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閉集合・閉集合系

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閉集合

実数空間\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)に対して、その補集合\(A^{c}\)が\(\mathbb{R} \)上の開集合であるならば、すなわち、\begin{equation*}\forall a\in A^{c},\ \exists \varepsilon >0:N_{\varepsilon }\left( a\right)
\subset A^{c}
\end{equation*}が成り立つ場合には、\(A\)を\(\mathbb{R} \)上の閉集合(closed set on \(\mathbb{R} \))と呼びます。点の近傍の定義を踏まえると、これは、\begin{equation*}\forall a\in A^{c},\ \exists \varepsilon >0:\left( a-\varepsilon
,a+\varepsilon \right) \subset A^{c}
\end{equation*}と言い換え可能です。つまり、\(A^{c}\)に属するそれぞれの点について、その点を中心とする有界開区間の中に\(A^{c}\)の部分集合であるようなものが存在するならば\(A\)は閉集合です。定義より、\(\mathbb{R} \)の任意の部分集合\(A\)について、\begin{eqnarray*}A\text{は}\mathbb{R} \text{上の閉集合} &\Leftrightarrow &A^{c}\text{は}\mathbb{R} \text{上の開集合} \\
A\text{は}\mathbb{R} \text{上の閉集合ではない} &\Leftrightarrow &A^{c}\text{は}\mathbb{R} \text{上の開集合ではない}
\end{eqnarray*}などの関係が成り立ちます。つまり、\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)が閉集合であることを示す際には、その補集合\(A^{c}\)が開集合であることを示すことが基本的な方針であり、\(A\)が閉集合ではないことを示す際には、その補集合\(A^{c}\)が開集合ではないことを示すことが基本的な方針になります。

例(有界閉区間は閉集合)
\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、実数空間\(\mathbb{R} \)上の有界閉区間\begin{equation*}\left[ a,b\right] =\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a\leq x\leq b\right\}
\end{equation*}は\(\mathbb{R} \)上の閉集合です(演習問題にします)。
例(無限半閉区間は閉集合)
実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、実数空間\(\mathbb{R} \)上の無限半閉区間\begin{eqnarray*}\lbrack a,+\infty ) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a\leq x<+\infty \right\} \\
(-\infty ,b] &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ -\infty <x\leq b\right\}
\end{eqnarray*}はいずれも\(\mathbb{R} \)上の閉集合です(演習問題にします)。
例(点の閉近傍は閉集合)
点\(a\in \mathbb{R} \)と正の実数\(\varepsilon >0\)が与えられたとき、\(a\)を中心とする\(\varepsilon \)-閉近傍は、\begin{align*}C_{\varepsilon }\left( a\right) & =\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ \left\vert x-a\right\vert \leq \varepsilon \right\} \\
& =\left[ a-\varepsilon ,a+\varepsilon \right] \end{align*}と定義されます。先に指摘したように有界な閉区間は\(\mathbb{R} \)上の閉集合であるため、\(C_{\varepsilon }\left( a\right) \)もまた\(\mathbb{R} \)上の閉集合です。
例(閉区間ではない閉集合)
実数空間\(\mathbb{R} \)上の閉区間は閉集合であることが明らかになりましたが、逆に、\(\mathbb{R} \)上の閉集合は閉区間であるとは限りません。具体的には、2つの閉区間\(\left[ 1,2\right] \)と\(\left[ 3,4\right] \)の和集合\begin{equation*}\left[ 1,2\right] \cup \left[ 3,4\right] \end{equation*}について考えます。閉区間は閉集合ですが、後に示すように有限個の閉集合の和集合は閉集合であるため、上の和集合は\(\mathbb{R} \)上の閉集合です。さて、\(\mathbb{R} \)の部分集合\(I\)が区間であるとは、\(a<b\)を満たす点\(a,b\in I\)を任意に選んだとき、\(a<c<b\)を満たす任意の\(c\)もまた\(c\in I\)であることを意味します。先の和集合に関しては、\(a\in \left[ 1,2\right] \)を満たす点\(a\)と\(b\in \left[ 3,4\right] \)を満たす点\(b\)をそれぞれ任意に選んだとき、例えば、\(a<\frac{5}{2}<b\)を満たす\(\frac{5}{2}\)は\(\left[ 1,2\right] \)と\(\left[ 3,4\right] \)のどちらの要素でもないため、先の和集合は区間ではなく、したがって閉区間でもありません。
例(1点集合は閉集合)
実数\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、それだけを要素とする\(\mathbb{R} \)の部分集合\(\left\{ a\right\} \)について考えます。\(\{a\}\)は\(\mathbb{R} \)上の閉集合です。\(\mathbb{R} \)上の任意の1点集合は閉集合であるということです。
例(有界半開区間は閉集合ではない)
\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、実数空間\(\mathbb{R} \)上の有界半開区間\begin{eqnarray*}\lbrack a,b) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a\leq x<b\right\} \\
(a,b] &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a<x\leq b\right\}
\end{eqnarray*}はいずれも\(\mathbb{R} \)上の閉集合ではありません(演習問題にします)。
例(有界開区間や無限半開区間は閉集合ではない)
\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、実数空間\(\mathbb{R} \)上の有界開区間\begin{equation*}\left( a,b\right) =\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a<x<b\right\}
\end{equation*}や無限半開区間\begin{eqnarray*}
(a,+\infty ) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a<x<+\infty \right\} \\
(-\infty ,b) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ -\infty <x<b\right\}
\end{eqnarray*}はいずれも\(\mathbb{R} \)上の閉集合ではありません(演習問題にします)。

