教材一覧
教材一覧
教材検索

集合の濃度

有限集合

目次

Twitter
Mailで保存

有限個の要素を持つ集合どうしの濃度が等しいことの意味

すべての集合を要素として持つ集合族を\(\mathfrak{A}\)で表記します。任意の集合\(A,B\in \mathfrak{A}\)に対して、\begin{equation*}\left\vert A\right\vert =\left\vert B\right\vert \Leftrightarrow \text{全単射}f:A\rightarrow B\text{が存在する}
\end{equation*}という関係を満たすものとして集合の濃度の相等関係\(=\)を定義するとともに、これが\(\mathfrak{A}\)上の同値関係であることを示しました。その上で、集合\(A,B\)について\(\left\vert A\right\vert=\left\vert B\right\vert \)が成り立つ場合、\(A\)と\(B\)は等しい濃度を持つと言いました。以上が集合の濃度が等しいことの厳密な定義ですが、直感的にこれは何を意味しているのでしょうか。

実は、有限個の要素を持つ集合に話の対象を限定すると、2つの集合の濃度が等しいことと、それらの集合に含まれる要素の個数が等しいことは必要十分です。

命題(有限個の要素を持つ集合どうしの濃度が等しいことの意味)
有限個の要素を持つ集合\(A,B\)が任意に与えられたとき、\(A\)の要素の個数と\(B\)の要素の個数が等しいことと\(\left\vert A\right\vert =\left\vert B\right\vert \)が成り立つことは必要十分である。
証明

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

例(有限個の要素を持つ集合の濃度)
以下の3つの集合\begin{eqnarray*}
A &=&\left\{ a_{1},a_{2},a_{3}\right\} \\
B &=&\left\{ b_{1},b_{2},b_{3}\right\} \\
C &=&\left\{ c_{1},c_{2}\right\}
\end{eqnarray*}について考えます。\(A\)と\(B\)はともに有限かつ同じ個数の要素を持つ集合です。\(C\)もまた有限個の要素を持つものの、要素の個数は\(A\)や\(B\)とは異なります。したがって先の命題より、これらの集合の濃度について、\begin{equation*}\left\vert A\right\vert =\left\vert B\right\vert \not=\left\vert
C\right\vert
\end{equation*}が成り立ちます。

例(有限個の要素を持つ集合の濃度)
以下の2つの集合\begin{eqnarray*}
A &=&\left\{ 1,2,3,\cdots ,9,10\right\} \\
B &=&\left\{ 101,102,103,\cdots ,109,110\right\}
\end{eqnarray*}について考えます。\(A\)と\(B\)は有限かつ同じ個数の要素を持つ集合であるため、先の命題より、\begin{equation*}\left\vert A\right\vert =\left\vert B\right\vert
\end{equation*}が成り立ちます。実際、それぞれの\(a\in A\)に対して、\begin{equation*}f\left( a\right) =a+100
\end{equation*}を定める写像\(f:A\rightarrow B\)が定義可能ですが、この写像\(f\)は全単射です。

 

