零事象
確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)が与えられているものとします。つまり、事象空間\(\mathcal{F}\subset 2^{\Omega }\)は可測空間の公理\begin{eqnarray*}&&\left( M_{1}\right) \ \mathcal{F}\not=\phi \\
&&\left( M_{2}\right) \ \forall A\in \mathcal{F}:A^{c}\in \mathcal{F} \\
&&\left( M_{3}\right) \ \forall \left\{ A_{n}\right\} _{n\in \mathbb{N} }\subset \mathcal{F}:\bigcup_{n\in \mathbb{N} }A_{n}\in \mathcal{F}
\end{eqnarray*}を満たすとともに、確率測度\(P:\mathcal{F}\rightarrow \mathbb{R} \)は確率論の公理\begin{eqnarray*}&&\left( P_{1}\right) \ \forall A\in \mathcal{F}:P\left( A\right) \geq 0 \\
&&\left( P_{2}\right) \ P\left( \Omega \right) =1 \\
&&\left( P_{3}\right) \ \forall \text{排反な}\left\{
A_{n}\right\} _{n\in \mathbb{N} }\subset \mathcal{F}:P\left( \bigcup_{n\in \mathbb{N} }A_{n}\right) =\sum_{n\in \mathbb{N} }P\left( A_{n}\right)
\end{eqnarray*}を満たすということです。
事象\(A\subset \Omega \)が可測である場合には、すなわち、\(A\in \mathcal{F}\)が成り立つ場合には、確率測度\(P:\mathcal{F}\rightarrow \mathbb{R} \)はこの事象\(A\)の確率\(P\left(A\right) \in \mathbb{R} \)を定めます。以上を踏まえた上で、\begin{equation*}P\left( A\right) =0
\end{equation*}が成り立つ場合、すなわち、可測事象\(A\)の確率がゼロである場合には、このような事象\(A\)を零事象（zero-probability event）と呼びます。
\end{equation*}が成り立つとともに、その確率は、\begin{equation*}
P\left( \phi \right) =0
\end{equation*}であるため、空事象\(\phi \)は零事象です。
空事象は零事象であることが明らかになりました。その一方で、零事象は空事象であるとは限りません。以下の例より明らかです。
\Omega =\left[ 0,1\right] \end{equation*}であり、事象空間が\(\left[ 0,1\right] \)上のボレル集合族\begin{equation*}\mathcal{F}=\mathfrak{B}\left( \left[ 0,1\right] \right)
\end{equation*}であり、集合関数\(P:\mathcal{F}\rightarrow \mathbb{R} \)としてボレル測度を採用すれば、これらの組\begin{equation*}\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right)
\end{equation*}は確率空間になります。標本点\(\omega \in \Omega \)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\left\{ \omega \right\} \in \mathcal{F}
\end{equation*}が成り立つとともに、\begin{equation*}
P\left( \left\{ \omega \right\} \right) =0
\end{equation*}が成り立つため、1点集合\(\left\{ \omega \right\} \)は零集合であることが明らかになりました。その一方で、\(\left\{ \omega \right\} \not=\phi \)です。
零事象の部分事象は零事象
零事象の部分事象は零事象であることが保証されます。つまり、事象\(A\in \mathcal{F}\)が、\begin{equation*}P\left( A\right) =0
\end{equation*}を満たす場合、\(B\subset A\)を満たす任意の事象\(B\in \mathcal{F}\)についても、\begin{equation*}P\left( B\right) =0
\end{equation*}が成り立つということです。
零事象どうしの和事象は零事象
可算事象族\(\left\{ A_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }\subset \mathcal{F}\)の要素である事象がいずれも零事象であるものとします。つまり、\begin{equation*}\forall n\in \mathbb{N} :P\left( A_{n}\right) =0
\end{equation*}が成り立つということです。事象空間\(\mathcal{F}\)は可算合併について閉じているため、\begin{equation*}\bigcup_{n\in \mathbb{N} }A_{n}\in \mathcal{F}
\end{equation*}が成り立ち、したがって確率測度\(P:\mathcal{F}\rightarrow \mathbb{R} \)はこの和集合に対してもその確率\(P\left(\bigcup_{n=1}^{\infty }A_{n}\right) \in \mathbb{R} \)を定めますが、\begin{equation*}P\left( \bigcup_{n=1}^{\infty }A_{n}\right) =0
\end{equation*}となることが保証されます。つまり、可算個の零事象どうしの和事象もまた零集合になるということです。
\Omega =\left[ 0,1\right] \end{equation*}であり、事象空間が\(\left[ 0,1\right] \)上のボレル集合族\begin{equation*}\mathcal{F}=\mathfrak{B}\left( \left[ 0,1\right] \right)
\end{equation*}であり、集合関数\(P:\mathcal{F}\rightarrow \mathbb{R} \)としてボレル測度を採用すれば、これらの組\begin{equation*}\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right)
\end{equation*}は確率空間になります。可算個の標本点からなる事象\begin{equation*}
\left\{ \omega _{1},\omega _{2},\cdots \right\} \subset \mathcal{F}
