教材一覧
教材一覧
教材検索
EUCLIDEAN TOPOLOGY

ユークリッド空間における集積点(極限点)・導集合

目次

Share on twitter
Twitterで共有
Share on email
メールで共有

集積点

ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)が与えられたとき、点\(a\in \mathbb{R} ^{n}\)の任意の近傍が\(a\)とは異なる\(A\)の要素を持つ場合には、すなわち、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0:N_{\varepsilon }\left( a\right) \cap \left(
A\backslash \left\{ a\right\} \right) \not=\phi
\end{equation*}が成り立つ場合には、点\(a\)を\(A\)の集積点(accumulation point)や極限点(limit point)などと呼びます。つまり、点\(a\)が集合\(A\)の集積点であることとは、点\(a\)からいくらでも近い場所に\(a\)とは異なる\(A\)の点が必ず存在することを意味します。上の定義において、点\(a\)は\(A\)の要素であるとまでは指定されていません。つまり、\(A\)の集積点は\(A\)の要素である場合とそうではない場合の両方が起こり得るということです。

逆に、点\(a\in \mathbb{R} ^{n}\)が集合\(A\)の集積点でないこととは、\begin{equation*}\exists \varepsilon >0:N_{\varepsilon }\left( a\right) \cap \left(
A\backslash \left\{ a\right\} \right) =\phi
\end{equation*}が成り立つことを意味します。つまり、点\(a\)が集合\(A\)の集積点でないこととは、点\(a\)から十分近い場所に\(a\)とは異なる\(A\)の点が存在しないことを意味します。

\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)のすべての集積点からなる集合を\(A\)の導集合(derived set)と呼び、\begin{equation*}A^{d}
\end{equation*}で表記します。定義より、任意の点\(x\in \mathbb{R} ^{n}\)に対して、\begin{equation*}x\in A^{d}\Leftrightarrow \forall \varepsilon >0:N_{\varepsilon }(x)\cap
\left( A\backslash \{x\}\right) \not=\phi
\end{equation*}という関係が成り立ちます。

繰り返しになりますが、集合\(A\)の集積点\(a\)が与えられたとき、定義より、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0:N_{\varepsilon }\left( a\right) \cap \left(
A\backslash \left\{ a\right\} \right) \not=\phi
\end{equation*}が成り立ちます。\(A\backslash\left\{ a\right\} \subset A\)であることを踏まえると、このとき、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0:N_{\varepsilon }\left( a\right) \cap A\not=\phi
\end{equation*}もまた明らかに成り立ちますが、これは点\(a\)が集合\(A\)の触点であることの定義に他なりません。つまり、集合\(A\)の集積点は必ず\(A\)の触点であるということです。触点は内点もしくは境界点であるため、この事実は、\(A\)の集積点は必ず\(A\)の内点または境界点になることを意味します。

命題(集合の集積点は内点または境界点)
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の任意の部分集合\(A\)に対して、\begin{equation*}A^{d}\subset A^{i}\cup A^{f}
\end{equation*}が成り立つ。ただし、\(A^{d}\)は\(A\)の導集合であり、\(A^{i}\)は\(A\)の内部であり、\(A^{f}\)は\(A\)の境界である。

上の命題の逆は成り立つでしょうか。まず、\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)の内点は集積点であることが保証されます。

命題(集合の内点は集積点)
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の任意の部分集合\(A\)に対して、\begin{equation*}A^{i}\subset A^{d}
\end{equation*}が成り立つ。ただし、\(A^{d}\)は\(A\)の導集合であり、\(A^{i}\)は\(A\)の内部である。
証明

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

他方で、\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)の境界点は集積点であるとは限りません。以下の例より明らかです。

