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ベクトル加法

\(n\)次元空間の点\(x,y\in \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選びます。ただし、\(x=\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \)かつ\(y=\left( y_{1},\cdots ,y_{n}\right) \)です。このとき、\(x\)と\(y\)のベクトル和(vector sum)もしくは(sum)を、\begin{equation*}
x+y=\left( x_{1}+y_{1},\cdots ,x_{n}+y_{n}\right)
\end{equation*}と定義します。ただし、左辺の\(+\)はベクトル和を表す記号であり、右辺の\(+\)は\(\mathbb{R}\)上の加法を表す記号です。両者は同じ記号を用いて表記されるため注意が必要です。

\(\mathbb{R}\)は加法\(+\)について閉じているため、ベクトル和\(x+y\)の任意の成分\(x_{i}+y_{i}\)は実数であることから、\(x+y\)が\(\mathbb{R}^{n}\)の点であることが保証されます。したがって、\(\mathbb{R}^{n}\)の点からなるそれぞれの順序対\(\left( x,y\right) \)に対して、\(\mathbb{R}^{n}\)の点であるベクトル和\(x+y\)を定める二項演算\(+\)が定義可能です。これをベクトル加法(vector addition)と呼びます。\(\mathbb{R}^{n}\)はベクトル加法\(+\)について閉じています。\(\left( x,y\right) \)に対して\(+\)を適用することを、\(x\)と\(y \)を足す(add)と言います。

例(ベクトル加法)
\(1\)次元空間の点\(x,y\in \mathbb{R} \)を任意に選ぶと、\begin{equation*}
x+y=x+y
\end{equation*}が成り立ちます。ただし、左辺の\(+\)はベクトル加法を表す記号であり、右辺の\(+\)は実数どうしの加法を表す記号です。つまり、\(1\)次元空間において、ベクトル加法と加法は等しくなります。具体例を挙げると、\begin{eqnarray*}
1+4 &=&5 \\
\left( -1\right) +8 &=&7 \\
\frac{4}{5}+\frac{1}{10} &=&\frac{9}{10}
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。
例(ベクトル加法)
\(2\)次元空間の点\(x,y\in \mathbb{R} ^{2}\)を任意に選びます。ただし、\(x=\left( x_{1},x_{2}\right) \)かつ\(y=\left( y_{1},y_{2}\right) \)です。このとき、\begin{equation*}
x+y=\left( x_{1}+y_{1},x_{2}+y_{2}\right)
\end{equation*}となります。具体例を挙げると、\begin{eqnarray*}
\left( 1,2\right) +\left( 3,1\right) &=&\left( 1+3,2+1\right) =\left(
4,3\right) \\
\left( -1,7\right) +\left( 3,2\right) &=&\left( \left( -1\right)
+3,7+2\right) =\left( 2,9\right) \\
\left( \frac{2}{3},-1\right) +\left( -\frac{1}{2},-2\right) &=&\left( \frac{2}{3}+\left( -\frac{1}{2}\right) ,\left( -1\right) +\left( -2\right) \right)
=\left( \frac{1}{6},-3\right)
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。
例(ベクトル加法)
\(3\)次元空間の点\(x,y\in \mathbb{R} ^{3}\)を任意に選びます。ただし、\(x=\left( x_{1},x_{2},x_{3}\right) \)かつ\(y=\left( y_{1},y_{2},y_{3}\right) \)です。このとき、\begin{equation*}
x+y=\left( x_{1}+y_{1},x_{2}+y_{2},x_{3}+y_{3}\right)
\end{equation*}となります。具体例を挙げると、\begin{eqnarray*}
\left( 1,2,3\right) +\left( 3,4,5\right) &=&\left( 1+3,2+4,3+5\right)
=\left( 4,6,8\right) \\
\left( -1,4,2\right) +\left( 0,1,-7\right) &=&\left( -1+0,4+1,2+\left(
-7\right) \right) =\left( -1,5,-5\right) \\
\left( \frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4}\right) +\left( 0,-2,-\frac{1}{2}\right) &=&\left( \frac{1}{2}+0,\frac{1}{3}+\left( -2\right) ,\frac{1}{4}+\left( -\frac{1}{2}\right) \right) =\left( \frac{1}{2},-\frac{5}{3},-\frac{1}{4}\right)
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。

