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ベクトル加法

\(n\)次元空間の点\(x,y\in \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選びます。ただし、\(x=\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \)かつ\(y=\left( y_{1},\cdots ,y_{n}\right) \)です。このとき、\(x\)と\(y\)のベクトル和(vector sum)もしくは(sum)を、\begin{equation*}
x+y=\left( x_{1}+y_{1},\cdots ,x_{n}+y_{n}\right)
\end{equation*}と定義します。ただし、左辺の\(+\)はベクトル和を表す記号であり、右辺の\(+\)は\(\mathbb{R}\)上の加法を表す記号です。両者は同じ記号を用いて表記されるため注意が必要です。

\(\mathbb{R}\)は加法\(+\)について閉じているため、ベクトル和\(x+y\)の任意の成分\(x_{i}+y_{i}\)は実数であることから、\(x+y\)が\(\mathbb{R}^{n}\)の点であることが保証されます。したがって、\(\mathbb{R}^{n}\)の点からなるそれぞれの順序対\(\left( x,y\right) \)に対して、\(\mathbb{R}^{n}\)の点であるベクトル和\(x+y\)を定める二項演算\(+:\mathbb{R}^{n}\times \mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{n}\)が定義可能です。これをベクトル加法(vector addition)と呼びます。\(\mathbb{R}^{n}\)はベクトル加法\(+\)について閉じています。\(\left( x,y\right) \)に対して\(+\)を適用することを、\(x\)と\(y \)を足す(add)と言います。

例(ベクトル加法)
\(1\)次元空間の点\(x,y\in \mathbb{R} \)を任意に選ぶと、\begin{equation*}
x+y=x+y
\end{equation*}が成り立ちます。ただし、左辺の\(+\)はベクトル加法を表す記号であり、右辺の\(+\)は実数どうしの加法を表す記号です。つまり、\(1\)次元空間において、ベクトル加法と加法は等しくなります。具体例を挙げると、\begin{eqnarray*}
1+4 &=&5 \\
\left( -1\right) +8 &=&7 \\
\frac{4}{5}+\frac{1}{10} &=&\frac{9}{10}
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。
例(ベクトル加法)
\(2\)次元空間の点\(x,y\in \mathbb{R} ^{2}\)を任意に選びます。ただし、\(x=\left( x_{1},x_{2}\right) \)かつ\(y=\left( y_{1},y_{2}\right) \)です。このとき、\begin{equation*}
x+y=\left( x_{1}+y_{1},x_{2}+y_{2}\right)
\end{equation*}となります。具体例を挙げると、\begin{eqnarray*}
\left( 1,2\right) +\left( 3,1\right) &=&\left( 1+3,2+1\right) =\left(
4,3\right) \\
\left( -1,7\right) +\left( 3,2\right) &=&\left( \left( -1\right)
+3,7+2\right) =\left( 2,9\right) \\
\left( \frac{2}{3},-1\right) +\left( -\frac{1}{2},-2\right) &=&\left( \frac{2}{3}+\left( -\frac{1}{2}\right) ,\left( -1\right) +\left( -2\right) \right)
=\left( \frac{1}{6},-3\right)
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。
例(ベクトル加法)
\(3\)次元空間の点\(x,y\in \mathbb{R} ^{3}\)を任意に選びます。ただし、\(x=\left( x_{1},x_{2},x_{3}\right) \)かつ\(y=\left( y_{1},y_{2},y_{3}\right) \)です。このとき、\begin{equation*}
x+y=\left( x_{1}+y_{1},x_{2}+y_{2},x_{3}+y_{3}\right)
\end{equation*}となります。具体例を挙げると、\begin{eqnarray*}
\left( 1,2,3\right) +\left( 3,4,5\right) &=&\left( 1+3,2+4,3+5\right)
=\left( 4,6,8\right) \\
\left( -1,4,2\right) +\left( 0,1,-7\right) &=&\left( -1+0,4+1,2+\left(
-7\right) \right) =\left( -1,5,-5\right) \\
\left( \frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4}\right) +\left( 0,-2,-\frac{1}{2}\right) &=&\left( \frac{1}{2}+0,\frac{1}{3}+\left( -2\right) ,\frac{1}{4}+\left( -\frac{1}{2}\right) \right) =\left( \frac{1}{2},-\frac{5}{3},-\frac{1}{4}\right)
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。

 

