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実数空間における閉集合・閉集合系

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閉集合

実数空間の点\(a\in \mathbb{R} \)と正の実数\(\varepsilon >0\)をそれぞれ任意に選んだとき、点\(a\)を中心とする半径\(\varepsilon \)の近傍は、\begin{eqnarray*}N_{\varepsilon }\left( a\right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ \left\vert x-a\right\vert <\varepsilon \right\} \\
&=&\left( a-\varepsilon ,a+\varepsilon \right)
\end{eqnarray*}と定義される\(\mathbb{R} \)の部分集合です。さらに、\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)が開集合であることとは、\begin{equation*}\forall a\in A,\ \exists \varepsilon >0:N_{\varepsilon }\left( a\right)
\subset A
\end{equation*}が成り立つこととして定義されます。

\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)に対して、その補集合\(A^{c}\)が\(\mathbb{R} \)上の開集合であるならば、すなわち、\begin{equation*}\forall a\in A^{c},\ \exists \varepsilon >0:N_{\varepsilon }\left( a\right)
\subset A^{c}
\end{equation*}が成り立つ場合には、\(A\)を\(\mathbb{R} \)上の閉集合(closed set on \(\mathbb{R} \))と呼びます。点の近傍の定義を踏まえると、これは、\begin{equation*}\forall a\in A^{c},\ \exists \varepsilon >0:\left( a-\varepsilon
,a+\varepsilon \right) \subset A^{c}
\end{equation*}と必要十分です。つまり、\(A\)の補集合に属するそれぞれの点について、その点を中心とする有界開区間の中に\(A\)の補集合の部分集合であるようなものが存在するならば\(A\)は閉集合です。

閉集合の定義より、\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}A\text{は}\mathbb{R} \text{上の閉集合である}\Leftrightarrow A^{c}\text{は}\mathbb{R} \text{上の開集合である}
\end{equation*}という関係が成り立ちます。したがって、\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)が閉集合であることを示すためには、その補集合\(A^{c}\)が開集合であることを示すことが基本的な方針になります。なお、数列を用いた閉集合の判定条件も存在します。詳細は場を改めて解説します。

例(閉区間は閉集合)
\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、実数空間\(\mathbb{R} \)上の有界閉区間\begin{equation*}\left[ a,b\right] =\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a\leq x\leq b\right\}
\end{equation*}や無限半閉区間\begin{eqnarray*}
\lbrack a,+\infty ) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a\leq x<+\infty \right\} \\
(-\infty ,b] &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ -\infty <x\leq b\right\}
\end{eqnarray*}はいずれも\(\mathbb{R} \)上の閉集合です。なぜなら、これらの補集合\begin{eqnarray*}\left[ a,b\right] ^{c} &=&\left( -\infty ,a\right) \cup \left( b,+\infty
\right) \\
\lbrack a,+\infty )^{c} &=&\left( -\infty ,a\right) \\
(-\infty ,b]^{c} &=&\left( b,+\infty \right)
\end{eqnarray*}はいずれも\(\mathbb{R} \)上の開集合だからです(演習問題)。
例(閉集合は閉区間であるとは限らない)
\(\mathbb{R} \)上の閉区間は閉集合であることが明らかになりましたが、逆に、\(\mathbb{R} \)上の閉集合は閉区間であるとは限りません。具体例を挙げると、\begin{equation*}a<b<c<d
\end{equation*}を満たす点\(a,b,c,d\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、以下の集合\begin{equation*}\left[ a,b\right] \cup \left[ c,d\right] \end{equation*}は\(\mathbb{R} \)上の閉集合である一方で区間ではなく、したがって閉区間でもありません(演習問題)。ちなみに、\(\mathbb{R} \)の部分集合\(I\)が区間であることと、以下の条件\begin{equation*}\forall x,y\in I:\left[ x<y\Rightarrow \forall z\in \left( x,y\right) :z\in I\right] \end{equation*}が成り立つことは必要十分です

