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吸収律

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吸収律

論理式\(A,B\)がそれぞれ任意に与えられたとき、解釈を任意に選んだ上で、その場合に\(A\)から得られる命題を\(\overline{A}\)で、\(B\)から得られる命題を\(\overline{B}\)でそれぞれ表記します。すると\(\wedge \)と\(\vee \)に関する吸収律より、\begin{equation*}
\overline{A}\wedge \left( \overline{A}\vee \overline{B}\right)
\Leftrightarrow \overline{A}
\end{equation*}が成り立ちます。任意の解釈において同様の議論が成立するため、\begin{equation*}
\left( a\right) \ A\wedge \left( A\vee B\right) \Leftrightarrow A
\end{equation*}であることが示されました。\(\left( a\right) \)において\(\wedge \)を\(\vee \)に置き換えると、\begin{equation*}
\left( b\right) \ A\vee \left( A\wedge B\right) \Leftrightarrow A
\end{equation*}を得ますが、これが成り立つことも同様にして示されます。つまり、述語論理においても論理積と論理和の間に吸収律(absorption law)が成り立つということです。

命題(吸収律)
任意の論理式\(A,B,C\)に対して以下が成り立つ。\begin{align*}
& \left( a\right) \ A\wedge \left( A\vee B\right) \Leftrightarrow A \\
& \left( b\right) \ A\vee \left( A\wedge B\right) \Leftrightarrow A
\end{align*}
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論理式\(A\)が与えられたとき、それと任意の論理式\(B\)との論理和\(A\vee B\)をとります。さらに、この論理和ともとの論理式\(A\)の論理積\(A\wedge (A\vee B)\)をとると、論理式\(A\vee B\)は吸収されて\(A\)に戻ってしまうというのが吸収律の主張です。論理和と論理積を入れ替えた主張も同じく成り立ちます。

吸収律と\(\Leftrightarrow \)の推移律より、任意の論理式\(A,B\)に対して、\begin{equation*}
A\wedge (A\vee B)\Leftrightarrow A\vee (A\wedge B)
\end{equation*}という関係もまた成立します。

例(吸収律)
命題関数\(P\left( x\right) \)と\(Q\left( x,y\right) \)について、吸収律より、\begin{equation*}
P\left( x\right) \wedge \left( P\left( x\right) \vee Q\left( x,y\right)
\right) \Leftrightarrow P\left( x\right)
\end{equation*}が成り立ちます。
例(吸収律)
命題関数\(P\left( x\right) \)と\(Q\left( x\right)\)について、吸収律より、\begin{equation*}
\forall x\ \left( P\left( x\right) \wedge \left( P\left( x\right) \vee
Q\left( y\right) \right) \right) \Leftrightarrow \forall x\ P\left( x\right)
\end{equation*}が成り立ちます。
例(吸収律)
命題関数\(P\left( x\right) \)と\(Q\left( x,y\right) \)と\(R\left( y\right) \)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}
\left( P\left( x\right) \wedge Q\left( x,y\right) \right) \wedge \left(
R\left( y\right) \vee Q\left( x,y\right) \right) &\Leftrightarrow &P\left(
x\right) \wedge \left( Q\left( x,y\right) \wedge \left( R\left( y\right)
\vee Q\left( x,y\right) \right) \right) \quad \because \text{結合律} \\
&\Leftrightarrow &P\left( x\right) \wedge \left( Q\left( x,y\right) \wedge
\left( Q\left( x,y\right) \vee R\left( y\right) \right) \right) \quad
\because \text{交換律} \\
&\Leftrightarrow &P\left( x\right) \wedge Q\left( x,y\right) \quad \because
\text{吸収律}
\end{eqnarray*}が成り立ちます。

次回はド・モルガンの法則について学びます。

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