濃度の累乗の定義
本節では濃度の乗法を定義し、その定義が集合の選び方に依存しないことを示します。その上で、濃度の累乗がもつ基本的な性質を明らかにします。
2つの自然数\(m,n\in \mathbb{N} \)が与えられた状況を想定します。有限集合の濃度と要素の個数は一致するため、濃度が\(m\)であるような有限集合を、\begin{equation*} A=\left\{ a_{1},\cdots ,a_{m}\right\}
\end{equation*}で表記し、濃度が\(n\)であるような有限集合を、\begin{equation*} B=\left\{ b_{1},\cdots ,b_{n}\right\}
\end{equation*}で表記します。つまり、\begin{eqnarray}
m &=&\left\vert A\right\vert \quad \cdots (1) \\
n &=&\left\vert B\right\vert \quad \cdots (2)
\end{eqnarray}が成り立つということです。\(m,n\)はともに自然数であるため、\(n\)が底であり\(m\)が指数であるような累乗が、\begin{equation*} n^{m}=\overset{m\text{個}}{\overbrace{n\times \cdots \times n}}
\end{equation*}として定まりますが、これと\(\left( 1\right) ,\left( 2\right) \)より、以下の関係\begin{equation} \left\vert B\right\vert ^{\left\vert A\right\vert }=n^{m} \quad \cdots (3)
\end{equation}が成り立ちます。
先の有限集合\begin{eqnarray*}
A &=&\left\{ a_{1},\cdots ,a_{m}\right\} \\
B &=&\left\{ b_{1},\cdots ,b_{n}\right\}
\end{eqnarray*}を念頭においた上で、\(A\)から\(B\)への写像をすべて集めることにより得られる集合を、\begin{equation*} B^{A}=\left\{ f\ |\ f:A\rightarrow B\right\}
\end{equation*}で表記します。この集合の濃度\(\left\vert B^{A}\right\vert \)は、\(A\)から\(B\)への写像の個数と一致します。では、そのような写像は合計でいくつ存在するでしょうか。\(A\)から\(B\)への写像を定めることは、\(A\)のそれぞれの要素に対して\(f\)が定める\(m\)個の像\(f\left( a_{1}\right) ,\cdots ,f\left( a_{m}\right) \)を定めることと同義です。これらの像\(f\left( a_{1}\right) ,\cdots ,f\left( a_{m}\right) \)はそれぞれ\(n\)通りの値\(b_{1},\cdots ,b_{n}\)をとり得るため、\(A\)から\(B\)への写像として合計\(n^{m}\)通りのパターンが存在します。したがって、\begin{equation*} \left\vert B^{A}\right\vert =n^{m}
\end{equation*}であることが明らかになりました。さらに、これと\(\left( 3\right) \)より、\begin{equation*} \left\vert B\right\vert ^{\left\vert A\right\vert }=\left\vert
B^{A}\right\vert
\end{equation*}を得ます。
結論をまとめると、有限濃度\(m,n\in \mathbb{N} \)が与えられた場合には、それらに対して以下の条件\begin{eqnarray*} &&\left( a\right) \ m=\left\vert A\right\vert \\
&&\left( b\right) \ n=\left\vert B\right\vert
\end{eqnarray*}を満たす集合\(A,B\)に注目した上で、\(A\)から\(B\)への写像をすべて集めることにより得られる集合\begin{equation*} B^{A}=\left\{ f\ |\ f:A\rightarrow B\right\}
\end{equation*}を構成すると、以下の関係\begin{equation*}
n^{m}=\left\vert B\right\vert ^{\left\vert A\right\vert }=\left\vert
B^{A}\right\vert
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、有限濃度に関する累乗\(\left\vert B\right\vert ^{\left\vert A\right\vert }\)は、\(A\)から\(B\)への写像の合計数\(\left\vert B^{A}\right\vert \)と一致するということです。
以上の議論を踏まえた上で、有限濃度とは限らない一般の濃度\(m,n\)についても、それらの累乗を同様に定義します。つまり、濃度\(m,n\)に対して以下の条件\begin{eqnarray*} &&\left( a\right) \ m=\left\vert A\right\vert \\
