閉集合
実数空間の点\(a\in \mathbb{R} \)と正の実数\(\varepsilon >0\)をそれぞれ任意に選んだとき、点\(a\)を中心とする半径\(\varepsilon \)の近傍は、\begin{eqnarray*}N_{\varepsilon }\left( a\right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ \left\vert x-a\right\vert <\varepsilon \right\} \\
&=&\left( a-\varepsilon ,a+\varepsilon \right)
\end{eqnarray*}と定義される\(\mathbb{R} \)の部分集合です。さらに、\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)が開集合であることとは、\begin{equation*}\forall a\in A,\ \exists \varepsilon >0:N_{\varepsilon }\left( a\right)
\subset A
\end{equation*}が成り立つこととして定義されます。
\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)に対して、その補集合\(A^{c}\)が\(\mathbb{R} \)上の開集合であるならば、すなわち、\begin{equation*}\forall a\in A^{c},\ \exists \varepsilon >0:N_{\varepsilon }\left( a\right)
\subset A^{c}
\end{equation*}が成り立つ場合には、\(A\)を\(\mathbb{R} \)上の閉集合（closed set on \(\mathbb{R} \)）と呼びます。点の近傍の定義を踏まえると、これは、\begin{equation*}\forall a\in A^{c},\ \exists \varepsilon >0:\left( a-\varepsilon
,a+\varepsilon \right) \subset A^{c}
\end{equation*}と必要十分です。つまり、\(A\)の補集合に属するそれぞれの点について、その点を中心とする有界開区間の中に\(A\)の補集合の部分集合であるようなものが存在するならば\(A\)は閉集合です。
閉集合の定義より、\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}A\text{は}\mathbb{R} \text{上の閉集合である}\Leftrightarrow A^{c}\text{は}\mathbb{R} \text{上の開集合である}
\end{equation*}という関係が成り立ちます。したがって、\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)が閉集合であることを示すためには、その補集合\(A^{c}\)が開集合であることを示すことが基本的な方針になります。なお、数列を用いた閉集合の判定条件も存在します。詳細は場を改めて解説します。
\end{equation*}や無限半閉区間\begin{eqnarray*}
\lbrack a,+\infty ) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a\leq x<+\infty \right\} \\
(-\infty ,b] &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ -\infty <x\leq b\right\}
\end{eqnarray*}はいずれも\(\mathbb{R} \)上の閉集合です。なぜなら、これらの補集合\begin{eqnarray*}\left[ a,b\right] ^{c} &=&\left( -\infty ,a\right) \cup \left( b,+\infty
\right) \\
\lbrack a,+\infty )^{c} &=&\left( -\infty ,a\right) \\
(-\infty ,b]^{c} &=&\left( b,+\infty \right)
\end{eqnarray*}はいずれも\(\mathbb{R} \)上の開集合だからです（演習問題）。
\end{equation*}を満たす点\(a,b,c,d\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、以下の集合\begin{equation*}\left[ a,b\right] \cup \left[ c,d\right] \end{equation*}は\(\mathbb{R} \)上の閉集合である一方で区間ではなく、したがって閉区間でもありません（演習問題）。ちなみに、\(\mathbb{R} \)の部分集合\(I\)が区間であることと、以下の条件\begin{equation*}\forall x,y\in I:\left[ x<y\Rightarrow \forall z\in \left( x,y\right) :z\in I\right] \end{equation*}が成り立つことは必要十分です。
\text{点の閉近傍の定義} \\
