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二項関係の非対称律

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非対称律を満たす二項関係

集合\(A\)上の二項関係\(R\)が以下の条件\begin{equation*}\forall x,y\in A:\left[ R\left( x,y\right) \Rightarrow \lnot R\left(
y,x\right) \right] \end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall x,y\in A:\left[ \left( x,y\right) \in R\Rightarrow \left( y,x\right)
\not\in R\right] \end{equation*}を満たす場合には、つまり、\(A\)の要素\(x,y\)を任意に選んだとき、\(R\)のもとで\(x\)と\(y\)が関係を持つ場合に\(y\)と\(x\)が関係を持たない場合には、\(R\)は非対称律(asymmetric law)を満たすといいます。

以下は非対称律を満たす二項関係の例です。

例(親子関係)
ヒトの集合\(A\)が与えられたとき、それぞれの順序対\(\left( x,y\right) \in A\times A\)に対して、\begin{equation*}R\left( x,y\right) \Leftrightarrow x\text{は}y\text{の子供}
\end{equation*}を満たすものとして\(R\)を定義します。ヒト\(x,y\in A\)を任意に選んだとき、\(x\)が\(y\)の子供である場合に\(y\)は\(x\)の子供ではないため\(R\)は非対称律を満たします。
例(実数の狭義大小関係)
すべての実数からなる集合\(\mathbb{R} \)が与えられたとき、それぞれの順序対\(\left(x,y\right) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}R\left( x,y\right) \Leftrightarrow x<y
\end{equation*}を満たすものとして\(R\)を定義します。実数\(x,y\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\begin{equation*}x<y\Rightarrow \lnot \left( y<x\right)
\end{equation*}が成り立つため\(R\)は非対称律を満たします。
例(空関係)
関係\(R\)が集合\(A\)上の空関係であるものとします。つまり、\begin{equation*}R=\phi
\end{equation*}です。\(x,y\in A\)を任意に選んだとき、\(\left( x,y\right) \in \phi \)は成り立たないため、\begin{equation*}\left( x,y\right) \in \phi \Rightarrow \left( y,x\right) \not\in \phi
\end{equation*}は真です。したがって\(R\)は非対称律を満たします。
例(非対称律を満たす二項関係)
集合\(A=\left\{ 1,2,3\right\} \)上に定義された二項関係\(R\)が、\begin{equation*}R=\left\{ \left( 2,1\right) ,\left( 2,3\right) ,\left( 3,1\right) \right\}
\end{equation*}で与えられているものとします。このとき、\(i,j\in A\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\left( i,j\right) \in R\Rightarrow \left( j,i\right) \not\in R
\end{equation*}が成り立つため、\(R\)は非対称律を満たします。

 

非対称律を満たさない二項関係

逆に、集合\(A\)上の二項関係\(R\)が非反射律を満たさないこととは、\begin{equation*}\exists x,y\in A:\left[ R\left( x,y\right) \wedge R\left( y,x\right) \right] \end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\exists x,y\in A:\left[ \left( x,y\right) \in R\wedge \left( y,x\right) \in R\right] \end{equation*}が成り立つことを意味します。つまり、\(A\)の要素\(x,y\)の中に、\(R\)のもとで\(x\)と\(y\)が関係を持つとともに\(y\)と\(x\)が関係を持つようなものが存在するということです。