有限濃度

有限個の要素を持つ集合をすべて集めてできる集合族を\(\mathfrak{F}\)で表記します。先に示したように、集合\(A,B\in \mathfrak{F}\)を任意に選んだとき、\begin{equation}\left\vert A\right\vert =\left\vert B\right\vert \Leftrightarrow A\text{の要素の個数}=B\text{の要素の個数} \quad \cdots (1)
\end{equation}という関係が成り立ちます。一般に、濃度の相等関係\(=\)は同値関係であるため、有限個の要素を持つ集合\(A\in \mathfrak{F}\)を任意に選んだ場合にも、それを代表元とする同値類\(\left[ A\right] \)をとることができます。仮に、この集合\(A\)の要素の個数が有限\(n\)個である場合には、\begin{eqnarray*}\left[ A\right] &=&\left\{ B\in \mathfrak{F}\ |\ \left\vert A\right\vert
=\left\vert B\right\vert \right\} \quad \because \text{同値類の定義} \\
&=&\left\{ B\in \mathfrak{F}\ |\ A\text{の要素の個数}=B\text{の要素の個数}\right\} \quad \because \left( 1\right) \\
&=&\left\{ B\in \mathfrak{F}\ |\ B\text{の要素の個数は}n\right\} \quad \because A\text{の要素の個数は}n
\end{eqnarray*}となります。つまり、この同値類\(\left[ A\right] \)に属するすべての集合は集合\(A\)と同様に有限\(n\)個の要素を持っています。言い換えると、この同値類\(\left[ A\right] \)に属するすべての集合は要素の個数に相当する自然数\(n\)を共有しています。そこで、この自然数を有限濃度(finite potency)や濃度(potency)などと呼び、集合\(A\)の濃度を、\begin{equation*}\left\vert A\right\vert ,\quad \#A,\quad \mathrm{card}A
\end{equation*}などで表記します。有限濃度は要素の個数と一致するため、仮に集合\(A\)が有限\(n\)個の要素を持つ場合には、\begin{equation*}\left\vert A\right\vert =n
\end{equation*}となります。ちなみに、空集合\(\phi \)は要素を持たないため、その濃度を、\begin{equation*}\left\vert \phi \right\vert =0
\end{equation*}と定めます。ゼロもまた有限濃度とみなします。

命題(有限濃度)
有限濃度を持つ非空の集合\(A\)を任意に選ぶ。集合\(B\)を任意に選んだとき、\(B\)から\(A\)への全単射が存在するならば、\(B\)もまた有限濃度を持つ集合であり、その濃度は\(\left\vert A\right\vert \)と一致する。

一般に、集合の濃度の相等関係\(=\)は同値関係であるため、有限個の要素を持つ集合をすべて集めてできる集合族\(\mathfrak{F}\)上に定義された濃度の相等関係\(=\)も同値関係であり、したがってその商集合\begin{equation*}\left\{ \left[ A\right] \ |\ A\in \mathfrak{F}\right\}
\end{equation*}をとることができます。商集合の性質より、これは\(\mathfrak{F}\)の分割です。つまり、濃度の大きさ(すなわち要素の個数)を基準に\(\mathfrak{F}\)に属するすべての集合を分類したとき、それぞれの集合は何らかの有限濃度を持ち、なおかつ、\(\mathfrak{F}\)に属する同一の集合が異なる有限濃度を持つことはありません。言い換えると、有限個の要素を持つ集合には有限濃度すなわち要素の個数に相当する自然数が必ず1つずつ定まるということです。

例(有限濃度)
以下の3つの集合\begin{eqnarray*}
A &=&\left\{ 1,2,3\right\} \\
B &=&\left\{ a,b,c\right\} \\
C &=&\left\{ c_{1},c_{2},c_{3}\right\}
\end{eqnarray*}が与えられているものとします。これらはいずれも有限個の要素を持つ集合であり、濃度に関して、\begin{equation*}
\left\vert A\right\vert =\left\vert B\right\vert =\left\vert C\right\vert =3
\end{equation*}が成り立ちます。

例(有限濃度)
以下の3つの集合\begin{eqnarray*}
A &=&\left\{ 1,2,\cdots ,n\right\} \\
B &=&\left\{ 1,\frac{1}{2},\cdots ,\frac{1}{n}\right\} \\
C &=&\left\{ c_{1},c_{2},\cdots ,c_{n}\right\}
\end{eqnarray*}が与えられているものとします。ただし、\(n\in \mathbb{N} \)です。これらはいずれも有限個の要素を持つ集合であり、濃度に関して、\begin{equation*}\left\vert A\right\vert =\left\vert B\right\vert =\left\vert C\right\vert =n
\end{equation*}が成り立ちます。

