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RELATION

関係どうしの演算

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補関係

関係は直積の部分集合として定義されるため、関係に対して通常の集合演算を適用することができます。

始集合\(A\)から終集合\(B\)への関係\(R\subset A\times B\)が与えられたとき、その補集合\begin{equation*}R^{c}\subset A\times B
\end{equation*}として定義される\(A\)から\(B\)への関係を\(R\)の補関係(complementary relation)と呼びます。補集合の定義より、順序対\(\left(a,b\right) \in A\times B\)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}R^{c}\left( a,b\right) &\Leftrightarrow &\left( a,b\right) \in R^{c}\quad
\because \text{関係の定義} \\
&\Leftrightarrow &\left( a,b\right) \not\in R\quad \because \text{補関係の定義} \\
&\Leftrightarrow &\lnot R\left( a,b\right) \quad \because \text{関係の定義}
\end{eqnarray*}という関係が成り立ちます。つまり、\(R^{c}\)のもとで\(a\)と\(b\)が関係を持つことと、\(R\)のもとで\(a\)と\(b\)が関係を持たないことは必要十分です。したがって、\begin{equation*}R=\left\{ \left( a,b\right) \in A\times B\ |\ \lnot R\left( a,b\right)
\right\}
\end{equation*}として\(R\)の補関係\(R^{c}\)を定義することもできます。

例(補関係)
関係\(R\)の始集合\(M\)と終集合\(W\)がそれぞれ、\begin{eqnarray*}M &=&\left\{ m_{1},m_{2},m_{3}\right\} \\
W &=&\left\{ w_{1},w_{2},w_{3}\right\}
\end{eqnarray*}であるとともに、この関係\(R\)はそれぞれの\(\left( m,w\right) \in M\times W\)について、\begin{equation*}R\left( m,w\right) \Leftrightarrow m\text{と}w\text{は夫婦である}
\end{equation*}を満たすものとして定義されているものとします。仮に\(m_{1}\)と\(w_{2}\)、\(m_{2}\)と\(w_{3}\)がそれぞれ夫婦であり、他の全員が独身であるならば、\begin{equation*}R=\left\{ \left( m_{1},w_{2}\right) ,\left( m_{2},w_{3}\right) \right\}
\end{equation*}となります。\(R\)の補関係\(R^{c}\)は、それぞれの\(\left( m,w\right) \in M\times W\)について、\begin{equation*}R^{c}\left( m,w\right) \Leftrightarrow m\text{と}w\text{は夫婦ではない}
\end{equation*}を満たすため、\begin{equation*}
R^{c}=\left\{ \left( m_{1},w_{1}\right) ,\left( m_{1},w_{3}\right) ,\left(
m_{2},w_{1}\right) ,\left( m_{2},w_{2}\right) ,\left( m_{3},w_{1}\right)
,\left( m_{3},w_{2}\right) ,\left( m_{3},w_{3}\right) \right\}
\end{equation*}となります。

例(補関係)
関係\(R\)の始集合\(A\)と終集合\(B\)がそれぞれ、\begin{eqnarray*}A &=&\left\{ 1,3,5\right\} \\
B &=&\left\{ 2,4,6\right\}
\end{eqnarray*}で与えられているものとします。さらにこの関係\(R\)は、それぞれの\(\left( a,b\right) \in A\times B\)について、\begin{equation*}R\left( a,b\right) \Leftrightarrow a<b
\end{equation*}を満たすものとして定義されています。このとき、\begin{eqnarray*}
R &=&\left\{ \left( a,b\right) \in A\times B\ |\ a<b\right\} \\
&=&\left\{ \left( 1,2\right) ,\left( 1,4\right) ,\left( 1,6\right) ,\left(
3,4\right) ,\left( 3,6\right) ,\left( 5,6\right) \right\}
\end{eqnarray*}となります。\(R\)の補関係\(R^{c}\)は、それぞれの\(\left( a,b\right) \in A\times B\)について、\begin{eqnarray*}R^{c}\left( a,b\right) &\Leftrightarrow &\lnot R\left( a,b\right) \\
&\Leftrightarrow &a\geq b
\end{eqnarray*}を満たすため、\begin{eqnarray*}
R^{c} &=&\left\{ \left( a,b\right) \in A\times B\ |\ a\geq b\right\} \\
&=&\left\{ \left( 3,2\right) ,\left( 5,2\right) ,\left( 5,4\right) \right\}
\end{eqnarray*}となります。