例(点の閉近傍は閉集合)
点\(a\in \mathbb{R} \)を中心とする半径\(\varepsilon >0\)の閉近傍について、\begin{align*}C_{\varepsilon }\left( a\right) & =\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ \left\vert x-a\right\vert \leq \varepsilon \right\} \quad \because
\text{点の閉近傍の定義} \\
& =\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a-\varepsilon \leq x\leq a+\varepsilon \right\} \quad \because \text{絶対値の定義} \\
& =\left[ a-\varepsilon ,a+\varepsilon \right] \quad \because \text{閉区間の定義}
\end{align*}という関係が成り立ちます。つまり、点の閉近傍は有界閉区間であるため\(\mathbb{R} \)上の閉集合です。
例(1点集合は閉集合)
実数\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、それだけを要素とする1点集合\begin{equation*}\left\{ a\right\}
\end{equation*}を構成します。これは\(\mathbb{R} \)上の閉集合です。なぜなら、その補集合\begin{equation*}\mathbb{R} \backslash \left\{ a\right\} =\left( -\infty ,a\right) \cup \left( a,+\infty\right)
\end{equation*}は\(\mathbb{R} \)上の開集合だからです(演習問題)。
例(整数集合は閉集合)
すべての整数からなる集合\begin{equation*}\mathbb{Z} \end{equation*}は\(\mathbb{R} \)上の閉集合です。なぜなら、その補集合は、\begin{equation*}\mathbb{R} \backslash \mathbb{Z} \end{equation*}であり、これはすべての非整数からなる集合ですが、すべての非整数からなる集合は\(\mathbb{R} \)上の開集合だからです。

 

閉集合ではない集合

繰り返しになりますが、\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)を任意に選んだとき、閉集合の定義より、\begin{equation*}A\text{は}\mathbb{R} \text{上の閉集合である}\Leftrightarrow A^{c}\text{は}\mathbb{R} \text{上の開集合である}
\end{equation*}という関係が成り立ちます。したがって、以下の関係\begin{equation*}
A\text{は}\mathbb{R} \text{上の閉集合ではない}\Leftrightarrow A^{c}\text{は}\mathbb{R} \text{上の開集合ではない}
\end{equation*}もまた成り立ちます。このような事情を踏まえると、\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)が閉集合ではないことを示すためには、その補集合\(A^{c}\)が開集合ではないことを示すことが基本的な方針になります。

例(有界半開区間は閉集合ではない)
\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、実数空間\(\mathbb{R} \)上の有界半開区間\begin{eqnarray*}\lbrack a,b) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a\leq x<b\right\} \\
(a,b] &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a<x\leq b\right\}
\end{eqnarray*}はいずれも\(\mathbb{R} \)上の閉集合ではありません。なぜなら、これらの補集合\begin{eqnarray*}\lbrack a,b)^{c} &=&\left( -\infty ,a\right) \cup \lbrack b,+\infty ) \\
(a,b]^{c} &=&(-\infty ,a]\cup (b,+\infty )
\end{eqnarray*}はいずれも\(\mathbb{R} \)上の開集合ではないからです(演習問題)。
例(開区間は閉集合ではない)
\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、実数空間\(\mathbb{R} \)上の有界開区間\begin{equation*}\left( a,b\right) =\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a<x<b\right\}
\end{equation*}や無限半開区間\begin{eqnarray*}
\left( a,+\infty \right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a<x<+\infty \right\} \\
\left( -\infty ,b\right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ -\infty <x<b\right\}
\end{eqnarray*}はいずれも\(\mathbb{R} \)上の閉集合ではありません。なぜなら、これらの補集合\begin{eqnarray*}\left( a,b\right) ^{c} &=&(-\infty ,a]\cup \lbrack b,+\infty ) \\
\left( a,+\infty \right) ^{c} &=&(-\infty ,a] \\
\left( -\infty ,b\right) ^{c} &=&[b,+\infty )
\end{eqnarray*}はいずれも\(\mathbb{R} \)上の開集合ではないからです(演習問題)。
例(有理数集合は閉集合ではない)
すべての有理数からなる集合\begin{equation*}\mathbb{Q} \end{equation*}は\(\mathbb{R} \)の部分集合ですが、これは\(\mathbb{R} \)上の閉集合ではありません。なぜなら、その補集合\begin{equation*}\mathbb{Q} ^{c}=\mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} \end{equation*}はすべての無理数からなる集合ですが、すべての無理数からなる集合は\(\mathbb{R} \)上の開集合ではないからです。
例(無理数集合は閉集合ではない)
すべての無理数からなる集合\begin{equation*}\mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} \end{equation*}は\(\mathbb{R} \)の部分集合ですが、これは\(\mathbb{R} \)上の閉集合ではありません。なぜなら、その補集合\begin{equation*}\left( \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} \right) ^{c}=\mathbb{Q} \end{equation*}はすべての有理数からなる集合ですが、すべての有理数からなる集合は\(\mathbb{R} \)上の開集合ではないからです。

