確率

試行に関する標本空間に含まれる標本点はいずれも同じ程度の確かさで起こるという仮定のもと、問題としている事象に含まれる標本点の個数と、標本空間に含まれる標本点の個数の比として事象の確率を定める立場を経験的確率やラプラスの確率と呼びます。

何かを1つ選択する場合の選び方の数を求める際には、すべての選択肢を互いに交わらない複数のグループに分類した上で、それぞれのグループに含まれる選択肢の数を数え、それらの和をとります。これを和の法則と呼びます。

複数の選択肢のグループから1つずつ選択する場合の選び方の数を求めるためには、それぞれのグループに含まれる選択肢の数を数え、それらの積をとります。これを積の法則と呼びます。

有限n個の要素を持つ集合から1つずつ順番に、合計k個の要素を重複しない形で選んだ上で、このk個の要素を選んだ順番に並べることで得られる要素の列を順列と呼びます。

有限n個の要素を持つ集合からk個の要素を選べば、このk個の要素からなるもとの集合の部分集合が得られますが、これを組合せと呼びます。

同一条件のもとで何回でも繰り返すことができ、なおかつ、各回においてどの標本点が起こるかが互いに干渉しないような試行を実際に繰り返したときに、事象と整合的な標本点が出た回数と試行回数の比が一定の値に収束するならば、その極限を事象の確率と定める立場を経験的確率と呼びます。

ビュッフォンの針の先験的確率と経験的確率を求めるとともに、モンテ・カルロ法と呼ばれる概念について解説します。

確率の概念を解釈する先験的確率や経験的確率などの他にも存在しますが、いずれも一長一短であり、結局のところ、確率とは何かという議論の最終的な結論は見えそうにありません。そこでコルモゴロフは、確率の概念を具体的に解釈するのではなく、最初にいくつかの公理を設定して、それらを満たす対象を確率とみなす公理主義的立場を採用しました。