補集合
集合論では集合を被演算子とする集合演算（set operation）と呼ばれる演算を定義します。集合演算で使われる被演算子は\(c,\cap ,\cup ,\backslash ,\Delta \)などであり、これらを集合演算子（set operations）と呼びます。
集合演算子\(c\)を補集合（complement）と呼び、集合\(A\)に\(c\)を作用させることで得られる集合を\(A\)の補集合（complement of \(A\)）と呼び、これを\(A^{c}\)と表記します。全体集合\(U\)と集合\(A\)が与えられたとき、\(A\)の補集合\(A^{c}\)とは、\(U\)の要素の中でも\(A\)の要素ではないものからなる集合\begin{equation*}
A^{c}=\left\{ x\in U\ |\ x\not\in A\right\}
\end{equation*}として定義されます。このとき、任意の\(x\in U\)に対して、\begin{equation*}
x\in A^{c}\ \Leftrightarrow \ x\not\in A
\end{equation*}という関係が成り立ちます。
補集合の内包的表現
集合\(A\)が命題関数を用いて、\begin{equation}
A=\left\{ x\in U\ |\ P\left( x\right) \right\} \tag{1}
\end{equation}と内包的に定義されているものとします。このとき、任意の\(x\in U\)に対して、\begin{eqnarray*}
x\in A^{c} &\Leftrightarrow &x\not\in A\quad \because A^{c}\text{の定義} \\
&\Leftrightarrow &\lnot P\left( x\right) \quad \because A\text{の定義}
\end{eqnarray*}という関係が成り立つため、\(A\)の補集合\(A^{c}\)を、\begin{equation}
A^{c}=\left\{ x\in U\ |\ \lnot P\left( x\right) \right\} \tag{2}
\end{equation}と表現することもできます。つまり、全体集合\(U\)に属する要素の中でも、命題\(\lnot P\left( x\right) \)が真、すなわち命題\(P\left( x\right) \)が偽になるような要素\(x\)からなる集合が\(A^{c}\)です。補集合\(c\)という集合演算は、否定\(\lnot \)という論理演算から間接的に定義される概念です。
全体集合\(U\)は下図において長方形の領域として表されます。集合\(A\)が命題関数\(P\left( x\right) \)から\(\left( 1\right) \)のように定義されるとき、\(A\)は\(P\left( x\right) \)の真理集合\(\phi \left( P\right) \)と一致します。下図では\(A\)が白い領域として表されます。補集合\(A^{c}\)は下図ではグレーの領域として表されますが、これは否定\(\lnot P\left( x\right) \)の真理集合\(\phi \left( \lnot P\right) \)に相当する\(\left( 2\right) \)と一致します。
A=\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ x>1\right\}
\end{equation*}として与えられるとき、その補集合は、\begin{equation*}
A^{c}=\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ x\leq 1\right\}
\end{equation*}となります。
A=\left\{ x\in \mathbb{Z} \ |\ x\text{は偶数}\right\}
\end{equation*}として与えられるとき、その補集合は、\begin{eqnarray*}
A^{c} &=&\left\{ x\in \mathbb{Z} \ |\ x\text{は偶数ではない}\right\}
\\
&=&\left\{ x\in \mathbb{Z} \ |\ x\text{は奇数}\right\}
\end{eqnarray*}となります。
U=\left\{ x\in U\ |\ \top \right\}
\end{equation*}と表現できます。一方、空集合\(\phi \)は恒偽式\(\bot \)を用いて、\begin{equation*}
\phi =\left\{ x\in U\ |\ \bot \right\}
\end{equation*}と定義できます。このとき、任意の\(x\in U\)について、\begin{eqnarray*}
x\in U^{c} &\Leftrightarrow &\lnot \top \quad \because U\text{の定義} \\
&\Leftrightarrow &\bot \\
&\Leftrightarrow &x\in \phi \quad \because \phi \text{の定義}
\end{eqnarray*}が成り立ちます。つまり、\(U^{c}=\phi \)です。同様にして、\(\phi ^{c}=U\)であることが示されます。
補集合と包含関係
全体集合を\(U\)とします。集合\(A,B\)が\(A\subset B\)を満たす場合、任意の\(x\in U\)に対して、\begin{eqnarray*}
x\in B^{c} &\Leftrightarrow &x\not\in B\quad \because c\text{の定義} \\
&\Rightarrow &x\not\in A\quad \because A\subset B \\
&\Leftrightarrow &x\in A^{c}\quad \because c\text{の定義}
\end{eqnarray*}となりますが、これは\(B^{c}\subset A^{c}\)が成り立つことを意味します。逆に\(B^{c}\subset A^{c}\)が成り立つ場合、 任意の\(x\in U\)に対して、\begin{eqnarray*}
x\in A &\Leftrightarrow &x\not\in A^{c}\quad \because c\text{の定義} \\
&\Rightarrow &x\not\in B^{c}\quad \because B^{c}\subset A^{c} \\
&\Leftrightarrow &x\in B\quad \because c\text{の定義}
\end{eqnarray*}となりますが、これは\(A\subset B\)が成り立つことを意味します。
この命題の意味を以下に視覚化しました。いずれの図においても\(A\subset B\)が成り立っています。左下図のグレーの領域が\(A^{c}\)であり、右下図のグレーの領域が\(B^{c}\)ですが、図より\(B^{c}\subset A^{c}\)が明らかに成り立っています。
A &=&\left\{ x\in U\ |\ x\text{は1年生}\right\} \\
B &=&\left\{ x\in U\ |\ x\text{は低学年}\right\}
\end{eqnarray*}とおくと、\(A\subset B\)が成り立ちます。このとき、\begin{eqnarray*}
A^{c} &=&\left\{ x\in U\ |\ x\text{は2年生以上}\right\} \\
B^{c} &=&\left\{ x\in U\ |\ x\text{は中学年以上}\right\}
\end{eqnarray*}となりますが、明らかに\(B^{c}\subset A^{c}\)です。この結果は上の命題と整合的です。
次回は共通部分について学びます。
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