& =\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a-\varepsilon \leq x\leq a+\varepsilon \right\} \quad \because \text{絶対値の定義} \\
& =\left[ a-\varepsilon ,a+\varepsilon \right] \quad \because \text{閉区間の定義}
\end{align*}という関係が成り立ちます。つまり、点の閉近傍は有界閉区間であるため\(\mathbb{R} \)上の閉集合です。
\end{equation*}を構成します。これは\(\mathbb{R} \)上の閉集合です。なぜなら、その補集合\begin{equation*}\mathbb{R} \backslash \left\{ a\right\} =\left( -\infty ,a\right) \cup \left( a,+\infty\right)
\end{equation*}は\(\mathbb{R} \)上の開集合だからです（演習問題）。
閉集合ではない集合
繰り返しになりますが、\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)を任意に選んだとき、閉集合の定義より、\begin{equation*}A\text{は}\mathbb{R} \text{上の閉集合である}\Leftrightarrow A^{c}\text{は}\mathbb{R} \text{上の開集合である}
\end{equation*}という関係が成り立ちます。したがって、以下の関係\begin{equation*}
A\text{は}\mathbb{R} \text{上の閉集合ではない}\Leftrightarrow A^{c}\text{は}\mathbb{R} \text{上の開集合ではない}
\end{equation*}もまた成り立ちます。このような事情を踏まえると、\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)が閉集合ではないことを示すためには、その補集合\(A^{c}\)が開集合ではないことを示すことが基本的な方針になります。
(a,b] &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a<x\leq b\right\}
\end{eqnarray*}はいずれも\(\mathbb{R} \)上の閉集合ではありません。なぜなら、これらの補集合\begin{eqnarray*}\lbrack a,b)^{c} &=&\left( -\infty ,a\right) \cup \lbrack b,+\infty ) \\
(a,b]^{c} &=&(-\infty ,a]\cup (b,+\infty )
\end{eqnarray*}はいずれも\(\mathbb{R} \)上の開集合ではないからです（演習問題）。
\end{equation*}や無限半開区間\begin{eqnarray*}
\left( a,+\infty \right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a<x<+\infty \right\} \\
\left( -\infty ,b\right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ -\infty <x<b\right\}
\end{eqnarray*}はいずれも\(\mathbb{R} \)上の閉集合ではありません。なぜなら、これらの補集合\begin{eqnarray*}\left( a,b\right) ^{c} &=&(-\infty ,a]\cup \lbrack b,+\infty ) \\
\left( a,+\infty \right) ^{c} &=&(-\infty ,a] \\
\left( -\infty ,b\right) ^{c} &=&[b,+\infty )
\end{eqnarray*}はいずれも\(\mathbb{R} \)上の開集合ではないからです（演習問題）。
開集合と閉集合のどちらでもない集合
繰り返しになりますが、\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)について、以下の関係\begin{eqnarray*}A\text{は}\mathbb{R} \text{上の閉集合である}
&\Leftrightarrow &A^{c}\text{は}\mathbb{R} \text{上の開集合である} \\
A\text{は}\mathbb{R} \text{上の閉集合ではない} &\Leftrightarrow &A^{c}\text{は}\mathbb{R} \text{上の開集合ではない}
\end{eqnarray*}はともに成り立ちます。その一方で、\begin{eqnarray*}
A\text{は}\mathbb{R} \text{上の閉集合ではない} &\Leftrightarrow &A\text{は}\mathbb{R} \text{上の開集合である} \\
A\text{は}\mathbb{R} \text{上の開集合ではない} &\Leftrightarrow &A\text{は}\mathbb{R} \text{上の閉集合である}
