実数空間における閉集合・閉集合系

閉集合

実数空間の点\(a\in \mathbb{R} \)と正の実数\(\varepsilon >0\)をそれぞれ任意に選んだとき、点\(a\)を中心とする半径\(\varepsilon \)の近傍は、\begin{eqnarray*}N_{\varepsilon }\left( a\right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ \left\vert x-a\right\vert <\varepsilon \right\} \\
&=&\left( a-\varepsilon ,a+\varepsilon \right)
\end{eqnarray*}と定義される\(\mathbb{R} \)の部分集合です。さらに、\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)が開集合であることとは、\begin{equation*}\forall a\in A,\ \exists \varepsilon >0:N_{\varepsilon }\left( a\right)
\subset A
\end{equation*}が成り立つこととして定義されます。

\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)に対して、その補集合\(A^{c}\)が\(\mathbb{R} \)上の開集合であるならば、すなわち、\begin{equation*}\forall a\in A^{c},\ \exists \varepsilon >0:N_{\varepsilon }\left( a\right)
\subset A^{c}
\end{equation*}が成り立つ場合には、\(A\)を\(\mathbb{R} \)上の閉集合（closed set on \(\mathbb{R} \)）と呼びます。点の近傍の定義を踏まえると、これは、\begin{equation*}\forall a\in A^{c},\ \exists \varepsilon >0:\left( a-\varepsilon
,a+\varepsilon \right) \subset A^{c}
\end{equation*}と必要十分です。つまり、\(A\)の補集合に属するそれぞれの点について、その点を中心とする有界開区間の中に\(A\)の補集合の部分集合であるようなものが存在するならば\(A\)は閉集合です。

閉集合の定義より、\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}A\text{は}\mathbb{R} \text{上の閉集合である}\Leftrightarrow A^{c}\text{は}\mathbb{R} \text{上の開集合である}
\end{equation*}という関係が成り立ちます。したがって、\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)が閉集合であることを示すためには、その補集合\(A^{c}\)が開集合であることを示すことが基本的な方針になります。なお、数列を用いた閉集合の判定条件も存在します。詳細は場を改めて解説します。

閉集合ではない集合

繰り返しになりますが、\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)を任意に選んだとき、閉集合の定義より、\begin{equation*}A\text{は}\mathbb{R} \text{上の閉集合である}\Leftrightarrow A^{c}\text{は}\mathbb{R} \text{上の開集合である}
\end{equation*}という関係が成り立ちます。したがって、以下の関係\begin{equation*}
A\text{は}\mathbb{R} \text{上の閉集合ではない}\Leftrightarrow A^{c}\text{は}\mathbb{R} \text{上の開集合ではない}
\end{equation*}もまた成り立ちます。このような事情を踏まえると、\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)が閉集合ではないことを示すためには、その補集合\(A^{c}\)が開集合ではないことを示すことが基本的な方針になります。

開集合と閉集合のどちらでもない集合

繰り返しになりますが、\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)について、以下の関係\begin{eqnarray*}A\text{は}\mathbb{R} \text{上の閉集合である}
&\Leftrightarrow &A^{c}\text{は}\mathbb{R} \text{上の開集合である} \\
A\text{は}\mathbb{R} \text{上の閉集合ではない} &\Leftrightarrow &A^{c}\text{は}\mathbb{R} \text{上の開集合ではない}
\end{eqnarray*}はともに成り立ちます。その一方で、\begin{eqnarray*}
A\text{は}\mathbb{R} \text{上の閉集合ではない} &\Leftrightarrow &A\text{は}\mathbb{R} \text{上の開集合である} \\
A\text{は}\mathbb{R} \text{上の開集合ではない} &\Leftrightarrow &A\text{は}\mathbb{R} \text{上の閉集合である}
\end{eqnarray*}などの関係は成り立つとは限らないことに注意が必要です。閉集合でないことは開集合であることを必ずしも意味せず、開集合でないことは閉集合であることを必ずしも意味しないということです。実際、閉集合と開集合のどちらでもないような集合が存在します。以下の例より明らかです。

閉集合系

実数空間\(\mathbb{R} \)上の閉集合をすべて集めてできる集合族を\(\mathbb{R} \)の閉集合系（system of closedsets）と呼び、これを\(\mathcal{A}\)で表記します。閉集合の定義より、\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)を任意に選んだとき、\(A\)が\(\mathbb{R} \)上の閉集合であることと\(A^{c}\)が\(\mathbb{R} \)上の開集合であることは必要十分であるため、\begin{equation*}A\in \mathcal{A}\Leftrightarrow A^{c}\in \mathcal{O}
\end{equation*}という関係が成り立ちます。ただし、\(\mathcal{O}\)は\(\mathbb{R} \)の開集合系、すなわち\(\mathbb{R} \)上の開集合をすべて集めてできる集合族です。同様に、\begin{equation*}A^{c}\in \mathcal{A}\Leftrightarrow A\in \mathcal{O}
\end{equation*}という関係もまた成り立ちます。

実数空間\(\mathbb{R} \)の閉集合系\(\mathcal{A}\)を特徴づける1つ目の性質は、それが\(\mathbb{R} \)自身や空集合\(\phi \)を要素として持つということです。言い換えると、\(\mathbb{R} \)と\(\phi \)はいずれも\(\mathbb{R} \)上の閉集合であるということです。

\(\mathbb{R} \)と\(\phi \)は\(\mathbb{R} \)上の開集合でもあることと上の命題を踏まえると、これらは開集合かつ閉集合であるような\(\mathbb{R} \)の部分集合ということになります。ちなみに、開集合かつ閉集合であるような\(\mathbb{R} \)の部分集合は\(\mathbb{R} \)と\(\phi \)の他に存在しません（演習問題）。

実数空間\(\mathbb{R} \)の閉集合系\(\mathcal{A}\)を特徴づける2つ目の性質は、\(\mathcal{A}\)に属する有限個の集合を任意に選んだとき、それらの和集合もまた\(\mathcal{A}\)に属するということです。言い換えると、有限個の任意の閉集合の和集合もまた閉集合になるということです。

先の命題は有限個の閉集合に関して成立する性質であることに注意してください。一方、無限個の閉集合を選んだとき、それらの和集合は閉集合になるとは限りません。以下の例より明らかです。

ちなみに、無限個の閉集合の和集合が閉集合になる場合もあります。以下の例より明らかです。

\(\mathbb{R} \)の閉集合系\(\mathcal{A}\)を特徴づける3つ目の性質は、\(\mathcal{A}\)に属する任意個の集合を任意に選んだとき、それらの共通部分もまた\(\mathcal{A}\)に属するということです。言い換えると、任意個の任意の閉集合の共通部分もまた閉集合になるということです。

上の命題中の集合\(\Lambda \)は任意です。\(\Lambda \)として有限集合を採用した場合、上の命題の主張は「有限個の閉集合の共通部分は閉集合」というものになります。一方、\(\Lambda \)として可算集合や非可算集合などの無限集合を採用した場合、上の命題の主張は「無限個の閉集合の共通部分は閉集合」という主張になります。先に例を通じて確認したように、無限個の閉集合の和集合は閉集合になるとは限りません。一方、無限個の閉集合の共通部分は閉集合になることが保証されます。

演習問題