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ベクトル加法

\(n\)次元空間の点\(x,y\in \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選びます。ただし、\(x=\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \)かつ\(y=\left( y_{1},\cdots ,y_{n}\right) \)です。このとき、\(x\)と\(y\)のベクトル和(vector sum)もしくは(sum)を、\begin{equation*}x+y=\left( x_{1}+y_{1},\cdots ,x_{n}+y_{n}\right)
\end{equation*}と定義します。ただし、左辺の\(+\)はベクトル和を表す記号であり、右辺の\(+\)は\(\mathbb{R} \)上の加法を表す記号です。両者は同じ記号を用いて表記されるため注意が必要です。

\(\mathbb{R} \)は加法\(+\)について閉じているため、ベクトル和\(x+y\)の任意の成分\(x_{i}+y_{i}\)は実数であることから、\(x+y\)が\(\mathbb{R} ^{n}\)の点であることが保証されます。したがって、\(\mathbb{R} ^{n}\)の点からなるそれぞれの順序対\(\left( x,y\right) \)に対して、\(\mathbb{R} ^{n}\)の点であるベクトル和\(x+y\)を定める二項演算\(+\)が定義可能です。これをベクトル加法(vector addition)と呼びます。\(\mathbb{R} ^{n}\)はベクトル加法\(+\)について閉じています。\(\left( x,y\right) \)に対して\(+\)を適用することを、\(x\)と\(y \)を足す(add)と言います。

例(ベクトル加法)
\(1\)次元空間の点\(x,y\in \mathbb{R} \)を任意に選ぶと、\begin{equation*}x+y=x+y
\end{equation*}が成り立ちます。ただし、左辺の\(+\)はベクトル加法を表す記号であり、右辺の\(+\)は実数どうしの加法を表す記号です。つまり、\(1\)次元空間において、ベクトル加法と加法は等しくなります。具体例を挙げると、\begin{eqnarray*}1+4 &=&5 \\
\left( -1\right) +8 &=&7 \\
\frac{4}{5}+\frac{1}{10} &=&\frac{9}{10}
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。
例(ベクトル加法)
\(2\)次元空間の点\(x,y\in \mathbb{R} ^{2}\)を任意に選びます。ただし、\(x=\left( x_{1},x_{2}\right) \)かつ\(y=\left( y_{1},y_{2}\right) \)です。このとき、\begin{equation*}x+y=\left( x_{1}+y_{1},x_{2}+y_{2}\right)
\end{equation*}となります。具体例を挙げると、\begin{eqnarray*}
\left( 1,2\right) +\left( 3,1\right) &=&\left( 1+3,2+1\right) =\left(
4,3\right) \\
\left( -1,7\right) +\left( 3,2\right) &=&\left( \left( -1\right)
+3,7+2\right) =\left( 2,9\right) \\
\left( \frac{2}{3},-1\right) +\left( -\frac{1}{2},-2\right) &=&\left( \frac{2}{3}+\left( -\frac{1}{2}\right) ,\left( -1\right) +\left( -2\right) \right)
=\left( \frac{1}{6},-3\right)
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。
例(ベクトル加法)
\(3\)次元空間の点\(x,y\in \mathbb{R} ^{3}\)を任意に選びます。ただし、\(x=\left( x_{1},x_{2},x_{3}\right) \)かつ\(y=\left( y_{1},y_{2},y_{3}\right) \)です。このとき、\begin{equation*}x+y=\left( x_{1}+y_{1},x_{2}+y_{2},x_{3}+y_{3}\right)
\end{equation*}となります。具体例を挙げると、\begin{eqnarray*}
\left( 1,2,3\right) +\left( 3,4,5\right) &=&\left( 1+3,2+4,3+5\right)
=\left( 4,6,8\right) \\
\left( -1,4,2\right) +\left( 0,1,-7\right) &=&\left( -1+0,4+1,2+\left(
-7\right) \right) =\left( -1,5,-5\right) \\
\left( \frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4}\right) +\left( 0,-2,-\frac{1}{2}\right) &=&\left( \frac{1}{2}+0,\frac{1}{3}+\left( -2\right) ,\frac{1}{4}+\left( -\frac{1}{2}\right) \right) =\left( \frac{1}{2},-\frac{5}{3},-\frac{1}{4}\right)
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。