\end{eqnarray*}などの関係は成り立つとは限らないことに注意が必要です。閉集合でないことは開集合であることを必ずしも意味せず、開集合でないことは閉集合であることを必ずしも意味しないということです。実際、閉集合と開集合のどちらでもないような集合が存在します。以下の例より明らかです。
(a,b] &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a<x\leq b\right\}
\end{eqnarray*}はいずれも\(\mathbb{R} \)上の閉集合と開集合のどちらでもありません（演習問題）。
閉集合系
実数空間\(\mathbb{R} \)上の閉集合をすべて集めてできる集合族を\(\mathbb{R} \)の閉集合系（system of closedsets）と呼び、これを\(\mathcal{A}\)で表記します。閉集合の定義より、\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)を任意に選んだとき、\(A\)が\(\mathbb{R} \)上の閉集合であることと\(A^{c}\)が\(\mathbb{R} \)上の開集合であることは必要十分であるため、\begin{equation*}A\in \mathcal{A}\Leftrightarrow A^{c}\in \mathcal{O}
\end{equation*}という関係が成り立ちます。ただし、\(\mathcal{O}\)は\(\mathbb{R} \)の開集合系、すなわち\(\mathbb{R} \)上の開集合をすべて集めてできる集合族です。同様に、\begin{equation*}A^{c}\in \mathcal{A}\Leftrightarrow A\in \mathcal{O}
\end{equation*}という関係もまた成り立ちます。
実数空間\(\mathbb{R} \)の閉集合系\(\mathcal{A}\)を特徴づける1つ目の性質は、それが\(\mathbb{R} \)自身や空集合\(\phi \)を要素として持つということです。言い換えると、\(\mathbb{R} \)と\(\phi \)はいずれも\(\mathbb{R} \)上の閉集合であるということです。
\end{equation*}を満たす。
\(\mathbb{R} \)と\(\phi \)は\(\mathbb{R} \)上の開集合でもあることと上の命題を踏まえると、これらは開集合かつ閉集合であるような\(\mathbb{R} \)の部分集合ということになります。ちなみに、開集合かつ閉集合であるような\(\mathbb{R} \)の部分集合は\(\mathbb{R} \)と\(\phi \)の他に存在しません（演習問題）。
実数空間\(\mathbb{R} \)の閉集合系\(\mathcal{A}\)を特徴づける2つ目の性質は、\(\mathcal{A}\)に属する有限個の集合を任意に選んだとき、それらの和集合もまた\(\mathcal{A}\)に属するということです。言い換えると、有限個の任意の閉集合の和集合もまた閉集合になるということです。
\bigcup\limits_{i=1}^{m}A_{i}\in \mathcal{A}
\end{equation*}を満たす。
\end{equation*}と表すことができるということです。このとき、\begin{equation*}
A=\bigcup\limits_{i=1}^{m}\left\{ x_{i}\right\}
\end{equation*}という関係が成り立ちます。先に示したように1点集合\(\left\{ x_{i}\right\} \)は\(\mathbb{R} \)上の閉集合であるため、\(A\)は有限個の閉集合の和集合であり、したがって先の命題より\(A\)は\(\mathbb{R} \)上の閉集合です。以上より、\(\mathbb{R} \)上の任意の有限集合は閉集合であることが明らかになりました。
先の命題は有限個の閉集合に関して成立する性質であることに注意してください。一方、無限個の閉集合を選んだとき、それらの和集合は閉集合になるとは限りません。以下の例より明らかです。
\right)
\end{equation*}という有界な開区間を定義します。先に示したように無限閉区間は閉集合であり、なおかつ有限個の閉集合どうしの和集合は閉集合であるため\(A_{i}\)は閉集合です。\(\mathbb{N} \)は無限集合であるため\(\left\{ A_{i}\right\} _{i\in \mathbb{N} }\)は無限個の閉集合を要素として持つ集合族です。この集合族の和集合\begin{equation*}\bigcup\limits_{i\in \mathbb{N} }A_{i}
\end{equation*}は閉集合ではありません（演習問題）。
ちなみに、無限個の閉集合の和集合が閉集合になる場合もあります。以下の例より明らかです。
\end{equation*}が成り立つため、和集合は、\begin{equation*}
\bigcup\limits_{i\in \mathbb{N} }A_{i}=\left[ a-1,b+1\right] \end{equation*}となりますが、有界な閉区間は\(\mathbb{R} \)上の閉集合であるため、上の和集合もまた閉集合です。
\(\mathbb{R} \)の閉集合系\(\mathcal{A}\)を特徴づける3つ目の性質は、\(\mathcal{A}\)に属する任意個の集合を任意に選んだとき、それらの共通部分もまた\(\mathcal{A}\)に属するということです。言い換えると、任意個の任意の閉集合の共通部分もまた閉集合になるということです。
