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PREDICATE LOGIC

述語論理における恒等律

目次

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恒真式と恒偽式の関係

恒真式\(\top \)と恒偽式\(\bot \)がそれぞれ任意に与えられたとき、解釈を任意に選んだ上で、\(\top \)から得られる命題を\(\overline{\top }\)で、\(\bot \)から得られる命題を\(\overline{\bot }\)でそれぞれ表記します。恒真式および恒偽式の定義より\(\overline{\top }\)は真である一方で\(\overline{\bot }\)は偽であるため、\begin{align*}& \left( a\right) \ \lnot \overline{\top }\Leftrightarrow \overline{\bot } \\
& \left( b\right) \ \lnot \overline{\bot }\Leftrightarrow \overline{\top }
\end{align*}がともに成り立ちます。任意の解釈において同様の議論が成立するため、\begin{align*}
& \left( a\right) \ \lnot \top \Leftrightarrow \bot \\
& \left( b\right) \ \lnot \bot \Leftrightarrow \top
\end{align*}が成り立ちます。つまり、恒真式と恒偽式をそれぞれ任意に選んだとき、恒真式の否定は恒偽式と論理的に同値であり、恒偽式の否定は恒真式と論理的に同値です。

命題(恒真式と恒偽式の関係)
任意の恒真式\(\top \)と恒偽式\(\bot \)の間には、\begin{align*}& \left( a\right) \ \lnot \top \Leftrightarrow \bot \\
& \left( b\right) \ \lnot \bot \Leftrightarrow \top
\end{align*}という関係が成り立ちます。

例(恒真式と恒偽式の関係)
命題関数\(P\left( x\right) \)が与えられたとき、矛盾律より、\begin{equation*}P\left( x\right) \wedge \lnot P\left( x\right)
\end{equation*}は恒偽式です。この恒偽式の否定は、ド・モルガンの法則より、\begin{equation*}
\lnot P\left( x\right) \vee \lnot \lnot P\left( x\right)
\end{equation*}となりますが、先の命題よりこれは恒真式です。

例(恒真式と恒偽式の関係)
命題関数\(P\left( x\right) \)が与えられたとき、以下の論理式\begin{equation*}\left( P\left( x\right) \vee \lnot P\left( x\right) \right) \vee P\left(
x\right)
\end{equation*}が恒真式であることを示します。実際、この論理式の否定をとると、\begin{eqnarray*}
\lnot \left( \left( P\left( x\right) \vee \lnot P\left( x\right) \right)
\vee P\left( x\right) \right) &\Leftrightarrow &\lnot \left( P\left(
x\right) \vee \lnot P\left( x\right) \right) \wedge \lnot P\left( x\right)
\quad \because \text{ド・モルガンの法則} \\
&\Leftrightarrow &\left( \lnot P\left( x\right) \wedge \lnot \lnot P\left(
x\right) \right) \wedge \lnot P\left( x\right) \quad \because \text{ド・モルガンの法則} \\
&\Leftrightarrow &\left( \lnot \lnot P\left( x\right) \wedge \lnot P\left(
x\right) \right) \wedge \lnot P\left( x\right) \quad \because \text{交換律} \\
&\Leftrightarrow &\lnot \lnot P\left( x\right) \wedge \left( \lnot P\left(
x\right) \wedge \lnot P\left( x\right) \right) \quad \because \text{結合律} \\
&\Leftrightarrow &\lnot \lnot P\left( x\right) \wedge \lnot P\left( x\right)
\quad \because \text{ベキ等律} \\
&\Leftrightarrow &\bot \quad \because \text{矛盾律}
\end{eqnarray*}となります。したがって、先の命題より、\begin{equation*}
\left( P\left( x\right) \vee \lnot P\left( x\right) \right) \vee P\left(
x\right) \Leftrightarrow \top
\end{equation*}が成り立ちます。

 

