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EUCLIDEAN TOPOLOGY

コンパクト集合

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被覆

ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)と\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合族\(\left\{ A_{\lambda}\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)の間に、\begin{equation*}A\subset \bigcup\limits_{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda }
\end{equation*}という関係が成り立つ場合、つまり、\(\left\{A_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)の要素である集合によって\(A\)を覆うことができる場合には\(\left\{ A_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)を\(A\)の被覆(covering)と呼びます。またこのとき\(\left\{ A_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)は\(A\)を被覆する(cover)とも言います。

\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)の被覆が\(\mathbb{R} ^{n}\)の有限部分集合族である場合、すなわち、有限個の\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合を要素として持つ集合族\(\left\{A_{i}\right\} _{i=1}^{n}\)が存在して、\begin{equation*}A\subset \bigcup_{i=1}^{n}A_{i}
\end{equation*}という関係が成り立つ場合には、\(\left\{ A_{i}\right\}_{i=1}^{n}\)を\(A\)の有限被覆(finite covering)と呼びます。またこのとき、\(\left\{A_{i}\right\} _{i=1}^{n}\)は\(A\)を有限被覆する(finite cover)と言います。

例(有限被覆)
\(\mathbb{R} \)の部分集合\begin{equation*}\left[ 0,1\right] \end{equation*}について考えます。このとき、\(\mathbb{R} \)の部分集合\begin{eqnarray*}A_{1} &=&\left( 0,\frac{1}{2}\right) \\
A_{2} &=&\left( \frac{1}{4},\frac{3}{4}\right) \\
A_{3} &=&\left( \frac{1}{2},1\right)
\end{eqnarray*}を要素として持つ集合族\(\left\{ A_{1},A_{2},A_{3}\right\} \)の和集合は、\begin{equation*}A_{1}\cup A_{2}\cup A_{3}=\left( 0,1\right)
\end{equation*}であるため\(\left\{ A_{1},A_{2},A_{3}\right\} \)は\(\left[ 0,1\right] \)の被覆ではありません。一方、\(\mathbb{R} \)の部分集合\begin{eqnarray*}B_{1} &=&\left[ 0,\frac{1}{2}\right] \\
B_{2} &=&\left[ \frac{1}{4},\frac{3}{4}\right] \\
B_{3} &=&\left[ \frac{1}{2},1\right] \end{eqnarray*}を要素として持つ集合族\(\left\{ B_{1},B_{2},B_{3}\right\} \)の和集合は、\begin{equation*}B_{1}\cup B_{2}\cup B_{3}=\left[ 0,1\right] \end{equation*}であるため\(\left\{ B_{1},B_{2},B_{3}\right\} \)は\(\left[ 0,1\right] \)の有限被覆です。
例(有限被覆)
\(\mathbb{R} ^{2}\)の部分集合\begin{equation*}A=\left[ 0,1\right] \times \left[ 0,1\right] \end{equation*}について考えます。これは下図において正方形の領域として描かれています(境界を含む)。
図:被覆ではない
図:被覆ではない

点\(\left( x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)を中心とする半径\(\varepsilon >0\)の閉近傍を、\begin{equation*}C_{\varepsilon }\left( x_{1},x_{2}\right) =\left\{ \left( y_{1},y_{2}\right)
\in \mathbb{R} ^{2}\ |\ d\left( \left( x_{1},x_{2}\right) ,\left( y_{1},y_{2}\right)
\right) \leq \varepsilon \right\}
\end{equation*}と表記します。これは点\(\left( x_{1},x_{2}\right) \)を中心とし\(\varepsilon \)を半径とする円盤です(境界の円を含む)。以上を踏まえたとき、以下のような\(\mathbb{R} ^{2}\)の部分集合族\begin{equation*}\mathfrak{A}=\left\{ C_{\frac{1}{2}}\left( 0,0\right) ,C_{\frac{1}{2}}\left(
0,1\right) ,C_{\frac{1}{2}}\left( 1,0\right) ,C_{\frac{1}{2}}\left(
1,1\right) \right\}
\end{equation*}の和集合\(\cup \mathfrak{A}\)は上図のグレーの領域であるため(境界を含む)、この集合族\(\mathfrak{A}\)は\(A\)の被覆ではありません。