\mathcal{A}\right) \Rightarrow \bigcap\limits_{\lambda \in \Lambda
}A_{\lambda }\in \mathcal{A}
\end{equation*}を満たす。
上の命題中の集合\(\Lambda \)は任意です。\(\Lambda \)として有限集合を採用した場合、上の命題の主張は「有限個の閉集合の共通部分は閉集合」というものになります。一方、\(\Lambda \)として可算集合や非可算集合などの無限集合を採用した場合、上の命題の主張は「無限個の閉集合の共通部分は閉集合」という主張になります。先に例を通じて確認したように、無限個の閉集合の和集合は閉集合になるとは限りません。一方、無限個の閉集合の共通部分は閉集合になることが保証されます。
部分距離空間上の閉集合
1次元のユークリッド空間\(\left( \mathbb{R} ,d\right) \)が与えられているものとします。つまり、ユークリッド距離関数\(d:\mathbb{R} \times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)は実数を成分とするそれぞれの順序対\(\left(x,y\right) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}d\left( x,y\right) =\left\vert x-y\right\vert
\end{equation*}を定めます。距離関数\(d\)は以下の性質\begin{eqnarray*}&&\left( M_{1}\right) \ \forall x,y\in \mathbb{R} :d\left( x,y\right) \geq 0 \\
&&\left( M_{2}\right) \ \forall x,y\in \mathbb{R} :\left[ d(x,y)=0\Leftrightarrow x=y\right] \\
&&\left( M_{3}\right) \ \forall x,y\in \mathbb{R} :d(x,y)=d\left( y,x\right) \\
&&\left( M_{4}\right) \ \forall x,y,z\in \mathbb{R} :d\left( x,z\right) \leq d\left( x,y\right) +d\left( y,z\right)
\end{eqnarray*}を満たします。
非空な部分集合\(X\subset \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、それにあわせて距離関数\(d:\mathbb{R} \times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)の定義域を\(X\times X\)へ制限して\(d_{X}:X\times X\rightarrow \mathbb{R} \)とすれば、すなわち、\begin{equation*}\forall \left( x,y\right) \in X\times X:d_{X}\left( x,y\right) =d\left(
x,y\right)
\end{equation*}を満たすものとして\(d_{X}\)を定義すれば、この\(d_{X}\)もまた距離関数としての性質\begin{eqnarray*}&&\left( M_{1}\right) \ \forall x,y\in X:d_{X}\left( x,y\right) \geq 0 \\
&&\left( M_{2}\right) \ \forall x,y\in X:\left[ d_{X}(x,y)=0\Leftrightarrow
x=y\right] \\
&&\left( M_{3}\right) \ \forall x,y\in X:d_{X}(x,y)=d_{X}\left( y,x\right)
\\
&&\left( M_{4}\right) \ \forall x,y,z\in X:d_{X}\left( x,z\right) \leq
d_{X}\left( x,y\right) +d_{X}\left( y,z\right)
\end{eqnarray*}を満たすため、\begin{equation*}
\left( X,d_{X}\right)
\end{equation*}もまた距離空間になります。これをもとの空間\(\left( \mathbb{R} ,d\right) \)の部分距離空間と呼びます。集合\(X\)上に距離関数\(d_{X}\)が定義されていることが文脈から明らかである場合には、部分距離空間\(\left( X,d_{X}\right) \)をシンプルに、\begin{equation*}X
\end{equation*}と表記できるものと定めます。
部分距離空間は距離空間であるため、部分距離空間においても、その部分集合が開集合であるか検討できます。具体的には以下の通りです。
空間\(\left( \mathbb{R} ,d\right) \)の部分距離空間\(\left(X,d_{X}\right) \)が与えられている状況を想定します。部分距離空間の点\(a\in X\)を中心とする半径\(\varepsilon >0\)の近傍とは、点\(a\)からの距離が\(\varepsilon \)よりも小さい場所にある\(X\)の点からなる集合であり、これを、\begin{eqnarray*}N_{\varepsilon }^{X}\left( a\right) &=&\left\{ x\in X\ |\ d_{X}\left(
