n次元空間の非空な部分集合に対して、その最大元や最小元を定義します。最大元や最小元は存在するとは限りませんが、存在する場合にはそれぞれ一意的です。
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最大元・最小元

実順序ベクトル空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の空でない部分集合\(A\)について、そのある点\(a\)が\(A\)の任意の点以上ならば、つまり、\begin{equation*}
\exists a\in A,\ \forall x\in A:x\leq a
\end{equation*}が成り立つならば、\(a\)を\(A\)の最大元(maximum element)と呼び、このことを、\begin{equation*}
\max A=a
\end{equation*}で表します。つまり、\(\max A\)は集合\(A\)の最大元を表す記号です。定義より、\(A\)の最大元は\(A\)の点でなければなりません。

実順序ベクトル空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の空でない部分集合\(A\)について、そのある点\(a\)が\(A\)の任意の点以下ならば、つまり、\begin{equation*}
\exists a\in A,\ \forall x\in A:a\leq x
\end{equation*}が成り立つならば、\(a\)を\(A\)の最小元(minimum element)と呼び、このことを、\begin{equation*}
\min A=a
\end{equation*}で表します。つまり、\(\min A\)は集合\(A\)の最小元を表す記号です。定義より、\(A\)の最小元は\(A\)の点でなければなりません。

例(最大元・最小元)
\(1\)次元の実順序ベクトル空間\(\mathbb{R} \)の非空な部分集合である有界な閉区間\begin{equation*}
\left[ 0,1\right] =\left\{ x\in
\mathbb{R} \ |\ 0\leq x\leq 1\right\}
\end{equation*}において、そこに属する点\(1\)と任意の点\(x\in \left[ 0,1\right] \)の間には\(x\leq 1\)という関係が成り立つため、\begin{equation*}
\max \left[ 0,1\right] =1
\end{equation*}となります。また、同様にして、\begin{equation*}
\min \left[ 0,1\right] =0
\end{equation*}であることが示されます。
例(最大元・最小元)
\(2\)次元の実順序ベクトル空間\(\mathbb{R} ^{2}\)の非空な部分集合\begin{equation*}
A=\{\left( x_{1},x_{2}\right) \in
\mathbb{R} ^{2}\ |\ -1\leq x_{1}\leq 1,\ -1\leq x_{2}\leq 1\}
\end{equation*}について考えます。\(A\)の点\(a=\left( a_{1},a_{2}\right) =\left( 1,1\right) \)に注目すると、\(A\)の任意の点\(x=\left( x_{1},x_{2}\right) \in A\)に対して\(x_{1}\leq a_{1}\)かつ\(x_{2}\leq a_{2}\)すなわち\(x\leq a\)が成り立つため、\begin{equation*}
\max A=a
\end{equation*}となります。同様に、\(A\)の点\(b=\left( -1,-1\right) \)に注目すると、\begin{equation*}
\min A=b
\end{equation*}となります。

 

最大元や最小元は存在するとは限らない

以下の例が示唆するように、\(\mathbb{R} ^{n}\)の非空な部分集合に対して、その最大元や最小元は存在するとは限りません。

例(最大元・最小限)
\(1\)次元の実順序ベクトル空間\(\mathbb{R} \)の非空な部分集合である有界な開区間\begin{equation*}
\left( 0,1\right) =\left\{ x\in
\mathbb{R} \ |\ 0<x<1\right\}
\end{equation*}に最大元\(a\)が存在するものと仮定します。最大元の定義より\(a\)は\(\left( 0,1\right) \)の点ですから\(0<a<1\)が成り立ちます。このとき、限りなく小さい\(\varepsilon >0\)をとれば\(0<a+\varepsilon <1\)が成り立ちますが、これは、\(a\)よりも大きい\(\left( 0,1\right) \)の点\(a+\varepsilon \)が存在することを意味しており、\(a\)が\(\left( 0,1\right) \)の最大元であることと矛盾します。したがって\(\left( 0,1\right) \)には最大元が存在しません。\(\left( 0,1\right) \)に最小元が存在しないことも同様にして示されます。
例(最大元・最小元)
\(2\)次元の実順序ベクトル空間\(\mathbb{R} ^{2}\)の非空な部分集合\begin{equation*}
A=\{\left( x_{1},x_{2}\right) \in
\mathbb{R} ^{2}\ |\ x_{1}^{2}+x_{2}^{2}\leq 1\}
\end{equation*}について考えます。\(A\)の点\(a=\left( a_{1},a_{2}\right) \)を任意にとると、それに対して\(a_{1}<x_{1}\)または\(a_{2}<x_{2}\)の少なくとも一方を満たす\(A\)の点\(x=\left( x_{1},x_{2}\right) \)が存在するため、\(\max A\)は存在しません。\(\min A\)が存在しないことも同様にして示されます。

 

最大元や最小元の一意性

\(\mathbb{R} ^{n}\)の非空な部分集合には最大元や最小元は存在するとは限りませんが、存在する場合にはそれぞれ一意的に定まります。そのことを示すために、\(\mathbb{R} ^{n}\)の非空な部分集合\(A\)について\(\max A\)が存在するとき、\(A\)の点である異なる点\(a,b\)がともに\(\max A\)と一致するものと仮定して矛盾を導きます。

仮定より\(a=\max A\)です。最大元の定義より、\(a\)は\(A\)の要素である\(b\)以上です。つまり\(b\leq a\)が成り立ちます。同じく仮定より\(b=\max A\)です。最大元の定義より、\(b\)は\(A\)の要素である\(a\)以上です。つまり\(a\leq b\)が成り立ちます。すると\(\leq \)の反対称律より\(a=b\)が成り立ちますが、これは\(a\not=b\)と矛盾します。したがって、\(\max A\)が存在する場合には一意的です。最小元についても同様です。

命題(最大元や最小元の一意性)
実順序ベクトル空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の非空な部分集合\(A\)を任意に選んだとき、以下が成り立つ。\begin{eqnarray*}
&&(a)\ \max A\text{が存在するならば、それは一意的である。} \\
&&\left( b\right) \ \min A\text{が存在するならば、それは一意的である。}
\end{eqnarray*}
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次回は極大元や極小元について学びます。

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