図:有限被覆
図:有限被覆

一方、以下のような\(\mathbb{R} ^{2}\)の部分集合族\begin{equation*}\mathfrak{B}=\left\{ C_{\frac{1}{2}}\left( 0,0\right) ,C_{\frac{1}{2}}\left(
0,1\right) ,C_{\frac{1}{2}}\left( 1,0\right) ,C_{\frac{1}{2}}\left(
1,1\right) ,C_{\frac{1}{2}}\left( \frac{1}{2},\frac{1}{2}\right) \right\}
\end{equation*}の和集合\(\cup \mathfrak{B}\)は上図のグレーの領域であるため(境界を含む)、この集合族\(\mathfrak{B}\)は\(A\)の有限被覆です。

\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)の被覆が\(\mathbb{R} ^{n}\)の可算部分集合族である場合、すなわち、可算個の\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合を要素として持つ集合族\(\left\{A_{i}\right\} _{i\in \mathbb{N} }\)が存在して、\begin{equation*}A\subset \bigcup_{i\in \mathbb{N} }A_{i}
\end{equation*}という関係が成り立つ場合には、\(\left\{ A_{i}\right\}_{i\in \mathbb{N} }\)を\(A\)の可算被覆(countable covering)と呼びます。またこのとき、\(\left\{A_{i}\right\} _{i\in \mathbb{N} }\)は\(A\)を可算被覆する(countable cover)と言います。

例(可算被覆)
\(\mathbb{R} \)の部分集合\begin{equation*}(0,1] \end{equation*}について考えます。それぞれの\(i\in \mathbb{N} \)に対して、\begin{equation*}A_{i}=\left( \frac{1}{i+1},\frac{2}{i+1}\right)
\end{equation*}と定義した上で\(\mathbb{R} \)の可算部分集合族\(\left\{A_{i}\right\} _{i\in \mathbb{N} }\)をとると、その和集合は、\begin{equation*}\bigcup_{i\in \mathbb{N} }A_{i}=\left( 0,1\right)
\end{equation*}となるため\(\left\{ A_{i}\right\} _{i\in \mathbb{N} }\)は\((0,1]\)の被覆ではありません。なぜなら\((0,1]\)の要素である点\(1\)を覆えてないからです。一方、それぞれの\(i\in \mathbb{N} \)に対して、\begin{equation*}B_{i}=\left( \frac{1}{i+1},\frac{2}{i+1}\right] \end{equation*}と定義した上で\(\mathbb{R} \)の可算部分集合族\(\left\{B_{i}\right\} _{i\in \mathbb{N} }\)をとると、その和集合は、\begin{equation*}\bigcup_{i\in \mathbb{N} }B_{i}=(0,1] \end{equation*}となるため\(\left\{ B_{i}\right\} _{i\in \mathbb{N} }\)は\((0,1]\)の可算被覆です。
例(可算被覆)
\(\mathbb{R} ^{2}\)は自身の部分集合であるため、その被覆を考えることができます。繰り返しになりますが、点\(\left( x_{1},x_{2}\right)\in \mathbb{R} ^{2}\)を中心とする半径\(\varepsilon >0\)の閉近傍を、\begin{equation*}C_{\varepsilon }\left( x_{1},x_{2}\right) =\left\{ \left( y_{1},y_{2}\right)
\in \mathbb{R} ^{2}\ |\ d\left( \left( x_{1},x_{2}\right) ,\left( y_{1},y_{2}\right)
\right) \leq \varepsilon \right\}
\end{equation*}と表記します。以下のような\(\mathbb{R} ^{2}\)の部分集合族\begin{equation*}\mathfrak{A}=\left\{ C_{\frac{1}{2}}\left( x_{1},x_{2}\right) \ |\ x_{1}\in \mathbb{Z} \wedge x_{2}\in \mathbb{Z} \right\}
\end{equation*}の和集合について、\begin{equation*}
\left( \frac{1}{2},\frac{1}{2}\right) \not\in \cup \mathfrak{A}
\end{equation*}が成り立つ一方で、\begin{equation*}
\left( \frac{1}{2},\frac{1}{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}
\end{equation*}が成り立つため\(\mathfrak{A}\)は\(\mathbb{R} ^{2}\)の被覆ではありません。一方、以下のような\(\mathbb{R} ^{2}\)の部分集合族\begin{equation*}\mathfrak{B}=\left\{ C_{1}\left( x_{1},x_{2}\right) \ |\ x_{1}\in \mathbb{Z} \wedge x_{2}\in \mathbb{Z} \right\}
\end{equation*}の和集合は、\begin{equation*}
\cup \mathfrak{B}=\mathbb{R} ^{2}
\end{equation*}であるため、\(\mathfrak{B}\)は\(\mathbb{R} ^{2}\)の可算被覆です。

