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TOPOLOGY OF THE REAL LINE

数直線の位相

OVERVIEW

本節で学ぶ内容

関数の極限や連続性などの概念は、数直線上の点を中心とする近傍と呼ばれる概念を用いて定義されます。さらに近傍は距離(絶対値)を用いて定義されます。本節では点の近傍を出発点に、開集合や閉集合などの諸概念を定義し、それらの概念が満たす性質を確認します。これらの概念や性質は、後に位相として、実数空間(数直線)よりも一般的な空間へ引き継がれます。同時に、これらの知識は後に関数の極限や連続関数の性質について議論する上での土台になります。
TABLE OF CONTENTS

目次

SECTION 1

近傍・開集合・閉集合

ユークリッド空間上の点を中心とする近傍と呼ばれる概念を定義し、そこからさらに開集合や閉集合などの概念を定義します。

実数空間における点の近傍・近傍系

実数空間の点aと正の実数εが与えられたとき、aからの距離がεよりも小さいような場所にある点からなる集合をaのε-近傍と呼びます。これはaを中心とする有界な開区間と実質的に等しい概念です。

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SECTION 2

内部・外部・境界

ユークリッド空間の部分集合の内部・外部・境界などの概念を定義します。

実数集合の内点・内部

実数空間 R の部分集合 A が与えられたとき、点 a∈R の近傍の中に A の部分集合であるようなものが存在するならば、a を A の内点と呼びます。また、A のすべての内点からなる集合を A の内部と呼びます。

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実数集合の外点・外部

実数空間 R の部分集合 A が与えられたとき、点 a∈R の近傍の中に A の補集合の部分集合であるようなものが存在するならば、a を A の外点と呼びます。また、A のすべての外点からなる集合を A の外部と呼びます。

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実数集合の境界点・境界

実数空間 R の部分集合 A が与えられたとき、点 a∈R の任意の近傍が A と A の補集合の双方と交わるならば、a を A の境界点と呼びます。また、A のすべての境界点からなる集合を A の境界と呼びます。

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実数空間における境界を用いた閉集合の判定

実数空間 R の部分集合 A が与えられたとき、A の境界が A の部分集合であることは、A が閉集合であるための必要十分条件です。したがって、集合 A の境界が A の部分集合であれば A は閉集合であり、A の境界が A の部分集合でなければ A は閉集合ではありません。

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SECTION 3

触点・集積点・孤立点

ユークリッド空間の部分集合の触点・集積点・孤立点などの概念を定義します。

実数集合の触点・閉包

実数空間 R の部分集合 A が与えられたとき、点 a∈R の任意の近傍が A と交わるならば、a を A の触点と呼びます。また、A のすべての触点からなる集合を A の閉包と呼びます。

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数列を用いた触点の判定

実数空間 R の部分集合 A および点 a が与えられたとき、a に収束する A 上の数列が存在することは、a が A の触点であるための必要十分条件です。

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実数空間における閉包を用いた閉集合の判定

実数空間 R の部分集合 A が与えられたとき、A の閉包が A と一致することは、A が閉集合であるための必要十分条件です。したがって、集合 A の閉包 A と等しければ A は閉集合であり、A の閉包が A と等しくなければ A は閉集合ではありません。

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数列を用いた集積点の判定

実数空間 R の部分集合 A および点 a が与えられたとき、A の点を項とするとともに、すべての項が a とは異なり、なおかつ a に収束する数列が存在することは、a が A の集積点であるための必要十分条件です。

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集積点の存在条件と実数の連続性

集積点の存在条件(有界な無限集合は集積点を持つという命題)はボルツァーノ=ワイエルシュトラスの定理と必要十分です。したがって、集積点の存在条件とアルキメデスの性質によって、実数の連続性の定義とすることができます。

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SECTION 4

コンパクト性

実数空間の部分集合がコンパクトであることの意味を定義します。

実数空間における点列コンパクト集合

実数空間の部分集合が与えられたとき、その集合の要素を項とする任意の点列がその集合の点に収束する部分列を持つとき、その集合を点列コンパクト集合と呼びます。ある集合が点列コンパクトであることと、その集合がコンパクトであることは必要十分です。

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カントールの縮小区間定理の一般化

カントールの縮小区間定理は入れ子構造の閉区間列に関する命題ですが、同様の主張が入れ子構造のコンパクト集合列に関して成り立ちます。つまり、入れ子構造のコンパクト集合列の共通部分は非空になることが保証されます。

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SECTION 5

可算公理

可算公理について解説します。

実数空間における稠密集合

実数空間Rの部分集合Xが与えられたとき、さらにその部分集合Aの閉包がXを部分集合として含む場合には、AをXの稠密部分集合と呼びます。特に、Rの部分集合AがRの稠密部分集合であることとは、Aの閉包がRと一致することを意味します。

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SECTION 6

連結性

実数空間の部分集合が連結であることの意味を定義します。

実数空間における集合の切断

実数空間の部分集合Xが与えられたとき、開集合A,Bとの交わりをとることによりXを互いに素な2つの非空な集合に分割できる場合、これらの開集合A,BをXの切断と呼びます。

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実数空間における区間と連結集合の関係

実数空間にユークリッド距離を導入した場合、実数空間の部分集合が区間であることと、その集合が連結集合であることは必要十分です。したがって、区間でないことと非連結集合であることも必要十分です。

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RELATED KNOWLEDGE

関連知識

REQUIRED KNOWLEDGE

必須知識

以下の分野の知識があると本セクションの内容を円滑に理解できます。

実数の定義

実数を無限小数として定義する場合、実数に関する議論はすべて無限小数に関する議論として行うことになり面倒です。そこで代替的な方法として公理主義的なアプローチのもとで実数を定義します。ここでは実数を特徴づける公理について解説します。

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数列

数列に関するテキストと演習問題です。数列という概念を定義した上で、さらに収束列、単調数列、区間列、部分列などについて学び、これらの概念を使って実数の連続性を表現できることを確認します。

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ADVANCED KNOWLEDGE

発展知識

本節で得た知識は以下の分野を学ぶ上での土台になります。

1変数関数

関数に関するテキストと演習問題です。実数の点集合上に定義され実数を値としてとる関数について、収束の概念や連続性の概念を中心に解説します。

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