実数空間における点の近傍・近傍系
実数空間の点aと正の実数εが与えられたとき、aからの距離がεよりも小さいような場所にある点からなる集合をaのε-近傍と呼びます。これはaを中心とする有界な開区間と実質的に等しい概念です。
ユークリッド空間上の点を中心とする近傍と呼ばれる概念を定義し、そこからさらに開集合や閉集合などの概念を定義します。
実数空間の点aと正の実数εが与えられたとき、aからの距離がεよりも小さいような場所にある点からなる集合をaのε-近傍と呼びます。これはaを中心とする有界な開区間と実質的に等しい概念です。
実数空間 R の部分集合 A に属するそれぞれの点に対して、その点を中心とする近傍の中に A の部分集合であるようなものが存在する場合、A を R 上の開集合と呼びます。
実数空間 R の部分集合 A が閉集合であることの意味を数列を用いて表現することもでき、こちらの定義を採用した方が閉集合であることを容易に判定できる場合があります。
実数空間Rの非空な部分集合Aの要素を項として持つ任意のコーシー列の極限がAの要素になる場合、Aを完備な部分集合と呼びます。実数空間の部分集合が完備であることと、その集合が閉集合であることは必要十分です。
実数空間Rの部分集合Aが与えられたとき、点a∈Rの近傍の中にAの部分集合であるようなものが存在するならば、aをAの内点と呼びます。また、Aのすべての内点からなる集合をAの内部と呼びます。
実数空間 R の部分集合 A が与えられたとき、点 a∈R の近傍の中に A の補集合の部分集合であるようなものが存在するならば、a を A の外点と呼びます。また、A のすべての外点からなる集合を A の外部と呼びます。
実数空間 R の部分集合 A が与えられたとき、点 a∈R の任意の近傍が A と A の補集合の双方と交わるならば、a を A の境界点と呼びます。また、A のすべての境界点からなる集合を A の境界と呼びます。
実数空間 R の部分集合 A が与えられたとき、点 a∈R の任意の近傍が A と交わるならば、a を A の触点と呼びます。また、A のすべての触点からなる集合を A の閉包と呼びます。
実数空間の部分集合 A が与えられたとき、点 a を中心とする任意の近傍が a とは異なる A の点を要素として持つ場合、この点 a を A の集積点と呼びます。
集積点の存在定理(有界な無限集合は集積点を持つという命題)はカントールの縮小区間定理と必要十分です。したがって、集積点の存在定理とアルキメデスの性質によって、実数の連続性の定義とすることができます。
実数空間の部分集合がコンパクトであることの意味を定義します。
実数空間の部分集合Aを覆う開集合族(開被覆)を任意に選んだとき、それに対して有限部分被覆が必ず存在する場合には、Aはコンパクト集合であると言います。
実数空間の部分集合が有界な閉集合であることと、その集合がコンパクト集合であることは必要十分条件です。これをハイネ・ボレルの被覆定理と呼びます。
実数空間の部分集合が与えられたとき、その集合の要素を項とする任意の点列がその集合の点に収束する部分列を持つとき、その集合を点列コンパクト集合と呼びます。ある集合が点列コンパクトであることと、その集合がコンパクトであることは必要十分です。
カントールの縮小区間定理は入れ子構造の閉区間列に関する命題ですが、同様の主張が入れ子構造のコンパクト集合列に関して成り立ちます。つまり、入れ子構造のコンパクト集合列の共通部分は非空になることが保証されます。
可算公理について解説します。
実数空間の点の基本近傍系が存在する場合、その点との距離を測るためには基本近傍系に属する近傍があれば十分で、すべての近傍を議論の対象にする必要はありません。また、実数空間のそれぞれの点に対して可算な基本近傍系が存在します(第1可算公理)。
実数空間において、開集合系の部分集合族が存在し、任意の開集合がその部分集合族に属する開集合の和集合として表現できる場合、その部分集合族を開基と呼びます。また、可算集合であるような開基が存在する場合、第2可算公理が成り立つと言います。
実数空間上の集合の開被覆を任意に選んだとき、その可算部分被覆が存在することが保証されます。これをリンデレーフの被覆定理と呼びます。
実数空間Rの部分集合Xが与えられたとき、さらにその部分集合Aの閉包がXを部分集合として含む場合には、AをXの稠密部分集合と呼びます。特に、Rの部分集合AがRの稠密部分集合であることとは、Aの閉包がRと一致することを意味します。
実数空間の部分集合が連結であることの意味を定義します。
実数空間の2つの部分集合が互いに素であるとともに、どちらも相手の集積点を要素として持たない場合、それらの集合は分離していると言います。分離の概念は触点や開集合を用いて表現することもできます。
実数空間にユークリッド距離を導入した場合、実数空間の部分集合が区間であることと、その集合が連結集合であることは必要十分です。したがって、区間でないことと非連結集合であることも必要十分です。
以下の分野の知識があると本セクションの内容を円滑に理解できます。
実数を無限小数として定義する場合、実数に関する議論はすべて無限小数に関する議論として行うことになり面倒です。そこで代替的な方法として公理主義的なアプローチのもとで実数を定義します。ここでは実数を特徴づける公理について解説します。
本節で得た知識は以下の分野を学ぶ上での土台になります。