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MATHEMATICS

数学

TABLE OF CONTENTS

数学

LOGIC

論理

論理学の教材です。

命題論理

命題論理の基本単位は「真または偽のどちらか一方であるような主張」であり、これを命題変数と呼ばれる概念として定式化します。また、より複雑な主張を生成する操作を命題変数どうしを組み合わせる操作として定式化し、そのような操作のルールを定めます。その上で、与えられたルールからどのような推論規則が導かれるかを明らかにしようとします。

述語論理

命題論理の基本単位が命題変数であったのに対し、述語論理では命題関数と呼ばれる概念が基本単位となります。それにより扱うことのできる言明の範囲が広がるとともに、量化と呼ばれる操作が可能になります。

SET

集合

集合論の基礎に関する教材です。

集合

集合論は数学の土台です。あらゆる数学的概念は集合を用いて記述できます。ここでは集合を定義した上で、集合演算とその性質について学び、さらには集合族や直積集合、関係などについて学びます。

写像

初等数学で学んだ「関数」とは、入力した実数に対して何らかの実数を返す概念として理解できます。関数を一般化した概念が写像です。写像とはある集合のそれぞれの要素に対して別の集合の要素を1つずつ定めるような規則のことです。本節では写像について学びます。

関係

複数の物事が互いに関わり合っている状態を「関係」と呼びますが、これは数学的には2つの集合の直積の部分集合として定義されます。関係や二項関係、同値関係、順序関係など代表的な関係について解説します。

集合の濃度

有限個の要素を持つ集合については、その要素の個数は有限な自然数として表現されます。一方、無限個の要素を持つ集合については、すべての要素を数え尽くすことができないため、要素の個数を自然数として表現できません。集合の濃度とは要素の個数を一般化した概念であり、これを用いることにより無限どうしを比較できるようになります。

REAL NUMBER

実数

実数に関する教材です。

実数の定義

実数を無限小数として定義する場合、実数に関する議論はすべて無限小数に関する議論として行うことになり面倒です。そこで代替的な方法として公理主義的なアプローチのもとで実数を定義します。ここでは実数を特徴づける公理について解説します。

数列

実数を順番に並べたものを数列や実数列と呼びます。数列の項が先に進むにつれてある実数に限りなく近づく場合には、その数列は収束すると言い、その実数を数列の極限と呼びます。

数直線の位相

実数空間すなわち数直線の位相に関するテキストと演習問題です。実数空間上の開集合や閉集合など、位相を規定する概念について解説します。

1変数関数

関数に関するテキストと演習問題です。実数の点集合上に定義され実数を値としてとる関数について、収束の概念や連続性の概念を中心に解説します。

級数

数列とは無限個の実数を順番に並べたものですが、その無限個の実数を足すことで得られる和を無限級数と呼びます。ただ、実際に無限個の実数を足すことはできないため、無限級数の値として部分和の極限を採用します。

関数列

定義域を共有する無限個の数列を順番に並べたものを関数列と呼びます。関数列およびその収束可能性について解説します。

EUCLIDEAN SPACE

ユークリッド空間

ユークリッド空間に関する教材です。

ユークリッド空間の定義

n 次元空間上にベクトル加法やスカラー乗法などの演算や大小関係を定義すると、実順序ベクトル空間になります。実順序ベクトル空間上にユークリッド距離と呼ばれる概念を定義したものがユークリッド空間です。

ユークリッド空間上の点列

ユークリッド空間上の無限個の点を順番に並べたものを点列と呼びます。点列は実数列を一般化した概念です。ここでは点列が収束することの意味を定義した上で、収束点列の性質について解説します。

ユークリッド位相

ユークリッド距離をもとにユークリッド空間上の開集合と呼ばれる概念を定義した上で、その性質や、関連する概念などについて解説します。

ベクトル値関数(曲線)

実数空間もしくはその部分集合を定義とし、ユークリッド空間を終集合とする写像を曲線やベクトル値関数などと呼びます。ここでは曲線の収束や連続性などについて解説します。

多変数関数(スカラー場)

多変数関数(スカラー場)という概念を定義するとともに、多変数関数が有限な実数へ収束すること、および連続であることの意味を定義した上で、連続な多変数関数の性質について解説します。

多変数のベクトル値関数(ベクトル場)

本節では多変数のベクトル値関数(ベクトル場)が収束することの意味や、連続であることの意味を解説します。本節で得られる知識は後に多変数のベクトル値関数の微分について学ぶ際の前提知識となります。

METRIC SPACE

距離空間

距離空間に関する教材です。

距離空間の定義

私たちが一般に想像する「距離」とはユークリッド距離ですが、公理主義にもとづいて距離という概念を定義する場合、ユークリッド距離は数ある距離概念の中の1つに過ぎません。公理主義の立場から距離空間と呼ばれる概念を定義します。