x,a\right) <\varepsilon \right\} \\
&=&X\cap \left( a-\varepsilon ,a+\varepsilon \right)
\end{eqnarray*}で表記します。部分距離空間の部分集合\(A\subset X\)が\(X\)上の開集合であることは、\begin{equation*}\forall a\in A,\ \exists \varepsilon >0:N_{\varepsilon }^{X}\left( a\right)
\subset A
\end{equation*}が成り立つこととして定義されます。つまり、\(A\)の点\(a\)を任意に選んだときに、点\(a\)を中心とする近傍\(N_{\varepsilon }^{X}\left( a\right) \)の中に\(A\)の部分集合であるようなものが存在するならば\(A\)は\(X\)上の開集合です。ただし、上の定義で用いている近傍\(N_{\varepsilon }^{X}\left( a\right) \)は部分距離空間\(X\)における点\(a\)の近傍であり、もとの空間\(\mathbb{R} \)における点\(a\)の近傍\begin{equation*}N_{\varepsilon }\left( a\right) =\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ d\left( x,a\right) <\varepsilon \right\}
\end{equation*}ではないことに注意してください。
以上を踏まえたとき、部分距離空間の部分集合\(A\subset X\)が\(X\)上の閉集合であることは、その補集合\begin{equation*}A^{c}=X\backslash A
\end{equation*}が\(X\)上の開集合であることとして定義されます。開集合の定義を踏まえると、これは、\begin{equation*}\forall a\in A^{c},\ \exists \varepsilon >0:N_{\varepsilon }^{X}\left(
a\right) \subset A^{c}
\end{equation*}が成り立つことを意味します。ただし、上の定義で用いている補集合\(A^{c}\)は部分距離空間\(X\)を舞台とした場合の\(A\)の補集合\(X\backslash A\)であり、もとの空間\(\mathbb{R} \)を舞台とした場合の\(A\)の補集合\(\mathbb{R} \backslash A\)ではないことに注意してください。
空間\(\left( \mathbb{R} ,d\right) \)の部分距離空間\(\left(X,d_{X}\right) \)が与えられているとき、\(X\)上の閉集合をすべて集めてできる集合族を\(X\)の閉集合系と呼び、これを、\begin{equation*}\mathcal{A}\left( X\right)
\end{equation*}で表記するものと定めます。閉集合の定義より、\(X\)の部分集合\(A\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}A\in \mathcal{A}\left( X\right) \Leftrightarrow \forall a\in A^{c},\ \exists
\varepsilon >0:N_{\varepsilon }^{X}\left( a\right) \subset A^{c}
\end{equation*}という関係が成り立ちます。
部分距離空間\(X\subset \mathbb{R} \)上の閉集合系\(\mathcal{A}\left( X\right) \)と区別するために、もとの空間\(\mathbb{R} \)上の閉集合系\(\mathcal{A}\)を、\begin{equation*}\mathcal{A}\left( \mathbb{R} \right) =\mathcal{A}
\end{equation*}と表現できるものと定めます。閉集合の定義より、\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}A\in \mathcal{A}\left( \mathbb{R} \right) \Leftrightarrow \forall a\in A^{c},\ \exists \varepsilon
>0:N_{\varepsilon }\left( a\right) \subset A^{c}
\end{equation*}という関係が成り立ちます。
空間\(\left( \mathbb{R} ,d\right) \)の部分距離空間\(\left(X,d_{X}\right) \)が与えられているものとします。部分距離空間の部分集合\(A\subset X\)が\(X\)上の閉集合であるものとします。\(X\subset \mathbb{R} \)ゆえに\(A\subset \mathbb{R} \)であるため、この集合\(A\)がもとの空間\(\mathbb{R} \)上においても閉集合であるか検討できますが、\(A\)は\(\mathbb{R} \)上の閉集合であるとは限りません。つまり、\(A\subset X\)について、\begin{equation*}A\in \mathcal{A}\left( X\right) \Rightarrow A\in \mathcal{A}\left( \mathbb{R} \right)
