ユークリッド空間における点の近傍・近傍系
ユークリッド空間における点の近傍、近傍系、およびユークリッド空間の近傍系という概念を定義します。これは数直線上の有界開区間を一般化した概念です。
OVERVIEW
ユークリッド空間における位相
ユークリッド距離をもとにユークリッド空間上の開集合と呼ばれる概念を定義した上で、その性質や、関連する概念などについて解説します。
TABLE OF CONTENTS
目次
SECTION 1
近傍・開集合・閉集合
ユークリッド空間の点を中心とする近傍と呼ばれる概念を出発点に、ユークリッド空間上の開集合や閉集合などの概念を定義します。
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ユークリッド空間における開集合・開集合系
ユークリッド空間の部分集合Aが与えられたとき、Aのそれぞれの点aについて、aを中心とする開近傍の中にAの部分集合であるようなものが存在するのであれば、Aをユークリッド空間上の開集合と呼びます。また、ユークリッド空間上の開集合をすべて集めてできる集合系を開集合系と呼びます。
ユークリッド空間における閉集合・閉集合系
ユークリッド空間の部分集合Aが与えられたとき、Aの補集合がユークリッド空間上の開集合である場合には、Aをユークリッド空間上の閉集合であるといいます。また、ユークリッド空間上のすべての閉集合からなる集合族を閉集合系と呼びます。
SECTION 2
内部・外部・境界
ユークリッド空間の部分集合について、その内点、外点、境界点などについて解説します。
ユークリッド空間における内点・内部
ユークリッド空間の部分集合 A が与えられたとき、点 a を中心とする開近傍の中に A の部分集合になるものが存在するならば、a を A の内点と呼びます。また、A のすべての内点を集めてできる集合を A の内部と呼びます。集合 A とその内部が一致することは、A が開集合であるための必要十分条件です。
ユークリッド空間における内部を用いた開集合の判定
ユークリッド空間の部分集合Aが開集合であることと、その内部がAと一致することは必要十分です。したがって、Aの内部を特定した上で、それがAと一致することを示せば、Aが開集合であることを示したことになります。
ユークリッド空間における外点・外部
ユークリッド空間の部分集合 A が与えられたとき、点 a を中心とする開近傍の中に A の補集合の部分集合になるものが存在するならば、a を A の外点と呼びます。また、A のすべての外点を集めてできる集合を A の外部と呼びます。
ユークリッド空間における外部を用いた閉集合の判定
ユークリッド空間の部分集合Aが与えられたとき、Aの外部と補集合が一致することは、Aがユークリッド空間上の閉集合であるための必要十分条件です。
ユークリッド空間における境界点・境界
ユークリッド空間の部分集合 A が与えられたとき、点 a の任意の近傍が A と A の補集合の双方と交わるならば、a を A の境界点と呼びます。また、A のすべての境界点からなる集合を A の境界と呼びます。
ユークリッド空間における境界を用いた閉集合の判定
ユークリッド空間の部分集合 A が与えられたとき、A の境界が A の部分集合であることは、A が閉集合であるための必要十分条件です。したがって、集合 A の境界が A の部分集合であれば A は閉集合であり、A の境界が A の部分集合でなければ A は閉集合ではありません。
SECTION 3
触点・集積点・孤立点
ユークリッド空間の部分集合について、その触点、集積点、孤立点などについて解説します。
ユークリッド空間における触点・閉包
ユークリッド空間の部分集合 A が与えられたとき、点 a の任意の近傍が A と交わるならば、a を A の触点と呼びます。また、A のすべての触点からなる集合を A の閉包と呼びます。
点列を用いた触点の判定
ユークリッド空間の部分集合 A および点 a が与えられたとき、a に収束する A 上の点列が存在することは、a が A の触点であるための必要十分条件です。
ユークリッド空間における閉包を用いた閉集合の判定