ベクトル加法は同一の空間に属する2つの点に対してのみ定義されます。

例(ベクトル加法)
\(2\)次元空間の点\(x\in \mathbb{R}^{2}\)と\(3\)次元空間の点\(y\in \mathbb{R}^{3}\)をそれぞれ任意に選びます。ただし、\(x=\left( x_{1},x_{2}\right) \)かつ\(y=\left( y_{1},y_{2},y_{3}\right) \)です。\(x\)と\(y\)は異なる空間に属する点であるため、それらのベクトル和\(x+y\)は定義されません。

 

ベクトル加法の基本性質

\(n\)次元空間の点\(x,y,z\in \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選びます。ただし、\(x=\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \)かつ\(y=\left( y_{1},\cdots ,y_{n}\right) \)かつ\(z=\left( z_{1},\cdots ,z_{n}\right) \)です。このとき、\begin{eqnarray*}
\left( x+y\right) +z &=&\left[ \left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) +\left(
y_{1},\cdots ,y_{n}\right) \right] +\left( z_{1},\cdots ,z_{n}\right) \quad
\because x,y,z\text{の定義} \\
&=&\left( x_{1}+y_{1},\cdots ,x_{n}+y_{n}\right) +\left( z_{1},\cdots
,z_{n}\right) \quad \because \text{ベクトル加法の定義} \\
&=&\left( \left( x_{1}+y_{1}\right) +z_{1},\cdots ,\left( x_{n}+y_{n}\right)
+z_{n}\right) \quad \because \text{ベクトル加法の定義} \\
&=&\left( x_{1}+\left( y_{1}+z_{1}\right) ,\cdots ,x_{n}+\left(
y_{n}+z_{n}\right) \right) \quad \because \text{加法の性質} \\
&=&\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) +\left( y_{1}+z_{1},\cdots
,y_{n}+z_{n}\right) \quad \because \text{ベクトル加法の定義} \\
&=&x+\left( y+z\right) \quad \because x,y,z\text{の定義}
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
\left( x+y\right) +z=x+\left( y+z\right)
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、\(\mathbb{R}\)上の加法\(+\)と同様に、\(\mathbb{R}^{n}\)上のベクトル加法\(+\)もまた結合律(associative law)を満たします。

命題(ベクトル加法の結合律)
\(n\)次元空間\(\mathbb{R}^{n}\)上に定義されたベクトル加法\(+\)は、\begin{equation*}
\left( V_{1}\right) \ \forall x,y,z\in \mathbb{R} ^{n}:(x+y)+z=x+(y+z)
\end{equation*}を満たす。

実数空間\(\mathbb{R}\)の加法単位元\(0\)すなわちゼロが与えられたとき、それに対して、\begin{equation*}
0=\left( 0,\cdots ,0\right)
\end{equation*}と定義される\(\mathbb{R}^{n}\)の点をゼロベクトル(zero vector)と呼びます。ただし、左辺の\(0\)はゼロベクトルを表す記号であり、右辺の\(0\)はゼロです。加法単位元であるゼロは一意的であるため、ゼロベクトルもまた一意的です。\(n\)次元空間の点\(x\in \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選びます。ただし、\(x=\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \)です。このとき、\begin{eqnarray*}
x+0 &=&\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) +\left( 0,\cdots ,0\right) \quad
\because x,0\text{の定義} \\
&=&\left( x_{1}+0,\cdots ,x_{n}+0\right) \quad \because \text{ベクトル加法の定義} \\
&=&\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \quad \because \text{加法の性質} \\
&=&x\quad \because x\text{の定義}
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
x+0=x
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、ゼロベクトル\(0\)は\(\mathbb{R}^{n}\)における加法単位元です。