&&\left( b\right) \ n=\left\vert B\right\vert
\end{eqnarray*}を満たす集合\(A,B\)に注目した上で、濃度の累乗\(n^{m}\)を写像集合\(B^{A}\)の濃度として定義するということです。つまり、\begin{equation*} n^{m}=\left\vert B^{A}\right\vert
\end{equation*}を満たすものとして濃度の累乗を定義します。ただし、\begin{equation*}
B^{A}=\left\{ f\ |\ f:A\rightarrow B\right\}
\end{equation*}です。ここでの\(m,n\)は有限濃度であるとは限らず、したがって自然数であるとは限りません。したがって、\(n^{m}\)は自然数を底および指数とする累乗ではなく、新たに定義された濃度の累乗を表す記号であることに注意してください。
以上の定義が有効であることを担保するためには、濃度\(m,n\)に対して先の条件\(\left( a\right) ,\left( b\right) \)を満たす集合\(A,B\)がそれぞれ複数存在する場合、その中からどのような集合\(A,B\)を選んだ場合においても、写像集合の濃度\(\left\vert B^{A}\right\vert \)が一意的に定まることを確認する必要があります。
&&\left( b_{1}\right) \ n=\left\vert B\right\vert
\end{eqnarray*}を満たす集合\(A,B\)と、以下の条件\begin{eqnarray*} &&\left( a_{2}\right) \ m=\left\vert A^{\prime }\right\vert \\
&&\left( b_{2}\right) \ n=\left\vert B^{\prime }\right\vert
\end{eqnarray*}を満たす集合\(A^{\prime },B^{\prime }\)をそれぞれ任意に選んだとき、\begin{equation*} \left\vert B^{A}\right\vert =\left\vert \left( B^{\prime }\right)
^{A^{\prime }}\right\vert
\end{equation*}が成り立つ。ただし、\begin{eqnarray*}
B^{A} &=&\left\{ f\ |\ f:A\rightarrow B\right\} \\
\left( B^{\prime }\right) ^{A^{\prime }} &=&\left\{ g\ |\ g:A^{\prime
}\rightarrow B^{\prime }\right\}
\end{eqnarray*}である。
濃度の累乗の定義および以上の命題より、2つの濃度\(m,n\)が与えられたとき、それらの累乗\begin{equation*} n^{m}
\end{equation*}が必ず一意的に定まることが明らかになりました。つまり、濃度\(m,n\)が与えられたとき、以下の条件\begin{eqnarray*} &&\left( a\right) \ m=\left\vert A\right\vert \\
&&\left( b\right) \ n=\left\vert B\right\vert
\end{eqnarray*}を満たす集合\(A,B\)を適当に選んだ上で、写像集合\(B^{A}\)の濃度をとることにより、濃度の累乗を、\begin{equation*} n^{m}=\left\vert B^{A}\right\vert
\end{equation*}として特定できます。
以上を踏まえた上で、濃度\(m,n\)に対して累乗\(n^{m}\)を定める演算を濃度の累乗（cardinal exponentiation）と呼びます。
B &=&\left\{ 1,\cdots ,n\right\}
\end{eqnarray*}に注目すると、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ m=\left\vert A\right\vert \\
&&\left( b\right) \ n=\left\vert B\right\vert
\end{eqnarray*}が成り立ちます。\(A\)から\(B\)への写像集合は、\begin{eqnarray*} B^{A} &=&\left\{ f\ |\ f:A\rightarrow B\right\} \\
&=&\left\{ f\ |\ f:\left\{ 1,\cdots ,m\right\} \rightarrow \left\{ 1,\cdots
,n\right\} \right\}
\end{eqnarray*}です。\(m\)個の像\(f\left( 1\right) ,\cdots ,f\left( m\right) \)のそれぞれが\(n\)通りの値\(1,\cdots ,n\)をとり得るため、\begin{equation} \left\vert B^{A}\right\vert =n^{m} \quad \cdots (1)