以下は非対称律を満たさない二項関係の例です。

例(実数の相等関係)
すべての実数からなる集合\(\mathbb{R} \)が与えられたとき、それぞれの順序対\(\left(x,y\right) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}R\left( x,y\right) \Leftrightarrow x=y
\end{equation*}を満たすものとして\(R\)を定義します。\(x=y\)を満たす実数\(x,y\in \mathbb{R} \)について、\begin{equation*}x=y\wedge y=x
\end{equation*}が成り立つため\(R\)は非対称律を満たしません。
例(実数の大小関係)
すべての実数からなる集合\(\mathbb{R} \)が与えられたとき、それぞれの順序対\(\left(x,y\right) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}R\left( x,y\right) \Leftrightarrow x\leq y
\end{equation*}を満たすものとして\(R\)を定義します。\(x=y\)を満たす実数\(x,y\in \mathbb{R} \)について、\begin{equation*}x\leq y\wedge y\leq x
\end{equation*}が成り立つため\(R\)は非対称律を満たしません。
例(集合の包含関係)
すべての集合を要素として持つ集合族\(\mathfrak{A}\)が与えられたとき、それぞれの\(\left( A,B\right) \in \mathfrak{A}\times \mathfrak{A}\)について、\begin{equation*}R\left( A,B\right) \Leftrightarrow A\subset B
\end{equation*}を満たすものとして\(R\)を定義します。\(A=B\)を満たす集合\(A,B\in \mathfrak{A}\)について、\begin{equation*}A\subset B\wedge B\subset A
\end{equation*}が成り立つため\(R\)は非対称律を満たしません。
例(恒等関係)
集合\(A\)上の恒等関係\(\Delta_{A}\)は反対称律を満たします。実際、\(x=y\)を満たす要素\(x,y\in A\)について、恒等関係の定義より、\begin{equation*}\left( x,y\right) \in \Delta _{A}\wedge \left( y,x\right) \in \Delta _{A}
\end{equation*}が成り立つため\(R\)は非対称律を満たしません。
例(全体関係)
関係\(R\)が集合\(A\)上の全体関係であるものとします。つまり、\begin{equation*}R=A\times A
\end{equation*}です。このとき、\begin{equation*}
\exists x,y\in A:\left[ \left( x,y\right) \in A\times A\wedge \left(
y,x\right) \in A\times A\right] \end{equation*}が成り立つため\(R\)は非対称律を満たしません。
例(非対称律を満たさない二項関係)
集合\(A=\left\{ 1,2,3\right\} \)上に定義された二項関係\(R\)が、\begin{equation*}R=\left\{ \left( 1,2\right) ,\left( 2,1\right) ,\left( 2,3\right) ,\left(
3,1\right) ,\left( 3,3\right) \right\}
\end{equation*}で与えられているものとします。このとき、\(1,2\in A\)について、\begin{equation*}\left( 1,2\right) \in R\wedge \left( 2,1\right) \in R
\end{equation*}が成り立つため、\(R\)は非対称律を満たしません。

 

非対称律の特徴づけ

繰り返しになりますが、集合\(A\)上の二項関係\(R\)が非対称律を満たすこととは、\begin{equation*}\forall x,y\in A:\left[ R\left( x,y\right) \Rightarrow \lnot R\left(
y,x\right) \right] \end{equation*}が成り立つことを意味します。一方、\(R\)が非反射律を満たすことは、\begin{equation*}\forall x\in A:\lnot R\left( x,x\right)
\end{equation*}が成り立つことを意味し、\(R\)が反対称律を満たすこととは、\begin{equation*}\forall x,y\in A:\left[ R\left( x,y\right) \wedge R\left( y,x\right)
\Rightarrow x=y\right] \end{equation*}が成り立つことを意味します。実は、\(R\)が非対称律を満たすことと、\(R\)が非反射律と反対称律をともに満たすことは必要十分です。

命題(非対称律の特徴づけ)
集合\(A\)上の二項関係\(R\)が非対称律を満たすことは、\(R\)が非反射律と反対称律を満たすための必要十分条件である。
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非対称律と関係の演算

非対称律を満たす二項関係どうしの共通関係もまた非対称律を満たすことが保証されます。

命題(非対称律と共通関係)
集合\(A\)上の二項関係\(R,S\)がともに非対称律を満たす場合、共通関係\(R\cap S\)もまた非対称律を満たす。
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非対称律を満たす二項関係どうしの差関係もまた非対称律を満たすことが保証されます。

命題(非対称律と差関係)
集合\(A\)上の二項関係\(R,S\)がともに非対称律を満たす場合、差関係である\(R\backslash S\)と\(S\backslash R\)はともに非対称律を満たす。
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非対称律を満たす二項関係の補関係は非対称律を満たすとは限りません。以下の例より明らかです。

例(非対称律と補関係)
集合\(A=\left\{ 1,2,3\right\} \)上に定義された二項関係\(R\)が、\begin{equation*}R=\left\{ \left( 2,1\right) ,\left( 2,3\right) ,\left( 3,1\right) \right\}
\end{equation*}で与えられているものとします。\(R\)は非対称律を満たします。\(R\)の補関係は、\begin{equation*}R^{c}=\left\{ \left( 1,1\right) ,\left( 1,2\right) ,\left( 1,3\right)
,\left( 2,2\right) ,\left( 3,2\right) ,\left( 3,3\right) \right\}
\end{equation*}ですが、\(1\in A\)について、\begin{equation*}\left( 1,1\right) \in R^{c}\wedge \left( 1,1\right) \in R^{c}
\end{equation*}が成り立つため、\(R^{c}\)は非対称律を満たしません。