例(有限濃度)
以下の2つの集合\begin{eqnarray*}
A &=&\phi \\
B &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ x^{2}=-1\right\}
\end{eqnarray*}が与えられているものとします。これらの集合の濃度に関して、\begin{equation*}
\left\vert A\right\vert =\left\vert B\right\vert =0
\end{equation*}が成り立ちます。

 

有限集合

空集合および有限濃度を持つ集合を総称して有限集合(finite set)と呼びます。つまり、集合\(A\)が有限集合であることとは、それが空集合であるか、もしくは何らかの自然数\(n\in \mathbb{N} \)が存在して、\begin{equation}\left\vert A\right\vert =n \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立つことを意味します。また、\(1\)から\(n\)までのすべての自然数からなる集合を、\begin{equation*}\mathbb{N} _{n}=\left\{ 1,\cdots ,n\right\} \end{equation*}と表記するのであれば、\(\left( 1\right) \)が成り立つことを、全単射\begin{equation*}f:\mathbb{N} _{n}\rightarrow A
\end{equation*}が存在することと言い換えることもできます。

先に明らかになったように、有限濃度は集合の要素の個数と実質的に等しいため、有限集合とは要素の個数が\(0\)または有限な自然数であるような集合に相当します。

例(有限集合)
以下の集合\begin{equation*}
A=\left\{ 11,12,\cdots ,20\right\}
\end{equation*}は有限個の要素を持つため有限集合です。実際、\begin{equation*}\mathbb{N} _{10}=\left\{ 1,2,\cdots ,10\right\}
\end{equation*}とした上で、それぞれの\(x\in \mathbb{N} _{10}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x+10
\end{equation*}を定める写像\(f:\mathbb{N} _{10}\rightarrow A\)を定義すると、この\(f\)は全単射です。したがって\(f\)は有限集合であり、その濃度は、\begin{equation*}\left\vert A\right\vert =10
\end{equation*}となります。

例(有限集合)
以下の集合\begin{equation*}
A=\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ x^{2}=-1\right\}
\end{equation*}は空集合であるため有限集合であり、その濃度は、\begin{equation*}
\left\vert A\right\vert =0
\end{equation*}となります。

 

有限濃度の比較

すべての集合を要素として持つ集合族を\(\mathfrak{A}\)で表記します。繰り返しになりますが、任意の集合\(A,B\in \mathfrak{A}\)に対して、\begin{equation*}\left\vert A\right\vert =\left\vert B\right\vert \Leftrightarrow \text{全単射}f:A\rightarrow B\text{が存在する}
\end{equation*}という関係を満たすものとして集合の濃度の相等関係\(=\)を定義するとともに、特に、\(A,B\)が有限集合である場合には、\begin{equation*}\left\vert A\right\vert =\left\vert B\right\vert \Leftrightarrow A\text{の要素の個数}=B\text{の要素の個数}
\end{equation*}という関係が成り立つことを明らかにしました。つまり、有限集合に話の対象を限定すると、2つの集合の濃度が等しいことと、それらの集合に含まれる要素の個数が等しいことは必要十分です。さて、有限集合とは限らない任意の集合\(A,B\in \mathfrak{A}\)に対して、\begin{equation*}\left\vert A\right\vert \leq \left\vert B\right\vert \Leftrightarrow \text{単射}f:A\rightarrow B\text{が存在する}
\end{equation*}という関係を満たすものとして集合の濃度の大小関係\(\leq \)を定義しましたが、有限集合に関しては濃度と要素の個数が概念として一致することを踏まえると、\(A,B\)が有限集合である場合には、\begin{equation*}\left\vert A\right\vert \leq \left\vert B\right\vert \Leftrightarrow A\text{の要素の個数}\leq B\text{の要素の個数}
\end{equation*}という関係が成り立つことが予想されます。実際、これは正しい予想です。

命題(有限集合の濃度の大小関係)
有限集合\(A,B\)が任意に与えられたとき、\(A\)の要素の個数が\(B\)の要素の個数以下であることと\(\left\vert A\right\vert \leq \left\vert B\right\vert \)が成り立つことは必要十分である。
証明