 

開集合と閉集合のどちらでもない集合

繰り返しになりますが、\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)について、以下の関係\begin{eqnarray*}A\text{は}\mathbb{R} \text{上の閉集合である}
&\Leftrightarrow &A^{c}\text{は}\mathbb{R} \text{上の開集合である} \\
A\text{は}\mathbb{R} \text{上の閉集合ではない} &\Leftrightarrow &A^{c}\text{は}\mathbb{R} \text{上の開集合ではない}
\end{eqnarray*}はともに成り立ちます。その一方で、\begin{eqnarray*}
A\text{は}\mathbb{R} \text{上の閉集合ではない} &\Leftrightarrow &A\text{は}\mathbb{R} \text{上の開集合である} \\
A\text{は}\mathbb{R} \text{上の開集合ではない} &\Leftrightarrow &A\text{は}\mathbb{R} \text{上の閉集合である}
\end{eqnarray*}などの関係は成り立つとは限らないことに注意が必要です。閉集合でないことは開集合であることを必ずしも意味せず、開集合でないことは閉集合であることを必ずしも意味しないということです。実際、閉集合と開集合のどちらでもないような集合が存在します。以下の例より明らかです。

例(閉集合と開集合のどちらでもない集合)
\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、実数空間\(\mathbb{R} \)上の有界半開区間\begin{eqnarray*}\lbrack a,b) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a\leq x<b\right\} \\
(a,b] &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a<x\leq b\right\}
\end{eqnarray*}はいずれも\(\mathbb{R} \)上の閉集合と開集合のどちらでもありません(演習問題)。
例(閉集合と開集合のどちらでもない集合)
先に明らかになったように、すべての有理数からなる集合\(\mathbb{Q} \)やすべての無理数からなる集合\(\mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} \)はともに\(\mathbb{R} \)上の開集合と閉集合のどちらでもありません。

 

閉集合系

実数空間\(\mathbb{R} \)上の閉集合をすべて集めてできる集合族を\(\mathbb{R} \)の閉集合系(system of closedsets)と呼び、これを\(\mathcal{A}\)で表記します。閉集合の定義より、\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)を任意に選んだとき、\(A\)が\(\mathbb{R} \)上の閉集合であることと\(A^{c}\)が\(\mathbb{R} \)上の開集合であることは必要十分であるため、\begin{equation*}A\in \mathcal{A}\Leftrightarrow A^{c}\in \mathcal{O}
\end{equation*}という関係が成り立ちます。ただし、\(\mathcal{O}\)は\(\mathbb{R} \)の開集合系、すなわち\(\mathbb{R} \)上の開集合をすべて集めてできる集合族です。同様に、\begin{equation*}A^{c}\in \mathcal{A}\Leftrightarrow A\in \mathcal{O}
\end{equation*}という関係もまた成り立ちます。

実数空間\(\mathbb{R} \)の閉集合系\(\mathcal{A}\)を特徴づける1つ目の性質は、それが\(\mathbb{R} \)自身や空集合\(\phi \)を要素として持つということです。言い換えると、\(\mathbb{R} \)と\(\phi \)はいずれも\(\mathbb{R} \)上の閉集合であるということです。

命題(閉集合系の基本性質)
実数空間\(\mathbb{R} \)の閉集合系\(\mathcal{A}\)は、\begin{equation*}\left( A_{1}\right) \ \mathbb{R} \in \mathcal{A},\ \phi \in \mathcal{A}
\end{equation*}を満たす。

証明

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\(\mathbb{R} \)と\(\phi \)は\(\mathbb{R} \)上の開集合でもあることと上の命題を踏まえると、これらは開集合かつ閉集合であるような\(\mathbb{R} \)の部分集合ということになります。ちなみに、開集合かつ閉集合であるような\(\mathbb{R} \)の部分集合は\(\mathbb{R} \)と\(\phi \)の他に存在しません(演習問題)。