ベクトル加法の基本性質

\(n\)次元空間の点\(x,y,z\in \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選びます。ただし、\(x=\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \)かつ\(y=\left( y_{1},\cdots ,y_{n}\right) \)かつ\(z=\left( z_{1},\cdots ,z_{n}\right) \)です。このとき、\begin{eqnarray*}
\left( x+y\right) +z &=&\left[ \left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) +\left(
y_{1},\cdots ,y_{n}\right) \right] +\left( z_{1},\cdots ,z_{n}\right) \quad
\because x,y,z\text{の定義} \\
&=&\left( x_{1}+y_{1},\cdots ,x_{n}+y_{n}\right) +\left( z_{1},\cdots
,z_{n}\right) \quad \because \text{ベクトル加法}+\text{の定義} \\
&=&\left( \left( x_{1}+y_{1}\right) +z_{1},\cdots ,\left( x_{n}+y_{n}\right)
+z_{n}\right) \quad \because \text{ベクトル加法}+\text{の定義} \\
&=&\left( x_{1}+\left( y_{1}+z_{1}\right) ,\cdots ,x_{n}+\left(
y_{n}+z_{n}\right) \right) \quad \because \text{加法}+\text{の結合律} \\
&=&\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) +\left( y_{1}+z_{1},\cdots
,y_{n}+z_{n}\right) \quad \because \text{ベクトル加法}+\text{の定義} \\
&=&x+\left( y+z\right) \quad \because \text{ベクトル加法}+\text{の定義}
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
\left( x+y\right) +z=x+\left( y+z\right)
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、\(\mathbb{R}\)上の加法\(+\)と同様に、\(\mathbb{R}^{n}\)上のベクトル加法\(+\)もまた結合律(associative law)を満たします。

命題(ベクトル加法の結合律)
\(n\)次元空間\(\mathbb{R}^{n}\)上に定義されたベクトル加法\(+\)は、\begin{equation*}
\left( V_{1}\right) \ \forall x,y,z\in \mathbb{R} ^{n}:(x+y)+z=x+(y+z)
\end{equation*}を満たす。
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実数空間\(\mathbb{R}\)の加法単位元\(0\)すなわちゼロが与えられたとき、それに対して、\begin{equation*}
0=\left( 0,\cdots ,0\right)
\end{equation*}と定義される\(\mathbb{R}^{n}\)の点をゼロベクトル(zero vector)と呼びます。ただし、左辺の\(0\)はゼロベクトルを表す記号であり、右辺の\(0\)はゼロです。\(n\)次元空間の点\(x\in \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選びます。ただし、\(x=\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \)です。このとき、\begin{eqnarray*}
x+0 &=&\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) +\left( 0,\cdots ,0\right) \quad
\because x,0\text{の定義} \\
&=&\left( x_{1}+0,\cdots ,x_{n}+0\right) \quad \because \text{ベクトル加法}+\text{の定義} \\
&=&\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \quad \because \text{加法単位元}0\text{の性質} \\
&=&x
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
x+0=x
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、ゼロベクトル\(0\)は\(\mathbb{R}^{n}\)における加法単位元です。

命題(ベクトル加法単位元)
\(n\)次元空間\(\mathbb{R}^{n}\)上に定義されたベクトル加法\(+\)は、\begin{equation*}
\left( V_{2}\right) \ \exists 0\in \mathbb{R} ^{n},\ \forall x\in \mathbb{R} ^{n}:x+0=x
\end{equation*}を満たす。
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\(n\)次元空間の点\(x\in \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選びます。ただし、\(x=\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \)です。このとき、それに対して、\begin{equation*}
-x=\left( -x_{1},\cdots ,-x_{n}\right)
\end{equation*}と定義される\(\mathbb{R}^{n}\)の点を\(x\)の逆ベクトル(inverse vector)や負ベクトル(negative vector)などと呼びます。ただし、右辺のそれぞれの成分\(-x_{i}\)は実数\(x_{i}\)の加法逆元です。このとき、\begin{eqnarray*}
x+\left( -x\right) &=&\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) +\left(
-x_{1},\cdots ,-x_{n}\right) \quad \because x,-x\text{の定義} \\
&=&\left( x_{1}+\left( -x_{1}\right) ,\cdots ,x_{n}+\left( -x_{n}\right)
\right) \quad \because \text{ベクトル加法}+\text{の定義} \\
&=&\left( 0,\cdots ,0\right) \quad \because \text{加法逆元の性質} \\
&=&0\quad \because \text{ゼロベクトルの定義}
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
x+\left( -x\right) =0
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、\(x\)の逆ベクトル\(-x\)は\(\mathbb{R}^{n}\)における\(x\)の加法逆元です。