\end{equation}です。したがって、\begin{eqnarray*}
n^{m} &=&\left\vert B^{A}\right\vert \quad \because \text{濃度の累乗の定義} \\
&=&n^{m}\quad \because \left( 1\right)
\end{eqnarray*}が成り立ちます。ただし、左端の\(n^{m}\)は新たに定義した濃度の累乗であり、右端の\(n^{m}\)は自然数の通常の累乗です。以上より、有限濃度に対して新たに定義した濃度の累乗は、自然数に対する累乗と一致します。
&&\left( b\right) \ \left\vert \mathbb{N} \right\vert =\left\vert \mathbb{N} \right\vert
\end{eqnarray*}が成り立ちます。\(\mathbb{N} \)から\(\left\{ 0\right\} \)への写像集合は、\begin{equation*} \left\{ 0\right\} ^{\mathbb{N} }=\left\{ f\ |\ f:\mathbb{N} \rightarrow \left\{ 0\right\} \right\}
\end{equation*}です。すべての\(n\in \mathbb{N} \)に対して\(f\left( n\right) =0\)とせざるを得ないため、\begin{equation} \left\vert \left\{ 0\right\} ^{\mathbb{N} }\right\vert =1 \quad \cdots (1)
\end{equation}であり、したがって、\begin{eqnarray*}
1^{\left\vert \mathbb{N} \right\vert } &=&\left\vert \left\{ 0\right\} ^{\mathbb{N} }\right\vert \quad \because \text{濃度の累乗の定義} \\
&=&1\quad \because \left( 1\right)
\end{eqnarray*}が成り立ちます。以上より、\begin{equation*}
1^{\left\vert \mathbb{N} \right\vert }=1
\end{equation*}であることが明らかになりました。
&&\left( b\right) \ \left\vert \mathbb{N} \right\vert =\left\vert \mathbb{N} \right\vert
\end{eqnarray*}が成り立ちます。\(\left\{ 0\right\} \)から\(\mathbb{N} \)への写像集合は、\begin{equation*}\mathbb{N} ^{\left\{ 0\right\} }=\left\{ f\ |\ f:\left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{N} \right\} \end{equation*}です。\(f\in \mathbb{N} ^{\left\{ 0\right\} }\)を任意に選ぶと\(f:\left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{N} \)であるため、\(f\left( 0\right) \in \mathbb{N} \)をとることができます。したがって、それぞれの\(f\in \mathbb{N} ^{\left\{ 0\right\} }\)に対して、\begin{equation*} E\left( f\right) =f\left( 0\right)
\end{equation*}を定める写像\begin{equation*}
E:\mathbb{N} ^{\left\{ 0\right\} }\rightarrow \mathbb{N} \end{equation*}が定義可能です。\(n\in \mathbb{N} \)を任意に選んだとき、それに対して、\begin{equation*} f_{n}\left( 0\right) =n
\end{equation*}を満たす写像\begin{equation*}
f_{n}:\left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{N} \end{equation*}が一意的に存在するとともに、\begin{equation*}
E\left( f_{0}\right) =f_{n}\left( 0\right) =n
\end{equation*}が成り立つため\(E\)は全単射です。したがって、\begin{equation} \left\vert \mathbb{N} ^{\left\{ 0\right\} }\right\vert =\left\vert \mathbb{N} \right\vert \quad \cdots (1)
\end{equation}を得ます。したがって、\begin{eqnarray*}
\left\vert \mathbb{N} \right\vert ^{1} &=&\left\vert \mathbb{N} ^{\left\{ 0\right\} }\right\vert \quad \because \text{濃度の累乗の定義} \\