零元としての恒真式・恒偽式

論理式\(A\)と恒真式\(\top \)および恒偽式\(\bot \)がそれぞれ任意に与えられたとき、解釈を任意に選んだ上で、その場合に\(A\)から得られる命題を\(\overline{A}\)で、\(\top \)から得られる命題を\(\overline{\top }\)で、\(\bot \)から得られる命題を\(\overline{\bot }\)でそれぞれ表記します。恒真式および恒偽式の定義より\(\overline{\top }\)は真である一方で\(\overline{\bot }\)は偽であるため、論理積および論理和の定義より、\begin{align*}& \left( a\right) \ \overline{A}\wedge \overline{\bot }\Leftrightarrow
\overline{\bot } \\
& \left( b\right) \ \overline{A}\vee \overline{\top }\Leftrightarrow
\overline{\top }
\end{align*}が成り立ちます。任意の解釈において同様の議論が成立するため、\begin{align*}
& \left( a\right) \ A\wedge \bot \Leftrightarrow \bot \\
& \left( b\right) \ A\vee \top \Leftrightarrow \top
\end{align*}が成り立ちます。つまり、論理式と恒偽式の論理積は恒偽式である一方で、論理式と恒真式の論理和は恒真式です。

命題(零元としての恒真式・恒偽式)
任意の論理式\(A\)、恒真式\(\bot \)および恒偽式\(\bot \)の間には、\begin{align*}& \left( a\right) \ A\wedge \bot \Leftrightarrow \bot \\
& \left( b\right) \ A\vee \top \Leftrightarrow \top
\end{align*}という関係が成り立つ。

例(零元としての恒真式・恒偽式)
命題関数\(P\left( x\right) \)と\(Q\left( x\right) \)に関する論理式\begin{equation*}\left( P\left( x\right) \wedge Q\left( x\right) \right) \wedge \lnot Q\left(
x\right)
\end{equation*}が恒偽式であることを示します。実際、\begin{eqnarray*}
\left( P\left( x\right) \wedge Q\left( x\right) \right) \wedge \lnot Q\left(
x\right) &\Leftrightarrow &P\left( x\right) \wedge \left( Q\left( x\right)
\wedge \lnot Q\left( x\right) \right) \quad \because \text{結合律} \\
&\Leftrightarrow &P\left( x\right) \wedge \bot \quad \because \text{矛盾律} \\
&\Leftrightarrow &\bot
\end{eqnarray*}となるため証明が完了しました。

例(零元としての恒真式・恒偽式)
命題関数\(P\left( x\right) \)と\(Q\left( x\right) \)に関する論理式\begin{equation*}\left( P\left( x\right) \vee Q\left( x\right) \right) \vee \left( P\left(
x\right) \vee \lnot Q\left( x\right) \right)
\end{equation*}が恒真式であることを示します。実際、\begin{eqnarray*}
\left( P\left( x\right) \vee Q\left( x\right) \right) \vee \left( P\left(
x\right) \vee \lnot Q\left( x\right) \right) &\Leftrightarrow &\left(
P\left( x\right) \vee P\left( x\right) \right) \vee \left( Q\left( x\right)
\vee \lnot Q\left( x\right) \right) \quad \because \text{交換律} \\
&\Leftrightarrow &P\left( x\right) \vee \left( Q\left( x\right) \vee \lnot
Q\left( x\right) \right) \quad \because \text{ベキ等律} \\
&\Leftrightarrow &P\left( x\right) \vee \top \quad \because \text{排中律} \\
&\Leftrightarrow &\top
\end{eqnarray*}となるため証明が完了しました。

 