\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)の被覆の要素がいずれも\(\mathbb{R} ^{n}\)上の開集合である場合、すなわち、\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合族\(\left\{ A_{\lambda}\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)が\(A\)の被覆であるとともに、任意の\(\lambda \in \Lambda \)に対して\(A_{\lambda }\)が\(\mathbb{R} ^{n}\)上の開集合である場合には\(\left\{ A_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)を\(A\)の開被覆(open covering)と呼びます。

例(開被覆)
\(\mathbb{R} \)の部分集合\begin{equation*}\left( 0,1\right)
\end{equation*}について考えます。それぞれの\(i\in \mathbb{N} \)に対して、\begin{equation*}A_{i}=\left( \frac{1}{i+1},1\right)
\end{equation*}と定義します。有界な開区間は\(\mathbb{R} \)上の開集合であるため\(A_{i}\)は開集合です。\(\mathbb{R} \)の可算部分集合族\(\left\{A_{i}\right\} _{i\in \mathbb{N} }\)をとると、その和集合は、\begin{equation*}\bigcup_{i\in \mathbb{N} }A_{i}=\left( 0,1\right)
\end{equation*}となるため\(\left\{ A_{i}\right\} _{i\in \mathbb{N} }\)は\(\left( 0,1\right) \)の可算開被覆です。
例(開被覆)
点\(\left( x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)を中心とする半径\(\varepsilon >0\)の開近傍を、\begin{equation*}N_{\varepsilon }\left( x_{1},x_{2}\right) =\left\{ \left( y_{1},y_{2}\right)
\in \mathbb{R} ^{2}\ |\ d\left( \left( x_{1},x_{2}\right) ,\left( y_{1},y_{2}\right)
\right) <\varepsilon \right\}
\end{equation*}と表記します。これは点\(\left( x_{1},x_{2}\right) \)を中心とし\(\varepsilon \)を半径とする円盤です(境界の円を含まない)。点の開近傍は開集合であるため\(N_{\varepsilon }\left( x_{1},x_{2}\right) \)は\(\mathbb{R} ^{2}\)上の開集合です。以下のような\(\mathbb{R} ^{2}\)の可算部分集合族\begin{equation*}\mathfrak{A}=\left\{ N_{1}\left( x_{1},x_{2}\right) \ |\ x_{1}\in \mathbb{Z} \wedge x_{2}\in \mathbb{Z} \right\}
\end{equation*}の和集合は、\begin{equation*}
\cup \mathfrak{A}=\mathbb{R} ^{2}
\end{equation*}であるため\(\mathfrak{A}\)は\(\mathbb{R} ^{2}\)の可算開被覆です。

 

部分被覆

\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)の被覆\(\left\{ A_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)が与えられたとき、やはり\(A\)の被覆であるような\(\left\{ A_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)の部分集合族が存在する場合には、つまり、ある\(M\subset \Lambda \)が存在して、\begin{equation*}A\subset \bigcup_{\lambda \in M}A_{\lambda }
\end{equation*}が成り立つ場合、このような部分集合族\(\left\{ A_{\lambda }\right\} _{\lambda \in M}\)を\(\left\{ A_{\lambda}\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)の部分被覆(subcovering)と呼びます。