距離空間上の点列

距離空間に属する無限個の点を順番に並べたものを点列と呼びます。点列を定義するとともに、その極限など、基本的な概念について解説します。

距離空間の位相

距離空間上の点の近傍を出発点に、開集合や閉集合などの諸概念を定義し、それらの概念が満たす性質について解説します。

CALCULUS

微分積分

微分積分に関する教材です。

1変数関数の微分

1変数関数の微分の概念を定義した上で、微分の基本性質や初等関数の微分、平均値の定理、高階の微分、テイラーの定理などについて学びます。これらの知識は後に1変数関数を目的関数とする最適化について学ぶ上での基盤になります。

ベクトル値関数の微分

曲線(1変数のベクトル値関数)について、その微分を定義した上で、微分に関して成り立つ様々な性質を解説します。

多変数関数の微分

多変数関数(スカラー場)について、偏微分、方向微分、全微分などの様々な微分概念を定義するとともに、これらの微分概念の性質について解説します。

1変数関数の積分

1変数関数のリーマン積分について学びます。具体的には、積分の概念を定義した上で、積分の基本性質や初等関数の積分、微分と積分の関係、関連する諸定理について学びます。

関数の最適化

与えられた制約条件のもとで関数の値を最大化または最小化する変数の値を求めることを最適化と呼びます。ここでは微分可能な関数を対象とする様々な最適化問題の解法を解説します。

LINEAR ALGEBRA

線型代数

線型代数に関する教材です。

ベクトル

「大きさ」と「方向」という2種類の情報によって表現される量をベクトルと呼びます。ベクトルを定式化するとともに、その性質について解説します。

行列

実数を長方形に配列したものを行列と呼びます。ここでは行列とそれについて定義される代数的演算について学びます。

行列式

連立1次方程式の解を求める問題は行列式の理論と深い関係があります。ここでは行列式の定義および性質を確認した上で、連立1次方程式との関係を議論します。

ベクトル空間

体と非空の集合上に定義されたベクトル加法とスカラー乗法と呼ばれる演算がベクトル空間の公理を満たす場合、そのような集合をベクトル空間と呼びます。ここではベクトル空間を定義した上で、その基本的な性質を確認します。

CONVEX ANALYSIS

凸解析

凸解析に関する教材です。

凸集合

凸集合と呼ばれる概念を定義した上で、凸集合どうしの集合演算に関して成立する性質や凸集合の位相的性質について解説します。

凸関数・凹関数

凸関数(凹関数)と呼ばれる関数を定義するとともに、与えられた関数が凸関数(凹関数)であることを判定する方法や、凸関数(凹関数)の基本的な性質について解説します。

準凸関数・準凹関数

準凸関数(準凹関数)と呼ばれる関数を定義するとともに、与えられた関数が準凸関数(準凹関数)であることを判定する方法や、準凸関数(準凹関数)の基本的な性質について解説します。

凸最適化・凹最適化

凸最適化(凸計画法)および凹最適化(凹計画法)と呼ばれる最適化問題を定義するとともに、様々な凸最適化ないし凹最適化問題の解法を解説します。

CORRESPONDENCE

対応

対応に関する教材です。

対応

集合のそれぞれの要素に対して別の集合の部分集合を1つずつ定める規則を対応と呼びます。ここでは対応、対応による像、逆像(上逆像・下逆像)、逆対応、対応の連続性(上連続性・下連続性)、ベルジュの最大値定理、および不動点定理などについて解説します。

MEASURE

測度

測度に関する教材です。

ルベーグ測度

長さや面積、体積などはいずれも同一種類の小さい量を加え合わせることでより大きな量をつくることができるという意味において外延的な量です。一般に、外延量は測度と呼ばれる概念として一般化されます。ここでは実数空間(数直線)の部分集合を測定対象とするルベーグ測度について解説します。

PROBABILITY AND STATISTICS

確率と統計

確率と統計の教材です。

確率

公理主義的な確率論について解説します。具体的には、確率空間や確率関数などの概念を定義した上で、確率空間の公理をもとに、確率空間が満たす基本的な性質を証明します。

離散型の確率分布

確率に関して定量的な分析を行うために確率変数を用いて標本点を数値化します。特に、試行において起こり得る結果が有限個ないし可算個である場合には離散型の確率変数を利用します。

連続型の確率分布

確率に関して定量的な分析を行うために確率変数を用いて標本点を数値化します。特に、試行において起こり得る結果が非可算個である場合には連続型の確率変数を利用します。

RELATED KNOWLEDGE

関連知識

REQUIRED KNOWLEDGE

前提知識

本節を学ぶ上で必要となる前提知識はありません。

ADVANCED KNOWLEDGE

発展知識

本節で得た知識は以下の分野を学ぶ上での基礎になります。

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