集合の濃度のべき乗（累乗）

濃度のべき乗の定義

2つの自然数\(m,n\in \mathbb{N} \)が与えられた状況を想定します。有限集合の濃度と要素の個数は一致するため、濃度が\(m\)であるような有限集合を、\begin{equation*}A=\left\{ a_{1},\cdots ,a_{m}\right\}
\end{equation*}で表記し、濃度が\(n\)であるような有限集合を、\begin{equation*}B=\left\{ b_{1},\cdots ,b_{n}\right\}
\end{equation*}で表記します。つまり、\begin{eqnarray}
m &=&\left\vert A\right\vert \quad \cdots (1) \\
n &=&\left\vert B\right\vert \quad \cdots (2)
\end{eqnarray}が成り立つということです。\(m,n\)はともに自然数であるため、\(n\)が底であり\(m\)が指数であるような累乗が、\begin{equation*}n^{m}=\overset{m\text{個}}{\overbrace{n\times \cdots \times n}}
\end{equation*}として定まりますが、これと\(\left( 1\right) ,\left( 2\right) \)より、以下の関係\begin{equation}\left\vert B\right\vert ^{\left\vert A\right\vert }=n^{m} \quad \cdots (3)
\end{equation}が成り立ちます。

先の有限集合\begin{eqnarray*}
A &=&\left\{ a_{1},\cdots ,a_{m}\right\} \\
B &=&\left\{ b_{1},\cdots ,b_{n}\right\}
\end{eqnarray*}を念頭においた上で、\(A\)から\(B\)への写像をすべて集めることにより得られる集合を、\begin{equation*}B^{A}=\left\{ f:A\rightarrow B\right\}
\end{equation*}で表記します。この集合の濃度\(\left\vert B^{A}\right\vert \)は、\(A\)から\(B\)への写像の個数と一致します。では、そのような写像は合計でいくつ存在するでしょうか。\(A\)から\(B\)への写像を定めることは、\(A\)のそれぞれの要素に対して\(f\)が定める\(m\)個の像\(f\left( a_{1}\right) ,\cdots ,f\left( a_{m}\right) \)を定めることと同義です。これらの像\(f\left( a_{1}\right) ,\cdots,f\left( a_{m}\right) \)はそれぞれ\(n\)通りの値\(b_{1},\cdots ,b_{n}\)をとり得るため、\(A\)から\(B\)への写像として合計\(n^{m}\)通りのパターンが存在します。したがって、\begin{equation*}\left\vert B^{A}\right\vert =n^{m}
\end{equation*}であることが明らかになりました。さらに、これと\(\left( 3\right) \)より、\begin{equation*}\left\vert B\right\vert ^{\left\vert A\right\vert }=\left\vert
B^{A}\right\vert
\end{equation*}を得ます。

結論をまとめると、有限濃度\(m,n\in \mathbb{N} \)が与えられた場合には、それらに対して以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ m=\left\vert A\right\vert \\
&&\left( b\right) \ n=\left\vert B\right\vert
\end{eqnarray*}を満たす集合\(A,B\)に注目した上で、\(A\)から\(B\)への写像をすべて集めることにより得られる集合\begin{equation*}B^{A}=\left\{ f:A\rightarrow B\right\}
\end{equation*}を構成すると、以下の関係\begin{equation*}
n^{m}=\left\vert B\right\vert ^{\left\vert A\right\vert }=\left\vert
B^{A}\right\vert
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、有限濃度に関する累乗\(\left\vert B\right\vert ^{\left\vert A\right\vert }\)は、\(A\)から\(B\)への写像の合計数\(\left\vert B^{A}\right\vert \)と一致するということです。

以上の議論を踏まえた上で、有限濃度とは限らない一般の濃度\(m,n\)についても、それらのべき乗を同様に定義します。つまり、濃度\(m,n\)に対して以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ m=\left\vert A\right\vert \\
&&\left( b\right) \ n=\left\vert B\right\vert
\end{eqnarray*}を満たす集合\(A,B\)に注目した上で、濃度のべき乗\(n^{m}\)を写像集合\(B^{A}\)の濃度として定義するということです。つまり、\begin{equation*}n^{m}=\left\vert B^{A}\right\vert
\end{equation*}を満たすものとして濃度のべき乗を定義します。ただし、\begin{equation*}
B^{A}=\left\{ f:A\rightarrow B\right\}
\end{equation*}です。ここでの\(m,n\)は有限濃度であるとは限らず、したがって自然数であるとは限りません。したがって、\(n^{m}\)は自然数を底および指数とするべき乗ではなく、新たに定義された濃度のべき乗を表す記号であることに注意してください。

以上の定義が有効であることを担保するためには、濃度\(m,n\)に対して先の条件\(\left( a\right) ,\left(b\right) \)を満たす集合\(A,B\)がそれぞれ複数存在する場合、その中からどのような集合\(A,B\)を選んだ場合においても、写像集合の濃度\(\left\vert B^{A}\right\vert \)が一意的に定まることを確認する必要があります。

濃度の累乗の定義および以上の命題より、2つの濃度\(m,n\)が与えられたとき、それらのべき乗\begin{equation*}n^{m}
\end{equation*}が必ず一意的に定まることが明らかになりました。つまり、濃度\(m,n\)が与えられたとき、以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ m=\left\vert A\right\vert \\
&&\left( b\right) \ n=\left\vert B\right\vert
\end{eqnarray*}を満たす集合\(A,B\)を適当に選んだ上で、写像集合\(B^{A}\)の濃度をとることにより、濃度のべき乗を、\begin{equation*}n^{m}=\left\vert B^{A}\right\vert
\end{equation*}として特定できます。

以上を踏まえた上で、濃度\(m,n\)に対してべき乗\(n^{m}\)を定める演算を濃度のべき乗（cardinal exponentiation）と呼びます。

濃度のべき乗の性質

濃度のべき乗は以下の性質\begin{equation*}
\forall m\not=0:0^{m}=0
\end{equation*}を満たします。つまり、底の濃度がゼロであり、指数の濃度が非ゼロである場合、べき乗の濃度は\(0\)になります。

濃度のべき乗は以下の性質\begin{equation*}
\forall m:m^{0}=1
\end{equation*}を満たします。つまり、指数の濃度がゼロである場合、べき乗の濃度は\(1\)になります。

濃度のべき乗は以下の性質\begin{equation*}
\forall m:1^{m}=1
\end{equation*}を満たします。つまり、底の濃度が\(1\)である場合、べき乗の濃度は\(1\)になります。

濃度のべき乗は以下の性質\begin{equation*}
\forall m:m^{1}=m
\end{equation*}を満たします。つまり、指数の濃度が\(1\)である場合、べき乗をとっても濃度は変化しません。