命題(ベクトル加法単位元)
\(n\)次元空間\(\mathbb{R}^{n}\)上に定義されたベクトル加法\(+\)は、\begin{equation*}
\left( V_{2}\right) \ \exists 0\in \mathbb{R} ^{n},\ \forall x\in \mathbb{R} ^{n}:x+0=x
\end{equation*}を満たす。

\(n\)次元空間の点\(x\in \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選びます。ただし、\(x=\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \)です。このとき、それに対して、\begin{equation*}
-x=\left( -x_{1},\cdots ,-x_{n}\right)
\end{equation*}と定義される\(\mathbb{R}^{n}\)の点を\(x\)の逆ベクトル(inverse vector)や負ベクトル(negative vector)などと呼びます。ただし、右辺のそれぞれの成分\(-x_{i}\)は実数\(x_{i}\)の加法逆元です。それぞれの実数\(x_{i}\)に対してその加法逆元\(-x_{i}\)は一意的に定まることから、ベクトル\(x\)に対してその逆ベクトル\(-x\)は一意的に定まります。さらに、\begin{eqnarray*}
x+\left( -x\right) &=&\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) +\left(
-x_{1},\cdots ,-x_{n}\right) \quad \because x,-x\text{の定義} \\
&=&\left( x_{1}+\left( -x_{1}\right) ,\cdots ,x_{n}+\left( -x_{n}\right)
\right) \quad \because \text{ベクトル加法の定義} \\
&=&\left( 0,\cdots ,0\right) \quad \because \text{加法の性質} \\
&=&0\quad \because \text{ゼロベクトルの定義}
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
x+\left( -x\right) =0
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、\(x\)の逆ベクトル\(-x\)は\(\mathbb{R}^{n}\)における\(x\)の加法逆元です。

命題(ベクトル加法逆元)
\(n\)次元空間\(\mathbb{R}^{n}\)上に定義されたベクトル加法\(+\)は、\begin{equation*}
\left( V_{3}\right) \ \forall x\in \mathbb{R} ^{n},\ \exists -x\in \mathbb{R} ^{n}:x+(-x)=0
\end{equation*}を満たす。

\(n\)次元空間の点\(x,y\in \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選びます。ただし、\(x=\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \)かつ\(y=\left( y_{1},\cdots ,y_{n}\right) \)です。このとき、\begin{eqnarray*}
x+y &=&\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) +\left( y_{1},\cdots ,y_{n}\right)
\quad \because x,y\text{の定義} \\
&=&\left( x_{1}+y_{1},\cdots ,x_{n}+y_{n}\right) \quad \because \text{ベクトル加法の定義} \\
&=&\left( y_{1}+x_{1},\cdots ,y_{n}+x_{n}\right) \quad \because \text{加法の性質} \\
&=&y+x\quad \because \text{ベクトル加法の定義}
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
x+y=y+x
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、\(\mathbb{R}\)上の加法\(+\)と同様、\(\mathbb{R}^{n}\)上のベクトル加法\(+\)もまた交換律(commutative law)を満たします。

命題(ベクトル加法の交換律)
\(n\)次元空間\(\mathbb{R}^{n}\)上に定義されたベクトル加法\(+\)は、\begin{equation*}
\left( V_{4}\right) \ \forall x,y,\in \mathbb{R} ^{n}:x+y=y+x
\end{equation*}を満たす。

