点集合の最大元
\(n\)次元空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上の標準的順序\(\leq \)とは、任意の2つのベクトル\begin{eqnarray*}\boldsymbol{x} &=&\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \in \mathbb{R} ^{n} \\
\boldsymbol{y} &=&\left( y_{1},\cdots ,y_{n}\right) \in \mathbb{R} ^{n}
\end{eqnarray*}に対して、\begin{equation*}
\boldsymbol{x}\leq \boldsymbol{y}\Leftrightarrow \forall i\in \left\{
1,\cdots ,n\right\} :x_{i}\leq y_{i}
\end{equation*}を満たすものとして定義される\(\mathbb{R} ^{n}\)上の順序関係です。
\(\mathbb{R} ^{n}\)の空でない部分集合\(A\)が与えられたとき、この集合\(A\)に属するある点が、同じ集合\(A\)に属する任意の点以上である場合には、つまり、\begin{equation*}\exists \boldsymbol{a}\in A,\ \forall \boldsymbol{x}\in A:\boldsymbol{x}\leq
\boldsymbol{a}
\end{equation*}が成り立つならば、この点\(\boldsymbol{a}\)を集合\(A\)の最大元（maximum element）と呼び、そのことを、\begin{equation*}\max A=\boldsymbol{a}
\end{equation*}で表します。つまり、集合\(A\)の最大元\(\max A\)は以下の条件\begin{equation*}\forall \boldsymbol{x}\in A:\boldsymbol{x}\leq \max A
\end{equation*}を満たす点として定義されるということです。集合\(A\)の最大元は\(A\)の要素である必要があります。つまり、\begin{equation*}\max A\in A
\end{equation*}です。\(A\)に属さない点は\(A\)の最大元にはなり得ません。
\end{equation*}を定義します。\(A\)は非空な\(\mathbb{R} \)の部分集合です。さらに、\begin{equation*}\forall \boldsymbol{x}\in A:\boldsymbol{x}\leq b
\end{equation*}が成り立つため、\begin{equation*}
\max A=b
\end{equation*}です。
\end{equation*}を定義します。\(A\)は非空な\(\mathbb{R} ^{2}\)の部分集合です。さらに、\begin{equation*}\forall \left( x_{1},x_{2}\right) \in A:x_{1}\leq b_{1}\wedge x_{2}\leq b_{2}
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall \left( x_{1},x_{2}\right) \in A:\left( x_{1},x_{2}\right) \leq
\left( b_{1},b_{2}\right)
\end{equation*}が成り立つため、\begin{equation*}
\max A=\left( b_{1},b_{2}\right)
\end{equation*}です。
\end{equation*}が成り立つため、\begin{equation*}
\max \mathbb{R} _{-}^{n}=\boldsymbol{0}
\end{equation*}です。
点集合の最小元
\(\mathbb{R} ^{n}\)の空でない部分集合\(A\)が与えられたとき、この集合\(A\)に属するある点が、同じ集合\(A\)に属する任意の点以下である場合には、つまり、\begin{equation*}\exists \boldsymbol{a}\in A,\ \forall \boldsymbol{x}\in A:\boldsymbol{a}\leq
\boldsymbol{x}
\end{equation*}が成り立つならば、この点\(\boldsymbol{a}\)を集合\(A\)の最小元（minimum element）と呼び、そのことを、\begin{equation*}\min A=\boldsymbol{a}
\end{equation*}で表します。つまり、集合\(A\)の最小元\(\min A\)は以下の条件\begin{equation*}\forall \boldsymbol{x}\in A:\min A\leq \boldsymbol{x}
\end{equation*}を満たす点として定義されるということです。集合\(A\)の最小元は\(A\)の要素である必要があります。つまり、\begin{equation*}\min A\in A
\end{equation*}です。\(A\)に属さない点は\(A\)の最小元にはなり得ません。
\end{equation*}を定義します。\(A\)は非空な\(\mathbb{R} \)の部分集合です。さらに、\begin{equation*}\forall x\in A:a\leq x
\end{equation*}が成り立つため、\begin{equation*}
\min A=a
\end{equation*}です。
\end{equation*}を定義します。\(A\)は非空な\(\mathbb{R} ^{2}\)の部分集合です。さらに、\begin{equation*}\forall \left( x_{1},x_{2}\right) \in A:a_{1}\leq x_{1}\wedge a_{2}\leq x_{2}
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall \left( x_{1},x_{2}\right) \in A:\left( a_{1},a_{2}\right) \leq
\left( x_{1},x_{2}\right)
\end{equation*}が成り立つため、\begin{equation*}
\min A=\left( a_{1},a_{2}\right)
