恒真式と恒偽式の関係
恒真式\(\top \)と恒偽式\(\bot \)がそれぞれ任意に与えられたとき、解釈を任意に選んだ上で、\(\top \)から得られる命題を\(\overline{\top }\)で、\(\bot \)から得られる命題を\(\overline{\bot }\)でそれぞれ表記します。恒真式および恒偽式の定義より\(\overline{\top }\)は真である一方で\(\overline{\bot }\)は偽であるため、\begin{align*} & \left( a\right) \ \lnot \overline{\top }\Leftrightarrow \overline{\bot } \\
& \left( b\right) \ \lnot \overline{\bot }\Leftrightarrow \overline{\top }
\end{align*}がともに成り立ちます。任意の解釈において同様の議論が成立するため、\begin{align*}
& \left( a\right) \ \lnot \top \Leftrightarrow \bot \\
& \left( b\right) \ \lnot \bot \Leftrightarrow \top
\end{align*}が成り立ちます。つまり、恒真式と恒偽式をそれぞれ任意に選んだとき、恒真式の否定は恒偽式と論理的に同値であり、恒偽式の否定は恒真式と論理的に同値です。
& \left( b\right) \ \lnot \bot \Leftrightarrow \top
\end{align*}が成り立つ。
\end{equation*}は恒偽式です。この恒偽式の否定は、ド・モルガンの法則より、\begin{equation*}
\lnot P\left( x\right) \vee \lnot \lnot P\left( x\right)
\end{equation*}ですが、先の命題よりこれは恒真式です。
x\right)
\end{equation*}が恒真式であることを示します。実際、この論理式の否定をとると、\begin{eqnarray*}
\lnot \left( \left( P\left( x\right) \vee \lnot P\left( x\right) \right)
\vee P\left( x\right) \right) &\Leftrightarrow &\lnot \left( P\left(
x\right) \vee \lnot P\left( x\right) \right) \wedge \lnot P\left( x\right)
\quad \because \text{ド・モルガンの法則} \\
&\Leftrightarrow &\left( \lnot P\left( x\right) \wedge \lnot \lnot P\left(
x\right) \right) \wedge \lnot P\left( x\right) \quad \because \text{ド・モルガンの法則} \\
&\Leftrightarrow &\left( \lnot \lnot P\left( x\right) \wedge \lnot P\left(
x\right) \right) \wedge \lnot P\left( x\right) \quad \because \text{交換律} \\
&\Leftrightarrow &\lnot \lnot P\left( x\right) \wedge \left( \lnot P\left(
x\right) \wedge \lnot P\left( x\right) \right) \quad \because \text{結合律} \\
&\Leftrightarrow &\lnot \lnot P\left( x\right) \wedge \lnot P\left( x\right)
\quad \because \text{ベキ等律} \\
&\Leftrightarrow &\bot \quad \because \text{矛盾律}
\end{eqnarray*}となります。したがって、先の命題より、\begin{equation*}
\left( P\left( x\right) \vee \lnot P\left( x\right) \right) \vee P\left(
x\right) \Leftrightarrow \top
\end{equation*}が成り立ちます。
零元としての恒真式・恒偽式
論理式\(A\)と恒真式\(\top \)および恒偽式\(\bot \)がそれぞれ任意に与えられたとき、解釈を任意に選んだ上で、その場合に\(A\)から得られる命題を\(\overline{A}\)で、\(\top \)から得られる命題を\(\overline{\top }\)で、\(\bot \)から得られる命題を\(\overline{\bot }\)でそれぞれ表記します。恒真式および恒偽式の定義より\(\overline{\top }\)は真である一方で\(\overline{\bot }\)は偽であるため、論理積および論理和の定義より、\begin{align*} & \left( a\right) \ \overline{A}\wedge \overline{\bot }\Leftrightarrow
\overline{\bot } \\
& \left( b\right) \ \overline{A}\vee \overline{\top }\Leftrightarrow
\overline{\top }
\end{align*}が成り立ちます。任意の解釈において同様の議論が成立するため、\begin{align*}
& \left( a\right) \ A\wedge \bot \Leftrightarrow \bot \\
& \left( b\right) \ A\vee \top \Leftrightarrow \top
\end{align*}が成り立ちます。つまり、論理式と恒偽式の論理積は恒偽式である一方で、論理式と恒真式の論理和は恒真式です。
& \left( b\right) \ A\vee \top \Leftrightarrow \top
\end{align*}が成り立つ。
x\right)
\end{equation*}が恒偽式であることを示します。実際、\begin{eqnarray*}
\left( P\left( x\right) \wedge Q\left( x\right) \right) \wedge \lnot Q\left(
x\right) &\Leftrightarrow &P\left( x\right) \wedge \left( Q\left( x\right)
\wedge \lnot Q\left( x\right) \right) \quad \because \text{結合律} \\
&\Leftrightarrow &P\left( x\right) \wedge \bot \quad \because \text{矛盾律} \\
&\Leftrightarrow &\bot
\end{eqnarray*}となるため証明が完了しました。
x\right) \vee \lnot Q\left( x\right) \right)