例(集積点ではない境界点)
点\(a\in \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選んだ上で、それだけを要素として持つ\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\begin{equation*}\left\{ a\right\}
\end{equation*}について考えます。半径\(\varepsilon >0\)を任意に選んだとき点\(a\)を中心とする近傍\(N_{\varepsilon }\left( a\right) \)は\(a\)を要素として持つため\(\left\{ a\right\} \)と交わります。同時に、\(\varepsilon >0\)であることから\(N_{\varepsilon }\left( a\right) \)は\(\mathbb{R} \backslash \left\{ a\right\} \)とも交わります。したがって点\(a\)は\(\left\{ a\right\} \)の境界点です。その一方で、\(\left\{ a\right\} \)は\(a\)以外の要素を持たないため、\(N_{\varepsilon }\left( a\right) \)は\(a\)とは異なる\(\left\{ a\right\} \)の点を要素として持ち得ません。したがって\(a\)は\(\left\{ a\right\} \)の集積点ではありません。

ただし、\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)の境界点が\(A\)の要素ではない場合には、\(A\)の集積点になることが保証されます。

命題(集合の境界点が集積点であるための条件)
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の任意の部分集合\(A\)に対して、\begin{equation*}A^{f}\cap A^{c}\subset A^{d}
\end{equation*}が成り立つ。ただし、\(A^{d}\)は\(A\)の導集合であり、\(A^{f}\)は\(A\)の境界点である。
証明

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

これまでの議論を整理しましょう。\(\mathbb{R} ^{n}\)の任意の部分集合\(A\)が与えられたとき、\(A\)の集積点は内点または境界点になることが保証されるため、集積点を探す際には内点と境界点だけを候補とすることができます。また、\(A\)のすべての内点は集積点であることが保証されます。一方、\(A\)の境界点は集積点であるとは限りません。\(A\)の要素ではない\(A\)の境界点は\(A\)の集積点になることが保証されますが、\(A\)の要素であるような\(A\)の境界点は\(A\)の集積点になるとは限りません。つまり、\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)のすべての集積点を特定する上で以下の指針が役に立ちます。

  1. \(A\)の内点はいずれも\(A\)の集積点である。
  2. \(A\)の要素ではない\(A\)の境界点はいずれも\(A\)の集積点である。
  3. \(A\)の要素である\(A\)の境界点は\(A\)の集積点である場合とそうでない場合がある(ここだけチェックが必要)。
  4. それ以外には\(A\)の集積点は存在しない。
例(点の近傍の集積点)
ユークリッド空間の点\(a\in \mathbb{R} ^{n}\)を中心とし、半径を\(\varepsilon >0\)とする近傍は、\begin{equation*}N_{\varepsilon }\left( a\right) =\left\{ x\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ d\left( x,a\right) <\varepsilon \right\}
\end{equation*}と定義されます。この集合の導集合は、\begin{equation*}
\left( N_{\varepsilon }\left( a\right) \right) ^{d}=C_{\varepsilon }\left(
a\right)
\end{equation*}となります(演習問題)。ただし、\(C_{\varepsilon}\left( a\right) \)は点\(a\)が中心で半径\(\varepsilon \)の閉近傍であり、\begin{equation*}C_{\varepsilon }\left( a\right) =\left\{ x\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ d\left( x,a\right) \leq \varepsilon \right\}
\end{equation*}と定義されます。

例(点の閉近傍の集積点)
ユークリッド空間の点\(a\in \mathbb{R} ^{n}\)を中心とし、半径を\(\varepsilon >0\)とする閉近傍\(C_{\varepsilon }\left( a\right) \)の導集合は、\begin{equation*}\left( C_{\varepsilon }\left( a\right) \right) ^{d}=C_{\varepsilon }\left(
a\right)
\end{equation*}となります(演習問題)。

例(有理数空間の直積の集積点)
有限\(n\)個の有理数空間の直積\(\mathbb{Q} ^{n}\)の導集合は、\begin{equation*}\left( \mathbb{Q} ^{n}\right) ^{d}=\mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}となります(演習問題)。

例(無理数空間の直積の集積点)
有限\(n\)個の無理数空間の直積\(\left( \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} \right) ^{n}\)の導集合は、\begin{equation*}\left( \left( \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} \right) ^{n}\right) ^{d}=\mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}となります(演習問題)。

例(ユークリッド空間の集積点)
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の導集合は、\begin{equation*}\left( \mathbb{R} ^{n}\right) ^{d}=\mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}となります(演習問題)。