 

共通関係

始集合\(A\)と終集合\(B\)を共有する2つの関係\(R,S\subset A\times B\)が与えられたとき、それらの共通部分\begin{equation*}R\cap S\subset A\times B
\end{equation*}として定義される\(A\)から\(B\)への関係を\(R\)と\(S\)の共通関係(intersectioin relation)と呼びます。共通部分の定義より、順序対\(\left( a,b\right) \in A\times B\)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}\left( R\cap S\right) \left( a,b\right) &\Leftrightarrow &\left( a,b\right)
\in R\cap S\quad \because \text{関係の定義} \\
&\Leftrightarrow &\left( a,b\right) \in R\wedge \left( a,b\right) \in S\quad
\because \text{共通部分の定義} \\
&\Leftrightarrow &R\left( a,b\right) \wedge S\left( a,b\right) \quad
\because \text{関係の定義}
\end{eqnarray*}という関係が成り立ちます。つまり、\(R\)のもとで\(a\)と\(b\)が関係を持ち、なおかつ\(S\)のもとで\(a\)と\(b\)が関係を持つことは、\(R\cup S\)のもとで\(a\)と\(b\)が関係を持つことと必要十分です。したがって、\begin{equation*}R\cap S=\left\{ \left( a,b\right) \in A\times B\ |\ R\left( a,b\right)
\wedge S\left( a,b\right) \right\}
\end{equation*}として\(R\)と\(S\)の共通関係\(R\cap S\)を定義することもできます。

例(共通関係)
関係\(R,S\)の始集合\(A\)と終集合\(B\)がそれぞれ、\begin{eqnarray*}A &=&\left\{ a_{1},a_{2},a_{3}\right\} \\
B &=&\left\{ b_{1},b_{2},b_{3}\right\}
\end{eqnarray*}であるとともに、これらの関係\(R,S\)はそれぞれの\(\left( a,b\right) \in A\times B\)について、\begin{eqnarray*}R\left( a,b\right) &\Leftrightarrow &a\text{と}b\text{は友人である} \\
S\left( a,b\right) &\Leftrightarrow &a\text{と}b\text{は同僚である}
\end{eqnarray*}を満たすものとして定義されているものとします。仮に、\(a_{1},a_{2},b_{1},b_{2}\)がお互いに友人であり、\(a_{2},a_{3},b_{2},b_{3}\)がお互いに同僚であるならば、\begin{eqnarray*}R &=&\left\{ \left( a_{1},b_{1}\right) ,\left( a_{1},b_{2}\right) ,\left(
a_{2},b_{1}\right) ,\left( a_{2},b_{2}\right) \right\} \\
S &=&\left\{ \left( a_{2},b_{2}\right) ,\left( a_{2},b_{3}\right) ,\left(
a_{3},b_{2}\right) ,\left( a_{3},b_{3}\right) \right\}
\end{eqnarray*}となります。\(R\)と\(S\)の共通関係\(R\cap S\)はそれぞれの\(\left( a,b\right) \in A\times B\)について、\begin{eqnarray*}\left( R\cap S\right) \left( a,b\right) &\Leftrightarrow &R\left(
a,b\right) \wedge S\left( a,b\right) \\
&\Leftrightarrow &a\text{と}b\text{は友人かつ同僚である}
\end{eqnarray*}を満たすため、\begin{equation*}
R\cap S=\left\{ \left( a_{2},b_{2}\right) \right\}
\end{equation*}となります。