単位元としての恒真式・恒偽式

論理式\(A\)と恒真式\(\top \)および恒偽式\(\bot \)がそれぞれ任意に与えられたとき、解釈を任意に選んだ上で、その場合に\(A\)から得られる命題を\(\overline{A}\)で、\(\top \)から得られる命題を\(\overline{\top }\)で、\(\bot \)から得られる命題を\(\overline{\bot }\)でそれぞれ表記します。恒真式および恒偽式の定義より\(\overline{\top }\)は真である一方で\(\overline{\bot }\)は偽であるため、論理積および論理和の定義より、\begin{align*}& \left( a\right) \ \overline{A}\wedge \overline{\top }\Leftrightarrow
\overline{A} \\
& \left( b\right) \ \overline{A}\vee \overline{\bot }\Leftrightarrow
\overline{A}
\end{align*}が成り立ちます。任意の解釈において同様の議論が成立するため、\begin{align*}
& \left( a\right) \ A\wedge \top \Leftrightarrow A \\
& \left( b\right) \ A\vee \bot \Leftrightarrow A
\end{align*}が成り立ちます。つまり、論理式と恒真式の論理積をとるともとの論理式に戻り、論理式と恒偽式のの論理和をとるともとの論理式に戻ります。

命題(単位元としての恒真式・恒偽式)
任意の論理式\(A\)、恒真式\(\bot \)および恒偽式\(\bot \)の間には、\begin{align*}& \left( a\right) \ A\wedge \top \Leftrightarrow A \\
& \left( b\right) \ A\vee \bot \Leftrightarrow A
\end{align*}という関係が成り立つ。

例(単位元としての恒真式・恒偽式)
命題変数\(P\left( x\right) \)と\(Q\left( x\right) \)に関する論理式\begin{equation*}\left( P\left( x\right) \wedge Q\left( x\right) \right) \vee \left( P\left(
x\right) \wedge \lnot Q\left( x\right) \right)
\end{equation*}が\(P\left( x\right) \)と論理的に同値であることを示します。実際、\begin{eqnarray*}\left( P\left( x\right) \wedge Q\left( x\right) \right) \vee \left( P\left(
x\right) \wedge \lnot Q\left( x\right) \right) &\Leftrightarrow &P\left(
x\right) \wedge \left( Q\left( x\right) \vee \lnot Q\left( x\right) \right)
\quad \because \text{分配律} \\
&\Leftrightarrow &P\left( x\right) \wedge \top \quad \because \text{排中律} \\
&\Leftrightarrow &P\left( x\right)
\end{eqnarray*}となるため証明が完了しました。

例(単位元としての恒真式・恒偽式)
命題変数\(P\left( x\right) \)と\(Q\left( x\right) \)に関する論理式\begin{equation*}\left( P\left( x\right) \vee Q\left( x\right) \right) \wedge \left( P\left(
x\right) \vee \lnot Q\left( x\right) \right)
\end{equation*}が\(P\left( x\right) \)と論理的に同値であることを示します。実際、\begin{eqnarray*}\left( P\left( x\right) \vee Q\left( x\right) \right) \wedge \left( P\left(
x\right) \vee \lnot Q\left( x\right) \right) &\Leftrightarrow &P\left(
x\right) \vee \left( Q\left( x\right) \wedge \lnot Q\left( x\right) \right)
\quad \because \text{分配律} \\
&\Leftrightarrow &P\left( x\right) \vee \bot \quad \because \text{矛盾律} \\
&\Leftrightarrow &P\left( x\right)
\end{eqnarray*}となるため証明が完了しました。

 

演習問題

問題(恒等律)
実数\(x,y\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、大小関係\(\leq \)と狭義大小関係\(<\)および相等関係\(=\)の間には、\begin{equation*}x<y\Leftrightarrow \left( x\leq y\wedge x\not=y\right)
\end{equation*}という関係が成り立ちます。以上を踏まえた上で、実数\(x,y,z\in \mathbb{R} \)を任意に選んだときに、\begin{equation*}x<y\Rightarrow x+z<y+z
\end{equation*}が成り立つことを示してください。

証明

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任意の集合に対して、空集合との共通部分をとると空集合になり、全体集合との和集合をとると全体集合になります。また、任意の集合に対して、空集合との和集合や全体集合との共通部分をとるといずれももとの集合に戻ります。これを恒等法則と呼びます。

DISCUSSION

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