閉集合であることの判定
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)が与えられたとき、その導集合\(A^{d}\)について、\begin{equation*}A^{d}\subset A
\end{equation*}が成り立つことと、\(A\)が\(\mathbb{R} ^{n}\)上の閉集合であることは必要十分です。したがって、\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)が閉集合であることを示すためには、\(A\)の導集合\(A^{d}\)を特定した上で、それが\(A\)の部分集合であることを示せばよいということになります。
例（点の閉近傍は閉集合）
ユークリッド空間の点\(a\in \mathbb{R} ^{n}\)を中心とし、半径を\(\varepsilon >0\)とする閉近傍は、\begin{equation*}C_{\varepsilon }\left( a\right) =\left\{ x\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ d\left( x,a\right) \leq \varepsilon \right\}
\end{equation*}と定義されます。\(n=1\)の場合、これは有界な閉区間\begin{equation*}C_{\varepsilon }\left( a\right) =\left[ a-x,a+x\right] \end{equation*}と一致し、\(n=2\)の場合、これは点\(a\)を中心とする円盤（境界を含む）\begin{equation*}C_{\varepsilon }\left( a\right) =\left\{ x\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \sqrt{\left( x_{1}-a_{1}\right) ^{2}+\left( x_{2}-a_{2}\right) ^{2}}\leq \varepsilon \right\}
\end{equation*}と一致します。いずれにせよ、この集合の導集合は、\begin{equation*}
\left( N_{\varepsilon }\left( a\right) \right) ^{d}=C_{\varepsilon }\left(
a\right)
\end{equation*}であるため、\begin{equation*}
\left( N_{\varepsilon }\left( a\right) \right) ^{d}\subset C_{\varepsilon
}\left( a\right)
\end{equation*}が成り立ちます。したがって\(C_{\varepsilon }\left( a\right) \)は\(\mathbb{R} ^{n}\)上の閉集合です。
\end{equation*}と定義されます。\(n=1\)の場合、これは有界な閉区間\begin{equation*}C_{\varepsilon }\left( a\right) =\left[ a-x,a+x\right] \end{equation*}と一致し、\(n=2\)の場合、これは点\(a\)を中心とする円盤（境界を含む）\begin{equation*}C_{\varepsilon }\left( a\right) =\left\{ x\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \sqrt{\left( x_{1}-a_{1}\right) ^{2}+\left( x_{2}-a_{2}\right) ^{2}}\leq \varepsilon \right\}
\end{equation*}と一致します。いずれにせよ、この集合の導集合は、\begin{equation*}
\left( N_{\varepsilon }\left( a\right) \right) ^{d}=C_{\varepsilon }\left(
a\right)
\end{equation*}であるため、\begin{equation*}
\left( N_{\varepsilon }\left( a\right) \right) ^{d}\subset C_{\varepsilon
}\left( a\right)
\end{equation*}が成り立ちます。したがって\(C_{\varepsilon }\left( a\right) \)は\(\mathbb{R} ^{n}\)上の閉集合です。
例（ユークリッド空間は閉集合）
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の導集合は、\begin{equation*}\left( \mathbb{R} ^{n}\right) ^{d}=\mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}であるため、\begin{equation*}
\left( \mathbb{R} ^{n}\right) ^{d}\subset \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}が成り立ちます。したがって\(\mathbb{R} ^{n}\)は\(\mathbb{R} ^{n}\)上の閉集合です。
\end{equation*}であるため、\begin{equation*}
\left( \mathbb{R} ^{n}\right) ^{d}\subset \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}が成り立ちます。したがって\(\mathbb{R} ^{n}\)は\(\mathbb{R} ^{n}\)上の閉集合です。
閉集合ではないことの判定
逆に、\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)が与えられたとき、\begin{equation*}A^{d}\not\subset A
\end{equation*}が成り立つことは、\(A\)が\(\mathbb{R} ^{n}\)上の閉集合ではないことと必要十分です。したがって、\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)が閉集合ではないことを示すためには、\(A\)の集積点の中に\(A\)の要素ではないものが存在することを示せばよいということになります。
例（点の近傍は閉集合ではない）
ユークリッド空間の点\(a\in \mathbb{R} ^{n}\)を中心とし、半径を\(\varepsilon >0\)とする（開）近傍は、\begin{equation*}N_{\varepsilon }\left( a\right) =\left\{ x\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ d\left( x,a\right) <\varepsilon \right\}
\end{equation*}と定義されます。\(n=1\)の場合、これは有界な開区間\begin{equation*}N_{\varepsilon }\left( a\right) =\left( a-x,a+x\right)
\end{equation*}と一致し、\(n=2\)の場合、これは点\(a\)を中心とする円盤（境界を除く）\begin{equation*}N_{\varepsilon }\left( a\right) =\left\{ x\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \sqrt{\left( x_{1}-a_{1}\right) ^{2}+\left( x_{2}-a_{2}\right) ^{2}}<\varepsilon \right\}
