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\(n\)次元空間

有限\(n\)個の実数空間\(\mathbb{R} \)の直積集合を、\begin{equation*}\mathbb{R} ^{n}=\{(x_{1},\cdots ,x_{n})\ |\ \forall i\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\}:x_{i}\in \mathbb{R} \}
\end{equation*}と表記し、これを\(n\)次元空間(\(n\)-dimensional space)と呼びます。\(\mathbb{R} ^{n}\)のそれぞれの要素は実数の\(n\)組\begin{equation*}x=\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right)
\end{equation*}であり、これを\(\mathbb{R} ^{n}\)の(point)やベクトル(vector)、もしくは行ベクトル(rowvector)などと呼びます。点\(x\in \mathbb{R} ^{n}\)を構成するそれぞれの実数\(x_{i}\ \left( i=1,\cdots ,n\right) \)を\(x\)の成分(component)や座標(coordinate)などと呼びます。点\(x\)の成分を縦に並べて、\begin{equation*}x=\left(
\begin{array}{c}
x_{1} \\
\vdots \\
x_{n}\end{array}\right)
\end{equation*}と表記することもできます。これを列ベクトル(column vector)と呼びます。行ベクトルと列ベクトルは厳密には区別されるべき概念ですが、以降では特に断りのない限り両者は交換可能であるものとします。

例((n)次元空間)
\(1\)次元空間\(\mathbb{R} ^{1}\)の点は実数であるため、\begin{equation*}\mathbb{R} ^{1}=\mathbb{R} \end{equation*}という関係が成り立ちます。\(1\)次元空間は実数空間と一致するということです。したがって、\begin{eqnarray*}1 &\in &\mathbb{R} ^{1} \\
-3 &\in &\mathbb{R} ^{1} \\
\frac{1}{3} &\in &\mathbb{R} ^{1}
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。\(\mathbb{R} ^{1}\)の点\(x\)は数直線上の点として表現することができます。
例((n)次元空間)
\(2\)次元空間\(\mathbb{R} ^{2}\)の点は実数を成分とする\(2\)次元ベクトルであるため、\begin{equation*}\mathbb{R} ^{2}=\{\left( x_{1},x_{2}\right) \ |\ x_{1}\in \mathbb{R} \wedge x_{2}\in \mathbb{R} \}\end{equation*}となります。したがって、\begin{eqnarray*}
\left( 1,2\right) &\in &\mathbb{R} ^{2} \\
\left( -3,1\right) &\in &\mathbb{R} ^{2} \\
\left( \frac{1}{2},-7\right) &\in &\mathbb{R} ^{2}
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。\(\mathbb{R} ^{2}\)の点\(\left( x_{1},x_{2}\right) \)は平面上の点として表現することができます。
例((n)次元空間)
\(3\)次元空間\(\mathbb{R} ^{3}\)の点は実数を成分とする\(3\)次元ベクトルであるため、\begin{equation*}\mathbb{R} ^{3}=\{\left( x_{1},x_{2},x_{3}\right) \ |\ x_{1}\in \mathbb{R} \wedge x_{2}\in \mathbb{R} \wedge x_{3}\in \mathbb{R} \}\end{equation*}となります。したがって、\begin{eqnarray*}
\left( 1,0,2\right) &\in &\mathbb{R} ^{3} \\
\left( 1,-3,4\right) &\in &\mathbb{R} ^{3} \\
\left( \frac{1}{3},-8,-\frac{2}{3}\right) &\in &\mathbb{R} ^{3}
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。\(\mathbb{R} ^{3}\)の点\(\left( x_{1},x_{2},x_{3}\right) \)は空間上の点として表現することができます。

 

等しい点

2つの点\(x,y\)が同一次元の空間に属するとともに対応する成分がすべて等しい場合には\(x\)と\(y\)は等しい(equal)といい、そのことを、\begin{equation*}x=y
\end{equation*}と表記します。具体的には、同一次元の空間\(\mathbb{R} ^{n}\)に属する2つの点\begin{eqnarray*}x &=&\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \\
y &=&\left( y_{1},\cdots ,y_{n}\right)
\end{eqnarray*}を選んだとき、それらの間に、\begin{equation*}
\forall i\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} :x_{i}=y_{i}
\end{equation*}が成り立つ場合には、そのことを\(x=y\)で表すということです。

2つの点\(x,y\)が等しくない場合、そのことを\(x\not=y\)で表します。これは、\(x\)と\(y\)が異なる次元の空間に属する場合や、\(x\)と\(y\)が同一次元の空間に属するものの対応する成分の中に一致しないものが存在する場合に相当します。

例(等しい点)
点\(\left( 1,1\right) \)は\(\mathbb{R} ^{2}\)の要素である一方で、点\(\left( 1,1,1\right) \)は\(\mathbb{R} ^{3}\)の要素です。つまり、これらの点は属する空間が異なるため、異なる点とみなされます。つまり、\(\left(1,1\right) \not=\left( 1,1,1\right) \)です。
例(等しい点)
点\(\left( 1,2,3\right) \)と点\(\left( 2,1,3\right) \)はともに\(\mathbb{R} ^{3}\)の要素であるとともに、同じ実数\(1,2,3\)を成分として持っています。ただ、対応する成分が等しくないため、これらは異なる点とみなされます。つまり、\(\left( 1,2,3\right) \not=\left(2,1,3\right) \)です。同一次元の空間に属し同じ数を成分として持つ場合でも、成分の並び方が変われば異なる点とみなされるということです。
例(等しい点)
\(\left( x-y,x+y,z\right) =\left( 4,2,1\right) \)が成り立つものとします。このとき、点の相等の定義より、\begin{eqnarray*}x-y &=&4 \\
x+y &=&2 \\
z &=&1
\end{eqnarray*}がすべて成り立ちます。これを解くと\(\left(x,y,z\right) =\left( 3,-1,1\right) \)を得ます。

 

演習問題

問題(等しい点)
以下のそれぞれの主張は正しいですか?理由とともに答えてください。

  1. \(\left( 0,0\right) \)と\(\left( 0,0,0\right) \)は等しい点である。
  2. \(\left( 1,2\right) \)と\(\left( 2,1\right) \)は等しい点である。
  3. \(\left( 1,2,3\right) \)と\(\left( \frac{2}{2},\frac{4}{2},\frac{6}{2}\right) \)は等しい点である。
証明

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問題(等しい点)
\(\mathbb{R} ^{3}\)の要素である以下の2つの点\begin{eqnarray*}&&\left( x-y,x+y,z-1\right) \\
&&\left( 4,2,3\right)
\end{eqnarray*}が等しい点であるための条件を求めてください。

証明

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次回はベクトル加法と呼ばれる演算について解説します。

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