論理積と論理和の間には吸収律と呼ばれる関係が成り立ちます。論理式 A が与えられたとき、それと任意の論理式 B との論理積 A∧B をとります。その上で両者の論理和 A∨(A∧B) をとると A∧B が吸収されて A に戻ってしまうという命題です。また、この命題において論理積と論理和の関係を入れ替えたものも成り立ちます。

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吸収律

論理積と論理和の間には以下の関係が成り立ちます。これを吸収律(absorption law)と呼びます。

命題(吸収律)
任意の論理式\(A,B,C\)に対して以下が成り立つ。\begin{align*}
& \left( a\right) \ A\wedge (A\vee B)\Leftrightarrow A \\
& \left( b\right) \ A\vee (A\wedge B)\Leftrightarrow A
\end{align*}
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論理式\(A\)が与えられたとき、それと任意の論理式\(B\)との論理和\(A\vee B\)をとります。さらに、この論理和ともとの論理式\(A\)の論理積\(A\wedge (A\vee B)\)をとると、論理式\(A\vee B\)は吸収されて\(A\)に戻ってしまうというのが吸収律の主張です。論理和と論理積を入れ替えた主張も同じく成り立ちます。

吸収律と\(\Leftrightarrow \)の推移律より、任意の論理式\(A\)に対して、\begin{equation*}
A\wedge (A\vee B)\Leftrightarrow A\vee (A\wedge B)
\end{equation*}という関係もまた成立します。つまり、左側の式において\(\wedge \)を\(\vee \)に置き換え、\(\vee \)を\(\wedge \)に置き換えれば右側の式が得られますが、両者は論理的に同値です。

例(吸収律)
任意の論理式\(A,B,C\)について、\begin{equation*}
\left( A\wedge B\right) \wedge \left( C\vee B\right) \Leftrightarrow A\wedge C
\end{equation*}が成り立つことを証明します。実際、\begin{eqnarray*}
\left( A\wedge B\right) \wedge \left( C\vee B\right) &\Leftrightarrow &A\wedge \left( B\wedge \left( C\vee B\right) \right) \quad \because \text{結合律} \\
&\Leftrightarrow &A\wedge \left( B\wedge \left( B\vee C\right) \right) \quad \because \text{交換律} \\
&\Leftrightarrow &A\wedge C\quad \because \text{吸収律}
\end{eqnarray*}が成り立つため証明できました。

次回はド・モルガンの法則について学びます。

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