ベクトル加法\(+\)が\(\left( V_{1}\right) \)を満たすことは、\(\mathbb{R}^{n}\)が\(+\)に関して半群(semigroup)であることを意味します。また、結合律に加えて\(\left( V_{1}\right) \)に加えて\(\left( V_{2}\right) \)を満たすことは、\(\mathbb{R}^{n}\)が\(+\)に関してモノイド(monoid)であることを意味します。また、\(\left( V_{1}\right) \)と\(\left( V_{2}\right) \)に加えて\(\left( V_{3}\right) \)を満たすことは、\(\mathbb{R}^{n}\)が\(+\)に関して(group)であることを意味します。最後に、\(\left( V_{1}\right) ,\left( V_{2}\right) ,\left( V_{3}\right) \)に加えて\(\left( V_{4}\right) \)を満たすことは、\(\mathbb{R}^{n}\)が\(+\)に関して可換群(commutative group)またはアーベル群(abelian group)であることを意味します。

命題(ベクトル加法の基本性質)
\(n\)次元空間\(\mathbb{R}^{n}\)はベクトル加法\(+\)に関して可換群である。

 

逆ベクトルの逆ベクトル

\(n\)次元空間の点\(x\in \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選んだとき、その逆ベクトル\(-x\)が存在します。\(-x\)もまた\(\mathbb{R}^{n}\)の点であるため、さらにその逆ベクトル\(-\left( -x\right) \)が存在し、これもまた\(\mathbb{R}^{n}\)の点です。さらに、\begin{eqnarray*}
-\left( -x\right) &=&-\left( -\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \right)
\quad \because x\text{の定義} \\
&=&-\left( -x_{1},\cdots ,-x_{n}\right) \quad \because \text{逆ベクトルの定義} \\
&=&\left( -\left( -x_{1}\right) ,\cdots ,-\left( -x_{n}\right) \right) \quad
\because \text{逆ベクトルの定義} \\
&=&\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \quad \because \text{加法逆元の性質} \\
&=&x\quad \because x\text{の定義}
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
-\left( -x\right) =x
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、\(\mathbb{R}^{n}\)の点の逆ベクトルの逆ベクトルとるともとの点に戻ります。

命題(逆ベクトルの逆ベクトル)
\(n\)次元空間の点\(x\in \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}
-\left( -x\right) =x
\end{equation*}が成り立つ。

 

ゼロベクトルの逆ベクトル

ゼロベクトル\(0\)は\(\mathbb{R}^{n}\)の点であるため、その逆ベクトル\(-0\)もまた\(\mathbb{R}^{n}\)の点です。さらに、\begin{eqnarray*}
-0 &=&-\left( 0,\cdots ,0\right) \quad \because \text{ゼロベクトルの定義} \\
&=&\left( -0,\cdots ,-0\right) \quad \because \text{逆ベクトルの定義} \\
&=&\left( 0,\cdots ,0\right) \quad \because \text{加法単位元の性質} \\
&=&0\quad \because \text{ゼロベクトルの定義}
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
-0=0
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、ゼロベクトルの逆ベクトルはゼロベクトルです。

命題(ゼロベクトルの逆ベクトル)
\(n\)次元空間\(\mathbb{R}^{n}\)におけるゼロベクトル\(0\)について、\begin{equation*}
-0=0
\end{equation*}が成り立つ。

 

演習問題

問題(ベクトル加法)
点\(x,y,z\in \mathbb{R}^{3}\)がそれぞれ、\begin{eqnarray*}
x &=&\left( 2,-7,1\right) \\
y &=&\left( -3,0,4\right) \\
z &=&\left( 0,5,-8\right)
\end{eqnarray*}として与えられているとき、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ x+y \\
&&\left( b\right) \ y+z \\
&&\left( c\right) \ x+\left( -z\right) \\
&&\left( d\right) \ -\left( -z\right) +\left( -x\right) +y
\end{eqnarray*}をそれぞれ求めてください。
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問題(ベクトル加法)
任意の点\(x\in \mathbb{R}^{n}\)について、\begin{equation*}
-\left( -\left( -x\right) \right) =-x
\end{equation*}が成り立つことを証明してください。
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次回はベクトル減法について解説します。

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