例(部分被覆)
\(\mathbb{R} \)の部分集合\begin{equation*}\left[ 0,1\right] \end{equation*}について考えます。このとき、\(\mathbb{R} \)の部分集合\begin{eqnarray*}A_{1} &=&\left[ 0,\frac{1}{2}\right] \\
A_{2} &=&\left[ \frac{1}{4},\frac{3}{4}\right] \\
A_{3} &=&\left[ \frac{1}{2},1\right] \end{eqnarray*}を要素として持つ集合族\(\left\{ A_{1},A_{2},A_{3}\right\} \)の和集合は、\begin{equation*}A_{1}\cup A_{2}\cup A_{3}=\left[ 0,1\right] \end{equation*}であるため\(\left\{ A_{1},A_{2},A_{3}\right\} \)は\(\left[ 0,1\right] \)の被覆です。ただ、\(\left\{ A_{1},A_{2},A_{3}\right\} \)の部分集合族\(\left\{ A_{1},A_{3}\right\} \)の和集合もまた、\begin{equation*}A_{1}\cup A_{3}=\left[ 0,1\right] \end{equation*}であるため\(\left\{ A_{1},A_{3}\right\} \)は\(\left[ 0,1\right] \)の被覆です。したがって\(\left\{ A_{1},A_{3}\right\} \)は\(\left\{ A_{1},A_{2},A_{3}\right\} \)の部分被覆です。
例(部分被覆)
点\(\left( x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)を中心とする半径\(\varepsilon >0\)の閉近傍を、\begin{equation*}C_{\varepsilon }\left( x_{1},x_{2}\right) =\left\{ \left( y_{1},y_{2}\right)
\in \mathbb{R} ^{2}\ |\ d\left( \left( x_{1},x_{2}\right) ,\left( y_{1},y_{2}\right)
\right) \leq \varepsilon \right\}
\end{equation*}と表記します。以下のような\(\mathbb{R} ^{2}\)の可算部分集合族\begin{equation*}\mathfrak{A}=\left\{ C_{1}\left( x_{1},x_{2}\right) \ |\ x_{1}\in \mathbb{R} \wedge x_{2}\in \mathbb{R} \right\}
\end{equation*}の和集合は、\begin{equation*}
\cup \mathfrak{A}=\mathbb{R} ^{2}
\end{equation*}であるため\(\mathfrak{A}\)は\(\mathbb{R} ^{2}\)の被覆です。ただ、以下のような\(\mathfrak{A}\)の部分集合族\begin{equation*}\mathfrak{B}=\left\{ C_{1}\left( x_{1},x_{2}\right) \ |\ x_{1}\in \mathbb{Z} \wedge x_{2}\in \mathbb{Z} \right\}
\end{equation*}の和集合も、\begin{equation*}
\cup \mathfrak{B}=\mathbb{R} ^{2}
\end{equation*}であるため\(\mathfrak{B}\)は\(\mathbb{R} ^{2}\)の被覆です。したがって\(\mathfrak{B}\)は\(\mathfrak{A}\)の部分被覆です。

\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)の被覆\(\left\{ A_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)に対してその部分被覆が存在し、なおかつそれが有限集合族である場合には、それを\(\left\{A_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)の有限部分被覆(finite subcover)と呼びます。また、被覆に対してその有限部分被覆が存在するとき、その被覆は有限被覆に落とせる(reducible to a finite cove)と言います。\(A\)の被覆を有限被覆に落とせることとは、被覆の要素である集合によって\(A\)を覆ったつもりでも、実は、それらのうちの有限個の集合によって\(A\)を覆えていることを意味します。