\end{equation*}と一致します。いずれにせよ、この集合の導集合は、\begin{equation*}
\left( N_{\varepsilon }\left( a\right) \right) ^{d}=\left\{ x\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ d\left( x,a\right) \leq \varepsilon \right\}
\end{equation*}であるため、\begin{equation*}
\left( N_{\varepsilon }\left( a\right) \right) ^{d}\subset N_{\varepsilon
}\left( a\right)
\end{equation*}は成り立ちません。したがって\(N_{\varepsilon }\left( a\right) \)は\(\mathbb{R} ^{n}\)上の閉集合ではありません。
\end{equation*}と定義されます。\(n=1\)の場合、これは有界な開区間\begin{equation*}N_{\varepsilon }\left( a\right) =\left( a-x,a+x\right)
\end{equation*}と一致し、\(n=2\)の場合、これは点\(a\)を中心とする円盤（境界を除く）\begin{equation*}N_{\varepsilon }\left( a\right) =\left\{ x\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \sqrt{\left( x_{1}-a_{1}\right) ^{2}+\left( x_{2}-a_{2}\right) ^{2}}<\varepsilon \right\}
\end{equation*}と一致します。いずれにせよ、この集合の導集合は、\begin{equation*}
\left( N_{\varepsilon }\left( a\right) \right) ^{d}=\left\{ x\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ d\left( x,a\right) \leq \varepsilon \right\}
\end{equation*}であるため、\begin{equation*}
\left( N_{\varepsilon }\left( a\right) \right) ^{d}\subset N_{\varepsilon
}\left( a\right)
\end{equation*}は成り立ちません。したがって\(N_{\varepsilon }\left( a\right) \)は\(\mathbb{R} ^{n}\)上の閉集合ではありません。
例（有理数空間の直積の閉包は閉集合ではない）
有限\(n\)個の有理数空間の直積\(\mathbb{Q} ^{n}\)の導集合は、\begin{equation*}\left( \mathbb{Q} ^{n}\right) ^{d}=\mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}であるため、\begin{equation*}
\left( \mathbb{Q} ^{n}\right) ^{d}\subset \mathbb{Q} ^{n}
\end{equation*}は成り立ちません。したがって\(\mathbb{Q} ^{n}\)は\(\mathbb{R} ^{n}\)上の閉集合ではありません。
\end{equation*}であるため、\begin{equation*}
\left( \mathbb{Q} ^{n}\right) ^{d}\subset \mathbb{Q} ^{n}
\end{equation*}は成り立ちません。したがって\(\mathbb{Q} ^{n}\)は\(\mathbb{R} ^{n}\)上の閉集合ではありません。
例（無理数空間の直積の閉包は閉集合ではない）
有限\(n\)個の無理数空間の直積\(\left( \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} \right) ^{n}\)の導集合は、\begin{equation*}\left( \left( \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} \right) ^{n}\right) ^{d}=\mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}であるため、\begin{equation*}
\left( \left( \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} \right) ^{n}\right) ^{d}\subset \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}は成り立ちません。したがって\(\left( \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} \right) ^{n}\)は\(\mathbb{R} ^{n}\)上の閉集合ではありません。
\end{equation*}であるため、\begin{equation*}
\left( \left( \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} \right) ^{n}\right) ^{d}\subset \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}は成り立ちません。したがって\(\left( \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} \right) ^{n}\)は\(\mathbb{R} ^{n}\)上の閉集合ではありません。
演習問題
問題（導集合を用いた閉集合の判定）
\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)が、\begin{equation*}A=\left\{ \pm \frac{1}{n}\ |\ n\in \mathbb{N} \right\}
\end{equation*}として与えられているものとします。\(A\)が\(\mathbb{R} \)上の閉集合ではないことを証明してください。
\end{equation*}として与えられているものとします。\(A\)が\(\mathbb{R} \)上の閉集合ではないことを証明してください。
問題（導集合を用いた閉集合の判定）
\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)が、\begin{equation*}A=\left\{ \pm \frac{1}{n}\ |\ n\in \mathbb{N} \right\} \cup \{0\}
\end{equation*}として与えられているものとします。\(A\)が\(\mathbb{R} \)上の閉集合であることを証明してください。
\end{equation*}として与えられているものとします。\(A\)が\(\mathbb{R} \)上の閉集合であることを証明してください。
問題（導集合を用いた閉集合の判定）
点\(a\in \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選んだ上で、それだけを要素とする\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(\left\{ a\right\} \)を定義します。この集合が\(\mathbb{R} ^{n}\)上の閉集合であることを証明してください。
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