例(集積点)
\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)が、\begin{eqnarray*}A &=&\left\{ \pm \frac{1}{n}\ |\ n\in \mathbb{N} \right\} \\
&=&\left\{ -1,-\frac{1}{2},-\frac{1}{3},\cdots ,\frac{1}{3},\frac{1}{2},1\right\}
\end{eqnarray*}で与えられているとき、導集合は、\begin{equation*}
A^{d}=\left\{ 0\right\}
\end{equation*}となります(演習問題)。これは\(A\)集積点が\(A\)の点ではない例です。
例(集積点)
\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)が、\begin{eqnarray*}A &=&\left\{ \pm \frac{1}{n}\ |\ n\in \mathbb{N} \right\} \cup \left\{ 0\right\} \\
&=&\left\{ -1,-\frac{1}{2},-\frac{1}{3},\cdots ,0,\cdots ,\frac{1}{3},\frac{1}{2},1\right\}
\end{eqnarray*}で与えられているとき、導集合は、\begin{equation*}
A^{d}=\left\{ 0\right\}
\end{equation*}となります(演習問題)。これは\(A\)集積点が\(A\)の点である例です。

 

導集合を用いた閉集合の定義

閉包と導集合の関係を整理しておきましょう。\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)が与えられたとき、\(A\)のすべての集積点に\(A\)のすべての要素を加えれば\(A\)のすべての触点が得られます。

命題(導集合と閉包の関係)
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)が任意に与えられたとき、\begin{equation*}A^{a}=A\cup A^{d}
\end{equation*}という関係が成り立つ。

証明

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)について、\begin{equation*}A^{a}=A
\end{equation*}が成り立つことは\(A\)が\(\mathbb{R} ^{n}\)上の閉集合であるための必要十分条件ですが、先の命題を踏まえると、このとき、\begin{eqnarray*}A^{a}=A &\Leftrightarrow &A\cup A^{d}=A\quad \because A^{a}=A\cup A^{d} \\
&\Leftrightarrow &A\cup A^{d}\subset A\quad \because A\subset A\cup A^{d}\text{は恒真} \\
&\Leftrightarrow &A^{d}\subset A
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
A^{a}=A\Leftrightarrow A^{d}\subset A
\end{equation*}という関係が成り立ちます。つまり、\(A\)の導集合が\(A\)の部分集合であることと\(A\)が閉集合であることは必要十分です。

命題(導集合による閉集合の定義)
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)について、\begin{equation*}A^{d}\subset A
\end{equation*}が成り立つことは、\(A\)が\(\mathbb{R} ^{n}\)上の閉集合であるための必要十分条件である。

以上の命題は、閉集合という概念が導集合という概念から定義可能であることを示唆します。つまり、\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)について、\begin{equation*}A^{d}\subset A
\end{equation*}が成り立つこととして、つまり、\(A\)の任意の集積点が\(A\)の点であることとして\(A\)が閉集合であることの意味を定義できるということです。

 

演習問題

問題(点の開近傍の導集合)
ユークリッド空間の点\(a\in \mathbb{R} ^{n}\)を中心とし、半径を\(\varepsilon >0\)とする近傍\(N_{\varepsilon}\left( a\right) \)の導集合は、\begin{equation*}\left( N_{\varepsilon }\left( a\right) \right) ^{d}=C_{\varepsilon }\left(
a\right)
\end{equation*}であることを証明してください。

解答を見る

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

問題(点の閉近傍の導集合)
ユークリッド空間の点\(a\in \mathbb{R} ^{n}\)を中心とし、半径を\(\varepsilon >0\)とする閉近傍\(C_{\varepsilon }\left( a\right) \)の導集合は、\begin{equation*}\left( C_{\varepsilon }\left( a\right) \right) ^{d}=C_{\varepsilon }\left(
a\right)
\end{equation*}であることを証明してください。

解答を見る

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

問題(有理数空間の直積の導集合)
有限\(n\)個の有理数空間の直積\(\mathbb{Q} ^{n}\)の導集合は、\begin{equation*}\left( \mathbb{Q} ^{n}\right) ^{d}=\mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}であることを証明してください。