 

閉集合系

実数空間\(\mathbb{R} \)上の閉集合をすべて集めてできる集合系を\(\mathbb{R} \)の閉集合系(system of closedsets)と呼び、これを\(\mathcal{A}\)で表します。\(\mathbb{R} \)の開集合系を\(\mathcal{O}\)で、閉集合系を\(\mathcal{A}\)でそれぞれ表します。すると閉集合の定義より、\(\mathbb{R} \)の任意の部分集合\(A\)について、\begin{equation*}A\in \mathcal{A}\Leftrightarrow A^{c}\in \mathcal{O}
\end{equation*}という関係が成り立ちます。つまり、\(A\)が\(\mathbb{R} \)上の閉集合であることと\(A^{c}\)が\(\mathbb{R} \)上の開集合であることは必要十分です。同様に、\begin{equation*}A^{c}\in \mathcal{A}\Leftrightarrow A\in \mathcal{O}
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、\(A\)が\(\mathbb{R} \)上の開集合であることと\(A^{c}\)が\(\mathbb{R} \)上の閉集合であることは必要十分です。
実数空間\(\mathbb{R} \)の閉集合系\(\mathcal{A}\)を特徴づける1つ目の性質は、それが\(\mathbb{R} \)自身や空集合\(\phi \)を要素として持つということです。言い換えると、\(\mathbb{R} \)と\(\phi \)はいずれも\(\mathbb{R} \)上の閉集合であるということです。

命題(閉集合系の基本性質)
実数空間\(\mathbb{R} \)の閉集合系\(\mathcal{A}\)は、\begin{equation*}\left( A_{1}\right) \ \mathbb{R} \in \mathcal{A},\ \phi \in \mathcal{A}
\end{equation*}を満たす。
証明

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実数空間\(\mathbb{R} \)の閉集合系\(\mathcal{A}\)を特徴づける2つ目の性質は、\(\mathcal{A}\)に属する有限個の集合を任意に選んだとき、それらの和集合もまた\(\mathcal{A}\)に属するということです。言い換えると、有限個の任意の閉集合の和集合もまた閉集合になるということです。

命題(閉集合系の基本性質)
実数空間\(\mathbb{R} \)の閉集合系\(\mathcal{A}\)は、\begin{equation*}\left( A_{2}\right) \ A_{1},\cdots ,A_{m}\in \mathcal{A}\Rightarrow
\bigcup\limits_{i=1}^{m}A_{i}\in \mathcal{A}
\end{equation*}を満たす。
証明

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上の命題は有限個の閉集合に関して成立する性質であり、無限個の閉集合に関して同様の命題は成り立つとは限りません。つまり、無限個の閉集合を任意に選んだとき、それらの和集合は閉集合であるとは限りません。以下の例から明らかです。