\end{equation*}が恒真式であることを示します。実際、\begin{eqnarray*}
\left( P\left( x\right) \vee Q\left( x\right) \right) \vee \left( P\left(
x\right) \vee \lnot Q\left( x\right) \right) &\Leftrightarrow &\left(
P\left( x\right) \vee P\left( x\right) \right) \vee \left( Q\left( x\right)
\vee \lnot Q\left( x\right) \right) \quad \because \text{交換律・結合律} \\
&\Leftrightarrow &P\left( x\right) \vee \left( Q\left( x\right) \vee \lnot
Q\left( x\right) \right) \quad \because \text{ベキ等律} \\
&\Leftrightarrow &P\left( x\right) \vee \top \quad \because \text{排中律} \\
&\Leftrightarrow &\top
\end{eqnarray*}となるため証明が完了しました。
単位元としての恒真式・恒偽式
論理式\(A\)と恒真式\(\top \)および恒偽式\(\bot \)がそれぞれ任意に与えられたとき、解釈を任意に選んだ上で、その場合に\(A\)から得られる命題を\(\overline{A}\)で、\(\top \)から得られる命題を\(\overline{\top }\)で、\(\bot \)から得られる命題を\(\overline{\bot }\)でそれぞれ表記します。恒真式および恒偽式の定義より\(\overline{\top }\)は真である一方で\(\overline{\bot }\)は偽であるため、論理積および論理和の定義より、\begin{align*} & \left( a\right) \ \overline{A}\wedge \overline{\top }\Leftrightarrow
\overline{A} \\
& \left( b\right) \ \overline{A}\vee \overline{\bot }\Leftrightarrow
\overline{A}
\end{align*}が成り立ちます。任意の解釈において同様の議論が成立するため、\begin{align*}
& \left( a\right) \ A\wedge \top \Leftrightarrow A \\
& \left( b\right) \ A\vee \bot \Leftrightarrow A
\end{align*}が成り立ちます。つまり、論理式と恒真式の論理積をとるともとの論理式に戻り、論理式と恒偽式の論理和をとるともとの論理式に戻ります。
& \left( b\right) \ A\vee \bot \Leftrightarrow A
\end{align*}が成り立つ。
x\right) \wedge \lnot Q\left( x\right) \right)
\end{equation*}が\(P\left( x\right) \)と論理的に同値であることを示します。実際、\begin{eqnarray*} \left( P\left( x\right) \wedge Q\left( x\right) \right) \vee \left( P\left(
x\right) \wedge \lnot Q\left( x\right) \right) &\Leftrightarrow &P\left(
x\right) \wedge \left( Q\left( x\right) \vee \lnot Q\left( x\right) \right)
\quad \because \text{分配律} \\
&\Leftrightarrow &P\left( x\right) \wedge \top \quad \because \text{排中律} \\
&\Leftrightarrow &P\left( x\right)
\end{eqnarray*}となるため証明が完了しました。
x\right) \vee \lnot Q\left( x\right) \right)
\end{equation*}が\(P\left( x\right) \)と論理的に同値であることを示します。実際、\begin{eqnarray*} \left( P\left( x\right) \vee Q\left( x\right) \right) \wedge \left( P\left(
x\right) \vee \lnot Q\left( x\right) \right) &\Leftrightarrow &P\left(
x\right) \vee \left( Q\left( x\right) \wedge \lnot Q\left( x\right) \right)
\quad \because \text{分配律} \\
&\Leftrightarrow &P\left( x\right) \vee \bot \quad \because \text{矛盾律} \\
&\Leftrightarrow &P\left( x\right)
\end{eqnarray*}となるため証明が完了しました。
演習問題
x\right) \right) \right) \vee \bot
\end{equation*}を簡単にしてください。
\end{equation*}という関係が成り立ちます。以上を踏まえた上で、実数\(x,y,z\in \mathbb{R} \)を任意に選んだときに、\begin{equation*} x<y\Rightarrow x+z<y+z
\end{equation*}が成り立つことを示してください。
\left( A\vee \bot \right) \wedge \top
\end{equation*}
\left( A\wedge \bot \right) \vee \left( B\wedge \top \right)
\end{equation*}
\left( A\wedge \top \right) \vee \left( A\wedge \bot \right) \Leftrightarrow
A
\end{equation*}が成り立つことを示してください。
& \left( a\right) \ \lnot \left( A\wedge \bot \right) \Leftrightarrow \top \\
& \left( b\right) \ \lnot \left( A\vee \top \right) \Leftrightarrow \bot
\end{align*}
\left[ \left( P\left( x\right) \vee Q\left( x\right) \right) \wedge \top \right] \vee \left[ \left( P\left( x\right) \wedge \lnot P\left( x\right)
\right) \wedge Q\left( x\right) \right] \end{equation*}