命題(ベクトル加法逆元)
\(n\)次元空間\(\mathbb{R}^{n}\)上に定義されたベクトル加法\(+\)は、\begin{equation*}
\left( V_{3}\right) \ \forall x\in \mathbb{R} ^{n},\ \exists -x\in \mathbb{R} ^{n}:x+(-x)=0
\end{equation*}を満たす。
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\(n\)次元空間の点\(x,y\in \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選びます。ただし、\(x=\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \)かつ\(y=\left( y_{1},\cdots ,y_{n}\right) \)です。このとき、\begin{eqnarray*}
x+y &=&\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) +\left( y_{1},\cdots ,y_{n}\right)
\quad \because x,y\text{の定義} \\
&=&\left( x_{1}+y_{1},\cdots ,x_{n}+y_{n}\right) \quad \because \text{ベクトル加法}+\text{の定義} \\
&=&\left( y_{1}+x_{1},\cdots ,y_{n}+x_{n}\right) \quad \because \text{加法}+\text{の交換律} \\
&=&y+x\quad \because \text{ベクトル加法}+\text{の定義}
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
x+y=y+x
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、\(\mathbb{R}\)上の加法\(+\)と同様、\(\mathbb{R}^{n}\)上のベクトル加法\(+\)もまた交換律(commutative law)を満たします。

命題(ベクトル加法の交換律)
\(n\)次元空間\(\mathbb{R}^{n}\)上に定義されたベクトル加法\(+\)は、\begin{equation*}
\left( V_{4}\right) \ \forall x,y,\in \mathbb{R} ^{n}:x+y=y+x
\end{equation*}を満たす。
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ベクトル加法\(+\)が\(\left( V_{1}\right) \)を満たすことは、\(\mathbb{R}^{n}\)が\(+\)に関して半群(semigroup)であることを意味します。また、結合律に加えて\(\left( V_{1}\right)\)に加えて\(\left( V_{2}\right) \)を満たすことは、\(\mathbb{R}^{n}\)が\(+\)に関してモノイド(monoid)であることを意味します。また、\(\left( V_{1}\right) \)と\(\left( V_{2}\right) \)に加えて\(\left( V_{3}\right) \)を満たすことは、\(\mathbb{R}^{n}\)が\(+\)に関して(group)であることを意味します。最後に、\(\left( V_{1}\right) ,\left( V_{2}\right) ,\left( V_{3}\right) \)に加えて\(\left( V_{4}\right) \)を満たすことは、\(\mathbb{R}^{n}\)が\(+\)に関して可換群(commutative group)またはアーベル群(abelian group)であることを意味します。

命題(ベクトル加法の基本性質)
\(n\)次元空間\(\mathbb{R}^{n}\)はベクトル加法\(+\)に関して可換群である。

 

逆ベクトルの逆ベクトル

\(n\)次元空間の点\(x\in \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選んだとき、その逆ベクトル\(-x\)が存在します。\(-x\)もまた\(\mathbb{R}^{n}\)の点であるため、さらにその逆ベクトル\(-\left( -x\right) \)が存在し、これもまた\(\mathbb{R}^{n}\)の点です。逆ベクトルの定義より\(x+\left( -x\right) =0\)という関係が成り立ちますが、これとベクトル加法に関する交換律より\(\left( -x\right) +x=0\)を得ます。つまり、\(-x\)と\(x\)のベクトル和はゼロベクトルと一致しますが、これは\(-x\)の逆ベクトル\(-\left( -x\right) \)が\(x\)であることを意味します。

命題(逆ベクトルの逆ベクトル)
\(n\)次元空間の点\(x\in \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}
-\left( -x\right) =x
\end{equation*}が成り立つ。
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ベクトル加法に関する簡約法則

