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述語論理

述語論理における吸収律

目次

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吸収律

論理式\(A,B\)がそれぞれ任意に与えられたとき、解釈を任意に選んだ上で、その場合に\(A\)から得られる命題を\(\overline{A}\)で、\(B\)から得られる命題を\(\overline{B}\)でそれぞれ表記します。すると命題論理における\(\wedge \)と\(\vee \)に関する吸収律より、\begin{align*}& \left( a\right) \ \overline{A}\wedge \left( \overline{A}\vee \overline{B}\right) \Leftrightarrow \overline{A} \\
& \left( b\right) \ \overline{A}\vee \left( \overline{A}\wedge \overline{B}\right) \Leftrightarrow \overline{A}
\end{align*}がともに成り立ちます。任意の解釈において同様の議論が成立するため、\begin{align*}
& \left( a\right) \ A\wedge \left( A\vee B\right) \Leftrightarrow A \\
& \left( b\right) \ A\vee \left( A\wedge B\right) \Leftrightarrow A
\end{align*}がともに成り立つことが示されました。つまり、述語論理においても吸収律(absorption law)が成り立つということです。

命題(吸収律)
任意の論理式\(A,B,C\)に対して、\begin{align*}& \left( a\right) \ A\wedge \left( A\vee B\right) \Leftrightarrow A \\
& \left( b\right) \ A\vee \left( A\wedge B\right) \Leftrightarrow A
\end{align*}が成り立つ。

吸収律と\(\Leftrightarrow \)の推移律より、任意の論理式\(A,B\)に対して、\begin{equation*}A\wedge (A\vee B)\Leftrightarrow A\vee (A\wedge B)
\end{equation*}という関係もまた成立します。

例(吸収律)
命題関数である\(P\left( x\right) \)と\(Q\left( x\right) \)について、吸収律より、\begin{equation*}P\left( x\right) \wedge \left( P\left( x\right) \vee Q\left( x\right)
\right) \Leftrightarrow P\left( x\right)
\end{equation*}が成り立ちます。

例(吸収律)
命題関数である\(P\left( x\right) \)と\(Q\left( x,y\right) \)および\(R\left( y\right) \)について、\begin{eqnarray*}\left( P\left( x\right) \wedge Q\left( x,y\right) \right) \wedge \left(
R\left( y\right) \vee Q\left( x,y\right) \right) &\Leftrightarrow &P\left(
x\right) \wedge \left( Q\left( x,y\right) \wedge \left( R\left( y\right)
\vee Q\left( x,y\right) \right) \right) \quad \because \text{結合律} \\
&\Leftrightarrow &P\left( x\right) \wedge \left( Q\left( x,y\right) \wedge
\left( Q\left( x,y\right) \vee R\left( y\right) \right) \right) \quad
\because \text{交換律} \\
&\Leftrightarrow &P\left( x\right) \wedge Q\left( x,y\right) \quad \because
\text{吸収律}
\end{eqnarray*}が成り立ちます。

 

量化と吸収律

吸収律を踏まえると、全称命題や存在命題に関して以下が成り立ちます。

命題(量化と吸収律)
任意の論理式\(A,B\)と変数\(x\in X\)に対して、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall x\in X:\left( A\wedge \left( A\vee B\right)
\right) \Leftrightarrow \forall x\in X:A \\
&&\left( b\right) \ \forall x\in X:\left( A\vee \left( A\wedge B\right)
\right) \Leftrightarrow \forall x\in X:A \\
&&\left( c\right) \ \exists x\in X:\left( A\wedge \left( A\vee B\right)
\right) \Leftrightarrow \exists x\in X:A \\
&&\left( d\right) \ \exists x\in X:\left( A\vee \left( A\wedge B\right)
\right) \Leftrightarrow \exists x\in X:A
\end{eqnarray*}が成り立つ。

証明

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例(量化と吸収律)
命題関数である\(P\left( x\right) \)と\(Q\left( x\right) \)をそれぞれ任意に選んだとき、吸収律より、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall x\in X:\left( P\left( x\right) \wedge \left(
P\left( x\right) \vee Q\left( y\right) \right) \right) \Leftrightarrow
\forall x\in X:P\left( x\right) \\
&&\left( b\right) \ \forall x\in X:\left( P\left( x\right) \vee \left(
P\left( x\right) \wedge Q\left( y\right) \right) \right) \Leftrightarrow
\forall x\in X:P\left( x\right) \\
&&\left( c\right) \ \exists x\in X:\left( P\left( x\right) \wedge \left(
P\left( x\right) \vee Q\left( y\right) \right) \right) \Leftrightarrow
\exists x\in X:P\left( x\right) \\
&&\left( d\right) \ \exists x\in X:\left( P\left( x\right) \vee \left(
P\left( x\right) \wedge Q\left( y\right) \right) \right) \Leftrightarrow
\exists x\in X:P\left( x\right)
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。

 

演習問題

問題(吸収律)
論理式\(A,B,C\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\left( \lnot A\wedge C\right) \vee B\vee C\Leftrightarrow B\vee C
\end{equation*}が成り立つことを証明してください。

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問題(吸収律)
論理式\(A,B,C\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\left( A\wedge B\right) \vee \left( \left( A\wedge B\right) \wedge C\right)
\vee \left( B\wedge C\right) \Leftrightarrow \left( A\vee C\right) \wedge B
\end{equation*}が成り立つことを証明してください。

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