数学 | ワイズ

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MATHEMATICS

数学

数学のコース一覧です

論理

LOGIC

論理は数学的思考の土台です。数学的な主張を正確に表現し、厳密に理解し、その真偽を正しく判定するためには論理のルールを身につける必要があります。

前提知識

なし 0%

命題論理

命題論理の基本単位は「真または偽のどちらか一方であるような主張」であり、これを命題変数と呼びます。その上で、より複雑な主張を生成する操作を命題変数どうしを組み合わせる操作として定式化します。

述語論理

命題論理の基本単位が命題変数であったのに対し、述語論理では命題関数と呼ばれる概念が基本単位となります。それにより扱うことのできる言明の範囲が広がるとともに、量化と呼ばれる操作が可能になります。

論理

SET

集合論は現代数学の土台です。様々な数学的概念が集合を用いて記述されます。

前提知識

論理 100%

集合

集合論は数学の土台です。あらゆる数学的概念は集合を用いて記述できます。ここでは集合を定義した上で、集合演算とその性質について学び、さらには集合族や直積集合、関係などについて学びます。

写像

写像とは集合のそれぞれの要素に対して別の集合の要素を1つずつ定める規則のことです。関数を一般化した概念が写像です。

関係

複数の物事が互いに関わり合っている状態を「関係」と呼びますが、これは数学的には2つの集合の直積の部分集合として定義されます。関係や二項関係、同値関係、順序関係など代表的な関係について解説します。

集合の濃度

集合の濃度とは要素の個数を一般化した概念であり、これを用いることにより無限どうしを比較できるようになります。

順序集合

順序集合や整列集合、ツォルンの補題などについて解説します。

実数

REAL NUMBER

実数の公理系から出発して、実数空間上に定義された演算、順序、そして実数の連続性などについて議論します。

前提知識

論理 100%

集合 80%

実数の定義

実数を無限小数として定義する場合、実数に関する議論はすべて無限小数に関する議論として行うことになり面倒です。そこで代替的な方法として公理主義的なアプローチのもとで実数を定義します。ここでは実数を特徴づける公理について解説します。

数列

実数を順番に並べたものを数列や実数列と呼びます。数列の項が先に進むにつれてある実数に限りなく近づく場合には、その数列は収束すると言い、その実数を数列の極限と呼びます。

数直線の位相

実数空間すなわち数直線の位相に関するテキストと演習問題です。実数空間上の開集合や閉集合など、位相を規定する概念について解説します。

1変数関数

関数に関するテキストと演習問題です。実数の点集合上に定義され実数を値としてとる関数について、収束の概念や連続性の概念を中心に解説します。

級数

数列とは無限個の実数を順番に並べたものですが、その無限個の実数を足すことで得られる和を無限級数と呼びます。ただ、実際に無限個の実数を足すことはできないため、無限級数の値として部分和の極限を採用します。

関数列

定義域を共有する無限個の数列を順番に並べたものを関数列と呼びます。関数列およびその収束可能性について解説します。

拡大実数系

すべての実数に正の無限大と負の無限大を加えることにより得られる集合を拡大実数系と呼びます。拡大実数系の位相や拡大実数列、拡大実数値関数などについて解説します。

ユークリッド空間

EUCLIDEAN SPACE

ユークリッド空間を定義した上で、そこでの点列や位相の性質および各種の写像（ベクトル値関数・多変数関数・多変数のベクトル値関数）の極限や連続性などについて解説します。

前提知識

論理 100%

集合 80%

実数 80%

ユークリッド空間の定義

n 次元空間上にベクトル加法やスカラー乗法などの演算や大小関係を定義すると、実順序ベクトル空間になります。実順序ベクトル空間上にユークリッド距離と呼ばれる概念を定義したものがユークリッド空間です。

ユークリッド空間上の点列

ユークリッド空間上の無限個の点を順番に並べたものを点列と呼びます。点列は実数列を一般化した概念です。ここでは点列が収束することの意味を定義した上で、収束点列の性質について解説します。

ユークリッド位相

ユークリッド距離をもとにユークリッド空間上の開集合と呼ばれる概念を定義した上で、その性質や、関連する概念などについて解説します。

ベクトル値関数（曲線）

実数空間もしくはその部分集合を定義とし、ユークリッド空間を終集合とする写像を曲線やベクトル値関数などと呼びます。ここでは曲線の収束や連続性などについて解説します。

多変数関数（スカラー場）

多変数関数（スカラー場）という概念を定義するとともに、多変数関数が有限な実数へ収束すること、および連続であることの意味を定義した上で、連続な多変数関数の性質について解説します。

多変数のベクトル値関数（ベクトル場）

本節では多変数のベクトル値関数（ベクトル場）が収束することの意味や、連続であることの意味を解説します。本節で得られる知識は後に多変数のベクトル値関数の微分について学ぶ際の前提知識となります。

距離空間

METRIC SPACE

私たちが一般に想像する「距離」とはユークリッド距離ですが、公理主義にもとづいて距離という概念を定義する場合、ユークリッド距離は数ある距離概念の中の1つに過ぎません。公理主義の立場から距離空間と呼ばれる概念を定義します。