非対称律を満たす二項関係どうしの和関係は非対称律を満たすとは限りません。以下の例より明らかです。

例(非対称律と和関係)
集合\(A=\left\{ 1,2,3\right\} \)上に定義された二項関係\(R,S\)が、\begin{eqnarray*}R &=&\left\{ \left( 2,1\right) ,\left( 2,3\right) ,\left( 3,1\right)
\right\} \\
S &=&\left\{ \left( 1,2\right) ,\left( 3,2\right) ,\left( 1,3\right)
\right\}
\end{eqnarray*}で与えられているものとします。\(R\)と\(S\)はともに非対称律を満たします。\(R\)と\(S\)の和関係は、\begin{equation*}R\cup S=\left\{ \left( 1,2\right) ,\left( 1,3\right) ,\left( 2,1\right)
,\left( 2,3\right) ,\left( 3,1\right) ,\left( 3,2\right) \right\}
\end{equation*}ですが、\(1,2\in A\)について、\begin{equation*}\left( 1,2\right) \in R\cup S\wedge \left( 2,1\right) \in R\cup S
\end{equation*}が成り立つため\(R\cup S\)は非対称律を満たしません。

 

演習問題

問題(二項関係の非対称律)
集合\(A=\left\{ 1,2,3,4\right\} \)上に定義された二項関係\(R\)が、\begin{equation*}R=\left\{ \left( 2,4\right) ,\left( 3,1\right) ,\left( 3,2\right) ,\left(
3,4\right) ,\left( 4,1\right) \right\}
\end{equation*}で与えられているものとします。この\(R\)は非対称律を満たすでしょうか。議論してください。
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問題(整数の合同関係)
すべての整数からなる集合\(\mathbb{Z} \)が与えられたとき、それぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \)に対して、\begin{equation*}R\left( x,y\right) \Leftrightarrow x\equiv y\ \left( \mathrm{mod}\ 2\right)
\end{equation*}を満たすものとして\(R\)を定義します。ただし、\(x\equiv y\ \left( \mathrm{mod}\ 2\right) \)は\(x-y\)が\(2\)の整数倍であること(\(x\)が\(2\)を法として\(y\)と合同である)ことを表します。\(R\)は非対称律を満たすでしょうか。議論してください。
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問題(有理数の相等関係)
すべての有理数からなる集合\(\mathbb{Q} \)は、\begin{equation*}\mathbb{Q} =\left\{ \frac{z}{n}\ |\ z\in \mathbb{Z} \wedge n\in \mathbb{N} \right\} \end{equation*}と定義されます。このとき、それぞれの順序対\(\left( \frac{z_{1}}{n_{1}},\frac{z_{2}}{n_{2}}\right) \in \mathbb{Q} \times \mathbb{Q} \)に対して、\begin{equation*}R\left( \frac{z_{1}}{n_{1}},\frac{z_{2}}{n_{2}}\right) \Leftrightarrow
z_{1}n_{2}=z_{2}n_{1}
\end{equation*}を満たすものとして\(R\)を定義します。\(R\)は非対称律を満たすでしょうか。議論してください。
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問題(有向線分の相等関係)
平面上の点\(A\)を始点とし、点\(B\)を終点とする有向線分を\(\overrightarrow{AB}\)で表します。平面上のすべての有向線分からなる集合\(X\)が与えられたとき、それぞれの順序対\(\left( \overrightarrow{AB},\overrightarrow{CD}\right) \in X\times X\)に対して、\begin{equation*}R\left( \overrightarrow{AB},\overrightarrow{CD}\right) \Leftrightarrow
\overrightarrow{AB}\text{を平行移動すると}\overrightarrow{CD}\text{に重なる}
\end{equation*}を満たすものとして\(R\)を定義します。\(R\)は非対称律を満たすでしょうか。議論してください。
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問題(非対称律)
非対称律を満たす二項関係、非対称律を満たさない二項関係の具体例を挙げてください。回答はコメント欄に投稿してください。

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