ユークリッド空間の非空な部分集合に対して、その最大元や最小元を定義します。最大元や最小元は存在するとは限りませんが、存在する場合にはそれぞれ一意的です。
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最大元・最小元

ユークリッド空間\(\mathbb{R}^{n}\)の空でない部分集合\(A\)について、そのある点\(a\)が\(A\)の任意の点以上ならば、つまり、\begin{equation*}
\exists a\in A,\ \forall x\in A:x\leq a
\end{equation*}が成り立つならば、\(a\)を\(A\)の最大元(maximum element)と呼び、これを、\begin{equation*}
a=\max A
\end{equation*}で表します。

ユークリッド空間\(\mathbb{R}^{n}\)の空でない部分集合\(A\)について、そのある点\(a\)が\(A\)の任意の点以下ならば、つまり、\begin{equation*}
\exists a\in A,\ \forall x\in A:a\leq x
\end{equation*}が成り立つならば、\(a\)を\(A\)の最小元(minimum element)と呼び、これを、\begin{equation*}
a=\min A
\end{equation*}で表します。

定義より、\(\mathbb{R}^{n}\)の部分集合\(A\)の最大元や最小元はいずれも\(A\)の点でなければなりません。

例(最大元・最小元)
\(1\)次元ユークリッド空間\(\mathbb{R}\)の非空な部分集合である区間\(\left[ 0,1\right] \)において、そこに属する点\(1\)と任意の\(x\in \left[ 0,1\right] \)の間には\(x\leq 1\)という関係が成り立つため\(\max \left[ 0,1\right] =1\)となります。また、同様にして\(\min \left[ 0,1\right] =0\)であることが示されます。
例(最大元・最小元)
\(2\)次元ユークリッド空間\(\mathbb{R}^{2}\)の非空な部分集合\begin{equation*}
A=\{\left( x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R}^{2}\ |\ -1\leq x_{1}\leq 1,\ -1\leq x_{2}\leq 1\}
\end{equation*}について考えます。\(A\)の点\(a=\left( a_{1},a_{2}\right) =\left( 1,1\right) \)に注目すると、\(A\)の任意の点\(x=\left( x_{1},x_{2}\right) \in A\)に対して\(x_{1}\leq a_{1}\)かつ\(x_{2}\leq a_{2}\)すなわち\(x\leq a\)が成り立つため、\(\max A=a\)となります。同様に、\(A\)の点\(b=\left( -1,-1\right) \)に注目すると\(\min A=b\)となります。

 

最大元・最小元は存在するとは限らない

以下の例から明らかであるように、\(\mathbb{R}^{n}\)の部分集合の最大元や最小元は存在するとは限りません。

例(最大元・最小限)
\(1\)次元ユークリッド空間\(\mathbb{R}\)の非空な部分集合である区間\(\left( 0,1\right) \)に最大元\(a\)が存在するものと仮定します。最大元の定義より\(a\)は\(\left( 0,1\right) \)の要素ですから\(0<a<1\)が成り立ちます。このとき、限りなく小さい\(\varepsilon >0\)をとれば\(0<a+\varepsilon <1\)が成り立ちますが、これは、\(a\)よりも大きい\(\left( 0,1\right) \)の要素\(a+\varepsilon \)が存在することを意味しており、それは\(a\)が\(\left( 0,1\right) \)の最大元であることと矛盾します。したがって\(\left( 0,1\right) \)には最大元が存在しません。\(\left( 0,1\right) \)に最小元が存在しないことも同様に示されます。
例(最大元・最小元)
\(2\)次元ユークリッド空間\(\mathbb{R}^{2}\)の非空な部分集合\begin{equation*}
A=\{\left( x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R}^{2}\ |\ x_{1}^{2}+x_{2}^{2}\leq 1\}
\end{equation*}について考えます。\(A\)の点\(a=\left( a_{1},a_{2}\right) \)を任意にとると、それに対して\(a_{1}<x_{1}\)もしくは\(a_{2}<x_{2}\)の少なくとも一方を満たす\(A\)の点\(x=\left( x_{1},x_{2}\right) \)が存在するため、\(\max A\)は存在しません。\(\min A\)が存在しないことも同様にして示されます。

 

最大元・最小元が存在するときは一意的

\(\mathbb{R}^{n}\)の部分集合には最大元や最小元が存在する場合にはそれぞれ一意的に定まります。

命題(最大元・最小元の一意性)
\(\mathbb{R}^{n}\)の任意の非空な部分集合\(A\)について以下が成り立つ。\begin{eqnarray*}
&&(a)\ \max A\text{が存在するならば、それは一意的である。} \\
&&\left( b\right) \ \min A\text{が存在するならば、それは一意的である。}
\end{eqnarray*}
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次回はユークリッド空間の部分集合の極大元や極小元について学びます。
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