ベクトル加法は同一の空間に属する2つの点に対してのみ定義されます。

例(ベクトル加法)
\(2\)次元空間の点\(x\in \mathbb{R} ^{2}\)と\(3\)次元空間の点\(y\in \mathbb{R} ^{3}\)をそれぞれ任意に選びます。ただし、\(x=\left(x_{1},x_{2}\right) \)かつ\(y=\left( y_{1},y_{2},y_{3}\right) \)です。\(x\)と\(y\)は異なる空間に属する点であるため、それらのベクトル和\(x+y\)は定義されません。

 

ベクトル加法の結合律

点\(x,y,z\in \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選びます。ただし、\(x=\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \)かつ\(y=\left( y_{1},\cdots ,y_{n}\right) \)かつ\(z=\left( z_{1},\cdots ,z_{n}\right) \)です。このとき、\begin{eqnarray*}\left( x+y\right) +z &=&\left[ \left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) +\left(
y_{1},\cdots ,y_{n}\right) \right] +\left( z_{1},\cdots ,z_{n}\right) \quad
\because x,y,z\text{の定義} \\
&=&\left( x_{1}+y_{1},\cdots ,x_{n}+y_{n}\right) +\left( z_{1},\cdots
,z_{n}\right) \quad \because \text{ベクトル加法の定義} \\
&=&\left( \left( x_{1}+y_{1}\right) +z_{1},\cdots ,\left( x_{n}+y_{n}\right)
+z_{n}\right) \quad \because \text{ベクトル加法の定義} \\
&=&\left( x_{1}+\left( y_{1}+z_{1}\right) ,\cdots ,x_{n}+\left(
y_{n}+z_{n}\right) \right) \quad \because \text{加法の結合律} \\
&=&\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) +\left( y_{1}+z_{1},\cdots
,y_{n}+z_{n}\right) \quad \because \text{ベクトル加法の定義} \\
&=&x+\left( y+z\right) \quad \because x,y,z\text{の定義}
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
\left( x+y\right) +z=x+\left( y+z\right)
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、ベクトル加法に関しても結合律(associative law)が成り立つということです。

命題(ベクトル加法の結合律)
\(\mathbb{R} ^{n}\)上に定義されたベクトル加法\(+\)は、\begin{equation*}\left( V_{1}\right) \ \forall x,y,z\in \mathbb{R} ^{n}:(x+y)+z=x+(y+z)
\end{equation*}を満たす。

 

ゼロベクトル(ベクトル加法単位元)

実数空間\(\mathbb{R} \)の加法単位元\(0\)すなわちゼロが与えられたとき、それに対して、\begin{equation*}0=\left( 0,\cdots ,0\right)
\end{equation*}と定義される\(\mathbb{R} ^{n}\)の点をゼロベクトル(zero vector)と呼びます。ただし、左辺の\(0\)はゼロベクトルを表す記号であり、右辺の\(0\)はゼロです。

点\(x\in \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選びます。ただし、\(x=\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \)です。このとき、\begin{eqnarray*}x+0 &=&\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) +\left( 0,\cdots ,0\right) \quad
\because x,0\text{の定義} \\
&=&\left( x_{1}+0,\cdots ,x_{n}+0\right) \quad \because \text{ベクトル加法の定義} \\
&=&\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \quad \because \text{加法の性質} \\
&=&x\quad \because x\text{の定義}
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
x+0=x
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、ゼロベクトルは\(\mathbb{R} ^{n}\)における加法単位元であるということです。

命題(ベクトル加法単位元)
\(\mathbb{R} ^{n}\)上に定義されたベクトル加法\(+\)は、\begin{equation*}\left( V_{2}\right) \ \exists 0\in \mathbb{R} ^{n},\ \forall x\in \mathbb{R} ^{n}:x+0=x
\end{equation*}を満たす。

\(\mathbb{R} \)の加法単位元\(0\)は一意的であるため、\(0\)を成分として持つベクトルとして定義されるゼロベクトルもまた一意的です。

命題(ゼロベクトルの一意性)
\(\mathbb{R} ^{n}\)におけるゼロベクトル\(0\)は一意的である。

 

逆ベクトル(ベクトル加法逆元)