例(有限部分被覆)
\(\mathbb{R} \)の部分集合\begin{equation*}\left( 0,1\right)
\end{equation*}について考えます。それぞれの\(i\in \mathbb{N} \)に対して、\begin{equation*}A_{i}=\left( -\frac{i}{2},\frac{i}{2}\right)
\end{equation*}と定義します。\(\mathbb{R} \)の可算部分集合族\(\left\{A_{i}\right\} _{i\in \mathbb{N} }\)をとると、その和集合は、\begin{equation*}\left( 0,1\right) \subset \bigcup_{i\in \mathbb{N} }A_{i}
\end{equation*}を満たすため\(\left\{ A_{i}\right\}_{i\in \mathbb{N} }\)は\(\left( 0,1\right) \)の被覆です。ただ、\(\left\{ A_{i}\right\} _{i\in \mathbb{N} }\)の有限部分集合族\(\left\{A_{1},A_{2}\right\} \)の和集合もまた、\begin{equation*}\left( 0,1\right) \subset A_{1}\cup A_{2}
\end{equation*}を満たすため\(\left\{ A_{1},A_{2}\right\} \)は\(\left( 0,1\right) \)の被覆です。したがって\(\left\{ A_{1},A_{2}\right\} \)は\(\left\{ A_{i}\right\} \)の有限部分被覆です。
例(有限部分被覆)
\(\mathbb{R} ^{2}\)の部分集合\begin{equation*}A=\left[ 0,1\right] \times \left[ 0,1\right] \end{equation*}について考えます。点\(\left( x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)を中心とする半径\(\varepsilon >0\)の閉近傍を、\begin{equation*}C_{\varepsilon }\left( x_{1},x_{2}\right) =\left\{ \left( y_{1},y_{2}\right)
\in \mathbb{R} ^{2}\ |\ d\left( \left( x_{1},x_{2}\right) ,\left( y_{1},y_{2}\right)
\right) \leq \varepsilon \right\}
\end{equation*}と表記します。以下のような\(\mathbb{R} ^{2}\)の部分集合族\begin{equation*}\mathfrak{A}=\left\{ C_{1}\left( x_{1},x_{2}\right) \ |\ x_{1}\in \left[ 0,1\right] \wedge x_{2}\in \left[ 0,1\right] \right\}
\end{equation*}をとると、その和集合は、\begin{equation*}
A\subset \cup \mathfrak{A}
\end{equation*}を満たすため\(\mathfrak{A}\)は\(A\)の被覆です。ただ、\(\mathfrak{A}\)の有限部分集合族\begin{equation*}\mathfrak{B}=\left\{ C_{1}\left( 0,0\right) ,C_{1}\left( 1,1\right) \right\}
\end{equation*}についても、その和集合は、\begin{equation*}
A\subset \cup \mathfrak{B}
\end{equation*}を満たすため\(\mathfrak{B}\)は\(A\)の被覆です。したがって\(\mathfrak{B}\)は\(\mathfrak{A}\)の有限部分被覆です。

 

コンパクト集合

\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)の開被覆\(\left\{ A_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)を任意に選んだとき、それに対して有限部分被覆が必ず存在するのであれば、\(A\)を\(\mathbb{R} ^{n}\)上のコンパクト集合(compact set)と呼びます。より正確には、\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)がコンパクト集合であることとは、\begin{equation*}A\subset \bigcup_{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda }
\end{equation*}を満たす\(\mathbb{R} ^{n}\)上の開集合からなる集合族\(\left\{ A_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)を任意に選んだとき(\(\left\{ A_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)は\(A\)の開被覆)、それに対して有限\(N\)個の添字\(\lambda _{1},\cdots ,\lambda _{N}\in \Lambda \)が存在して、\begin{equation*}A\subset \bigcup_{i=1}^{N}A_{\lambda _{i}}
\end{equation*}とすることができる(\(\left\{ A_{\lambda _{i}}\right\} _{i=1}^{N}\)は\(\left\{A_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)の有限部分被覆)ことを意味します。つまり、\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)がコンパクト集合であるとは、\(\mathbb{R} ^{n}\)上の開集合の族によって\(A\)を覆ったつもりでも、実はそれらの中の有限個の開集合によって\(A\)が覆えていることを意味します。ただし、\(A\)がコンパクト集合であるためには\(A\)の「任意の」開被覆に対してこのような操作が可能でなければならないことに留意する必要があります。実際、\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)を任意に選んだとき、これに対して\(A\subset \mathbb{R} ^{n}\)が成り立ちますが、\(\mathbb{R} ^{n}\)自身は\(\mathbb{R} ^{n}\)における開集合であるため\(\{\mathbb{R} ^{n}\}\)は\(A\)の開被覆です。さらに\(\{\mathbb{R} ^{n}\}\)は\(\{\mathbb{R} ^{n}\}\)自身の有限部分被覆であることから、\(\{\mathbb{R} ^{n}\}\)は常に先述の条件を満たす開被覆となります。\(A\)がコンパクト集合であることを示すためには、\(A\)の開被覆の中に有限部分被覆を持つものが「存在する」ことを示しただけでは不十分であり、\(A\)の「任意の」開被覆が有限部分被覆を持つことを示す必要があります。

