集合 X が命題関数 P(x) から定義されるとき、X の補集合とは P(x) が偽になるような要素 x からなる集合です。言い換えると、X に属さない要素からなる集合が X の補集合です。

2019年1月18日:公開

補集合

集合演算子\(c\)を補集合(complement)と呼び、集合\(X\)に\(c\)を作用させることで得られる集合\(X^{c}\)を\(X\)の補集合(complement of \(X\))と呼びます。

集合\(X=\{x\in U\ |\ P(x)\}\)に対して、その補集合を、\begin{equation*}
X^{c}=\{x\in U\ |\ \lnot P(x)\}
\end{equation*}と定義します。つまり、全体集合\(U\)に属する要素の中でも、命題\(P\left( x\right) \)が偽になるような要素\(x\)からなる集合が\(X^{c}\)です。

否定ついて復習する

それぞれの要素\(x\in U\)に対して、\begin{align*}
x\in X^{c}& \Leftrightarrow \ \lnot P(x)\quad \because \ X^{c}\text{の定義} \\
& \Leftrightarrow \ x\not\in X\quad \because \ X\text{の定義}
\end{align*}という関係が成り立つため、\begin{equation*}
X^{c}=\{x\in U\ |\ x\not\in X\}
\end{equation*}と表せます。つまり、全体集合\(U\)に属する要素の中でも、\(X\)に属さない要素からなる集合が\(X^{c}\)です。

例(補集合)
全体集合が\(U=\{1,2,3,4,5,6\}\)であるとき、集合\(X=\{1,3,5\}\)の補集合は\(X^{c}=\{2,4,6\}\)となります。
例(補集合)
集合\(X\)が、\begin{equation*}
X=\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ x>1\right\}
\end{equation*}として与えられるとき、\(X\)の補集合は、\begin{equation*}
X^{c}=\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ x\leq 1\right\}
\end{equation*}となります。
例(補集合)
空集合\(\phi \)の補集合は全体集合\(U\)であり、全体集合\(U\)の補集合は空集合\(\phi \)です。つまり、\(\phi ^{c}=U\)かつ\(U^{c}=\phi \)が成り立ちます。詳細は演習問題を参照してください。
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補集合のベン図

集合は単純な平面図形で表されます。まず、全体集合\(U\)は下図の長方形全体です。命題関数\(P\left( x\right) \)の真理集合として\(X\)が定義されるとき、\(X\)は下図の白い領域で表されます。補集合\(X^{c}\)は否定\(\lnot P\left( x\right) \)の真理集合\(\phi \left( \lnot P\right) \)に相当するため、下図のグレーの領域で表されます。

補集合

図:補集合

次回は共通部分について学びます。

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