非対称律を満たす二項関係
集合\(A\)上の二項関係\(R\)が以下の条件\begin{equation*}\forall x,y\in A:\left[ R\left( x,y\right) \Rightarrow \lnot R\left(
y,x\right) \right]
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall x,y\in A:\left[ \left( x,y\right) \in R\Rightarrow \left( y,x\right)
\not\in R\right]
\end{equation*}を満たす場合には、つまり、\(A\)の要素\(x,y\)を任意に選んだとき、\(R\)のもとで\(x\)と\(y\)が関係を持つ場合に\(y\)と\(x\)が関係を持たない場合には、\(R\)は非対称律(asymmetric law)を満たすといいます。
以下は非対称律を満たす二項関係の例です。
\end{equation*}を満たすものとして\(R\)を定義します。ヒト\(x,y\in A\)を任意に選んだとき、\(x\)が\(y\)の子供である場合に\(y\)は\(x\)の子供ではないため\(R\)は非対称律を満たします。
\end{equation*}を満たすものとして\(R\)を定義します。実数\(x,y\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\begin{equation*}x<y\Rightarrow \lnot \left( y<x\right)
\end{equation*}が成り立つため\(R\)は非対称律を満たします。
\end{equation*}です。\(x,y\in A\)を任意に選んだとき、\(\left( x,y\right) \in \phi \)は成り立たないため、\begin{equation*}\left( x,y\right) \in \phi \Rightarrow \left( y,x\right) \not\in \phi
\end{equation*}は真です。したがって\(R\)は非対称律を満たします。
\end{equation*}で与えられているものとします。このとき、\(i,j\in A\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\left( i,j\right) \in R\Rightarrow \left( j,i\right) \not\in R
\end{equation*}が成り立つため、\(R\)は非対称律を満たします。
非対称律を満たさない二項関係
逆に、集合\(A\)上の二項関係\(R\)が非反射律を満たさないこととは、\begin{equation*}\exists x,y\in A:\left[ R\left( x,y\right) \wedge R\left( y,x\right) \right]
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\exists x,y\in A:\left[ \left( x,y\right) \in R\wedge \left( y,x\right) \in R\right]
\end{equation*}が成り立つことを意味します。つまり、\(A\)の要素\(x,y\)の中に、\(R\)のもとで\(x\)と\(y\)が関係を持つとともに\(y\)と\(x\)が関係を持つようなものが存在するということです。
以下は非対称律を満たさない二項関係の例です。
\end{equation*}を満たすものとして\(R\)を定義します。\(x=y\)を満たす実数\(x,y\in \mathbb{R} \)について、\begin{equation*}x=y\wedge y=x
\end{equation*}が成り立つため\(R\)は非対称律を満たしません。
\end{equation*}を満たすものとして\(R\)を定義します。\(x=y\)を満たす実数\(x,y\in \mathbb{R} \)について、\begin{equation*}x\leq y\wedge y\leq x
\end{equation*}が成り立つため\(R\)は非対称律を満たしません。
\end{equation*}を満たすものとして\(R\)を定義します。\(A=B\)を満たす集合\(A,B\in \mathfrak{A}\)について、\begin{equation*}A\subset B\wedge B\subset A
\end{equation*}が成り立つため\(R\)は非対称律を満たしません。
\end{equation*}が成り立つため\(R\)は非対称律を満たしません。
\end{equation*}です。このとき、\begin{equation*}
\exists x,y\in A:\left[ \left( x,y\right) \in A\times A\wedge \left(
y,x\right) \in A\times A\right] \end{equation*}が成り立つため\(R\)は非対称律を満たしません。
3,1\right) ,\left( 3,3\right) \right\}
\end{equation*}で与えられているものとします。このとき、\(1,2\in A\)について、\begin{equation*}\left( 1,2\right) \in R\wedge \left( 2,1\right) \in R
\end{equation*}が成り立つため、\(R\)は非対称律を満たしません。
非対称律の特徴づけ
繰り返しになりますが、集合\(A\)上の二項関係\(R\)が非対称律を満たすこととは、\begin{equation*}\forall x,y\in A:\left[ R\left( x,y\right) \Rightarrow \lnot R\left(
y,x\right) \right]
\end{equation*}が成り立つことを意味します。一方、\(R\)が非反射律を満たすことは、\begin{equation*}\forall x\in A:\lnot R\left( x,x\right)
\end{equation*}が成り立つことを意味し、\(R\)が反対称律を満たすこととは、\begin{equation*}\forall x,y\in A:\left[ R\left( x,y\right) \wedge R\left( y,x\right)
\Rightarrow x=y\right]
\end{equation*}が成り立つことを意味します。実は、\(R\)が非対称律を満たすことと、\(R\)が非反射律と反対称律をともに満たすことは必要十分です。
非対称律と関係の演算
非対称律を満たす二項関係どうしの共通関係もまた非対称律を満たすことが保証されます。
非対称律を満たす二項関係どうしの差関係もまた非対称律を満たすことが保証されます。
非対称律を満たす二項関係の補関係は非対称律を満たすとは限りません。以下の例より明らかです。
\end{equation*}で与えられているものとします。\(R\)は非対称律を満たします。\(R\)の補関係は、\begin{equation*}R^{c}=\left\{ \left( 1,1\right) ,\left( 1,2\right) ,\left( 1,3\right)
,\left( 2,2\right) ,\left( 3,2\right) ,\left( 3,3\right) \right\}
\end{equation*}ですが、\(1\in A\)について、\begin{equation*}\left( 1,1\right) \in R^{c}\wedge \left( 1,1\right) \in R^{c}
\end{equation*}が成り立つため、\(R^{c}\)は非対称律を満たしません。
非対称律を満たす二項関係どうしの和関係は非対称律を満たすとは限りません。以下の例より明らかです。
\right\} \\
S &=&\left\{ \left( 1,2\right) ,\left( 3,2\right) ,\left( 1,3\right)
\right\}
\end{eqnarray*}で与えられているものとします。\(R\)と\(S\)はともに非対称律を満たします。\(R\)と\(S\)の和関係は、\begin{equation*}R\cup S=\left\{ \left( 1,2\right) ,\left( 1,3\right) ,\left( 2,1\right)
,\left( 2,3\right) ,\left( 3,1\right) ,\left( 3,2\right) \right\}
\end{equation*}ですが、\(1,2\in A\)について、\begin{equation*}\left( 1,2\right) \in R\cup S\wedge \left( 2,1\right) \in R\cup S
\end{equation*}が成り立つため\(R\cup S\)は非対称律を満たしません。
演習問題
3,4\right) ,\left( 4,1\right) \right\}
\end{equation*}で与えられているものとします。この\(R\)は非対称律を満たすでしょうか。議論してください。
\end{equation*}を満たすものとして\(R\)を定義します。ただし、\(x\equiv y\ \left( \mathrm{mod}\ 2\right) \)は\(x-y\)が\(2\)の整数倍であること(\(x\)が\(2\)を法として\(y\)と合同である)ことを表します。\(R\)は非対称律を満たすでしょうか。議論してください。
z_{1}n_{2}=z_{2}n_{1}
\end{equation*}を満たすものとして\(R\)を定義します。\(R\)は非対称律を満たすでしょうか。議論してください。
\overrightarrow{AB}\text{を平行移動すると}\overrightarrow{CD}\text{に重なる}
\end{equation*}を満たすものとして\(R\)を定義します。\(R\)は非対称律を満たすでしょうか。議論してください。
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