ユークリッド空間の部分集合 A の閉包が A 自身と一致することは、A がユークリッド空間上の閉集合であるための必要十分条件です。
ユークリッド空間における集積点（極限点）・導集合
ユークリッド空間の部分集合 A が与えられたとき、点 a を中心とする任意の近傍が a とは異なる A の点を要素として持つ場合、この点 a を A の集積点と呼びます。
点列を用いた集積点（極限点）の判定
ユークリッド空間の部分集合 A および点 a が与えられたとき、A の点を項とするとともに、すべての項が a とは異なり、なおかつ a に収束する点列が存在することは、a が A の集積点（極限点）であるための必要十分条件です。
ユークリッド空間における導集合を用いた閉集合の判定
ユークリッド空間の部分集合Aが与えられたとき、Aの導集合がAの部分集合であることは、すなわちAのすべての集積点がAの要素であることは、Aが閉集合であるための必要十分条件です。
SECTION 4
コンパクト性
ユークリッド空間の部分集合がコンパクト集合であることの意味を解説します。
ハイネ・ボレルの被覆定理
ユークリッド空間の部分集合 A が与えられたとき、A が有界な閉集合であることと、A がコンパクト集合であることは必要十分です。これをハイネ・ボレルの被覆定理と呼びます。
ユークリッド空間における点列コンパクト集合
ユークリッド空間の部分集合 A が与えられたとき、A の要素を項とする任意の点列が A の点に収束する部分列を持つ場合、A を点列コンパクト集合と呼びます。ある集合が点列コンパクト集合であることと、その集合がコンパクト集合であることは必要十分です。
SECTION 5
可算公理
準備中です。
ユークリッド空間における基本近傍系（近傍基）と第1可算公理
ユークリッド空間の点の基本近傍系が存在する場合、その点との距離を測るためには基本近傍系に属する近傍があれば十分で、すべての近傍を議論の対象にする必要はありません。また、ユークリッド空間のそれぞれの点に対して可算な基本近傍系が存在します（第1可算公理）。
ユークリッド空間における基本開集合系（開基）と第2可算公理
ユークリッド空間において、開集合系の部分集合族が存在し、任意の開集合がその部分集合族に属する開集合の和集合として表現できる場合、その部分集合族を開基と呼びます。また、可算集合であるような開基が存在する場合、第2可算公理が成り立つと言います。
リンデレーフ空間としてのユークリッド空間（リンデレーフの被覆定理）
ユークリッド空間上の集合の開被覆を任意に選んだとき、その可算部分被覆が存在することが保証されます。これをリンデレーフの被覆定理と呼びます。
RELATED KNOWLEDGE
関連知識
REQUIRED KNOWLEDGE
必須知識
以下の分野の知識があると本節の内容を円滑に学習できます。
実数
実数を特徴づける公理を出発点とした上で、実数空間上に定義された演算、順序、そして実数の連続性などについて議論します。さらに、数列や収束列、実数空間上の位相、実数空間上に定義された関数の性質などについて議論します。
ユークリッド空間の定義
n 次元空間上にベクトル加法やスカラー乗法などの演算や大小関係を定義すると、実順序ベクトル空間になります。実順序ベクトル空間上にユークリッド距離と呼ばれる概念を定義したものがユークリッド空間です。
ユークリッド空間上の点列
ユークリッド空間上の無限個の点を順番に並べたものを点列と呼びます。点列は実数列を一般化した概念です。ここでは点列が収束することの意味を定義した上で、収束点列の性質について解説します。
ADVANCED KNOWLEDGE
発展知識
本節で得た知識は以下の分野を学ぶ上での土台になります。
ベクトル値関数（曲線）
実数空間もしくはその部分集合を定義とし、ユークリッド空間を終集合とする写像を曲線やベクトル値関数などと呼びます。ここでは曲線の収束や連続性などについて解説します。
多変数関数（スカラー場）
多変数関数（スカラー場）という概念を定義するとともに、多変数関数が有限な実数へ収束すること、および連続であることの意味を定義した上で、連続な多変数関数の性質について解説します。