証明

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

問題(無理数空間の直積の導集合)
有限\(n\)個の無理数空間の直積\(\left( \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} \right) ^{n}\)の導集合は、\begin{equation*}\left( \left( \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} \right) ^{n}\right) ^{d}=\mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}であることを証明してください。

証明

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

問題(ユークリッド空間の導集合)
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の導集合は、\begin{equation*}\left( \mathbb{R} ^{n}\right) ^{d}=\mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}であることを証明してください。

証明

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

問題(導集合)
\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)が、\begin{eqnarray*}A &=&\left\{ \pm \frac{1}{n}\ |\ n\in \mathbb{N} \right\} \\
&=&\left\{ -1,-\frac{1}{2},-\frac{1}{3},\cdots ,\frac{1}{3},\frac{1}{2},1\right\}
\end{eqnarray*}として与えられているものとします。導集合\(A^{d}\)を求めてください。
解答を見る

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

問題(導集合)
\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)が、\begin{eqnarray*}A &=&\left\{ \pm \frac{1}{n}\ |\ n\in \mathbb{N} \right\} \cup \left\{ 0\right\} \\
&=&\left\{ -1,-\frac{1}{2},-\frac{1}{3},\cdots ,0,\cdots ,\frac{1}{3},\frac{1}{2},1\right\}
\end{eqnarray*}として与えられているものとします。導集合\(A^{d}\)を求めてください。
解答を見る

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

問題(包含関係と導集合)
\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A,B\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}A\subset B\Rightarrow A^{d}\subset B^{d}
\end{equation*}が成り立つことを証明してください。

解答を見る

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

問題(和集合と導集合)
\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A,B\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\left( A\cup B\right) ^{d}=A^{d}\cup B^{d}
\end{equation*}が成り立つことを証明してください。

解答を見る

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

問題(共通部分と導集合)
\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A,B\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\left( A\cap B\right) ^{d}\subset A^{d}\cap B^{d}
\end{equation*}が成り立つことを証明してください。

解答を見る

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

問題(共通部分と導集合)
\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A,B\)について、\begin{equation*}A^{d}\cap B^{d}\subset \left( A\cap B\right) ^{d}
\end{equation*}は成り立つとは限らないことを証明してください。

解答を見る

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

次回はユークリッド空間の部分集合の集積点を点列を用いて判定する方法について解説します。

Share on twitter
Twitterで共有
Share on email
メールで共有
DISCUSSION

質問とコメント

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

RELATED KNOWLEDGE

関連知識

導集合
実数集合の集積点(極限点)・導集合

実数空間の部分集合 A が与えられたとき、点 a を中心とする任意の近傍が a とは異なる A の点を要素として持つ場合、この点 a を A の集積点と呼びます。

集積点
数列を用いた集積点の判定

実数空間 R の部分集合 A および点 a が与えられたとき、A の点を項とするとともに、すべての項が a とは異なり、なおかつ a に収束する数列が存在することは、a が A の集積点であるための必要十分条件です。

閉集合
導集合を用いた閉集合の判定

実数空間の部分集合 A が与えられたとき、その任意の集積点が A の要素であることは、その集合 A が閉集合であるための必要十分条件です。

実数の連続性
集積点の存在条件と実数の連続性

集積点の存在条件(有界な無限集合は集積点を持つという命題)はボルツァーノ=ワイエルシュトラスの定理と必要十分です。したがって、集積点の存在条件とアルキメデスの性質によって、実数の連続性の定義とすることができます。

スカラー場の極限
スカラー場(多変数関数)の極限

スカラー場の変数がある点に限りなく近づくにつれてスカラー場が定める値が有限な実数に限りなく近づく場合、そのスカラー場は収束すると言います。

導集合
点列を用いた集積点(極限点)の判定

ユークリッド空間の部分集合 A および点 a が与えられたとき、A の点を項とするとともに、すべての項が a とは異なり、なおかつ a に収束する点列が存在することは、a が A の集積点(極限点)であるための必要十分条件です。

孤立点
関数の極限

実数の点集合上に定義された実数値関数を議論の対象とした上で、そのような関数が収束することの直感的な意味を解説し、さらにイプシロン・デルタ論法を用いて厳密に定義します。