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述語論理

述語論理における二重否定の法則

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二重否定の法則

論理式\(A\)の否定\(\lnot A\)もまた論理式であるため、さらにその否定\(\lnot\left( \lnot A\right) \)をとることができます。これを\(\lnot \lnot A\)で表記し\(A\)の二重否定(double negation)と呼びます。

論理式\(A\)が任意に与えられたとき、解釈を任意に選んだ上で、その場合に\(A\)から得られる命題を\(\overline{A}\)で表記します。すると命題論理における二重否定の法則より、\begin{equation*}\lnot \lnot \overline{A}\Leftrightarrow \overline{A}
\end{equation*}が成り立ちます。任意の解釈において同様の議論が成立するため、\begin{equation*}
\lnot \lnot A\Leftrightarrow A
\end{equation*}であることが示されました。つまり、述語論理においても二重否定の法則が成り立つということです。

命題(二重否定)
任意の論理式\(A\)に対して、\begin{equation*}\lnot \lnot A\Leftrightarrow A
\end{equation*}が成り立つ。

例(二重否定)
人間の脳は二重否定を含む主張の処理が得意ではありません。例として、以下の主張\begin{equation*}
x\text{や}y\text{を嫌いではないわけではない}
\end{equation*}について考えます。このままでは\(x\)が\(y\)を好きなのかがよく分かりません。そこで、命題関数\(P\left( x,y\right) \)を、\begin{equation*}P\left( x,y\right) :x\text{は}y\text{を嫌いである}
\end{equation*}とおくと、\begin{eqnarray*}
\lnot P\left( x,y\right) &:&x\text{は}y\text{が嫌いではない} \\
\lnot \lnot P\left( x,y\right) &:&x\text{は}y\text{が嫌いではないわけではない}
\end{eqnarray*}なり、もとの主張は\(\lnot \lnot P\left( x,y\right) \)となります。二重否定よりこれは\(P\left( x,y\right) \)と論理的に同値であるため、もとの主張は「\(x\)は\(y\)が嫌いである」という主張に相当することが明らかになりました。
例(二重否定)
命題関数\(P\left( x\right) \)と\(Q\left( x\right) \)に関する以下の2つの論理式\begin{eqnarray*}&&\forall x\in X:\left( P\left( x\right) \vee Q\left( x\right) \right) \\
&&\forall x\in X:\lnot \left( \lnot P\left( x\right) \wedge \lnot Q\left(
x\right) \right)
\end{eqnarray*}は論理的に同値であることを示します。実際、\begin{eqnarray*}
\forall x\in X:\lnot \left( \lnot P\left( x\right) \wedge \lnot Q\left(
x\right) \right) &\Leftrightarrow &\forall x\in X:\left( \lnot \lnot
P\left( x\right) \vee \lnot \lnot Q\left( x\right) \right) \quad \because
\text{ド・モルガンの法則} \\
&\Leftrightarrow &\forall x\in X:\left( P\left( x\right) \vee Q\left(
x\right) \right) \quad \because \text{二重否定}
\end{eqnarray*}となるため証明が完了しました。

例(二重否定)
命題関数\(P\left( x\right) \)と\(Q\left( x\right) \)に関する以下の2つの論理式\begin{eqnarray*}&&P\left( x\right) \vee \left( \lnot Q\left( x\right) \wedge \bot \right) \\
&&\lnot \left( \lnot P\left( x\right) \wedge \left( Q\left( x\right) \vee
\top \right) \right)
\end{eqnarray*}が論理的に同値であることを示します。ただし、\(\top \)は恒真式であり\(\bot \)は恒偽式です。実際、\begin{eqnarray*}\lnot \left( \lnot P\left( x\right) \wedge \left( Q\left( x\right) \vee \top
\right) \right) &\Leftrightarrow &\lnot \lnot P\left( x\right) \vee \lnot
\left( Q\left( x\right) \vee \top \right) \quad \because \text{ド・モルガンの法則} \\
&\Leftrightarrow &\lnot \lnot P\left( x\right) \vee \left( \lnot Q\left(
x\right) \wedge \lnot \top \right) \quad \because \text{ド・モルガンの法則} \\
&\Leftrightarrow &P\left( x\right) \vee \left( \lnot Q\left( x\right) \wedge
\bot \right) \quad \because \text{二重否定、恒等律}
\end{eqnarray*}となるため証明が完了しました。

 

二重否定の一般化

論理式\(A\)の二重否定\(\lnot\lnot A\)は論理式であるため、その否定\(\lnot \lnot \lnot A\)や、さらにその否定\(\lnot \lnot\lnot \lnot A\)なども論理式です。先の命題を繰り返し適用すれば、それらはいずれも\(A\)もしくは\(\lnot A\)と論理的に同値になります。例えば、三重否定\(\lnot \lnot \lnot A\)に関しては、\begin{equation*}\lnot \lnot \lnot A\Leftrightarrow \lnot A
\end{equation*}が成り立ち、四重否定\(\lnot \lnot \lnot \lnot A\)に関しては、\begin{equation*}\lnot \lnot \lnot \lnot A\Leftrightarrow \lnot \lnot A\Leftrightarrow A
\end{equation*}が成り立ちます。以降についても同様です。

例(二重否定の一般化)
命題関数\(P\left( x\right) \)と\(Q\left( x\right) \)に関する論理式\begin{equation*}\lnot \left( \lnot \left( \lnot P\left( x\right) \vee \lnot Q\left( x\right)
\right) \right)
\end{equation*}を同値変形すると、\begin{eqnarray*}
\lnot \left( \lnot \left( \lnot P\left( x\right) \vee \lnot Q\left( x\right)
\right) \right) &\Leftrightarrow &\lnot \left( \lnot \lnot P\left( x\right)
\wedge \lnot \lnot Q\left( x\right) \right) \quad \because \text{ド・モルガンの法則} \\
&\Leftrightarrow &\lnot \lnot \lnot P\left( x\right) \vee \lnot \lnot \lnot
Q\left( x\right) \quad \because \text{ド・モルガンの法則} \\
&\Leftrightarrow &\lnot P\left( x\right) \vee \lnot Q\left( x\right) \quad
\because \text{二重否定}
\end{eqnarray*}となります。

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