点\(x\in \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選びます。ただし、\(x=\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \)です。このとき、\begin{equation*}-x=\left( -x_{1},\cdots ,-x_{n}\right)
\end{equation*}と定義される\(\mathbb{R} ^{n}\)の点を\(x\)の逆ベクトル(inverse vector)や負ベクトル(negative vector)などと呼びます。ただし、右辺のそれぞれの成分\(-x_{i}\)は実数\(x_{i}\)の加法逆元です。

点\(x\in \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選びます。ただし、\(x=\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \)です。このとき、\begin{eqnarray*}x+\left( -x\right) &=&\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) +\left(
-x_{1},\cdots ,-x_{n}\right) \quad \because x,-x\text{の定義} \\
&=&\left( x_{1}+\left( -x_{1}\right) ,\cdots ,x_{n}+\left( -x_{n}\right)
\right) \quad \because \text{ベクトル加法の定義} \\
&=&\left( 0,\cdots ,0\right) \quad \because \text{加法の性質} \\
&=&0\quad \because \text{ゼロベクトルの定義}
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
x+\left( -x\right) =0
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、ベクトル\(x\)の逆ベクトル\(-x\)は\(\mathbb{R} ^{n}\)における\(x\)の加法逆元であるということです。

命題(逆ベクトル)
\(\mathbb{R} ^{n}\)上に定義されたベクトル加法\(+\)は、\begin{equation*}\left( V_{3}\right) \ \forall x\in \mathbb{R} ^{n},\ \exists -x\in \mathbb{R} ^{n}:x+(-x)=0
\end{equation*}を満たす。

それぞれの実数\(x_{i}\)に対してその加法逆元\(-x_{i}\)は一意的に定まるため、それぞれのベクトル\(x\)に対してその逆ベクトル\(-x\)は一意的に定まります。

命題(逆ベクトルの一意性)
点\(x\in \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選んだとき、その逆ベクトル\(-x\in \mathbb{R} ^{n}\)は一意的である。

 

ベクトル加法の交換律

点\(x,y\in \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選びます。ただし、\(x=\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \)かつ\(y=\left( y_{1},\cdots ,y_{n}\right) \)です。このとき、\begin{eqnarray*}x+y &=&\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) +\left( y_{1},\cdots ,y_{n}\right)
\quad \because x,y\text{の定義} \\
&=&\left( x_{1}+y_{1},\cdots ,x_{n}+y_{n}\right) \quad \because \text{ベクトル加法の定義} \\
&=&\left( y_{1}+x_{1},\cdots ,y_{n}+x_{n}\right) \quad \because \text{加法の性質} \\
&=&y+x\quad \because \text{ベクトル加法の定義}
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
x+y=y+x
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、\(\mathbb{R} \)上の加法\(+\)と同様、\(\mathbb{R} ^{n}\)上のベクトル加法\(+\)もまた交換律(commutativelaw)を満たすということです。

命題(ベクトル加法の交換律)
\(\mathbb{R} ^{n}\)上に定義されたベクトル加法\(+\)は、\begin{equation*}\left( V_{4}\right) \ \forall x,y,\in \mathbb{R} ^{n}:x+y=y+x
\end{equation*}を満たす。

 

可換群としての\(n\)次元空間

ベクトル加法\(+\)が\(\left(V_{1}\right) \)を満たすことは、\(\mathbb{R} ^{n}\)が\(+\)に関して半群(semigroup)であることを意味します。また、ベクトル加法\(+\)が\(\left(V_{1}\right) \)と\(\left( V_{2}\right) \)をともに満たすことは、\(\mathbb{R} ^{n}\)が\(+\)に関してモノイド(monoid)であることを意味します。また、ベクトル加法\(+\)が\(\left( V_{1}\right) ,\left( V_{2}\right) \)に加えて\(\left( V_{3}\right) \)を満たすことは、\(\mathbb{R} ^{n}\)が\(+\)に関して(group)であることを意味します。さらに、ベクトル加法\(+\)が\(\left( V_{1}\right),\left( V_{2}\right) ,\left( V_{3}\right) \)に加えて\(\left( V_{4}\right) \)を満たすことは、\(\mathbb{R} ^{n}\)が\(+\)に関して可換群(commutative group)またはアーベル群(abelian group)であることを意味します。