例(無限個の閉集合の和集合)
\(a<b\)を満たす点\(a,b\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、それぞれの番号\(i\in \mathbb{N} \)に対して、\begin{equation*}A_{i}=\left( a-\frac{1}{i},b+\frac{1}{i}\right)
\end{equation*}という有界な開区間を定義します。有界な開区間は\(\mathbb{R} \)上の開集合であるため、\(A_{i}\)もまた\(\mathbb{R} \)上の開集合です。ゆえに補集合\(A_{i}^{c}\)は\(\mathbb{R} \)上の閉集合です。無限個の閉集合\(A_{i}^{c}\)の和集合が閉集合でないことを示すことが目標になります。具体的には、ド・モルガンの定理より、\begin{equation*}\left( \bigcup\limits_{i\in \mathbb{N} }A_{i}^{c}\right) ^{c}=\bigcap\limits_{i\in \mathbb{N} }A_{i}
\end{equation*}となりますが、\(\bigcap\limits_{i\in \mathbb{N} }A_{i}\)が\(\mathbb{R} \)上の開集合でないことは以前に示した通りです。したがって、その補集合である\(\bigcup\limits_{i\in \mathbb{N} }A_{i}^{c}\)は\(\mathbb{R} \)上の閉集合ではありません。

実数空間\(\mathbb{R} \)の閉集合系\(\mathcal{A}\)を特徴づける3つ目の性質は、\(\mathcal{A}\)に属する任意個の集合を任意に選んだとき、それらの共通部分もまた\(\mathcal{A}\)に属するということです。言い換えると、任意個の任意の閉集合の共通部分もまた閉集合になるということです。

命題(閉集合系の基本性質)
実数空間\(\mathbb{R} \)の閉集合系\(\mathcal{A}\)は、\begin{equation*}\left( A_{3}\right) \ \left( \forall \lambda \in \Lambda :A_{\lambda }\in
\mathcal{A}\right) \Rightarrow \bigcap\limits_{\lambda \in \Lambda
}A_{\lambda }\in \mathcal{A}
\end{equation*}を満たす。
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上の命題中の集合\(\Lambda \)は任意の集合であるため、問題としている閉集合の個数は有限、可算、非可算を含めて何個でも構いません。有限個の閉集合の和集合、可算個の閉集合の共通部分、非可算個の閉集合の共通部分はいずれも閉集合であることが保証されるということです。

演習問題

問題(閉集合)
\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、実数空間\(\mathbb{R} \)上の有界閉区間\begin{equation*}\left[ a,b\right] =\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a\leq x\leq b\right\}
\end{equation*}は\(\mathbb{R} \)上の閉集合であることを証明してください。
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問題(閉集合)
実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、実数空間\(\mathbb{R} \)上の無限半閉区間\begin{eqnarray*}\lbrack a,+\infty ) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a\leq x<+\infty \right\} \\
(-\infty ,b] &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ -\infty <x\leq b\right\}
\end{eqnarray*}はいずれも\(\mathbb{R} \)上の閉集合であることを証明してください。
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問題(閉集合)
実数\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、その点だけを要素とする\(\mathbb{R} \)の部分集合\(\left\{ a\right\} \)を作ります。この\(\left\{ a\right\} \)は\(\mathbb{R} \)上の閉集合であることを証明してください。
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問題(閉集合)
\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、実数空間\(\mathbb{R} \)上の有界開区間\begin{equation*}\left( a,b\right) =\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a<x<b\right\}
\end{equation*}は\(\mathbb{R} \)上の閉集合ではないことを証明してください。
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問題(閉集合)
実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、実数空間\(\mathbb{R} \)上の無限半開区間\begin{eqnarray*}(a,+\infty ) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a<x<+\infty \right\} \\
(-\infty ,b) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ -\infty <x<b\right\}
\end{eqnarray*}はいずれも\(\mathbb{R} \)上の閉集合ではないことを証明してください。
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問題(閉集合)
実数空間\(\mathbb{R} \)上の開集合であるととに閉集合でもあるような\(\mathbb{R} \)の部分集合の例を具体的に挙げてください。
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問題(閉集合)
実数空間\(\mathbb{R} \)上の開集合と閉集合のいずれでもない\(\mathbb{R} \)の部分集合の例を具体的に挙げてください。
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次回は実数空間の部分集合が閉集合や開集合であること(ではないこと)を判定する際に数列を使う方法を解説します。

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DISCUSSION

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直線の位相