例(共通関係)
関係\(R,S\)の始集合\(A\)と終集合\(B\)が、\begin{equation*}A=B=\mathbb{R} \end{equation*}であるとともに、これらの関係\(R,S\)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R} \)について、\begin{eqnarray*}R\left( x,y\right) &\Leftrightarrow &x\leq y \\
S\left( x,y\right) &\Leftrightarrow &x\geq y
\end{eqnarray*}を満たすものとして定義されているものとします。\(R\)と\(S\)の共通関係\(R\cap S\)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R} \)について、\begin{eqnarray*}\left( R\cap S\right) \left( x,y\right) &\Leftrightarrow &R\left(
x,y\right) \wedge S\left( x,y\right) \\
&\Leftrightarrow &x\leq y\vee x\geq y \\
&\Leftrightarrow &x=y
\end{eqnarray*}を満たすため、\begin{equation*}
R\cap S=\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R} \ |\ x=y\right\}
\end{equation*}となります。

 

和関係

始集合\(A\)と終集合\(B\)を共有する2つの関係\(R,S\subset A\times B\)が与えられたとき、それらの和集合\begin{equation*}R\cup S\subset A\times B
\end{equation*}として定義される\(A\)から\(B\)への関係を\(R\)と\(S\)の和関係(union relation)と呼びます。和集合の定義より、順序対\(\left(a,b\right) \in A\times B\)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}\left( R\cup S\right) \left( a,b\right) &\Leftrightarrow &\left( a,b\right)
\in R\cup S\quad \because \text{関係の定義} \\
&\Leftrightarrow &\left( a,b\right) \in R\vee \left( a,b\right) \in S\quad
\because \text{和集合の定義} \\
&\Leftrightarrow &R\left( a,b\right) \vee S\left( a,b\right) \quad \because
\text{関係の定義}
\end{eqnarray*}という関係が成り立ちます。つまり、\(R\)のもとで\(a\)と\(b\)が関係を持つか、または\(S\)のもとで\(a\)と\(b\)が関係を持つか、その少なくとも一方であることは、\(R\cup S\)のもとで\(a\)と\(b\)が関係を持つことと必要十分です。したがって、\begin{equation*}R\cup S=\left\{ \left( a,b\right) \in A\times B\ |\ R\left( a,b\right) \vee
S\left( a,b\right) \right\}
\end{equation*}として\(R\)と\(S\)の和関係\(R\cup S\)を定義することもできます。

例(和関係)
関係\(R,S\)の始集合\(A\)と終集合\(B\)がそれぞれ、\begin{eqnarray*}A &=&\left\{ a_{1},a_{2},a_{3}\right\} \\
B &=&\left\{ b_{1},b_{2},b_{3}\right\}
\end{eqnarray*}であるとともに、これらの関係\(R,S\)はそれぞれの\(\left( a,b\right) \in A\times B\)について、\begin{eqnarray*}R\left( a,b\right) &\Leftrightarrow &a\text{と}b\text{は友人である} \\
S\left( a,b\right) &\Leftrightarrow &a\text{と}b\text{は同僚である}
\end{eqnarray*}を満たすものとして定義されているものとします。仮に、\(a_{1},a_{2},b_{1},b_{2}\)がお互いに友人であり、\(a_{2},a_{3},b_{2},b_{3}\)がお互いに同僚であるならば、\begin{eqnarray*}R &=&\left\{ \left( a_{1},b_{1}\right) ,\left( a_{1},b_{2}\right) ,\left(
a_{2},b_{1}\right) ,\left( a_{2},b_{2}\right) \right\} \\
S &=&\left\{ \left( a_{2},b_{2}\right) ,\left( a_{2},b_{3}\right) ,\left(
a_{3},b_{2}\right) ,\left( a_{3},b_{3}\right) \right\}
\end{eqnarray*}となります。\(R\)と\(S\)の和関係\(R\cup S\)はそれぞれの\(\left( a,b\right) \in A\times B\)について、\begin{eqnarray*}\left( R\cup S\right) \left( a,b\right) &\Leftrightarrow &R\left(
a,b\right) \vee S\left( a,b\right) \\
&\Leftrightarrow &a\text{と}b\text{は友人または同僚である}
\end{eqnarray*}を満たすため、\begin{equation*}
R\cup S=\left\{ \left( a_{1},b_{1}\right) ,\left( a_{1},b_{2}\right) ,\left(
a_{2},b_{1}\right) ,\left( a_{2},b_{2}\right) ,\left( a_{2},b_{3}\right)
,\left( a_{3},b_{2}\right) ,\left( a_{3},b_{3}\right) \right\}
\end{equation*}となります。

