全体集合

これまで集合そのものや集合どうしの関係について学んできました。しかし、集合を考える際には、「どのような対象を議論の範囲とするのか」をあらかじめ決めておく必要があります。例えば、偶数の集合を考えるとき、それを自然数の部分集合として考えるのか、整数の部分集合として考えるのかによって議論の内容が変わることがあります。このように、議論の対象となるすべての要素を集めた集合を全体集合と呼びます。

集合について議論する際には、多くの場合、その集合が別の集合の部分集合であることを暗に想定しています。具体例を挙げると、すべての素数からなる集合\begin{equation*}
A=\left\{ 2,3,5,7,11,\cdots \right\}
\end{equation*}が与えられたとき、\(A\)に属さないもの、すなわち素数でないものを挙げよと問われたら、\(4,6,8\)など、素数ではない自然数を答えるのが自然です。このような答え方は、\(A\)がすべての自然数からなる集合\begin{equation*}\mathbb{N} \end{equation*}の部分集合であることを念頭においたものです。

そこで、議論の対象となるすべての集合を部分集合として持つような集合を全体集合（universal set）や普遍集合などと呼び、これを、\begin{equation*}
U
\end{equation*}で表記します。議論の対象となる集合\(A\)を任意に選ぶと、これと全体集合\(U\)の間には以下の関係\begin{equation*}A\subset U
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall x\in A:x\in U
\end{equation*}が成り立ちます。

全体集合は議論の対象となるすべての集合を部分集合として持つため、それらの集合の要素はいずれも全体集合の要素です。このような事情もあり、全体集合を、議論の対象となるすべての要素からなる集合と考えることもできます。

なぜ全体集合が必要なのか

全体集合の必要性は、次の問いを考えるとよく分かります。\begin{equation*}
\text{偶数ではない数を1つ挙げなさい。}
\end{equation*}この問いに対して偶数ではない自然数\(3\)を挙げる人もいれば、偶数ではない整数\(-1\)や、偶数ではない有理数\(\frac{1}{2}\)、偶数ではない無理数\(\sqrt{2}\)を挙げる人もいるかもしれません。さらに、複素数を学んでいる人ならば\(i\)と答えることもできます。いずれも偶数ではないため、どれも誤りとは言えません。

では、次のように問題を書き換えたらどうでしょうか。\begin{equation*}
\text{自然数を全体集合とするとき、偶数ではない数を1つ挙げなさい。}
\end{equation*}この場合、答えは奇数であるような自然数に限定されます。\(-1,\frac{1}{2},\sqrt{2},i\)などはそもそも自然数ではないため、議論の対象から外れます。さらに、\begin{equation*}\text{整数を全体集合とするとき、偶数ではない数を1つ挙げなさい。}
\end{equation*}とすれば、負の奇数もまた答えに含まれます。また、\begin{equation*}
\text{実数を全体集合とするとき、偶数ではない数を1つ挙げなさい。}
\end{equation*}とすれば、\(\frac{1}{2}\)や\(\sqrt{2}\)も答えになります。

このように、全体集合が異なれば、同じ言葉を用いていても、その意味や答えが変わることがあります。そのため、数学では議論を始める前に「何を対象として考えるのか」を明確にすることが重要です。

全体集合は議論の対象となる範囲を定める舞台のような役割を果たしています。その舞台を明確にすることで、集合や命題の意味が曖昧になることを防ぎ、厳密な議論が可能になります。

全体集合は、あらゆる場面で共通する絶対的な集合ではありません。どの集合を全体集合とするかは、何を議論の対象とするかに応じて変化します。先の例では、偶数ではない自然数に興味がある場合には全体集合として\(\mathbb{N} \)を採用し、偶数ではない自然数に興味がある場合には全体集合として\(\mathbb{Z} \)を採用することになります。他についても同様です。

ただし、いったん全体集合を定めたならば、その議論の中では全体集合を固定しておく必要があります。途中で全体集合を変更すると、同じ記号で表された集合や、後に導入する補集合の意味が途中で変化してしまうからです。

全体集合の内包的表現

全体集合が\(U\)である状況を想定します。何らかの集合\(A\)を内包的に表現することは、何らかの命題関数\(P\left(x\right) \)を導入した上で、全体集合\(U\)に属する要素の中でも命題\(P\left( x\right) \)が真になるようなものからなる集合\begin{equation*}A=\left\{ x\in U\ |\ P\left( x\right) \right\}
\end{equation*}として\(A\)を定義することを意味します。つまり、集合\(A\)を命題関数\(P\left( x\right) \)を用いて内包的に表現する場合、全体集合\(U\)は変数\(x\)の定義域と一致します。

では、全体集合\(U\)そのものはどのような形で内包的に表現できるでしょうか。全体集合\(U\)もまた何らかの命題関数\(Q\left( x\right) \)を用いて、\begin{equation*}U=\left\{ x\in U\ |\ Q\left( x\right) \right\}
\end{equation*}という形で表現されるものとします。このとき、\(x\in U\)を任意に選ぶと、\begin{equation*}x\in U\Leftrightarrow Q\left( x\right)
\end{equation*}という関係が成り立ちます。全体集合\(U\)は議論の対象となるすべての要素を持つ集合であるため\(x\in U\)は恒真式であり、したがってそれと必要十分な命題関数\(Q\left( x\right) \)もまた恒真式です。以上を踏まえると、全体集合\(U\)を定義する命題関数\(Q\left( x\right) \)は恒真式\(\top \)であり、したがって、全体集合を、\begin{equation*}U=\left\{ x\in U\ |\ \top \right\}
\end{equation*}という形で表現できます。

集合\(A\)が命題関数\(P\left( x\right) \)を用いて、\begin{equation}A=\left\{ x\in U\ |\ P\left( x\right) \right\} \quad \cdots (1)
\end{equation}と内包的に定義されているものとします。先の議論より、全体集合\(U\)を内包的に表現すると、\begin{equation}U=\left\{ x\in U\ |\ \top \right\} \quad \cdots (2)
\end{equation}となります。このとき、任意の\(x\in U\)について、\begin{eqnarray*}x\in A &\Leftrightarrow &P\left( x\right) \quad \because \left( 1\right) \\
&\Leftrightarrow &P\left( x\right) \wedge \top \quad \because \text{恒等律} \\
&\Rightarrow &\top \\
&\Leftrightarrow &x\in U\quad \because \left( 2\right)
\end{eqnarray*}となるため、\begin{equation*}
A\subset U
\end{equation*}を得ます。この結果は、全体集合\(U\)が議論の対象となるすべての集合を部分集合として持つという事実と整合的です。

演習問題