教材一覧
MATHEMATICS

数学

OVERVIEW

なぜ数学が重要なのか?

自然科学や社会科学などの学問を真剣に修めようとするのであれば数学と真剣に向き合う必要があります。また、インターネットを通じて情報を低コストで入手できる昨今、知識を蓄えることよりも、主体的に学び、考える能力がますます重要になりつつあります。学問に限らず広範な分野において成功を修めるためには物事を批判的に観察し、論理的に考える力が必要であり、数学を学ぶことはそのような能力を育む訓練になります。

MATERIALS

テキストの一覧

SECTION 1

論理

論理は数学的思考の土台です。数学的な主張を正確に表現し、正確に理解し、その真偽を正しく判定するためには論理のルールを身につける必要があります。

命題論理

命題論理の基本単位は「真または偽のどちらか一方であるような主張」であり、これを命題変数と呼ばれる概念として定式化します。また、より複雑な主張を生成する操作を命題変数どうしを組み合わせる操作として定式化し、そのような操作のルールを定めます。その上で、与えられたルールからどのような推論規則が導かれるかを明らかにしようとします。

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述語論理

命題論理の基本単位が命題変数であったのに対し、述語論理では命題関数と呼ばれる概念が基本単位となります。それにより扱うことのできる言明の範囲が広がるとともに、量化と呼ばれる操作が可能になります。

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SECTION 2

集合

ヒトはあらゆるものを種類ごとに分類し、得られたグループどうしを比較したり、グループ間の関係性について分析しようとします。集合論は対象の集まりについて分析する学問です。同時に、集合論は数学の土台でもあります。あらゆる数学的概念は集合を用いて記述することができるからです。

集合

集合論は数学の土台です。あらゆる数学的概念は集合を用いて記述できます。ここでは集合を定義した上で、集合演算とその性質について学び、さらには集合族や直積集合、関係などについて学びます。

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写像

初等数学で学んだ「関数」とは、入力した実数に対して何らかの実数を返す概念として理解できます。関数を一般化した概念が写像です。写像とはある集合のそれぞれの要素に対して別の集合の要素を1つずつ定めるような規則のことです。本節では写像について学びます。

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関係

RELATION 関係 OVERVIEW 本節で学ぶ内容 複数の物事が互いに関わり合っている状態を「関係」と呼びますが、これは数学的にどのように定式化できるでしょうか。関係について解説します。 OUTLINE 1. 関係

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集合の濃度

同値関係 1. 集合の濃度 読む 集合の濃度 有限集合 無限集合 解く 命題の証明 演習問題 2. 可算集合 読む 可算集合 可算集合の部分集合 可算集合の和集合 可算集合の直積集合 解く 命題の証明 演習問題 3. 非

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SECTION 3

実数

公理主義の立場から実数を定義した上で、数列、数直線の位相、関数の極限および連続関数などについて学びます。

実数の定義

実数を無限小数として定義する場合、実数に関する議論はすべて無限小数に関する議論として行うことになり面倒です。そこで代替的な方法として公理主義的なアプローチのもとで実数を定義します。ここでは実数を特徴づける公理について解説します。

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数列

数列に関するテキストと演習問題です。数列という概念を定義した上で、さらに収束列、単調数列、区間列、部分列などについて学び、これらの概念を使って実数の連続性を表現できることを確認します。

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直線の位相

実数空間すなわち数直線の位相に関するテキストと演習問題です。実数空間上の開集合や閉集合など、位相を規定する概念について解説します。

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関数

関数に関するテキストと演習問題です。実数の点集合上に定義され実数を値としてとる関数について、収束の概念や連続性の概念を中心に解説します。

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SECTION 4

ユークリッド空間

実数空間をより高い次元に拡張したユークリッド空間と呼ばれる場を舞台に、点列やユークリッド空間の位相、曲線、スカラー場、ベクトル場などについて学びます。

ユークリッド空間の定義

n 次元空間上にベクトル加法やスカラー乗法などの演算や大小関係を定義すると、実順序ベクトル空間になります。実順序ベクトル空間上にユークリッド距離と呼ばれる概念を定義したものがユークリッド空間です。

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点列

ユークリッド空間における点列を定義した上で、点列が収束することの定義や、収束点列の性質について学びます。

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位相

ユークリッド空間における位相を定義した上で、その性質を精査します。

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曲線

実数空間もしくはその部分集合を定義とし、ユークリッド空間を終集合とする写像を曲線やベクトル値関数などと呼びます。ここでは曲線の収束や連続性などについて解説します。

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スカラー場

ユークリッド空間もしくはその部分集合を定義とし、値として実数をとる写像をスカラー場や多変数関数などと呼びます。ここではスカラー場の収束や連続性などについて解説します。

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SECTION 5

微分積分

既知の事柄を前提とした上で、未知の事柄に関して結論を導き出すことを推論と呼びます。

関数の微分

1変数関数の微分について学びます。具体的には、微分の概念を定義した上で、微分の基本性質や初等関数の微分、平均値の定理、高階の微分、テイラーの定理などについて学びます。これらの知識は後に1変数関数を目的関数とする最適化について学ぶ上での基盤になります。

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スカラー場の微分

スカラー場(多変数関数)について、その微分(偏微分・方向微分・全微分)を定義した上で、微分に関して成り立つ様々な性質を解説します。

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SECTION 6

線型代数

準備中です。

SECTION 7

対応

集合のそれぞれの要素に対して別の集合の部分集合を1つずつ定める規則を対応と呼びます。

対応

集合のそれぞれの要素に対して別の集合の部分集合を1つずつ定める規則を対応と呼びます。ここでは対応、対応による像、逆像(上逆像・下逆像)、逆対応、対応の連続性(上連続性・下連続性)、ベルジュの最大値定理、および不動点定理などについて解説します。

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SECTION 8

測度

測度について学びます。

ルベーグ測度

長さや面積、体積などはいずれも同一種類の小さい量を加え合わせることでより大きな量をつくることができるという意味において外延的な量です。一般に、外延量は測度と呼ばれる概念として一般化されます。ここでは実数空間(数直線)の部分集合を測定対象とするルベーグ測度について解説します。

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SECTION 9

確率

測度について学びます。

確率

公理主義的な確率論について解説します。具体的には、確率空間や確率関数などの概念を定義した上で、確率空間の公理をもとに、確率空間が満たす基本的な性質を証明します。

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