非対称律を満たす二項関係
集合\(A\)上の二項関係\(R\)が与えられているものとします。つまり、\begin{equation*}R\subset A\times A
\end{equation*}です。これが以下の性質\begin{equation*}
\forall x,y\in A:\left[ \left( x,y\right) \in R\Rightarrow \left( y,x\right)
\not\in R\right]
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall x,y\in A:\left[ R\left( x,y\right) \Rightarrow \lnot R\left(
y,x\right) \right]
\end{equation*}を満たす場合には、つまり、\(A\)の要素\(x,y\)を任意に選んだとき、\(R\)のもとで\(x\)と\(y\)が関係を持つ場合に\(y\)と\(x\)が関係を持たない場合には、\(R\)は非対称律（asymmetric law）を満たすといいます。
以下は非対称律を満たす二項関係の例です。
\end{equation*}を満たすものとして\(R\)を定義します。ヒト\(x,y\in A\)を任意に選んだとき、\(x\)が\(y\)の子供である場合に\(y\)は\(x\)の子供ではないため\(R\)は非対称律を満たします。
\end{equation*}を満たすものとして\(R\)を定義します。実数\(x,y\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\begin{equation*}x<y\Rightarrow \lnot \left( y<x\right)
\end{equation*}が成り立つため\(R\)は非対称律を満たします。
\end{equation*}です。\(x,y\in A\)を任意に選んだとき、\(\left( x,y\right) \in \phi \)は成り立たないため、\begin{equation*}\left( x,y\right) \in \phi \Rightarrow \left( y,x\right) \not\in \phi
\end{equation*}は真です。したがって\(R\)は非対称律を満たします。
\end{equation*}で与えられているものとします。このとき、\(i,j\in A\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\left( i,j\right) \in R\Rightarrow \left( j,i\right) \not\in R
\end{equation*}が成り立つため、\(R\)は非対称律を満たします。
非対称律を満たさない二項関係
集合\(A\)上の二項関係\(R\)が非対称律を満たすことは、\begin{equation*}\forall x,y\in A:\left[ \left( x,y\right) \in R\Rightarrow \left( y,x\right)
\not\in R\right]
\end{equation*}が成り立つこととして定義されます。したがって、集合\(A\)上の二項関係\(R\)が非対称律を満たさないこととは、\begin{equation*}\exists x,y\in A:\left[ \left( x,y\right) \in R\wedge \left( y,x\right) \in R\right]
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\exists x,y\in A:\left[ R\left( x,y\right) \wedge R\left( y,x\right) \right]
\end{equation*}が成り立つことを意味します。つまり、\(A\)の要素\(x,y\)の中に、\(R\)のもとで\(x\)と\(y\)が関係を持つとともに\(y\)と\(x\)が関係を持つようなものが存在するということです。
以下は非対称律を満たさない二項関係の例です。
\end{equation*}を満たすものとして\(R\)を定義します。任意の実数\(x\in \mathbb{R} \)に対して\(x=x\)であるため、\begin{equation*}R\left( x,x\right) \wedge R\left( x,x\right)
\end{equation*}が成り立ちます。したがって\(R\)は非対称律を満たしません。
\end{equation*}を満たすものとして\(R\)を定義します。\(x=y\)を満たす実数\(x,y\in \mathbb{R} \)に関して、\begin{equation*}x\leq y\wedge y\leq x
\end{equation*}が成り立つため\(R\)は非対称律を満たしません。
\end{equation*}を満たすものとして\(R\)を定義します。\(A=B\)を満たす集合\(A,B\in 2^{X}\)に関して、\begin{equation*}A\subset B\wedge B\subset A
\end{equation*}が成り立つため\(R\)は非対称律を満たしません。
\end{equation*}が成り立つからです。
\end{equation*}です。任意の\(x,y\in A\)について、\begin{equation*}\left( x,y\right) \in A\times A\wedge \left( y,x\right) \in A\times A
\end{equation*}が成り立つため\(R\)は非対称律を満たしません。
3,1\right) ,\left( 3,3\right) \right\}
\end{equation*}で与えられているものとします。このとき、\(1,2\in A\)について、\begin{equation*}\left( 1,2\right) \in R\wedge \left( 2,1\right) \in R
\end{equation*}が成り立つため、\(R\)は非対称律を満たしません。
非対称律の特徴づけ