実数空間\(\mathbb{R} \)の閉集合系\(\mathcal{A}\)を特徴づける2つ目の性質は、\(\mathcal{A}\)に属する有限個の集合を任意に選んだとき、それらの和集合もまた\(\mathcal{A}\)に属するということです。言い換えると、有限個の任意の閉集合の和集合もまた閉集合になるということです。

命題(閉集合系の基本性質)
実数空間\(\mathbb{R} \)の閉集合系\(\mathcal{A}\)は、任意の自然数\(m\in \mathbb{N} \)について、\begin{equation*}\left( A_{2}\right) \ A_{1},\cdots ,A_{m}\in \mathcal{A}\Rightarrow
\bigcup\limits_{i=1}^{m}A_{i}\in \mathcal{A}
\end{equation*}を満たす。

証明

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例(有限集合は閉集合)
\(\mathbb{R} \)上の有限集合\(A\)を任意に選びます。つまり、何らかの自然数\(m\in \mathbb{N} \)を用いて、\begin{equation*}A=\left\{ x_{1},x_{2},\cdots ,x_{m}\right\}
\end{equation*}と表すことができるということです。このとき、\begin{equation*}
A=\bigcup\limits_{i=1}^{m}\left\{ x_{i}\right\}
\end{equation*}という関係が成り立ちます。先に示したように1点集合\(\left\{ x_{i}\right\} \)は\(\mathbb{R} \)上の閉集合であるため、\(A\)は有限個の閉集合の和集合であり、したがって先の命題より\(A\)は\(\mathbb{R} \)上の閉集合です。以上より、\(\mathbb{R} \)上の任意の有限集合は閉集合であることが明らかになりました。

先の命題は有限個の閉集合に関して成立する性質であることに注意してください。一方、無限個の閉集合を選んだとき、それらの和集合は閉集合になるとは限りません。以下の例より明らかです。

例(無限個の閉集合の和集合)
\(a<b\)を満たす点\(a,b\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、それぞれの番号\(i\in \mathbb{N} \)に対して、\begin{equation*}A_{i}=\left( -\infty ,a-\frac{1}{i}\right] \cup \left[ b+\frac{1}{i},+\infty
\right)
\end{equation*}という有界な開区間を定義します。先に示したように無限閉区間は閉集合であり、なおかつ有限個の閉集合どうしの和集合は閉集合であるため\(A_{i}\)は閉集合です。\(\mathbb{N} \)は無限集合であるため\(\left\{ A_{i}\right\} _{i\in \mathbb{N} }\)は無限個の閉集合を要素として持つ集合族です。この集合族の和集合\begin{equation*}\bigcup\limits_{i\in \mathbb{N} }A_{i}
\end{equation*}は閉集合ではありません(演習問題)。

ちなみに、無限個の閉集合の和集合が閉集合になる場合もあります。以下の例より明らかです。

例(無限個の閉集合の和集合)
\(a<b\)を満たす点\(a,b\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、それぞれの番号\(i\in \mathbb{N} \)に対して、\begin{equation*}A_{i}=\left[ a-\frac{1}{i},b+\frac{1}{i}\right] \end{equation*}という有界な閉区間を定義します。先に示したように有界閉区間は\(\mathbb{R} \)上の閉集合であるため\(A_{i}\)は閉集合です。\(\mathbb{N} \)は無限集合であるため\(\left\{ A_{i}\right\} _{i\in \mathbb{N} }\)は無限個の閉集合を要素として持つ集合族です。この集合族に関しては、\begin{equation*}A_{1}\supset A_{2}\supset \cdots
\end{equation*}が成り立つため、和集合は、\begin{equation*}
\bigcup\limits_{i\in \mathbb{N} }A_{i}=\left[ a-1,b+1\right] \end{equation*}となりますが、有界な閉区間は\(\mathbb{R} \)上の閉集合であるため、上の和集合もまた閉集合です。

\(\mathbb{R} \)の閉集合系\(\mathcal{A}\)を特徴づける3つ目の性質は、\(\mathcal{A}\)に属する任意個の集合を任意に選んだとき、それらの共通部分もまた\(\mathcal{A}\)に属するということです。言い換えると、任意個の任意の閉集合の共通部分もまた閉集合になるということです。

