連続体仮説

連続体仮説

これまでの議論を簡単に振り返ると、まず、すべての集合を有限集合と無限集合に分類した上で、無限集合の中でも自然数集合\(\mathbb{N} \)と等しい濃度を持つ集合を可算集合と呼びました。その上で、選択公理を認める場合には、任意の有限集合\(A\)と任意の無限集合\(B\)に対して、\begin{equation*}\left\vert A\right\vert <\left\vert \mathbb{N} \right\vert \leq \left\vert B\right\vert
\end{equation*}が成り立つことを示しました。つまり、可算集合は無限集合の中でも最小の濃度を持つ集合です。さらに、実数集合\(\mathbb{R} \)が非可算集合であることを示した上で、\(\mathbb{R} \)と等しい濃度を持つ集合を連続体と呼び、\begin{equation*}\left\vert \mathbb{N} \right\vert <\left\vert \mathbb{R} \right\vert
\end{equation*}が成り立つことを確認しました。

では、可算濃度よりも大きく連続体濃度よりも小さい濃度を持つ無限集合は存在するのでしょうか。つまり、以下の条件\begin{equation*}
\left\vert \mathbb{N} \right\vert <\left\vert A\right\vert <\left\vert \mathbb{R} \right\vert
\end{equation*}を満たす無限集合\(A\)は存在するのでしょうか。以上の条件を満たす無限集合\(A\)が存在しないという主張を連続体仮説（continuum hypothesis）と呼びます。

可算集合のべき集合は連続体

連続体仮説は成立するのでしょうか。カントールの定理より、任意の集合\(A\)について、それとベキ集合\(2^{A}\)の間には以下の関係\begin{equation*}\left\vert A\right\vert <\left\vert 2^{A}\right\vert
\end{equation*}が成り立ちます。したがって、可算集合\(\mathbb{N} \)についても、\begin{equation}\left\vert \mathbb{N} \right\vert <\left\vert 2^{\mathbb{N} }\right\vert \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立ちます。その一方で、連続体仮説とは、\begin{equation*}
\left\vert \mathbb{N} \right\vert <\left\vert A\right\vert <\left\vert \mathbb{R} \right\vert
\end{equation*}を満たす無限集合\(A\)が存在しないという主張です。したがって、仮に、\begin{equation}\left\vert 2^{\mathbb{N} }\right\vert <\left\vert \mathbb{R} \right\vert \quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立つのであれば、これと\(\left( 1\right) \)より、\begin{equation*}\left\vert \mathbb{N} \right\vert <\left\vert 2^{\mathbb{N} }\right\vert <\left\vert \mathbb{R} \right\vert
\end{equation*}となり、連続体仮説は成り立たないことになります。

ただし、実際には、\begin{equation*}
\left\vert 2^{\mathbb{N} }\right\vert =\left\vert \mathbb{R} \right\vert
\end{equation*}が成り立つため、無限集合\(\left\vert 2^{\mathbb{N} }\right\vert \)は連続体仮説の反例として機能しません。

連続体仮説とは、\begin{equation*}
\left\vert \mathbb{N} \right\vert <\left\vert A\right\vert <\left\vert \mathbb{R} \right\vert
\end{equation*}を満たす無限集合\(A\)が存在しないという主張です。その一方で、先の命題より、\begin{equation*}\left\vert \mathbb{R} \right\vert =\left\vert 2^{\mathbb{N} }\right\vert
\end{equation*}が成り立つため、連続体仮説を、\begin{equation*}
\left\vert \mathbb{N} \right\vert <\left\vert A\right\vert <\left\vert 2^{\mathbb{N} }\right\vert
\end{equation*}を満たす無限集合\(A\)が存在しないという主張として理解することもできます。

ドイツの数学者ゲオルク・カントール（Georg Cantor）は対角線論法を用いることにより、\begin{equation*}
\left\vert \mathbb{N} \right\vert <\left\vert \mathbb{R} \right\vert
\end{equation*}が成り立つことを証明することに成功しましたが、連続体仮説を証明することはできませんでした。1900年、ドイツの数学者ダフィット・ヒルベルト（David Hilbert）は当時の未解決問題を「ヒルベルトの23の問題」として発表し、その後の数学界に大きな影響を与えました。連続体仮説は第1の問題として取り上げられています。連続体仮説は、長い間、証明または反証されるべき未解決問題と考えられていました。しかし、その後、連続体仮説は通常の集合論の公理からは証明も反証もできないことが明らかになりました。つまり、ある集合論のモデルでは連続体仮説が成立し、別のモデルではその否定が成立します。

連続体仮説とカントールの定理の関係

カントールの定理によれば、任意の集合\(A\)について、\begin{equation*}\left\vert A\right\vert <\left\vert 2^{A}\right\vert
\end{equation*}が成り立ちます。ここで、\(A=\mathbb{R} \)とすれば、\begin{equation*}\left\vert \mathbb{R} \right\vert <\left\vert 2^{\mathbb{R} }\right\vert
\end{equation*}を得ます。この結論は連続体仮説の真偽とは無関係です。なぜなら、連続体仮説が扱うのは\(\left\vert \mathbb{N} \right\vert \)と\(\left\vert \mathbb{R} \right\vert \)の間にある濃度だけだからです。

演習問題