論理式\(A\)の否定\(\lnot A\)もまた論理式ですから、さらにその否定\(\lnot \left( \lnot A\right) \)を考えることができます。これを\(\lnot \lnot A\)で表し\(A\)の二重否定と呼びます。

2018年12月2日:公開

二重否定

論理式\(A\)の否定\(\lnot A\)もまた論理式ですから、さらにその否定\(\lnot \left( \lnot A\right) \)を考えることができます。これを\(\lnot \lnot A\)で表し\(A\)の二重否定(double negation)と呼びます。論理式とその二重否定は同値です。

命題(二重否定)
任意の論理式\(A\)に対して以下が成り立つ。\begin{equation*}
\lnot \lnot A\Leftrightarrow A
\end{equation*}
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例(二重否定)
論理式\(A,B\)に関する論理式\begin{equation*}
\lnot \left( \lnot A\vee \lnot B\right)
\end{equation*}が\(A\wedge B\)と同値であることを示します。実際、\begin{eqnarray*}
\lnot \left( \lnot A\vee \lnot B\right) &\Leftrightarrow &\lnot \lnot A\wedge \lnot \lnot B\quad \because \text{ド・モルガンの法則} \\
&\Leftrightarrow &A\wedge B\quad \because \text{二重否定}
\end{eqnarray*}となるため証明できました。

 

二重否定の一般化

論理式\(A\)に対して、その二重否定\(\lnot \lnot A\)のみならず、三重否定\(\lnot \lnot \lnot A\)や四重否定\(\lnot \lnot \lnot \lnot A\)なども考えられます。先の命題を繰り返し適用すれば、それらはいずれも\(A\)もしくは\(\lnot A\)と同値になります。例えば、三重否定\(\lnot \lnot \lnot A\)に関しては、\begin{equation*}
\lnot \lnot \lnot A\Leftrightarrow \lnot A
\end{equation*}が成り立ち、四重否定\(\lnot \lnot \lnot \lnot A\)に関しては、\begin{equation*}
\lnot \lnot \lnot \lnot A\Leftrightarrow \lnot \lnot A\Leftrightarrow A
\end{equation*}が成り立ちます。以降についても同様です。

次回は含意、同等、排他的論理和などの集合演算に関する同値変形の公式について学びます。

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