有限個の要素を持つ集合を有限集合と呼びます。有限集合の濃度を有限濃度と呼びます。有限集合どうしの濃度が等しいことと、それらの集合に含まれる要素の個数が等しいことは必要十分です。
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有限集合の濃度が等しいことの意味

復習になりますが、集合\(X,Y\)の濃度に関して\(\#X=\#Y\)が成り立つことは、\(X\)から\(Y\)への全単射\(f:X\rightarrow Y\)が少なくとも 1 つ存在することを意味します。これは集合の濃度が等しいことの厳密な定義ですが、直感的には、これは何を意味しているのでしょうか。

集合の濃度について復習する

有限個の要素を持つ集合を有限集合(finite set)と呼びます。実は、有限集合に話を限定すると、有限集合\(X,Y\)に対して\(\#X=\#Y\)が成り立つことと、\(X\)と\(Y\)の要素の個数が等しいことは必要十分です。このことを以下で示します。

集合\(X,Y\)がともに有限\(n\)個の要素を持つものとし、それらを、\begin{eqnarray*}
X &=&\{x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n}\} \\
Y &=&\{y_{1},y_{2},\cdots ,y_{n}\}
\end{eqnarray*}で表します。その上で、写像\(f:X\rightarrow Y\)を、\begin{eqnarray*}
f\left( x_{1}\right) &=&y_{1} \\
f\left( x_{2}\right) &=&y_{2} \\
&&\vdots \\
f\left( x_{n}\right) &=&y_{n}
\end{eqnarray*}を満たすものとして構成すると、これは全単射です(演習問題にします)。したがって、\(\#X=\#Y\)が成り立ちます。

逆に、有限集合\(X,Y\)が\(\#X=\#Y\)を満たすものとします。つまり、全単射\(f:X\rightarrow Y\)が存在するということです。このとき、\(X\)と\(Y\)の要素の個数が異なるものと仮定して矛盾を導きます。\(X\)の要素の個数が\(Y\)の要素の個数よりも多いと仮定しても一般性は失われません。すると、\(X\)の少なくとも 2 つの異なる要素\(x,x^{\prime }\in X\)に対して\(f\left( x\right) =f\left( x^{\prime }\right) \in Y\)が成り立ちますが、これは\(f\)が全単射であることと矛盾します。したがって、\(X\)と\(Y\)は同じ個数の要素を持つことが示されました。

命題(有限集合の濃度の解釈)
有限集合\(X,Y\)が任意に与えられたとき、\(X\)の要素の個数と\(Y\)の要素の個数が等しいことは、\(\#X=\#Y\)が成り立つための必要十分条件である。
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有限集合

有限集合に話を限定したとき、濃度が等しいすべての集合は、集合に含まれる要素の個数を表す自然数を共有しています。そこで、この自然数を有限濃度(finite potency)や濃度(potency)などと呼び、有限集合\(X\)の濃度を、\begin{equation*}
\#X,\quad \#\left( X\right) ,\quad \mathrm{card}\left( X\right)
\end{equation*}などで表します。

集合\(X\)が有限集合であること、すなわち有限濃度を持つこととは、何らかの自然数\(n\)に対して\(\#X=n\)が成り立つこと、すなわち、全単射\begin{equation*}
f:\{1,2,\cdots ,n\}\rightarrow X
\end{equation*}が存在することを意味します。

空集合\(\phi \)は要素を持たないため、その濃度を\(0\)と定めます。つまり、\(\#\phi =0\)です。

例(有限濃度)
以下の集合\begin{eqnarray*}
X &=&\{1,2,3\} \\
Y &=&\{a,b,c\} \\
Z &=&\{z_{1},z_{2},z_{3}\}
\end{eqnarray*}はいずれも有限集合であり、それらの濃度に関して、\begin{equation*}
\#X=\#Y=\#Z=3
\end{equation*}が成り立ちます。
例(有限濃度)
以下の集合\begin{eqnarray*}
X &=&\{-1,-2,\cdots ,-n\} \\
Y &=&\{1,\frac{1}{2},\cdots ,\frac{1}{n}\} \\
Z &=&\{z_{1},z_{2},\cdots ,z_{n}\}
\end{eqnarray*}については、\begin{equation*}
\#X=\#Y=\#Z=n
\end{equation*}が成り立ちます。
例(有限濃度)
以下の集合\begin{eqnarray*}
X &=&\phi \\
Y &=&\{x\in \mathbb{R} \ |\ x^{2}=1\}
\end{eqnarray*}については、\begin{equation*}
\#X=\#Y=0
\end{equation*}が成り立ちます。

 

有限濃度の定義の正当性

すべての有限集合を集めてできる集合族\(\mathfrak{A}\)上の二項関係\(=\)を、それぞれの順序対\(\left( X,Y\right) \in \mathfrak{A}\times \mathfrak{A}\)に対して、\begin{equation*}
\#X=\#Y\ \Leftrightarrow \ \text{全単射}f:X\rightarrow Y\text{が存在する}
\end{equation*}を満たすものとして定義すると、この\(=\)は\(\mathfrak{A}\)上の同値関係です。したがって、それぞれの有限集合\(X\in \mathfrak{A}\)に対して、それを代表とする同値類\begin{equation*}
\left[ X\right] =\left\{ Y\in \mathfrak{A}\ |\ \#X=\#Y\right\}
\end{equation*}が定義可能です。さらに、同値類の性質より、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \forall X\in \mathfrak{A}:X\in \left[ X\right] \\
&&\left( b\right) \ \mathfrak{A}=\bigcup_{X\in \mathfrak{A}}\left[ X\right] \\
&&\left( c\right) \ \forall X,Y\in \mathfrak{A}:\left( \#X=\#Y\
\Leftrightarrow \ \left[ X\right] =\left[ X\right] \right) \\
&&\left( d\right) \ \forall X,Y\in \mathfrak{A}:\left[ \lnot \left(
\#X=\#Y\right) \ \Leftrightarrow \ \left[ X\right] \cap \left[ X\right] =\phi \right] \end{eqnarray*}が成り立ちます。これは、濃度の大きさによって有限集合を分類したとき、それぞれの有限集合は何らかの濃度を持ち、なおかつ、異なる濃度を同時に持つ有限集合は存在しないことを意味します。言い換えると、それぞれの有限集合には、そこに含まれる要素の個数を表す自然数が必ず 1 つずつ定まるということです。

同値関係について復習する

次回は無限集合について学びます。
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