&=&\left\vert \mathbb{N} \right\vert \quad \because \left( 1\right)
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
\left\vert \mathbb{N} \right\vert ^{1}=\left\vert \mathbb{N} \right\vert
\end{equation*}であることが明らかになりました。
\end{equation*}が成り立ちます（演習問題）。
\end{equation*}が成り立ちます（演習問題）。
底がゼロの累乗
濃度の累乗は以下の性質\begin{equation*}
\forall m:\left( m\not=0\Rightarrow 0^{m}=0\right)
\end{equation*}を満たします。つまり、底の濃度がゼロであり、指数の濃度が非ゼロである場合、累乗の濃度は\(0\)になります。
濃度の累乗は、\begin{equation*}
\forall m:\left( m\not=0\Rightarrow 0^{m}=0\right)
\end{equation*}を満たす。ただし、\(m\)は濃度であり、\(0\)は濃度としてのゼロである。
濃度の累乗は、\begin{equation*}
\forall m\not=0:0^{m}=0
\end{equation*}を満たすことが明らかになりました。では、底と指数がともに\(0\)である場合の累乗\begin{equation*} 0^{0}
\end{equation*}をどのように定めるべきでしょうか。濃度\(0\)については、空集合\(\phi \)が、\begin{equation*} 0=\left\vert \phi \right\vert
\end{equation*}を満たすため、濃度の累乗の定義より、\begin{equation*}
0^{0}=\left\vert \phi ^{\phi }\right\vert
\end{equation*}となりますが、空集合から空集合への写像は空写像だけであるため、\begin{equation*}
\left\vert \phi ^{\phi }\right\vert =1
\end{equation*}であり、したがって、\begin{equation*}
0^{0}=1
\end{equation*}を得ます。
指数がゼロの累乗
濃度の累乗は以下の性質\begin{equation*}
\forall m:m^{0}=1
\end{equation*}を満たします。つまり、指数の濃度がゼロである場合、累乗の濃度は\(1\)になります。
\forall m:m^{0}=1
\end{equation*}を満たす。ただし、\(m\)は濃度であり、\(0\)は濃度としてのゼロであり、\(1\)は濃度としてのイチである。
底が1の累乗
濃度の累乗は以下の性質\begin{equation*}
\forall m:1^{m}=1
\end{equation*}を満たします。つまり、底の濃度が\(1\)である場合、累乗の濃度は\(1\)になります。
\forall m:1^{m}=1
\end{equation*}を満たす。ただし、\(m\)は濃度であり、\(1\)は濃度としてのイチである。
指数が1の累乗
濃度の累乗は以下の性質\begin{equation*}
\forall m:m^{1}=m
\end{equation*}を満たします。つまり、指数の濃度が\(1\)である場合、累乗をとっても濃度は変化しません。
\forall m:m^{1}=m
\end{equation*}を満たす。ただし、\(m\)は濃度であり、\(1\)は濃度としてのイチである。
底を共有する累乗の積
濃度の累乗についても指数法則に相当する性質が成り立ちます。まずは以下を示します。
\end{equation*}が成り立つ。
累乗の累乗
続いて以下を示します。
\end{equation*}が成り立つ。
積の累乗
続いて以下を示します。
\end{equation*}が成り立つ。
ベキ集合の濃度と濃度の累乗
集合\(A\)を任意に選んだとき、そのベキ集合\(2^{A}\)の濃度は、濃度の累乗\(2^{\left\vert A\right\vert }\)と一致します。つまり、\begin{equation*} \left\vert 2^{A}\right\vert =2^{\left\vert A\right\vert }
\end{equation*}が成り立ちます。
\end{equation*}が成り立つ。ただし、\(2^{A}\)は\(A\)のベキ集合であり、\(2^{\left\vert A\right\vert }\)は底が有限濃度\(2\)であり指数が\(\left\vert A\right\vert \)である累乗濃度である。
演習問題
\left\vert \mathbb{R} \right\vert =2^{\left\vert \mathbb{N} \right\vert }
\end{equation*}が成り立つことを証明してください。
\end{equation*}が成り立つことを示してください。
\end{equation*}が成り立つことを示してください。
