論理式 A が与えられたとき、それと任意の論理式 B との論理積 A∧B をとります。その上で両者の論理和 A∨(A∧B) をとると A∧B が吸収されて A に戻ります。この命題において論理積と論理和の関係を入れ替えたものも成り立ちます。 以上を吸収律と呼びます。
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吸収律

論理式\(A,B\)がそれぞれ任意に与えられたとき、解釈を任意に選んだ上で、その場合に\(A\)から得られる命題を\(\overline{A}\)で、\(B\)から得られる命題を\(\overline{B}\)でそれぞれ表記します。すると\(\wedge \)と\(\vee \)に関する吸収律より、\begin{equation*}
\overline{A}\wedge \left( \overline{A}\vee \overline{B}\right)
\Leftrightarrow \overline{A}
\end{equation*}が成り立ちます。任意の解釈において同様の議論が成立するため、\begin{equation*}
\left( a\right) \ A\wedge \left( A\vee B\right) \Leftrightarrow A
\end{equation*}であることが示されました。\(\left( a\right) \)において\(\wedge \)を\(\vee \)に置き換えると、\begin{equation*}
\left( b\right) \ A\vee \left( A\wedge B\right) \Leftrightarrow A
\end{equation*}を得ますが、これが成り立つことも同様にして示されます。つまり、述語論理においても論理積と論理和の間に吸収律(absorption law)が成り立つということです。

命題(吸収律)
任意の論理式\(A,B,C\)に対して以下が成り立つ。\begin{align*}
& \left( a\right) \ A\wedge \left( A\vee B\right) \Leftrightarrow A \\
& \left( b\right) \ A\vee \left( A\wedge B\right) \Leftrightarrow A
\end{align*}
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論理式\(A\)が与えられたとき、それと任意の論理式\(B\)との論理和\(A\vee B\)をとります。さらに、この論理和ともとの論理式\(A\)の論理積\(A\wedge (A\vee B)\)をとると、論理式\(A\vee B\)は吸収されて\(A\)に戻ってしまうというのが吸収律の主張です。論理和と論理積を入れ替えた主張も同じく成り立ちます。

吸収律と\(\Leftrightarrow \)の推移律より、任意の論理式\(A,B\)に対して、\begin{equation*}
A\wedge (A\vee B)\Leftrightarrow A\vee (A\wedge B)
\end{equation*}という関係もまた成立します。

例(吸収律)
命題関数\(P\left( x\right) \)と\(Q\left( x,y\right) \)について、吸収律より、\begin{equation*}
P\left( x\right) \wedge \left( P\left( x\right) \vee Q\left( x,y\right)
\right) \Leftrightarrow P\left( x\right)
\end{equation*}が成り立ちます。
例(吸収律)
命題関数\(P\left( x\right) \)と\(Q\left( x\right)\)について、吸収律より、\begin{equation*}
\forall x\ \left( P\left( x\right) \wedge \left( P\left( x\right) \vee
Q\left( y\right) \right) \right) \Leftrightarrow \forall x\ P\left( x\right)
\end{equation*}が成り立ちます。
例(吸収律)
命題関数\(P\left( x\right) \)と\(Q\left( x,y\right) \)と\(R\left( y\right) \)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}
\left( P\left( x\right) \wedge Q\left( x,y\right) \right) \wedge \left(
R\left( y\right) \vee Q\left( x,y\right) \right) &\Leftrightarrow &P\left(
x\right) \wedge \left( Q\left( x,y\right) \wedge \left( R\left( y\right)
\vee Q\left( x,y\right) \right) \right) \quad \because \text{結合律} \\
&\Leftrightarrow &P\left( x\right) \wedge \left( Q\left( x,y\right) \wedge
\left( Q\left( x,y\right) \vee R\left( y\right) \right) \right) \quad
\because \text{交換律} \\
&\Leftrightarrow &P\left( x\right) \wedge Q\left( x,y\right) \quad \because
\text{吸収律}
\end{eqnarray*}が成り立ちます。

次回はド・モルガンの法則について学びます。

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述語論理