非対称律は逆関係を用いて以下のように特徴づけられます。
\end{equation*}が成り立つことは、\(R\)が非対称律を満たすための必要十分条件である。ただし、\(\Delta _{A}\)は\(A\)上の恒等関係である。
集合\(A\)上の二項関係\(R\)が非対称律を満たすこととは、\begin{equation*}\forall x,y\in A:\left[ R\left( x,y\right) \Rightarrow \lnot R\left(
y,x\right) \right]
\end{equation*}が成り立つことを意味する一方で、\(R\)が非反射律を満たすことは、\begin{equation*}\forall x\in A:\lnot R\left( x,x\right)
\end{equation*}が成り立つことを意味し、\(R\)が反対称律を満たすこととは、\begin{equation*}\forall x,y\in A:\left[ R\left( x,y\right) \wedge R\left( y,x\right)
\Rightarrow x=y\right]
\end{equation*}が成り立つことを意味します。\(R\)が非対称律を満たすことと、\(R\)が非反射律と反対称律をともに満たすことは必要十分です。
非対称律と反対称律は名称が似ていますが異なる概念です。先の命題より非対称律を満たす二項関係は反対称律を満たしますが、逆は成り立つとは限りません。以下の例より明らかです。
\end{equation*}を満たすものとして\(R\)を定義します。\(R\)は反対称律を満たしますが非対称律を満たしません。
非対称律と逆関係の関係
集合\(A\)上の二項関係\(R\)が与えられたとき、\begin{equation*}R\cap R^{-1}=\phi
\end{equation*}が成り立つことは、\(R\)が非対称律を満たすための必要十分条件です。
\end{equation*}が成り立つことは、\(R\)が非対称律を満たすための必要十分条件である。ただし、\(\Delta _{A}\)は\(A\)上の恒等関係である。
非対称律と関係の演算
非対称律を満たす二項関係の部分集合として定義される二項関係もまた非対称律を満たします。
\end{equation*}を満たす\(A\)上の二項関係\(S\)を任意に選んだとき、\(S\)もまた非対称律を満たす。
2つの二項関係の少なくとも一方が非対称律を満たす場合、それらの共通関係もまた非対称律を満たすことが保証されます。
非対称律を満たす二項関係との差関係もまた非対称律を満たすことが保証されます。
非対称律を満たす二項関係の補関係は非対称律を満たすとは限りません。以下の例より明らかです。
\end{equation*}で与えられているものとします。\(R\)は非対称律を満たします。\(R\)の補関係は、\begin{equation*}R^{c}=\left\{ \left( 1,1\right) ,\left( 1,2\right) ,\left( 1,3\right)
,\left( 2,2\right) ,\left( 3,2\right) ,\left( 3,3\right) \right\}
\end{equation*}ですが、\(1\in A\)について、\begin{equation*}\left( 1,1\right) \in R^{c}\wedge \left( 1,1\right) \in R^{c}
\end{equation*}が成り立つため、\(R^{c}\)は非対称律を満たしません。
非対称律を満たす二項関係どうしの和関係は非対称律を満たすとは限りません。以下の例より明らかです。
\right\} \\
S &=&\left\{ \left( 1,2\right) ,\left( 3,2\right) ,\left( 1,3\right)
\right\}
\end{eqnarray*}で与えられているものとします。\(R\)と\(S\)はともに非対称律を満たします。\(R\)と\(S\)の和関係は、\begin{equation*}R\cup S=\left\{ \left( 1,2\right) ,\left( 1,3\right) ,\left( 2,1\right)
,\left( 2,3\right) ,\left( 3,1\right) ,\left( 3,2\right) \right\}
\end{equation*}ですが、\(1,2\in A\)について、\begin{equation*}\left( 1,2\right) \in R\cup S\wedge \left( 2,1\right) \in R\cup S
\end{equation*}が成り立つため\(R\cup S\)は非対称律を満たしません。
演習問題
3,4\right) ,\left( 4,1\right) \right\}
\end{equation*}で与えられているものとします。この\(R\)は非対称律を満たすでしょうか。議論してください。
\end{equation*}を満たすものとして\(R\)を定義します。ただし、\(x\equiv y\ \left( \mathrm{mod}\ 2\right) \)は\(x-y\)が\(2\)の整数倍であること（\(x\)が\(2\)を法として\(y\)と合同である）ことを表します。\(R\)は非対称律を満たすでしょうか。議論してください。
z_{1}n_{2}=z_{2}n_{1}
\end{equation*}を満たすものとして\(R\)を定義します。\(R\)は非対称律を満たすでしょうか。議論してください。
\overrightarrow{AB}\text{を平行移動すると}\overrightarrow{CD}\text{に重なる}
\end{equation*}を満たすものとして\(R\)を定義します。\(R\)は非対称律を満たすでしょうか。議論してください。
\end{equation*}が成り立つことを証明してください。ただし、\(\Delta _{A}\)は\(A\)上の恒等関係です。
\end{equation*}が非対称律を満たすことを証明してください。
\end{equation*}が成り立つことを証明してください。