命題(ベクトル加法と可換群)
\(n\)次元空間\(\mathbb{R} ^{n}\)はベクトル加法\(+\)に関して可換群である。すなわち、\begin{eqnarray*}&&\left( V_{1}\right) \ \forall x,y,z\in \mathbb{R} ^{n}:(x+y)+z=x+(y+z) \\
&&\left( V_{2}\right) \ \exists 0\in \mathbb{R} ^{n},\ \forall x\in \mathbb{R} ^{n}:x+0=x \\
&&\left( V_{3}\right) \ \forall x\in \mathbb{R} ^{n},\ \exists -x\in \mathbb{R} ^{n}:x+(-x)=0 \\
&&\left( V_{4}\right) \ \forall x,y,\in \mathbb{R} ^{n}:x+y=y+x
\end{eqnarray*}が成り立つ。

 

逆ベクトルの逆ベクトル

点\(x\in \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選びます。ただし、\(x=\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \)です。\(x\)の逆ベクトル\(-x\)また\(\mathbb{R} ^{n}\)の点であるため、さらにその逆ベクトル\(-\left( -x\right) \)が存在し、これもまた\(\mathbb{R} ^{n}\)の点です。しかも、\begin{eqnarray*}-\left( -x\right) &=&-\left( -\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \right)
\quad \because x\text{の定義} \\
&=&-\left( -x_{1},\cdots ,-x_{n}\right) \quad \because \text{逆ベクトルの定義} \\
&=&\left( -\left( -x_{1}\right) ,\cdots ,-\left( -x_{n}\right) \right) \quad
\because \text{逆ベクトルの定義} \\
&=&\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \quad \because \text{加法逆元の性質} \\
&=&x\quad \because x\text{の定義}
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
-\left( -x\right) =x
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、\(\mathbb{R} ^{n}\)の点の逆ベクトルの逆ベクトルとるともとの点に戻ります。

命題(逆ベクトルの逆ベクトル)
\(n\)次元空間の点\(x\in \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}-\left( -x\right) =x
\end{equation*}が成り立つ。

 

ゼロベクトルの逆ベクトル

ゼロベクトル\(0\)は\(\mathbb{R} ^{n}\)の点であるため、その逆ベクトル\(-0\)もまた\(\mathbb{R} ^{n}\)の点です。さらに、\begin{eqnarray*}-0 &=&-\left( 0,\cdots ,0\right) \quad \because \text{ゼロベクトルの定義} \\
&=&\left( -0,\cdots ,-0\right) \quad \because \text{逆ベクトルの定義} \\
&=&\left( 0,\cdots ,0\right) \quad \because \text{加法単位元の性質} \\
&=&0\quad \because \text{ゼロベクトルの定義}
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
-0=0
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、ゼロベクトルの逆ベクトルはゼロベクトルです。

命題(ゼロベクトルの逆ベクトル)
\(n\)次元空間\(\mathbb{R} ^{n}\)におけるゼロベクトル\(0\)について、\begin{equation*}-0=0
\end{equation*}が成り立つ。

 

演習問題

問題(ベクトル加法)
点\(x,y,z\in \mathbb{R} ^{3}\)がそれぞれ、\begin{eqnarray*}x &=&\left( 2,-7,1\right) \\
y &=&\left( -3,0,4\right) \\
z &=&\left( 0,5,-8\right)
\end{eqnarray*}として与えられているとき、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ x+y \\
&&\left( b\right) \ y+z \\
&&\left( c\right) \ x+\left( -z\right) \\
&&\left( d\right) \ -\left( -z\right) +\left( -x\right) +y
\end{eqnarray*}をそれぞれ求めてください。
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問題(ベクトル加法)
任意の点\(x\in \mathbb{R} ^{n}\)について、\begin{equation*}-\left( -\left( -x\right) \right) =-x
\end{equation*}が成り立つことを証明してください。
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問題(ベクトル加法の簡約法則)
点\(x,y,z\in \mathbb{R} ^{n}\)をそれぞれ任意に選んだとき、\begin{equation*}x+y=x+z\Rightarrow y=z
\end{equation*}が成り立つことを証明してください。これをベクトル加法に関する簡約法則(cancellation law)と呼びます。
証明

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次回はベクトル減法について解説します。

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DISCUSSION

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