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最大元・最小元

実順序ベクトル空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の空でない部分集合\(A\)について、そのある点\(a\)が\(A\)の任意の点以上である場合には、つまり、\begin{equation*}\exists a\in A,\ \forall x\in A:x\leq a
\end{equation*}が成り立つならば、\(a\)を\(A\)の最大元(maximum element)と呼び、そのことを、\begin{equation*}\max A=a
\end{equation*}で表します。つまり、\(\max A\)は集合\(A\)の最大元を表す記号です。定義より、\(A\)の最大元は\(A\)の点でなければなりません。

例(最大元)
\(a<b\)を満たす点\(a,b\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、\begin{equation*}A=\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a\leq x\leq b\right\}
\end{equation*}という\(\mathbb{R} \)の部分集合を定義します。\(a\)と\(b\)は\(A\)の要素であるため\(A\)は非空です。さらに、\begin{equation*}\forall x\in A:x\leq b
\end{equation*}が成り立つため、\begin{equation*}
\max A=b
\end{equation*}です。

例(最大元)
\(a_{1}<b_{1}\)かつ\(a_{2}<b_{2}\)を満たす点\(\left( a_{1},a_{2}\right) ,\left( b_{1},b_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)を任意に選んだ上で、\begin{equation*}A=\left\{ \left( x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ a_{1}\leq x_{1}\leq b_{1}\wedge a_{2}\leq x_{2}\leq b_{2}\right\}
\end{equation*}という\(\mathbb{R} ^{2}\)の部分集合を定義します。\(\left( a_{1},a_{2}\right) \)と\(\left(b_{1},b_{2}\right) \)は\(A\)の要素であるため\(A\)は非空です。さらに、任意の\(\left(x_{1},x_{2}\right) \in A\)に対して、\begin{equation*}x_{1}\leq b_{1}\wedge x_{2}\leq b_{2}
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\left( x_{1},x_{2}\right) \leq \left( b_{1},b_{2}\right)
\end{equation*}が成り立つため、\begin{equation*}
\max A=\left( b_{1},b_{2}\right)
\end{equation*}です。

例(最大元)
\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合の中でも、\begin{equation*}\mathbb{R} _{-}^{n}=\left\{ x\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ x\leq 0\right\} \end{equation*}に注目します。\(0\in \mathbb{R} _{-}^{n}\)であるため\(\mathbb{R} _{-}^{n}\)は非空です。さらに、任意の\(x\in \mathbb{R} _{-}^{n}\)に対して、\begin{equation*}x\leq 0
\end{equation*}が成り立つため、\begin{equation*}
\max \mathbb{R} _{-}^{n}=0
\end{equation*}です。

\(\mathbb{R} ^{n}\)の空でない部分集合\(A\)について、そのある点\(a\)が\(A\)の任意の点以下である場合には、つまり、\begin{equation*}\exists a\in A,\ \forall x\in A:a\leq x
\end{equation*}が成り立つならば、\(a\)を\(A\)の最小元(minimum element)と呼び、そのことを、\begin{equation*}\min A=a
\end{equation*}で表します。つまり、\(\min A\)は集合\(A\)の最小元を表す記号です。定義より、\(A\)の最小元は\(A\)の点でなければなりません。

例(最小元)
\(a<b\)を満たす点\(a,b\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、\begin{equation*}A=\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a\leq x\leq b\right\}
\end{equation*}という\(\mathbb{R} \)の部分集合を定義します。\(a\)と\(b\)は\(A\)の要素であるため\(A\)は非空です。さらに、\begin{equation*}\forall x\in A:a\leq x
\end{equation*}が成り立つため、\begin{equation*}
\min A=a
\end{equation*}です。

例(最小元)
\(a_{1}<b_{1}\)かつ\(a_{2}<b_{2}\)を満たす点\(\left( a_{1},a_{2}\right) ,\left( b_{1},b_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)を任意に選んだ上で、\begin{equation*}A=\left\{ \left( x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ a_{1}\leq x_{1}\leq b_{1}\wedge a_{2}\leq x_{2}\leq b_{2}\right\}
\end{equation*}という\(\mathbb{R} ^{2}\)の部分集合を定義します。\(\left( a_{1},a_{2}\right) \)と\(\left(b_{1},b_{2}\right) \)は\(A\)の要素であるため\(A\)は非空です。さらに、任意の\(\left(x_{1},x_{2}\right) \in A\)に対して、\begin{equation*}a_{1}\leq x_{1}\wedge a_{2}\leq x_{2}
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\left( a_{1},a_{2}\right) \leq \left( x_{1},x_{2}\right)
\end{equation*}が成り立つため、\begin{equation*}
\min A=\left( a_{1},a_{2}\right)
\end{equation*}です。

例(最小元)
\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合の中でも、\begin{equation*}\mathbb{R} _{+}^{n}=\left\{ x\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ x\geq 0\right\} \end{equation*}に注目します。\(0\in \mathbb{R} _{+}^{n}\)であるため\(\mathbb{R} _{+}^{n}\)は非空です。さらに、任意の\(x\in \mathbb{R} _{+}^{n}\)に対して、\begin{equation*}x\geq 0
\end{equation*}が成り立つため、\begin{equation*}
\min \mathbb{R} _{+}^{n}=0
\end{equation*}です。

定義より、\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)の最大元や最小元は\(A\)の点でなければなりません。以下は最大元と最小元が一致する\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合の例です。