例(和関係)
関係\(R,S\)の始集合\(A\)と終集合\(B\)が、\begin{equation*}A=B=\mathbb{R} \end{equation*}であるとともに、これらの関係\(R,S\)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R} \)について、\begin{eqnarray*}R\left( x,y\right) &\Leftrightarrow &x<y \\
S\left( x,y\right) &\Leftrightarrow &x=y
\end{eqnarray*}を満たすものとして定義されているものとします。\(R\)と\(S\)の和関係\(R\cup S\)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R} \)について、\begin{eqnarray*}\left( R\cup S\right) \left( x,y\right) &\Leftrightarrow &R\left(
x,y\right) \vee S\left( x,y\right) \\
&\Leftrightarrow &x<y\vee x=y \\
&\Leftrightarrow &x\leq y
\end{eqnarray*}を満たすため、\begin{equation*}
R\cup S=\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R} \ |\ x\leq y\right\}
\end{equation*}となります。

 

差関係

始集合\(A\)と終集合\(B\)を共有する2つの関係\(R,S\subset A\times B\)が与えられたとき、それらの差集合\begin{equation*}R\backslash S\subset A\times B
\end{equation*}として定義される\(A\)から\(B\)への関係を\(R\)と\(S\)の差関係(difference relation)と呼びます。差集合の定義より、順序対\(\left(a,b\right) \in A\times B\)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}\left( R\backslash S\right) \left( a,b\right) &\Leftrightarrow &\left(
a,b\right) \in R\backslash S\quad \because \text{関係の定義} \\
&\Leftrightarrow &\left( a,b\right) \in R\wedge \left( a,b\right) \not\in
S\quad \because \text{差集合の定義} \\
&\Leftrightarrow &R\left( a,b\right) \wedge \lnot S\left( a,b\right) \quad
\because \text{関係の定義}
\end{eqnarray*}という関係が成り立ちます。つまり、\(R\)のもとで\(a\)と\(b\)が関係を持ち、なおかつ\(S\)のもとで\(a\)と\(b\)が関係を持たないことは、\(R\backslash S\)のもとで\(a\)と\(b\)が関係を持つことと必要十分です。したがって、\begin{equation*}R\backslash S=\left\{ \left( a,b\right) \in A\times B\ |\ R\left( a,b\right)
\wedge \lnot S\left( a,b\right) \right\}
\end{equation*}として\(R\)と\(S\)の差関係\(R\backslash S\)を定義することもできます。

例(差関係)
関係\(R,S\)の始集合\(A\)と終集合\(B\)がそれぞれ、\begin{eqnarray*}A &=&\left\{ a_{1},a_{2},a_{3}\right\} \\
B &=&\left\{ b_{1},b_{2},b_{3}\right\}
\end{eqnarray*}であるとともに、これらの関係\(R,S\)はそれぞれの\(\left( a,b\right) \in A\times B\)について、\begin{eqnarray*}R\left( a,b\right) &\Leftrightarrow &a\text{と}b\text{は友人である} \\
S\left( a,b\right) &\Leftrightarrow &a\text{と}b\text{は同僚である}
\end{eqnarray*}を満たすものとして定義されているものとします。仮に、\(a_{1},a_{2},b_{1},b_{2}\)がお互いに友人であり、\(a_{2},a_{3},b_{2},b_{3}\)がお互いに同僚であるならば、\begin{eqnarray*}R &=&\left\{ \left( a_{1},b_{1}\right) ,\left( a_{1},b_{2}\right) ,\left(
a_{2},b_{1}\right) ,\left( a_{2},b_{2}\right) \right\} \\
S &=&\left\{ \left( a_{2},b_{2}\right) ,\left( a_{2},b_{3}\right) ,\left(
a_{3},b_{2}\right) ,\left( a_{3},b_{3}\right) \right\}
\end{eqnarray*}となります。\(R\)と\(S\)の差関係\(R\backslash S\)はそれぞれの\(\left( a,b\right) \in A\times B\)について、\begin{eqnarray*}\left( R\backslash S\right) \left( a,b\right) &\Leftrightarrow &R\left(
a,b\right) \wedge \lnot S\left( a,b\right) \\
&\Leftrightarrow &a\text{と}b\text{は友人だが同僚ではない}
\end{eqnarray*}を満たすため、\begin{equation*}
R\cup S=\left\{ \left( a_{1},b_{1}\right) ,\left( a_{1},b_{2}\right) ,\left(
a_{2},b_{1}\right) \right\}
\end{equation*}となります。