前提知識

論理 100%

集合 80%

実数 50%

ユークリッド空間 50%

距離空間の定義

距離空間上の点列

距離空間に属する無限個の点を順番に並べたものを点列と呼びます。点列を定義するとともに、その極限など、基本的な概念について解説します。

距離空間の位相

距離空間上の点の近傍を出発点に、開集合や閉集合などの諸概念を定義し、それらの概念が満たす性質について解説します。

微分積分

CALCULUS

微分は「変化」に関する学問です。微分を学べば物事や現象の「変化」を定量的に記述できるようになるだけでなく、変化がもたらす影響を評価したり、変化が起きる場での最適な状態を特定できるようになります。

前提知識

論理 100%

集合 80%

実数 80%

ユークリッド空間 80%

1変数関数の微分

1変数関数の微分の概念を定義した上で、微分の基本性質や初等関数の微分、平均値の定理、高階の微分、テイラーの定理などについて学びます。これらの知識は後に1変数関数を目的関数とする最適化について学ぶ上での基盤になります。

ベクトル値関数の微分

曲線（1変数のベクトル値関数）について、その微分を定義した上で、微分に関して成り立つ様々な性質を解説します。

多変数関数の微分

多変数関数（スカラー場）について、偏微分、方向微分、全微分などの様々な微分概念を定義するとともに、これらの微分概念の性質について解説します。

多変数ベクトル値関数の微分

多変数のベクトル値関数（ベクトル場）の偏微分や方向微分、全微分などの概念について解説します。

1変数関数の積分

1変数関数のリーマン積分について学びます。具体的には、積分の概念を定義した上で、積分の基本性質や初等関数の積分、微分と積分の関係、関連する諸定理について学びます。

ベクトル値関数の積分

1変数のベクトル値関数（曲線）について、そのリーマン積分を定義した上で、積分に関して成り立つ様々な性質を解説します。

多変数関数の積分

多変数関数について、そのリーマン積分を定義した上で、積分に関して成り立つ様々な性質を解説します。

関数の最適化

与えられた制約条件のもとで関数の値を最大化または最小化する変数の値を求めることを最適化と呼びます。ここでは微分可能な関数を対象とする様々な最適化問題の解法を解説します。

微分積分の応用例

微分積分の現実社会における具体的な応用例について解説します。

線形代数

LINEAR ALGEBRA

ベクトルや行列などの概念を学んだ上で、連立1次方程式の解法を一般的な形で整理します。さらに、より抽象的なベクトルと呼ばれる概念について学びます。

前提知識

論理 100%

集合 80%

ベクトル

「大きさ」と「方向」という2種類の情報によって表現される量をベクトルと呼びます。ベクトルを定式化するとともに、その性質について解説します。

行列

実数を長方形に配列したものを行列と呼びます。ここでは行列とそれについて定義される代数的演算について学びます。

行列式

連立1次方程式の解を求める問題は行列式の理論と深い関係があります。ここでは行列式の定義および性質を確認した上で、連立1次方程式との関係を議論します。

線形写像（線型変換）

線形写像と呼ばれるタイプの写像について解説します。

連立1次方程式

ベクトルや行列に関する知識を活用して連立1次方程式を分析するとともに、解を具体的に求める方法を解説します。

ベクトル空間

体と非空の集合上に定義されたベクトル加法とスカラー乗法と呼ばれる演算がベクトル空間の公理を満たす場合、そのような集合をベクトル空間と呼びます。ここではベクトル空間を定義した上で、その基本的な性質を確認します。

凸解析

CONVEX ANALYSIS

凸最適化（凸計画法）および凹最適化（凹計画法）と呼ばれる最適化問題を定義するとともに、様々な凸最適化ないし凹最適化問題の解法を解説します。

前提知識

論理 100%

集合 80%

実数 60%

ユークリッド空間 60%

微分積分 80%

凸集合

凸集合と呼ばれる概念を定義した上で、凸集合どうしの集合演算に関して成立する性質や凸集合の位相的性質について解説します。

凸関数・凹関数

凸関数（凹関数）と呼ばれる関数を定義するとともに、与えられた関数が凸関数（凹関数）であることを判定する方法や、凸関数（凹関数）の基本的な性質について解説します。

準凸関数・準凹関数

準凸関数（準凹関数）と呼ばれる関数を定義するとともに、与えられた関数が準凸関数（準凹関数）であることを判定する方法や、準凸関数（準凹関数）の基本的な性質について解説します。

対応

CORRESPONDENCE

集合のそれぞれの要素に対して別の集合の部分集合を1つずつ定める規則を対応と呼びます。

前提知識

論理 100%

集合 80%

対応

集合のそれぞれの要素に対して別の集合の部分集合を1つずつ定める規則を対応と呼びます。ここでは対応、対応による像、逆像（上逆像・下逆像）、逆対応、対応の連続性（上連続性・下連続性）、ベルジュの最大値定理、および不動点定理などについて解説します。

測度

MEASURE

長さや面積、体積などはいずれも同一種類の小さい量を加え合わせることでより大きな量をつくることができるという意味において外延的な量です。一般に、外延量は測度と呼ばれる概念として一般化されます。

前提知識

論理 100%

確率と統計

PROBABILITY AND STATISTICS

起こり得るすべての結果は分かっていても、その中のどの結果が実際に起こるかを前もって完全に予測てきない状況をランダムネスと呼びます。確率論とはランダムネスを分析対象とする学問です。

前提知識

論理 100%

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