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

有限集合とは限らない任意の集合\(A,B\in \mathfrak{A}\)に対して、\begin{equation}\left\vert A\right\vert <\left\vert B\right\vert \Leftrightarrow \left\vert
A\right\vert \leq \left\vert B\right\vert \wedge \left\vert A\right\vert
\not=\left\vert B\right\vert \quad \cdots (1)
\end{equation}という関係を満たすものとして集合の濃度の狭義大小関係\(<\)を定義しましたが、これまでの議論から明らかになったように、特に、集合\(A,B\)が有限集合である場合には、\begin{eqnarray}\left\vert A\right\vert &=&\left\vert B\right\vert \Leftrightarrow A\text{の要素の個数}=B\text{の要素の個数} \quad \cdots (2) \\
\left\vert A\right\vert &\leq &\left\vert B\right\vert \Leftrightarrow A\text{の要素の個数}\leq B\text{の要素の個数} \quad \cdots (3)
\end{eqnarray}という関係が成り立つことを踏まえると、任意の有限集合\(A,B\)について、\begin{eqnarray*}\left\vert A\right\vert <\left\vert B\right\vert &\Leftrightarrow
&\left\vert A\right\vert \leq \left\vert B\right\vert \wedge \left\vert
A\right\vert \not=\left\vert B\right\vert \quad \because \left( 1\right) \\
&\Leftrightarrow &A\text{の要素の個数}=B\text{の要素の個数}\wedge A\text{の要素の個数}\leq B\text{の要素の個数}\quad \because \left( 2\right) ,\left( 3\right) \\
&\Leftrightarrow &A\text{の要素の個数}<B\text{の要素の個数}\quad \because \text{狭義大小関係}<\text{の定義}
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
\left\vert A\right\vert <\left\vert B\right\vert \Leftrightarrow A\text{の要素の個数}<B\text{の要素の個数}
\end{equation*}という関係が成り立ちます。

命題(有限集合の濃度の狭義大小関係)
有限集合\(A,B\)が任意に与えられたとき、\(A\)の要素の個数が\(B\)の要素の個数よりも少ないことと\(\left\vert A\right\vert <\left\vert B\right\vert \)が成り立つことは必要十分である。

以上の議論により、有限集合に話の対象を限定すると、集合の濃度の相等関係\(=\)と大小関係\(\leq \)および狭義大小関係\(<\)は、実数どうしを比較する通常の等号\(=\)と大小関係\(\leq \)および狭義大小関係\(<\)と実質的に等しいことが明らかになりました。

例(有限集合の濃度の比較)
以下の集合\begin{eqnarray*}
A &=&\left\{ a_{1},a_{2},a_{3},a_{4},a_{5}\right\} \\
B &=&\left\{ b_{1},b_{2},b_{3}\right\} \\
C &=&\left\{ c_{1},c_{2},c_{3}\right\} \\
D &=&\left\{ d_{1}\right\} \\
E &=&\phi
\end{eqnarray*}はいずれも有限集合であり、それらの濃度の間には、\begin{equation*}
\left\vert A\right\vert =5>3=\left\vert B\right\vert =\left\vert
C\right\vert >1=\left\vert D\right\vert >0=\left\vert E\right\vert
\end{equation*}という関係が成り立ちます。

 

演習問題

問題(有限集合)
集合\(A\)が、\begin{equation*}A=\left\{ 2,4,6,\cdots ,2n\right\}
\end{equation*}で与えられているとき、\begin{equation*}
\left\vert A\right\vert =n
\end{equation*}が成り立つことを証明してください。

解答を見る

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

問題(単射を用いた有限集合の判定)
非空の集合\(A\)から有限集合への単射が存在する場合には\(A\)は有限集合であることを証明してください。
証明

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

Twitter
Mailで保存

質問とコメント