例(最大元・最小元)
点\(a\in \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選んだ上で、\begin{equation*}A=\left\{ a\right\}
\end{equation*}という\(\mathbb{R} \)の部分集合を定義します。\(a\in A\)であるため、\(A\)は非空です。\(a\)は\(A\)の唯一の要素であるとともに、\(\leq \)の反射律より\(a\leq a\)が成り立つため、\begin{equation*}\max A=\min A=a
\end{equation*}となります。

 

最大元や最小元は存在するとは限らない

一般に、\(\mathbb{R} ^{n}\)の非空な部分集合について、その最大元や最小元は存在するとは限りません。以下の例から明らかです。

例(最大元や最小元は存在するとは限らない)
\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、\begin{equation*}A=\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a<x<b\right\}
\end{equation*}という\(\mathbb{R} \)の部分集合を定義します。有理数の稠密性より\(a<x<b\)を満たす有理数\(x\)が存在するため\(A\)は非空です。\(\max A\)が存在しないことを示すために\(\max A\)が存在するものと仮定して矛盾を導きます。最大元の定義より\(\max A\in A\)ですが、すると\(A\)の定義より、\begin{equation}a<\max A<b \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立ちます。\(\max A\)と\(b\)はともに実数であるため、やはり有理数の稠密性より、\begin{equation}\max A<x<b \quad \cdots (2)
\end{equation}を満たす有理数\(x\)が存在します。有理数は実数であるため\(x\)は実数です。\(\left( 1\right) ,\left( 2\right) \)および\(<\)の推移律より、\begin{equation*}a<x<b
\end{equation*}が成り立ちますが、\(A\)の定義より、これは\(x\in A\)であることを意味します。つまり、\(A\)の要素である上の\(x\)に対して\(x\leq \max A\)が成り立ちませんが、これは\(\max A\)が\(A\)の最大値であることと矛盾します。したがって\(\max A\)は存在しません。\(\min A\)が存在しないことも同様にして示されます。
例(最大元や最小元は存在するとは限らない)
\(a_{1}<b_{1}\)かつ\(a_{2}<b_{2}\)を満たす点\(\left( a_{1},a_{2}\right) ,\left( b_{1},b_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)を任意に選んだ上で、\begin{equation*}A=\left\{ \left( x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ a_{1}<x_{1}<b_{1}\wedge a_{2}<x_{2}<b_{2}\right\}
\end{equation*}という\(\mathbb{R} ^{2}\)の部分集合を定義します。有理数の稠密性より\(a_{1}<x_{1}<b_{1}\)かつ\(a_{2}<x_{2}<b_{2}\)を満たす有理数の組\(\left( x_{1},x_{2}\right) \)が存在するため\(A\)は非空ですが、\(\max A\)や\(\min A\)は存在しません(演習問題にします)。
例(最大元や最小元は存在するとは限らない)
\(\mathbb{R} ^{2}\)の部分集合の中でも、\begin{equation*}A=\{\left( x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ x_{1}^{2}+x_{2}^{2}\leq 1\}
\end{equation*}に注目します。\(\left( 0,0\right)\in A\)であるため\(A\)は非空ですが、\(\max A\)や\(\min A\)は存在しません(演習問題にします)。

 

最大元や最小元の一意性

繰り返しになりますが、\(\mathbb{R} ^{n}\)の非空な部分集合は最大元や最小元を持つとは限りません。ただ、最大元や最小元が存在する場合、それらはそれぞれ1つの点として定まります。

命題(最大元や最小元の一意性)
\(\mathbb{R} ^{n}\)の非空な部分集合\(A\)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}&&(a)\ \max A\text{が存在するならば、それは一意的である。} \\
&&\left( b\right) \ \min A\text{が存在するならば、それは一意的である。}
\end{eqnarray*}が成り立つ。

証明

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演習問題

問題(有限集合の最大値と最小値)
\(\mathbb{R} \)の非空な部分集合\(A\)が有限集合である場合、その最大元\(\max A\)と最小元\(\min A\)はそれぞれ必ず存在することを以前に示しましたが、\(n\geq 2\)である場合には、\(\mathbb{R} ^{n}\)の非空な部分集合\(A\)が有限集合であっても、\(\max A\)や\(\min A\)は存在するとは限らないことを示してください。
証明

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問題(最大元や最小元は存在するとは限らない)
\(a_{1}<b_{1}\)かつ\(a_{2}<b_{2}\)を満たす点\(\left( a_{1},a_{2}\right) ,\left( b_{1},b_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)を任意に選んだ上で、\begin{equation*}A=\left\{ \left( x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ a_{1}<x_{1}<b_{1}\wedge a_{2}<x_{2}<b_{2}\right\}
\end{equation*}という\(\mathbb{R} ^{2}\)の部分集合を定義します。\(\max A\)と\(\min A\)はともに存在しないことを証明してください。
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問題(最大元や最小元は存在するとは限らない)
\(\mathbb{R} ^{2}\)の部分集合の中でも、\begin{equation*}A=\{\left( x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ x_{1}^{2}+x_{2}^{2}\leq 1\}
\end{equation*}に注目します。\(\max A\)と\(\min A\)はともに存在しないことを証明してください。
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問題(最大元・最小元)
\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合の中でも、最大元や最小元を持つものや持たないものなど、具体例を挙げてください(解答はコメント欄に投稿してください)。

次回は極大元や極小元について学びます。

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