mathbb{R} :x\cdot y=y\cdot x \\
&&\left( R_{9}\right) \ \forall x,y,z\in \mathbb{R} :x\cdot (y+z)=x\cdot y+x\cdot z
\end{eqnarray*}

また、\(( \mathbb{R} ,\leq )\)は全順序集合としての性質を満たすものと定めます。

公理(実数の比較)
\( \mathbb{R} \)上に定義された大小関係\(\leq \)は以下を満たすものと定める。\begin{eqnarray*}
&&\left( R_{10}\right) \ \forall x\in \mathbb{R} :x\leq x \\
&&\left( R_{11}\right) \ \forall x,y\in \mathbb{R} :[(x\leq y\ \wedge \ y\leq x)\ \Rightarrow \ x=y] \\
&&\left( R_{12}\right) \ \forall x,y,z\in \mathbb{R} :[(x\leq y\ \wedge \ y\leq z)\ \Rightarrow \ x\leq z] \\
&&\left( R_{13}\right) \ \forall x,y\in \mathbb{R} :(x\leq y\ \vee \ y\leq x)
\end{eqnarray*}

さらに、\(\left( \mathbb{R} ,+,\cdot ,\leq \right) \)は完備な順序体としての性質を満たすものと定めます。

公理(演算と順序の関係)
\( \mathbb{R} \)上に定義された演算\(+,\cdot \)と大小関係\(\leq \)の間には以下の関係が成り立つものと定める。\begin{eqnarray*}
&&\left( R_{14}\right) \ \forall x,y,z\in \mathbb{R} :\left( x\leq y\ \Rightarrow \ x+z\leq y+z\right) \\
&&\left( R_{15}\right) \ \forall x,y\in \mathbb{R} :\left[ \left( 0\leq x\ \wedge \ 0\leq y\right) \ \Rightarrow \ 0\leq x\cdot
y\right] \\
&&\left( R_{16}\right) \ \forall A\subset \mathbb{R} :\left[ \left( A\not=\phi \ \wedge \ U\left( A\right) \not=\phi \right) \
\Rightarrow \ \exists \sup A\right] \end{eqnarray*}

以上の\(\left( R_{1}\right) \)から\(\left( R_{16}\right) \)が実数の公理です。

実数の公理について復習する

実数の公理を満たす\( \mathbb{R} \)が与えられたとき、自然数\(n\)を任意に選んだ上で、\(n\)個の\( \mathbb{R} \)の直積集合\begin{equation*}\mathbb{R} ^{n}=\{(x_{1},\cdots ,x_{n})\ |\ \ \forall i\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\}
:x_{i}\in \mathbb{R} \}
\end{equation*}をとります。これを\(n\)次元空間(\(n\)-dimensional space)と呼びます。\( \mathbb{R} ^{n}\)の要素は実数の\(n\)-組\begin{equation*}
x=\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right)
\end{equation*}であり、これを\( \mathbb{R} ^{n}\)の(point)やベクトル(vector)、もしくは\(n\)次元ベクトル(\(n\)-dimensional vector)などと呼びます。また、それぞれの実数\(x_{i}\ \left( i=1,\cdots ,n\right) \)を点\(x\)の成分(component)や座標(coordinate)などと呼びます。

例(n次元空間)
\(1\)次元空間は、\begin{equation*}\mathbb{R} ^{1}= \mathbb{R} \end{equation*}であり、その点\(x\in \mathbb{R} ^{1}\)は実数(数直線上の点)です。具体的には、\begin{eqnarray*}
1 &\in & \mathbb{R} ^{1} \\
-3 &\in & \mathbb{R} ^{1} \\
\frac{1}{3} &\in & \mathbb{R} ^{1}
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。
例(n次元空間)
\(2\)次元空間は、\begin{equation*}\mathbb{R} ^{2}=\{\left( x_{1},x_{2}\right) \ |\ x_{1}\in \mathbb{R} ,\ x_{2}\in \mathbb{R} \}
\end{equation*}であり、その点\(x=\left( x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)は実数を成分とする2次元ベクトル(平面座標)です。具体的には、\begin{eqnarray*}
\left( 1,2\right) &\in & \mathbb{R} ^{2} \\
\left( -3,1\right) &\in & \mathbb{R} ^{2} \\
\left( \frac{1}{2},-7\right) &\in & \mathbb{R} ^{2}
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。
例(n次元空間)
\(3\)次元空間は、\begin{equation*}\mathbb{R} ^{3}=\{\left( x_{1},x_{2},x_{3}\right) \ |\ x_{1}\in \mathbb{R} ,\ x_{2}\in \mathbb{R} ,\ x_{3}\in \mathbb{R} \}
\end{equation*}であり、その点\(x=\left( x_{1},x_{2},x_{3}\right) \in \mathbb{R} ^{3}\)は実数を成分とする3次元ベクトル(空間座標)です。具体的には、\begin{eqnarray*}
\left( 1,0,2\right) &\in & \mathbb{R} ^{3} \\
\left( 1,-3,4\right) &\in & \mathbb{R} ^{3} \\
\left( \frac{1}{3},-8,-\frac{2}{3}\right) &\in & \mathbb{R} ^{3}
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。

 

等しい点

点\(x,y\in \mathbb{R} ^{n}\)をそれぞれ任意に選んだとき、それらの対応する成分が等しい場合には、\(x\)と\(y\)は等しい(equal)と言い、そのことを\(x=y\)と表記します。つまり、\(x=\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \)かつ\(y=\left( y_{1},\cdots ,y_{n}\right) \)であるとき、\begin{equation*}
x=y\ \Leftrightarrow \ \forall i\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} :x_{i}=y_{i}
\end{equation*}を満たすものとして\(=\)を定義するということです。

例(等しい点)
\( \mathbb{R} ^{3}\)において、\begin{equation*}
\left( x-y,x+y,z-1\right) =\left( 4,2,3\right)
\end{equation*}が成り立つとき、\(x,y,z\)を求めます。\(=\)の定義より、このとき、\begin{eqnarray*}
x-y &=&4 \\
x+y &=&2 \\
z-1 &=&3
\end{eqnarray*}が成り立ちます。この連立方程式を解けば、\(x=3,\ y=-1,\ z=4\)が得られます。

次回はベクトル加法について解説します。

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