TABLE OF CONTENTS
目次
SECTION 1
集合
関係は2つの集合の直積の部分集合として定式化されます。
逆関係
集合 A から集合 B への関係 R が与えられたとき、R の要素である順序対 (a,b) の要素を入れ替えて得られる順序対 (b,a) からなる B から A への関係を R の逆関係と呼びます。
合成関係
2つの関係 R, S が与えられたとき、xRy と ySz がともに成り立つような y が存在するような順序対 (x,z) からなる集合を R と S の合成関係と呼び、これを S∘R で表します。
SECTION 2
同値関係
反射律、対称律、推移律を満たす関係を同値関係と呼びます。
同値関係
反射律、対称律、推移律を満たす二項関係を同値関係と呼びます。また、同値関係のもとで 2 つの要素が関係を持つとき、それらの要素は同値であると言います。同値関係を正確に定義した上で、同値関係の具体例を提示します。
同値類
集合 A 上の同値関係 R が与えられたとき、A の要素 x を任意に選べば、R のもとで x と同値であるような A のすべての要素からなる集合を構成できます。このような A の部分集合を x を代表元とする同値類と呼びます。
商集合
集合 A のそれぞれの要素 a に対して、それを代表元とする同値類 [a] を生成できますが、そのようなすべての同値類からなる A の部分集合族を商集合と呼びます。商集合は A の分割です。つまり、A の任意の要素は何らかの同値類に属するとともに、異なる複数の同値類に属することはありません。
RELATED KNOWLEDGE
関連知識
REQUIRED KNOWLEDGE
必須知識
本節を学ぶ上で集合に関する知識が必須になります。
集合
集合論は数学の土台です。あらゆる数学的概念は集合を用いて記述できます。ここでは集合を定義した上で、集合演算とその性質について学び、さらには集合族や直積集合、関係などについて学びます。
ADVANCED KNOWLEDGE
発展知識
本節の内容は以下の概念について学ぶ上で役に立ちます。
集合の濃度
有限個の要素を持つ集合については、その要素の個数は有限な自然数として表現されます。一方、無限個の要素を持つ集合については、すべての要素を数え尽くすことができないため、要素の個数を自然数として表現できません。集合の濃度とは要素の個数を一般化した概念であり、これを用いることにより無限どうしを比較できるようになります。