例(差関係)
関係\(R,S\)の始集合\(A\)と終集合\(B\)が、\begin{equation*}A=B=\mathbb{R} \end{equation*}であるとともに、これらの関係\(R,S\)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R} \)について、\begin{eqnarray*}R\left( x,y\right) &\Leftrightarrow &x\leq y \\
S\left( x,y\right) &\Leftrightarrow &x=y
\end{eqnarray*}を満たすものとして定義されているものとします。\(R\)と\(S\)の差関係\(R\backslash S\)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R} \)について、\begin{eqnarray*}\left( R\backslash S\right) \left( x,y\right) &\Leftrightarrow &R\left(
x,y\right) \wedge \lnot S\left( x,y\right) \\
&\Leftrightarrow &x\leq y\wedge x\not=y \\
&\Leftrightarrow &x<y
\end{eqnarray*}を満たすため、\begin{equation*}
R\backslash S=\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R} \ |\ x<y\right\}
\end{equation*}となります。

 

演習問題

問題(関係どうしの演算)
集合\(A=\left\{ 0,1,2\right\} \)上の二項関係\(R,S\)がそれぞれ、\begin{eqnarray*}R &=&\left\{ \left( 0,2\right) ,\left( 1,0\right) ,\left( 1,2\right) ,\left(
2,0\right) \right\} \\
S &=&\left\{ \left( 1,0\right) ,\left( 1,1\right) ,\left( 1,2\right) ,\left(
2,2\right) \right\}
\end{eqnarray*}で与えられているものとします。このとき、和関係\(R\cup S\)の要素を明らかにしてください。
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問題(関係どうしの演算)
集合\(A=\left\{ a,b,c,d\right\} \)上の二項関係\(R,S\)がそれぞれ、\begin{eqnarray*}R &=&\left\{ \left( a,a\right) ,\left( b,a\right) ,\left( c,c\right) ,\left(
b,d\right) ,\left( c,d\right) ,\left( d,a\right) ,\left( d,c\right) \right\}
\\
S &=&\left\{ \left( a,b\right) ,\left( b,a\right) ,\left( c,a\right) ,\left(
c,d\right) ,\left( d,a\right) ,\left( d,b\right) \right\}
\end{eqnarray*}で与えられているものとします。このとき、共通関係\(R\cap S\)の要素を明らかにしてください。
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問題(関係どうしの演算)
集合\(A=\left\{ 1,2,3\right\} \)上の二項関係\(R\)が、\begin{equation*}R=\left\{ \left( 1,2\right) ,\left( 2,2\right) ,\left( 1,3\right) ,\left(
3,3\right) \right\}
\end{equation*}で与えられているものとします。このとき、以下の関係\begin{equation*}
\left( R^{-1}\right) ^{c}\backslash R
\end{equation*}の要素を明らかにしてください。

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集合A上の二項関係Rのもとで、Aの任意の要素x,yについて、xがyと関係を持つ場合にはyがxと関係を持たない場合、Rは非対称律を満たすと言います。非対称律を満たす二項関係の例を挙げます。

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関係