\(n\)次元空間\(\mathbb{R}^{n}\)はベクトル加法\(+\)について閉じているため、\(\mathbb{R}^{n}\)の点\(x\)に対して\(\mathbb{R}^{n}\)の点\(y,z\)をそれぞれ足して得られる\(x+y\)と\(x+z\)はともに\(\mathbb{R}^{n}\)の点です。仮にこの 2 つのベクトルが等しければ、\(x\)にそれぞれ足した\(y\)と\(z\)が等しくなります。これをベクトル加法に関する簡約法則(cancellation law)と呼びます。実際、\(x+y=x+z\)を満たす点\(x,y,z\in \mathbb{R} ^{n}\)をそれぞれ任意に選んだとき、\begin{align*}
y& =y+0\quad \because \text{ゼロベクトルの定義} \\
& =y+\left[ x+\left( -x\right) \right] \quad \because \text{逆ベクトルの定義} \\
& =\left( y+x\right) +\left( -x\right) \quad \because \text{ベクトル加法の結合律} \\
& =\left( x+y\right) +\left( -x\right) \quad \because \text{ベクトル加法の交換律} \\
& =\left( x+z\right) +\left( -x\right) \quad \because x+y=x+z \\
& =\left( z+x\right) +\left( -x\right) \quad \because \text{ベクトルの交換律} \\
& =z+\left[ x+\left( -x\right) \right] \quad \because \text{ベクトルの結合律} \\
& =z+0\quad \because \text{逆ベクトルの定義} \\
& =z\quad \because \text{ゼロベクトルの定義}
\end{align*}すなわち\(y=z\)が成り立ちます。

命題(ベクトル加法の簡約法則)
\(n\)次元空間の点\(x,y,z\in \mathbb{R} ^{n}\)をそれぞれ任意に選んだとき、\begin{equation*}
x+y=x+z\Rightarrow y=z
\end{equation*}が成り立つ。
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ゼロベクトルの逆ベクトル

ベクトル加法に関する簡約法則より、\(n\)次元空間の点\(x,y,z\in \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}
x+y=x+z\Rightarrow y=z
\end{equation*}が成り立ちます。ゼロベクトル\(0\)は\(\mathbb{R}^{n}\)の点であるため、上の命題は\(x=z=0\)の場合にも成立します。つまり、\begin{equation*}
0+y=0+0\Rightarrow y=0
\end{equation*}を得ます。ゼロベクトルの定義より\(0+0=0\)が成り立つため、\begin{equation*}
0+y=0\Rightarrow y=0
\end{equation*}を得ます。つまり、\(y\)が\(0\)の逆ベクトルであるならば、\(y\)は\(0\)でなければなりません。

命題(ゼロベクトルの逆ベクトル)
\(n\)次元空間\(\mathbb{R}^{n}\)におけるゼロベクトル\(0\)について、\begin{equation*}
-0=0
\end{equation*}が成り立つ。
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ゼロベクトルの一意性

ベクトル加法に関する簡約法則より、\(n\)次元空間の点\(x,y,z\in \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}
x+y=x+z\Rightarrow y=z
\end{equation*}が成り立ちます。ゼロベクトル\(0\)は\(\mathbb{R}^{n}\)の点であるため、上の命題は\(z=0\)の場合にも成立します。つまり、\begin{equation*}
x+y=x+0\Rightarrow y=0
\end{equation*}を得ます。ゼロベクトルの定義より\(x+0=x\)であるため、\begin{equation*}
x+y=x\Rightarrow y=0
\end{equation*}と言い換え可能です。つまり、\(y\)がゼロベクトルであるとき、それは\(0\)でなければなりません。

命題(ゼロベクトルの一意性)
\(n\)次元空間\(\mathbb{R}^{n}\)におけるゼロベクトル\(0\)は一意的である。
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逆ベクトルの一意性

上の命題と同様に、ベクトル加法の簡約法則を用いると、\(n\)次元空間\(\mathbb{R}^{n}\)のそれぞれの点\(x\)に対して、その逆ベクトル\(-x\)が一意的であることを示すことができます(演習問題にします)。

命題(逆ベクトルの一意性)
\(n\)次元空間の点\(x\in \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選んだとき、その逆ベクトル\(-x\)は一意的である。
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上の命題は、\(\mathbb{R}^{n}\)の任意の点\(x\)に対してその逆ベクトル\(-x\)が常に等しくなることを主張しているのではありません。異なる点\(x,y\)をとれば、それらの逆ベクトル\(-x,-y\)は一致するとは限りませんが、\(-x\)や\(-y\)はそれぞれ1つずつであることを上の命題は主張しています。

次回はベクトル減法について解説します。

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