論理式\(A\)の否定\(\lnot A\)もまた論理式ですから、さらにその否定\(\lnot \left( \lnot A\right) \)を考えることができます。これを\(\lnot \lnot A\)で表し\(A\)の二重否定と呼びます。
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二重否定

論理式\(A\)の否定\(\lnot A\)もまた論理式ですから、さらにその否定\(\lnot \left( \lnot A\right) \)を考えることができます。これを\(\lnot \lnot A\)で表し\(A\)の二重否定(double negation)と呼びます。

論理式\(A\)が任意に与えられたとき、解釈を任意に選んだ上で、その場合に\(A\)から得られる命題を\(\overline{A}\)で表記します。すると二重否定の法則より、\begin{equation*}
\lnot \lnot \overline{A}\Leftrightarrow \overline{A}
\end{equation*}が成り立ちます。任意の解釈において同様の議論が成立するため、\begin{equation*}
\lnot \lnot A\Leftrightarrow A
\end{equation*}であることが示されました。つまり、述語論理においても二重否定の法則が成り立つということです。

命題(二重否定)
任意の論理式\(A\)に対して以下が成り立つ。\begin{equation*}
\lnot \lnot A\Leftrightarrow A
\end{equation*}
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例(二重否定)
人間の脳は二重否定を含む主張の処理が得意ではありません。例として、以下の主張\begin{equation*}
x\text{や}y\text{を嫌いではないわけではない}
\end{equation*}について考えます。このままでは\(x\)が\(y\)を好きなのかがよく分かりません。そこで、命題関数\(P\left( x,y\right) \)を、\begin{equation*}
P\left( x,y\right) :x\text{は}y\text{が嫌いである}
\end{equation*}とおくと、\begin{eqnarray*}
\lnot P\left( x,y\right) &:&x\text{は}y\text{が嫌いではない} \\
\lnot \lnot P\left( x,y\right) &:&x\text{は}y\text{が嫌いではないわけではない}
\end{eqnarray*}なり、もとの主張は\(\lnot \lnot P\left( x,y\right) \)となります。二重否定よりこれは\(P\left( x,y\right) \)と論理的に同値であるため、もとの主張は「\(x\)は\(y\)が嫌いである」という主張に相当することが明らかになりました。
例(二重否定)
命題関数\(P\left( x\right) \)と\(Q\left( x\right) \)に関する以下の2つの論理式\begin{eqnarray*}
&&\forall x\ \left( P\left( x\right) \vee Q\left( x\right) \right) \\
&&\forall x\ \lnot \left( \lnot P\left( x\right) \wedge \lnot Q\left(
x\right) \right)
\end{eqnarray*}は論理的に同値であることを示します。実際、\begin{eqnarray*}
\forall x\ \lnot \left( \lnot P\left( x\right) \wedge \lnot Q\left( x\right)
\right) &\Leftrightarrow &\forall x\ \left( \lnot \lnot P\left( x\right)
\vee \lnot \lnot Q\left( x\right) \right) \quad \because \text{ド・モルガンの法則} \\
&\Leftrightarrow &\forall x\ \left( P\left( x\right) \vee Q\left( x\right)
\right) \quad \because \text{二重否定}
\end{eqnarray*}となるため証明が完了しました。
例(二重否定)
命題関数\(P\left( x\right) \)と\(Q\left( x\right) \)に関する以下の2つの論理式\begin{eqnarray*}
&&P\left( x\right) \vee \left( \lnot Q\left( x\right) \wedge \bot \right) \\
&&\lnot \left( \lnot P\left( x\right) \wedge \left( Q\left( x\right) \vee
\top \right) \right)
\end{eqnarray*}が論理的に同値であることを示します。ただし、\(\top \)は恒真式であり\(\bot \)は恒偽式です。実際、\begin{eqnarray*}
\lnot \left( \lnot P\left( x\right) \wedge \left( Q\left( x\right) \vee \top
\right) \right) &\Leftrightarrow &\lnot \lnot P\left( x\right) \vee \lnot
\left( Q\left( x\right) \vee \top \right) \quad \because \text{ド・モルガンの法則} \\
&\Leftrightarrow &\lnot \lnot P\left( x\right) \vee \left( \lnot Q\left(
x\right) \wedge \lnot \top \right) \quad \because \text{ド・モルガンの法則} \\
&\Leftrightarrow &P\left( x\right) \vee \left( \lnot Q\left( x\right) \wedge
\bot \right) \quad \because \text{二重否定、恒等律}
\end{eqnarray*}となるため証明が完了しました。

 

二重否定の一般化

論理式\(A\)の二重否定\(\lnot \lnot A\)は論理式であるため、その否定\(\lnot \lnot \lnot A\)や、さらにその否定\(\lnot \lnot \lnot \lnot A\)なども論理式です。先の命題を繰り返し適用すれば、それらはいずれも\(A\)もしくは\(\lnot A\)と論理的に同値になります。例えば、三重否定\(\lnot \lnot \lnot A\)に関しては、\begin{equation*}
\lnot \lnot \lnot A\Leftrightarrow \lnot A
\end{equation*}が成り立ち、四重否定\(\lnot \lnot \lnot \lnot A\)に関しては、\begin{equation*}
\lnot \lnot \lnot \lnot A\Leftrightarrow \lnot \lnot A\Leftrightarrow A
\end{equation*}が成り立ちます。以降についても同様です。

例(二重否定の一般化)
命題関数\(P\left( x\right) \)と\(Q\left( x\right) \)に関する論理式\begin{equation*}
\lnot \left( \lnot \left( \lnot P\left( x\right) \vee \lnot Q\left( x\right)
\right) \right)
\end{equation*}を同値変形すると、\begin{eqnarray*}
\lnot \left( \lnot \left( \lnot P\left( x\right) \vee \lnot Q\left( x\right)
\right) \right) &\Leftrightarrow &\lnot \left( \lnot \lnot P\left( x\right)
\wedge \lnot \lnot Q\left( x\right) \right) \quad \because \text{ド・モルガンの法則} \\
&\Leftrightarrow &\lnot \lnot \lnot P\left( x\right) \vee \lnot \lnot \lnot
Q\left( x\right) \quad \because \text{ド・モルガンの法則} \\
&\Leftrightarrow &\lnot P\left( x\right) \vee \lnot Q\left( x\right) \quad
\because \text{二重否定}
\end{eqnarray*}となります。

次回は含意、同等、排他的論理和などの集合演算に関する同値変形の公式について学びます。

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