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PROBABILITY

確率

OVERVIEW

確率

公理主義的な確率論について解説します。具体的には、確率空間の概念を定義した上で、確率空間の公理をもとに、確率空間が満たす基本的な性質を証明します。

TABLE OF CONTENTS

目次

SECTION 1

確率

準備中

標本空間と事象

起こり得るすべての結果は分かっていても、その中のどの結果が実際に起こるかはランダムネスによって支配されている実験や観察を試行と呼びます。試行によって起こり得る個々の結果を標本点と呼び、すべての標本点からなる集合を標本集合と呼びます。試行によって起こり得る現象は標本空間の部分集合として定式化され、それを事象と呼びます。

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部分事象

ある事象 A が別の事象 B の部分集合であるとき、A は B の部分事象であるといいます。A が B の部分事象であることは、試行のもとで A が起こる場合には B も必ず起こることを意味します。

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等しい事象

事象 A に属する標本点が事象 B に属する標本点が完全に一致するとき、A と B は等しいと言います。これは、A が B の部分事象であるとともに、B が A の部分事象であることを意味します。

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全事象

標本空間はそれ自身の部分集合であることから、これもまた事象です。標本空間を事象とみなしたとき、それを全事象と呼びます。全事象は試行によって必ず起こる現象に相当する事象です。

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空事象

空集合は任意の集合の部分集合であることから、標本空間の部分集合でもあり、したがって事象です。空集合を事象とみなしたとき、それを空事象と呼びます。空事象は試行によって決して起こらない現象に相当する事象です。

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SECTION 2

事象演算

事象は標本空間の部分集合として定義されるため、事象を対象とする集合演算を行うことができます。

余事象

事象 A の補集合として定義される事象を A の余事象と呼びます。これは「事象 A が起こらない」という現象に相当する事象です。

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積事象

事象 A と事象 B の共通部分として定義される事象を A と B の積事象と呼びます。これは「A と B の双方が起こる」という現象に相当する事象です。また、A と B の積事象が空事象であるとき、A と B はお互いに排反事象であると言います。

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和事象

事象 A と事象 B の和集合として定義される事象を A と B の和事象と呼びます。これは「A と B の少なくとも一方が起こる」という現象に相当する事象です。

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差事象

事象 A と事象 B の差集合として定義される事象を A と B の差事象と呼びます。これは「A は起きるが B は起きない」という現象に相当する事象です。

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対称差事象

事象 A と事象 B の対称差として定義される事象を A と B の対称差事象と呼びます。これは「A と B の少なくとも一方が起こるが両者が同時には起こらない」という現象に相当する事象です。

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SECTION 3

確率の解釈

確率をどのように定義すべきか、基本的な考え方をいくつか紹介します。

先験的確率

試行に関する標本空間に含まれる標本点はいずれも同じ程度の確かさで起こるという仮定のもと、問題としている事象に含まれる標本点の個数と、標本空間に含まれる標本点の個数の比として事象の確率を定める立場を経験的確率やラプラスの確率と呼びます。

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経験的確率

同一条件のもとで何回でも繰り返すことができ、なおかつ、各回においてどの標本点が起こるかが互いに干渉しないような試行を実際に繰り返したときに、事象と整合的な標本点が出た回数と試行回数の比が一定の値に収束するならば、その極限を事象の確率と定める立場を経験的確率と呼びます。

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公理主義的確率

確率の概念を解釈する先験的確率や経験的確率などの他にも存在しますが、いずれも一長一短であり、結局のところ、確率とは何かという議論の最終的な結論は見えそうにありません。そこでコルモゴロフは、確率の概念を具体的に解釈するのではなく、最初にいくつかの公理を設定して、それらを満たす対象を確率とみなす公理主義的立場を採用しました。

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SECTION 4

確率空間

公理主義的確率論の立場から確率の概念を定式化します。

有限型確率空間

標本空間が有限集合であるとき、その任意の部分集合を事象として考察対象に含めることができます。その上で、標本空間のベキ集合上に集合関数を定義した上で、それが確率論の公理と呼ばれる性質を満たすものと定めます。こうして得られる概念を有限確率空間と呼びます。

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可算型確率空間

標本空間が可算集合であるとき、その任意の部分集合を事象として考察対象に含めることができます。その上で、標本空間のベキ集合上に集合関数を定義した上で、それが確率論の公理と呼ばれる性質を満たすものと定めます。こうして得られる概念を可算確率空間と呼びます。

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確率空間

標本空間が非可算集合であるとき、その任意の部分集合を事象として考察対象に含めると問題が生じます。そこで、σ-代数と呼ばれる集合系を事象空間として採用し、その上に確率論の公理を満たす集合関数を定義します。

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和事象の確率

和事象は可測です。排反事象の和事象の確率を知る上で確率関数の加法性が役に立ち、排反であるとは限らない事象の和事象に関しては劣加法性や加法定理が役に立ちます。

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余事象の確率

確率論の公理より、任意の事象の余事象は可測です。さらに、事象 A の余事象の確率は、全事象の確率に相当する 1 から事象 A の確率を引くことで得られます。これを確率論の公理から示します。

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積事象の確率

積事象は可測です。2つの事象の確率とそれらの和事象の確率が分かっている場合、積事象の確率は加法定理から導くことができます。和事象の確率が不明である場合、ボンフェローニの不等式を利用すれば積事象の確率の範囲を絞ることができます。

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差事象の確率

差事象は可測です。事象 A,B の差事象の確率は、事象 A の確率から積事象の確率を引くことにより得られます。

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対称差事象の確率

対称差事象は可測です。対称差事象の確率は、それぞれの事象の確率の和から、積事象の確率の2倍を引くことにより得られます。

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事象の単調列と連続性

可算個の事象からなる事象列が単調増加列もしくは単調減少列である場合には、その和事象や積事象の確率に関して、連続性と呼ばれる性質が成り立ちます。

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SECTION 5

条件付き確率

準備中です。

条件付き確率

試行によって事象 A が起きているか否かは観察できないものの、何らかの事情により、別の事象 B が起きているか否かは観察可能である場合(もしくは、事象 B が起きているものと仮定する場合)には、事象 A が起こる確率を条件付き確率という概念のもとで評価することができます。

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