\end{equation*}です。
\end{equation*}が成り立つため、\begin{equation*}
\min \mathbb{R} _{+}^{n}=\boldsymbol{0}
\end{equation*}です。
最大元と最小元は異なるとは限らない
以下は最大元と最小元が異なる\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合の例です。
\end{equation*}を定義します。先に示したように、\begin{eqnarray*}
\max A &=&b \\
\min A &=&a
\end{eqnarray*}ですが、仮定より\(a<b\)であるため、\begin{equation*}\max A\not=\max A
\end{equation*}です。
\end{equation*}を定義します。先に示したように、\begin{eqnarray*}
\max A &=&\left( b_{1},b_{2}\right) \\
\min A &=&\left( a_{1},a_{2}\right)
\end{eqnarray*}ですが、仮定より\(a_{1}<b_{1}\)かつ\(a_{2}<b_{2}\)であるため、\begin{equation*}\max A\not=\max A
\end{equation*}です。
\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合の最大元と最小元が一致する状況も起こり得ます。以下の例より明らかです。
\end{equation*}を定義します。\(\boldsymbol{a}\in\left\{ \boldsymbol{a}\right\} \)であるため\(\left\{ \boldsymbol{a}\right\} \)は非空です。\(\leq \)の反射律より、\begin{equation*}\forall \boldsymbol{a}\in \left\{ \boldsymbol{a}\right\} :\boldsymbol{a}\leq
\boldsymbol{a}
\end{equation*}が成り立つため、最大元および最小限の定義より、\begin{eqnarray*}
\max \left\{ \boldsymbol{a}\right\} &=&\boldsymbol{a} \\
\min \left\{ \boldsymbol{a}\right\} &=&\boldsymbol{a}
\end{eqnarray*}がともに成り立ちます。したがって、\begin{equation*}
\max \left\{ \boldsymbol{a}\right\} =\min \left\{ \boldsymbol{a}\right\}
\end{equation*}となります。
最大元や最小元は存在するとは限らない
\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合の最大元や最小元は存在するとは限りません。以下の例より明らかです。
\end{equation*}を定義します。\(\max A\)が存在しないことを示すために\(\max A\)が存在するものと仮定して矛盾を導きます。\(\max A\)が存在するとき、最大元の定義より\(\max A\in A\)ですが、すると\(A\)の定義より、\begin{equation}a<\max A<b \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立ちます。\(\max A\)と\(b\)はともに実数であるため、有理数の稠密性より、\begin{equation}\max A<x<b \quad \cdots (2)
\end{equation}を満たす有理数\(x\)が存在します。有理数は実数であるため\(x\)は実数です。\(\left( 1\right) ,\left( 2\right) \)および\(<\)の推移律より、\begin{equation*}a<x<b
\end{equation*}が成り立ちますが、\(A\)の定義より、これは\(x\in A\)であることを意味します。つまり、\(\max A\)よりも大きい\(A\)の要素\(x\)が存在することが示されましたが、これは\(\max A\)が\(A\)の最大元であることと矛盾します。したがって背理法より\(\max A\)が存在しないことが明らかになりました。\(\min A\)が存在しないことも同様にして示されます（演習問題）。
\end{equation*}を定義します。\(A\)は非空ですが、\(\max A\)や\(\min A\)は存在しません（演習問題）。
\end{equation*}に注目します。\(A\)は非空ですが、\(\max A\)や\(\min A\)は存在しません（演習問題）。
最大元や最小元の一意性
先に示したように、\(\mathbb{R} ^{n}\)の非空な部分集合は最大元や最小元を持つとは限りません。ただ、最大元や最小元が存在する場合、それらはそれぞれ1つの点として定まることが保証されます。
&&\left( b\right) \ \min A\text{が存在するならば、それは一意的である。}
\end{eqnarray*}が成り立つ。
空集合の最大元と最小元
これまでは\(\mathbb{R} ^{n}\)の非空な部分集合\(A\)を対象に、その最大元や最小元を考えてきました。空集合は任意の集合の部分集合であるため\(\phi \subset \mathbb{R} ^{n}\)です。では、空集合の最大元や最小元は存在するのでしょうか。
空集合\(\phi \)の最大元に相当する相当する点\(\max \phi \in \mathbb{R} ^{n}\)が存在するものと仮定します。最大元の定義より\(\max \phi \in \phi \)でなければなりませんが、空集合は要素を持たないためこれは矛盾です。したがって背理法より\(\phi \)は最大元を持たないことが明らかになりました。
空集合\(\phi \)が最小元を持たないことの証明も同様です。
演習問題
\end{equation*}という\(\mathbb{R} ^{2}\)の部分集合を定義します。\(\max A\)と\(\min A\)はともに存在しないことを証明してください。
\end{equation*}に注目します。\(\max A\)と\(\min A\)はともに存在しないことを証明してください。
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