\end{equation*}は成り立つとは限りません。以下の例より明らかです。
\end{equation*}に注目した上で部分距離空間\(\left( X,d_{X}\right) \)をとります。以下の集合\begin{equation*}\left[ \frac{1}{2},1\right) \subset X
\end{equation*}は\(X\)上の閉集合である一方で、もとの空間\(\mathbb{R} \)上において閉集合ではありません（演習問題）。
空間\(\left( \mathbb{R} ,d\right) \)の部分距離空間\(\left(X,d_{X}\right) \)が与えられているものとします。部分距離空間の部分集合\(A\subset X\)が\(X\)上の閉集合であるものとします。つまり、\(A\in \mathcal{A}\left( X\right) \)が成り立つということです。この場合には、もとの空間\(\mathbb{R} \)上の何らかの閉集合\(B\in \mathcal{A}\left( \mathbb{R} \right) \)を用いて、\begin{equation*}A=B\cap X
\end{equation*}と表現できることが保証されます。つまり、部分距離空間\(X\)上の閉集合\(A\)は、もとの空間\(\mathbb{R} \)上の何らかの閉集合\(B\)と部分距離空間\(X\)の共通部分として表すことができるということです。逆も成立するため以下を得ます。
\end{equation*}が成立する。
\end{equation*}に注目した上で部分距離空間\(\left( X,d_{X}\right) \)をとります。以下の集合\begin{equation*}\left[ \frac{1}{2},1\right) \subset X
\end{equation*}に注目します。有界閉区間\(\left[ \frac{1}{2},1\right] \)はもとの空間\(\mathbb{R} \)上の閉集合であるとともに、\begin{equation*}\left[ \frac{1}{2},1\right) =\left[ \frac{1}{2},1\right] \cap \left[
0,1\right)
\end{equation*}が成立します。つまり、\begin{equation*}
\exists \left[ \frac{1}{2},1\right] \in \mathcal{A}\left( \mathbb{R} \right) :\left[ \frac{1}{2},1\right) =\left[ \frac{1}{2},1\right] \cap X
\end{equation*}が成り立つため、先の命題より\(\left[ \frac{1}{2},1\right) \)は部分距離空間\(X\)上の閉集合であることが明らかになりました。
演習問題
\cap A=\phi
\end{equation*}が成り立つことは、\(A\)が\(\mathbb{R} \)上の閉集合であるための必要十分条件であることを示してください。
\end{equation*}は\(\mathbb{R} \)上の閉集合であることを証明してください。
(-\infty ,b] &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ -\infty <x\leq b\right\}
\end{eqnarray*}はいずれも\(\mathbb{R} \)上の閉集合であることを証明してください。
\end{equation*}は\(\mathbb{R} \)上の閉集合ではないことを証明してください。
(-\infty ,b) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ -\infty <x<b\right\}
\end{eqnarray*}はいずれも\(\mathbb{R} \)上の閉集合ではないことを証明してください。
(a,b] &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a<x\leq b\right\}
\end{eqnarray*}はいずれも\(\mathbb{R} \)上の閉集合と開集合のどちらでもないことを示してください。
\right)
\end{equation*}という閉集合を定義します。この集合族の和集合\begin{equation*}
\bigcup\limits_{i\in \mathbb{N} }A_{i}
\end{equation*}が閉集合ではないことを示してください。
\end{equation*}に注目した上で部分距離空間\(\left( X,d_{X}\right) \)をとります。以下の集合\begin{equation*}\left[ \frac{1}{2},1\right) \subset X
\end{equation*}は\(X\)上の閉集合である一方で、もとの空間\(\mathbb{R} \)上において閉集合ではないことを示してください。
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