例(コンパクト集合)
\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)が有限集合であるならば、\(A\)は\(\mathbb{R} ^{n}\)上のコンパクト集合です(演習問題にします)。

逆に、\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)がコンパクト集合でないことを示すためには、\(A\)の開被覆の中に有限部分被覆を持たないものが存在することを示せばよいということになります。以下の例から明らかであるように、\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合はコンパクト集合であるとは限りません。

例(コンパクトではない集合)
\(\mathbb{R} \)の部分集合\begin{equation*}\left( 0,1\right)
\end{equation*}について考えます。それぞれの\(i\in \mathbb{N} \)に対して、\begin{equation*}A_{i}=\left( \frac{1}{i+2},\frac{1}{i}\right)
\end{equation*}と定義します。有界な開区間は\(\mathbb{R} \)上の開集合であるため\(A_{i}\)は開集合です。\(\mathbb{R} \)の可算部分集合族\(\left\{A_{i}\right\} _{i\in \mathbb{N} }\)をとると、その和集合は、\begin{equation*}\bigcup\limits_{i\in \mathbb{N} }A_{i}=\left( 0,1\right)
\end{equation*}となるため\(\left\{ A_{i}\right\} _{i\in \mathbb{N} }\)は\(\left( 0,1\right) \)の開被覆です。しかし、\(\left( 0,1\right) \)は有限個の開区間\(\left( \frac{1}{i+2},\frac{1}{i}\right) \)によって覆うことはできないため(演習問題にします)、\(\left\{ A_{i}\right\} _{i\in \mathbb{N} }\)は有限被覆を持ちません。したがって、\(\left( 0,1\right) \)は\(\mathbb{R} \)上のコンパクト集合ではないことが明らかになりました。
例(コンパクトではない集合)
\(\mathbb{R} ^{n}\)はコンパクト集合ではありません。点\(0\in \mathbb{R} ^{n}\)を中心とする半径\(\varepsilon >0\)の開近傍を、\begin{equation*}N_{\varepsilon }\left( 0\right) =\left\{ y\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ d\left( 0,y\right) <\varepsilon \right\}
\end{equation*}と表記します。点の開近傍は開集合であるため\(N_{\varepsilon }\left( 0\right) \)は\(\mathbb{R} ^{n}\)上の開集合です。\(\mathbb{R} ^{n}\)の可算部分集合族\(\left\{ N_{i}\left( 0\right) \right\} _{i\in \mathbb{N} }\)をとると、その和集合は、\begin{equation*}\bigcup\limits_{i\in \mathbb{N} }N_{i}\left( 0\right) =\mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}となるため\(\left\{ N_{i}\left( 0\right)\right\} _{i\in \mathbb{N} }\)は\(\mathbb{R} ^{n}\)の開被覆です。しかし、\(\mathbb{R} ^{n}\)は有限個の点\(0\)の近傍\(N_{i}\left( 0\right) \)によって覆うことはできないため(演習問題にします)、\(\left\{ N_{i}\left( 0\right) \right\} _{i\in \mathbb{N} }\)は有限被覆を持ちません。したがって、\(\mathbb{R} ^{n}\)は\(\mathbb{R} ^{n}\)上のコンパクト集合ではないことが明らかになりました。

 

演習問題

問題(有限集合はコンパクト)
\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)が有限集合であるならば、\(A\)は\(\mathbb{R} ^{n}\)上のコンパクト集合であることを示してください。
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問題(有界開区間はコンパクトではない)
\(\mathbb{R} \)上の有界開区間\(\left( 0,1\right) \)がコンパクト集合ではないことを示してください。
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問題(ユークリッド空間はコンパクトではない)
\(\mathbb{R} ^{n}\)は\(\mathbb{R} ^{n}\)上のコンパクト集合ではないことを示してください。
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次回はコンパクト集合どうしの集合演算について解説します。

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