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PREDICATE LOGIC

述語論理におけるベキ等律

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ベキ等律

論理式\(A\)が任意に与えられたとき、解釈を任意に選んだ上で、その場合に\(A\)から得られる命題を\(\overline{A}\)で表記します。すると命題論理における\(\wedge \)に関するベキ等律より、\begin{equation*}\overline{A}\wedge \overline{A}\Leftrightarrow \overline{A}
\end{equation*}が成り立ちます。任意の解釈において同様の議論が成立するため、\begin{equation*}
\left( a\right) \ A\wedge A\Leftrightarrow A
\end{equation*}が成り立つことが示されました。\(\left( a\right) \)において\(\wedge \)を\(\vee \)に置き換えると、\begin{equation*}\left( b\right) \ A\vee A\Leftrightarrow A
\end{equation*}を得ますが、これが成り立つことも同様にして示されます。つまり、述語論理においても論理積や論理和についてベキ等律(idempotent law)が成り立つということです。

命題(ベキ等律)
任意の論理式\(A\)に対して、\begin{align*}& \left( a\right) \ A\wedge A\Leftrightarrow A \\
& \left( b\right) \ A\vee A\Leftrightarrow A
\end{align*}が成り立つ。

ベキ等律と\(\Leftrightarrow \)の推移律より、任意の論理式\(A\)に対して、\begin{equation*}\left( c\right) \ A\wedge A\Leftrightarrow A\vee A
\end{equation*}という関係もまた成立します。つまり、同一の論理積どうしの論理積と論理和は論理的に同値です。

例(ベキ等律)
任意の命題関数\(P\left( x\right) \)について、\begin{eqnarray*}P\left( x\right) &\Leftrightarrow &P\left( x\right) \wedge P\left( x\right)
\quad \because \text{ベキ等律} \\
&\Leftrightarrow &\left( P\left( x\right) \wedge P\left( x\right) \right)
\wedge P\left( x\right) \quad \because \text{ベキ等律} \\
&\Leftrightarrow &P\left( x\right) \wedge \left( P\left( x\right) \wedge
P\left( x\right) \right) \quad \because \text{ベキ等律}
\end{eqnarray*}が成り立ちます。また、\begin{eqnarray*}
P\left( x\right) &\Leftrightarrow &P\left( x\right) \vee P\left( x\right)
\quad \because \text{ベキ等律} \\
&\Leftrightarrow &\left( P\left( x\right) \vee P\left( x\right) \right) \vee
P\left( x\right) \quad \because \text{ベキ等律} \\
&\Leftrightarrow &P\left( x\right) \vee \left( P\left( x\right) \vee P\left(
x\right) \right) \quad \because \text{ベキ等律}
\end{eqnarray*}も成り立ちます。\(\Leftrightarrow \)の推移律より、ここに登場したすべての論理式は論理的に同値です。
例(ベキ等律)
任意の命題関数\(P\left( x,y\right) \)について、ベキ等律より、\begin{equation*}\forall y:P\left( x,y\right) \wedge \forall y:P\left( x,y\right)
\Leftrightarrow \forall y:P\left( x,y\right)
\end{equation*}が成り立ちます。
例(ベキ等律)
任意の命題関数\(P\left( x\right) \)について、\begin{eqnarray*}\forall x:P\left( x\right) &\Leftrightarrow &\forall x:\left( P\left(
x\right) \wedge P\left( x\right) \right) \quad \because \text{ベキ等律} \\
&\Leftrightarrow &\forall x:\left( P\left( x\right) \vee P\left( x\right)
\right) \quad \because \text{ベキ等律}
\end{eqnarray*}が成り立ちます。
例(ベキ等律)
任意の命題関数\(P\left( x\right) \)について、\begin{equation*}\left( \left( P\left( x\right) \vee P\left( x\right) \right) \wedge P\left(
x\right) \right) \vee \left( P\left( x\right) \wedge \left( P\left( x\right)
\vee P\left( x\right) \right) \right) \Leftrightarrow P\left( x\right)
\end{equation*}が成り立ちます。実際、\begin{eqnarray*}
\left( \left( P\left( x\right) \vee P\left( x\right) \right) \wedge P\left(
x\right) \right) \vee \left( P\left( x\right) \wedge \left( P\left( x\right)
\vee P\left( x\right) \right) \right) &\Leftrightarrow &\ \left( P\left(
x\right) \wedge P\left( x\right) \right) \vee \left( P\left( x\right) \wedge
P\left( x\right) \right) \quad \because \text{ベキ等律} \\
&\Leftrightarrow &\ P\left( x\right) \vee P\left( x\right) \quad \because
\text{ベキ等律} \\
\ &\Leftrightarrow &\ P\left( x\right) \quad \because \text{ベキ等律}
\end{eqnarray*}となります。

 

ベキ等律の一般化

論理式\(A\)が任意に与えられたとき、\begin{eqnarray*}\left( A\wedge A\right) \wedge A &\Leftrightarrow &A\wedge A\quad \because
\text{ベキ等律} \\
&\Leftrightarrow &A\wedge \left( A\wedge A\right) \quad \because \text{ベキ等律}
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
\left( A\wedge A\right) \wedge A\Leftrightarrow A\wedge \left( A\wedge
A\right)
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、3つの\(A\)の間にある2つの\(\wedge \)のどちらを最初に作用させても最終的に得られる論理式はいずれも論理的に同値です。そこで、これら2つの論理式を区別せずに、\begin{equation*}A\wedge A\wedge A
\end{equation*}で表記します。論理和についても同様に考えると、\begin{equation*}
\left( A\vee A\right) \vee A\Leftrightarrow A\vee \left( A\vee A\right)
\end{equation*}という関係が成り立つため、これら2つの論理式を区別せずに、\begin{equation*}
A\vee A\vee A
\end{equation*}で表記します。

任意個の論理式\(A\)の論理積や論理和についても同様の議論が成立します。つまり、有限\(n\)個の論理式\(A\)の間にある\(n-1\)個の\(\wedge \)の中のどれを最初に作用させても最終的に得られる論理式はいずれも論理的に同値であるため、それらの論理式を区別せずに、\begin{equation*}\overset{n\text{個}}{\overbrace{A\wedge \cdots \wedge A}}
\end{equation*}で表記します。同様に、有限\(n\)個の論理式\(A\)の間にある\(n-1\)個の\(\vee \)の中のどれを最初に作用させても最終的に得られる論理式はいずれも論理的に同値であるため、それらの論理式を区別せずに、\begin{equation*}\overset{n\text{個}}{\overbrace{A\vee \cdots \vee A}}
\end{equation*}で表記します。

以上の表記を踏まえたとき、以下が成り立つことが論理式の個数\(n\)に関する数学的帰納法により示されます。

命題(ベキ等律)
任意の論理式\(A\)に対して、\begin{align*}& \left( a\right) \ A\wedge \cdots \wedge A\Leftrightarrow A \\
& \left( b\right) \ A\vee \cdots \vee A\Leftrightarrow A
\end{align*}が成り立つ。ただし、\(A\wedge \cdots \wedge A\)や\(A\vee \cdots \vee A\)は有限\(n\)個の\(A\)の論理積ないし論理和である。
証明

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次回は交換律について学びます。

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