全体集合

全体集合

集合論のどのような応用においても、何らかの集合について議論するとき、私たちは、その集合が別の集合の部分集合であることを暗に想定しています。例えば、すべての素数からなる集合\(A=\left\{ 2,3,5,7,11,\cdots \right\} \)が与えられたとき、\(A\)に属さないもの、すなわち素数でないものを挙げよと問われたら、\(4,6,8\)など、素数ではない自然数を答えるのが自然です。このような答え方は、\(A\)がすべての自然数からなる集合\(\mathbb{N}\)の部分集合であることを念頭においたものです。また、数直線上の区間を議論の対象としているとき、それらはいずれもすべての実数からなる集合\(\mathbb{R}\)の部分集合であることを念頭においています。他の場合についても同様です。

そこで、議論の対象となるすべての集合を部分集合として持つような集合を全体集合（universal set）や普遍集合などと呼びます。全体集合を\(U\)で表すとき、議論の対象となる集合\(A\)を任意に選ぶと、両者の間には\(A\subset U\)、すなわち、\begin{equation*}
\forall x\in A:x\in U
\end{equation*}という関係が成り立ちます。

全体集合は議論の対象となる任意の集合を部分集合として持つため、それらの集合の要素はいずれも全体集合の要素です。このような事情もあり、全体集合を、議論の対象となるすべての要素からなる集合とみなすこともできます。

全体集合の内包的表現

全体集合が\(U\)であるとします。このとき、議論の対象である集合\(A\)を内包的に表現することは、何らかの命題関数\(P\left( x\right) \)を導入した上で、\(U\)の要素の中でも命題\(P\left( x\right) \)が真になるようなものからなる集合\begin{equation}
A=\left\{ x\in U\ |\ P\left( x\right) \right\} \tag{1}
\end{equation}を考えることを意味します。同様に、議論の対象である別の集合\(B\)を内包的に表現することは、別の命題関数\(Q\left( x\right) \)を用いて、\begin{equation*}
B=\left\{ x\in U\ |\ Q\left( x\right) \right\}
\end{equation*}と定めることを意味します。つまり、議論の対象となる集合を命題関数を用いて内包的に表現する場合、全体集合\(U\)は変数の定義域と一致します。

では、全体集合\(U\)そのものはどのような形で内包的に表現できるでしょうか。\(U\)もまた上の集合\(A,B\)などと同様に何らかの命題関数\(R\left( x\right) \)を用いて、\begin{equation*}
U=\left\{ x\in U\ |\ R\left( x\right) \right\}
\end{equation*}という形で表現されるものとします。このとき、\(x\in U\)を任意に選ぶと、\begin{equation*}
x\in U\ \Leftrightarrow \ P\left( x\right)
\end{equation*}という関係が成り立ちます。\(x\in U\)は明らかに真であるため、それと同値である\(P\left( x\right) \)もまた真です。これは任意の\(x\in U\)について成り立ちますが、これは\(P\left( x\right) \)が恒真式であることを意味します。以上を踏まえると、全体集合\(U\)は恒真式\(\top \)を用いて、\begin{equation}
U=\left\{ x\in U\ |\ \top \right\} \tag{2}
\end{equation}という形で表現できます。

ちなみに、議論の対象である集合\(A\)が\(\left( 1\right) \)として、全体集合\(U\)が\(\left( 2\right) \)としてそれぞれ内包的に表現されているとき、\(x\in U\)を任意に選ぶと、\begin{eqnarray*}
x\in A &\Leftrightarrow &P\left( x\right) \quad \because A\text{の定義} \\
&\Rightarrow &\top \\
&\Leftrightarrow &x\in U\quad \because U\text{の定義}
\end{eqnarray*}となりため、\(A\subset U\)となります。この結果は、全体集合が\(U\)が議論の対象となるすべての集合を部分集合として持つという事実と整合的です。

次回は空集合について学びます。