命題(閉集合系の基本性質)
実数空間\(\mathbb{R} \)の閉集合系\(\mathcal{A}\)は、\begin{equation*}\left( A_{3}\right) \ \left( \forall \lambda \in \Lambda :A_{\lambda }\in
\mathcal{A}\right) \Rightarrow \bigcap\limits_{\lambda \in \Lambda
}A_{\lambda }\in \mathcal{A}
\end{equation*}を満たす。

証明

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上の命題中の集合\(\Lambda \)は任意です。\(\Lambda \)として有限集合を採用した場合、上の命題の主張は「有限個の閉集合の共通部分は閉集合」というものになります。一方、\(\Lambda \)として可算集合非可算集合などの無限集合を採用した場合、上の命題の主張は「無限個の閉集合の共通部分は閉集合」という主張になります。先に例を通じて確認したように、無限個の閉集合の和集合は閉集合になるとは限りません。一方、無限個の閉集合の共通部分は閉集合になることが保証されます。

 

演習問題

問題(閉集合の特徴づけ)
実数空間\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)について、\begin{equation*}\forall a\in A^{c},\ \exists \varepsilon >0:N_{\varepsilon }\left( a\right)
\cap A=\phi
\end{equation*}が成り立つことは、\(A\)が\(\mathbb{R} \)上の閉集合であるための必要十分条件であることを示してください。
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問題(有界閉区間は閉集合)
\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、有界な閉区間\begin{equation*}\left[ a,b\right] =\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a\leq x\leq b\right\}
\end{equation*}は\(\mathbb{R} \)上の閉集合であることを証明してください。
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問題(無限閉区間は閉集合)
実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、無限半閉区間\begin{eqnarray*}\lbrack a,+\infty ) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a\leq x<+\infty \right\} \\
(-\infty ,b] &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ -\infty <x\leq b\right\}
\end{eqnarray*}はいずれも\(\mathbb{R} \)上の閉集合であることを証明してください。
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問題(閉集合は閉区間であるとは限らない)
\(a<b<c<d\)を満たす点\(a,b,c,d\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、以下の集合\begin{equation*}\left[ a,b\right] \cup \left[ c,d\right] \end{equation*}を定義します。この集合は\(\mathbb{R} \)上の閉集合である一方で閉区間ではないことを示してください。
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問題(1点集合は閉集合)
実数\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、その点だけを要素として持つ1点集合\(\left\{a\right\} \)を構成します。これは\(\mathbb{R} \)上の閉集合であることを証明してください。
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問題(有界開区間は閉集合ではない)
\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、有界開区間\begin{equation*}\left( a,b\right) =\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a<x<b\right\}
\end{equation*}は\(\mathbb{R} \)上の閉集合ではないことを証明してください。
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問題(無限半開区間は閉集合ではない)
実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、無限半開区間\begin{eqnarray*}(a,+\infty ) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a<x<+\infty \right\} \\
(-\infty ,b) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ -\infty <x<b\right\}
\end{eqnarray*}はいずれも\(\mathbb{R} \)上の閉集合ではないことを証明してください。
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問題(開集合かつ閉集合であるような集合)
\(\mathbb{R} \)上の開集合かつ閉集合でもあるような\(\mathbb{R} \)の部分集合は\(\mathbb{R} \)と\(\phi \)の他には存在しないことを示してください。
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問題(閉集合と開集合のどちらでもない集合)
\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、有界半開区間\begin{eqnarray*}\lbrack a,b) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a\leq x<b\right\} \\
(a,b] &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a<x\leq b\right\}
\end{eqnarray*}はいずれも\(\mathbb{R} \)上の閉集合と開集合のどちらでもないことを示してください。
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問題(可算閉集合族の和集合)
\(a<b\)を満たす点\(a,b\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、それぞれの番号\(i\in \mathbb{N} \)に対して、\begin{equation*}A_{i}=\left( -\infty ,a-\frac{1}{i}\right] \cup \left[ b+\frac{1}{i},+\infty
\right)
\end{equation*}という有界な開区間を定義します。この集合族の和集合\begin{equation*}
\bigcup\limits_{i\in \mathbb{N} }A_{i}
\end{equation*}が閉集合ではないことを示してください。

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