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EUCLIDEAN TOPOLOGY

ユークリッド位相

OVERVIEW

ユークリッド空間における位相

ユークリッド距離をもとにユークリッド空間上の開集合と呼ばれる概念を定義した上で、その性質や、関連する概念などについて解説します。
TABLE OF CONTENTS

目次

SECTION 1

近傍・開集合・閉集合

ユークリッド空間の点を中心とする近傍と呼ばれる概念を出発点に、ユークリッド空間上の開集合や閉集合などの概念を定義します。

ユークリッド空間における開集合・開集合系

ユークリッド空間の部分集合Aが与えられたとき、Aのそれぞれの点aについて、aを中心とする開近傍の中にAの部分集合であるようなものが存在するのであれば、Aをユークリッド空間上の開集合と呼びます。また、ユークリッド空間上の開集合をすべて集めてできる集合系を開集合系と呼びます。

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ユークリッド空間における閉集合・閉集合系

ユークリッド空間の部分集合Aが与えられたとき、Aの補集合がユークリッド空間上の開集合である場合には、Aをユークリッド空間上の閉集合であるといいます。また、ユークリッド空間上のすべての閉集合からなる集合族を閉集合系と呼びます。

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SECTION 2

内部・外部・境界

ユークリッド空間の部分集合について、その内点、外点、境界点などについて解説します。

ユークリッド空間における内点・内部

ユークリッド空間の部分集合 A が与えられたとき、点 a を中心とする開近傍の中に A の部分集合になるものが存在するならば、a を A の内点と呼びます。また、A のすべての内点を集めてできる集合を A の内部と呼びます。集合 A とその内部が一致することは、A が開集合であるための必要十分条件です。

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外点・外部

ユークリッド空間の部分集合 A が与えられたとき、点 a を中心とする開近傍の中に A の補集合の部分集合になるものが存在するならば、a を A の外点と呼びます。また、A のすべての外点を集めてできる集合を A の外部と呼びます。

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境界点・境界

ユークリッド空間の部分集合 A が与えられたとき、点 a の任意の近傍が A と A の補集合の双方と交わるならば、a を A の境界点と呼びます。また、A のすべての境界点からなる集合を A の境界と呼びます。

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SECTION 3

触点・集積点・孤立点

ユークリッド空間の部分集合について、その触点、集積点、孤立点などについて解説します。

点列を用いた触点の判定

ユークリッド空間の部分集合 A および点 a が与えられたとき、a に収束する A 上の点列が存在することは、a が A の触点であるための必要十分条件です。

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点列を用いた集積点(極限点)の判定

ユークリッド空間の部分集合 A および点 a が与えられたとき、A の点を項とするとともに、すべての項が a とは異なり、なおかつ a に収束する点列が存在することは、a が A の集積点(極限点)であるための必要十分条件です。

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SECTION 4

コンパクト性

ユークリッド空間の部分集合がコンパクト集合であることの意味を解説します。

コンパクト集合

ユークリッド空間の部分集合Aを覆う開集合族(開被覆)を任意に選んだとき、それに対して有限部分被覆が必ず存在する場合には、Aはコンパクト集合であると言います。

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ハイネ・ボレルの被覆定理

ユークリッド空間の部分集合 A が与えられたとき、A が有界な閉集合であることと、A がコンパクト集合であることは必要十分です。これをハイネ・ボレルの被覆定理と呼びます。

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RELATED KNOWLEDGE

関連知識

REQUIRED KNOWLEDGE

必須知識

以下の分野の知識があると本節の内容を円滑に学習できます。

実数

実数を特徴づける公理を出発点とした上で、実数空間上に定義された演算、順序、そして実数の連続性などについて議論します。さらに、数列や収束列、実数空間上の位相、実数空間上に定義された関数の性質などについて議論します。

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ユークリッド空間の定義

n 次元空間上にベクトル加法やスカラー乗法などの演算や大小関係を定義すると、実順序ベクトル空間になります。実順序ベクトル空間上にユークリッド距離と呼ばれる概念を定義したものがユークリッド空間です。

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ユークリッド空間上の点列

ユークリッド空間上の無限個の点を順番に並べたものを点列と呼びます。点列は実数列を一般化した概念です。ここでは点列が収束することの意味を定義した上で、収束点列の性質について解説します。

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ADVANCED KNOWLEDGE

発展知識

本節で得た知識は以下の分野を学ぶ上での土台になります。

ユークリッド位相

ユークリッド距離をもとにユークリッド空間上の開集合と呼ばれる概念を定義した上で、その性質や、関連する概念などについて解説します。

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ベクトル値関数(曲線)

実数空間もしくはその部分集合を定義とし、ユークリッド空間を終集合とする写像を曲線やベクトル値関数などと呼びます。ここでは曲線の収束や連続性などについて解説します。

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多変数関数(スカラー場)

本節ではスカラー場(多変数関数)が有限な実数へ収束することの意味や、スカラー場が連続であることの意味を解説します。本節で得られる知識は後にスカラー場の微分(全微分・方向微分・偏微分)について学ぶ上での前提知識となります。

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