吸収律
論理式\(A,B\)がそれぞれ任意に与えられたとき、解釈を任意に選んだ上で、その場合に\(A\)から得られる命題を\(\overline{A}\)で、\(B\)から得られる命題を\(\overline{B}\)でそれぞれ表記します。すると命題論理における吸収律より、\begin{align*}& \left( a\right) \ \overline{A}\wedge \left( \overline{A}\vee \overline{B}\right) \Leftrightarrow \overline{A} \\
& \left( b\right) \ \overline{A}\vee \left( \overline{A}\wedge \overline{B}\right) \Leftrightarrow \overline{A}
\end{align*}がともに成り立ちます。任意の解釈において同様の議論が成立するため、\begin{align*}
& \left( a\right) \ A\wedge \left( A\vee B\right) \Leftrightarrow A \\
& \left( b\right) \ A\vee \left( A\wedge B\right) \Leftrightarrow A
\end{align*}がともに成り立つことが示されました。つまり、述語論理においても吸収律（absorption law）が成り立つということです。
& \left( b\right) \ A\vee \left( A\wedge B\right) \Leftrightarrow A
\end{align*}が成り立つ。
吸収律と\(\Leftrightarrow \)の推移律より、任意の論理式\(A,B\)に対して、\begin{equation*}A\wedge (A\vee B)\Leftrightarrow A\vee (A\wedge B)
\end{equation*}という関係もまた成立します。
\right) \Leftrightarrow P\left( x\right)
\end{equation*}が成り立ちます。
R\left( y\right) \vee Q\left( x,y\right) \right) &\Leftrightarrow &P\left(
x\right) \wedge \left( Q\left( x,y\right) \wedge \left( R\left( y\right)
\vee Q\left( x,y\right) \right) \right) \quad \because \text{結合律} \\
&\Leftrightarrow &P\left( x\right) \wedge \left( Q\left( x,y\right) \wedge
\left( Q\left( x,y\right) \vee R\left( y\right) \right) \right) \quad
\because \text{交換律} \\
&\Leftrightarrow &P\left( x\right) \wedge Q\left( x,y\right) \quad \because
\text{吸収律}
\end{eqnarray*}が成り立ちます。
吸収律の一般化
3つの論理式\(A,B,C\)が任意に与えられたとき、\begin{eqnarray*}A\wedge \left( A\vee B\vee C\right) &\Leftrightarrow &A\wedge \left( A\vee
\left( B\vee C\right) \right) \quad \because \text{結合律}
\\
&\Leftrightarrow &A\quad \because \text{吸収律}
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
A\wedge \left( A\vee B\vee C\right) \Leftrightarrow A
\end{equation*}を得ます。論理積と論理和の立場を逆にした場合にも、\begin{eqnarray*}
A\vee \left( A\wedge B\wedge C\right) &\Leftrightarrow &A\vee \left( A\wedge
\left( B\wedge C\right) \right) \quad \because \text{結合律} \\
&\Leftrightarrow &A\quad \because \text{吸収律}
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
A\vee \left( A\wedge B\wedge C\right) \Leftrightarrow A
\end{equation*}を得ます。
論理式の個数を増やした場合にも同様の議論が成立します。つまり、有限\(n+1\)個の論理式\(A,B_{1},\cdots ,B_{n}\)に関して、\begin{eqnarray*}\left( a\right) \ A\wedge \left( A\vee B_{1}\vee \cdots \vee B_{n}\right)
&\Leftrightarrow &A \\
\left( b\right) \ A\vee \left( A\wedge B_{1}\wedge \cdots \wedge
B_{n}\right) &\Leftrightarrow &A
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{eqnarray*}
\left( a\right) \ A\wedge \left( A\vee \bigvee\limits_{i=1}^{n}B_{i}\right)
&\Leftrightarrow &A \\
\left( b\right) \ A\vee \left( A\wedge
\bigwedge\limits_{i=1}^{n}B_{i}\right) &\Leftrightarrow &A
\end{eqnarray*}がともに成り立つということです。
有限\(n+1\)個の論理式\(A,B_{1},\cdots,B_{n}\)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}\left( a\right) \ A\wedge \left( A\vee \bigvee\limits_{i=1}^{n}B_{i}\right)
&\Leftrightarrow &A \\
\left( b\right) \ A\vee \left( A\wedge
\bigwedge\limits_{i=1}^{n}B_{i}\right) &\Leftrightarrow &A
\end{eqnarray*}が成り立つ。
\bigvee\limits_{i=1}^{n}Q_{i}\left( x\right) \right) &\Leftrightarrow
&P\left( x\right) \\
\left( b\right) \ P\left( x\right) \vee \left( P\left( x\right) \wedge
\bigwedge\limits_{i=1}^{n}Q_{i}\left( x\right) \right) &\Leftrightarrow
&P\left( x\right)
\end{eqnarray*}が成り立ちます。
量化と吸収律
吸収律を踏まえると、全称命題や存在命題に関して以下が成り立ちます。
\right) \Leftrightarrow \forall x\in X:A \\
&&\left( b\right) \ \forall x\in X:\left( A\vee \left( A\wedge B\right)
\right) \Leftrightarrow \forall x\in X:A \\
&&\left( c\right) \ \exists x\in X:\left( A\wedge \left( A\vee B\right)
\right) \Leftrightarrow \exists x\in X:A \\
&&\left( d\right) \ \exists x\in X:\left( A\vee \left( A\wedge B\right)
\right) \Leftrightarrow \exists x\in X:A
\end{eqnarray*}が成り立つ。
P\left( x\right) \vee Q\left( x\right) \right) \right) \Leftrightarrow
\forall x\in X:P\left( x\right) \\
&&\left( b\right) \ \forall x\in X:\left( P\left( x\right) \vee \left(
P\left( x\right) \wedge Q\left( x\right) \right) \right) \Leftrightarrow
\forall x\in X:P\left( x\right) \\
&&\left( c\right) \ \exists x\in X:\left( P\left( x\right) \wedge \left(
P\left( x\right) \vee Q\left( x\right) \right) \right) \Leftrightarrow
\exists x\in X:P\left( x\right) \\
&&\left( d\right) \ \exists x\in X:\left( P\left( x\right) \vee \left(
P\left( x\right) \wedge Q\left( x\right) \right) \right) \Leftrightarrow
\exists x\in X:P\left( x\right)
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。
演習問題
x\right)
\end{equation*}を簡単にしてください。
\end{equation*}が成り立つことを証明してください。