\end{equation*}が与えられているものとします。先に示したように、1点集合は零事象であるため、\begin{equation}
\forall n\in \mathbb{N} :P\left( \left\{ \omega _{n}\right\} \right) =0 \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立ちます。すると先の命題より、\begin{eqnarray*}
P\left( \left\{ \omega _{1},\omega _{2},\cdots \right\} \right) &=&P\left(
\bigcup_{n=1}^{+\infty }\left\{ \omega _{n}\right\} \right) \\
&=&0\quad \because \left( 1\right)
\end{eqnarray*}を得ます。以上より、\(\left\{ \omega _{1},\omega _{2},\cdots \right\} \)が零事象であることが明らかになりました。
有限事象族\(\left\{ A_{i}\right\}_{i=1}^{n}\subset \mathcal{F}\)の要素である事象がいずれも零事象であるものとします。つまり、\begin{equation*}\forall i\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} :P\left( A_{i}\right) =0
\end{equation*}が成り立つということです。可測空間\(\mathcal{F}\)は有限合併について閉じているため、\begin{equation*}\bigcup_{i=1}^{n}A_{i}\in \mathcal{F}
\end{equation*}が成り立ち、したがって確率測度\(P:\mathcal{F}\rightarrow \mathbb{R} \)はこの和集合の確率\(P\left( \bigcup_{i=1}^{n}A_{i}\right) \in \mathbb{R} \)を定めますが、\begin{equation*}P\left( \bigcup_{i=1}^{n}A_{i}\right) =0
\end{equation*}となることが保証されます。つまり、有限個の零事象どうしの和事象もまた零集合になるということです。
\Omega =\left[ 0,1\right] \end{equation*}であり、事象空間が\(\left[ 0,1\right] \)上のボレル集合族\begin{equation*}\mathcal{F}=\mathfrak{B}\left( \left[ 0,1\right] \right)
\end{equation*}であり、集合関数\(P:\mathcal{F}\rightarrow \mathbb{R} \)としてボレル測度を採用すれば、これらの組\begin{equation*}\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right)
\end{equation*}は確率空間になります。有限個の標本点からなる事象\begin{equation*}
\left\{ \omega _{1},\cdots ,\omega _{n}\right\} \subset \mathcal{F}
\end{equation*}が与えられているものとします。先に示したように、1点集合は零事象であるため、\begin{equation}
\forall i\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} :P\left( \left\{ \omega
_{i}\right\} \right) =0 \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立ちます。すると先の命題より、\begin{eqnarray*}
P\left( \left\{ \omega _{1},\cdots ,\omega _{n}\right\} \right) &=&P\left(
\bigcup_{i=1}^{n}\left\{ \omega _{i}\right\} \right) \\
&=&0\quad \because \left( 1\right)
\end{eqnarray*}を得ます。以上より、\(\left\{ \omega _{1},\cdots ,\omega _{n}\right\} \)が零事象であることが明らかになりました。
零事象との和事象
ある事象と零事象の和集合をとったとき、確率は変化しません。つまり、事象\(A\in \mathcal{F}\)と零事象\(B\in \mathcal{F}\)をそれぞれ任意に選んだとき、\begin{equation*}P\left( A\cup B\right) =P\left( A\right)
\end{equation*}が成り立つということです。
\end{equation*}が成り立つ。
零事象との差事象
ある事象と零事象の差事象をとったとき、確率は変化しません。つまり、事象\(A\in \mathcal{F}\)と零事象\(B\in \mathcal{F}\)をそれぞれ任意に選んだとき、\begin{equation*}P\left( A\backslash B\right) =P\left( A\right)
\end{equation*}が成り立つということです。
\end{equation*}が成り立つ。
ほとんど確実な事象
確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)が与えられたとき、可測事象\(A\in \mathcal{F}\)に対して、その余事象\(A^{c}\in \mathcal{F}\)が何らかの零事象の部分事象である場合には、すなわち、\begin{equation*}\exists B\in \mathcal{F}:\left[ P\left( B\right) =0\wedge A^{c}\subset B\right] \end{equation*}が成り立つ場合には、\(A\)をほどんど確実な事象（almost sure event）と呼びます。
事象\(A\)がほとんど確実である場合、その余事象\(A^{c}\)が起こる確率を何らかの形で評価するのであれば、それは無視できるほど小さくなります。言い換えると、\(A\)が起こらない確率は無視できるほど小さいため、事象\(A\)はほとんど確実に起こると言えるということです。
事象\(A\)がほとんど確実である場合には、\(A\)は可測であることが前提になっていることに注意してください。つまり、\begin{equation*}A\in \mathcal{F}
\end{equation*}であるということです。事象空間\(\mathcal{F}\)は補集合について閉じているため、この場合、\begin{equation*}A^{c}\in \mathcal{F}
\end{equation*}もまた成立し、したがって確率測度\(P:\mathcal{F}\rightarrow \mathbb{R} \)はこれらの事象\(A,A^{c}\)に対して確率\begin{eqnarray*}P\left( A\right) &\in &\mathbb{R} \\
P\left( A^{c}\right) &\in &\mathbb{R} \end{eqnarray*}を定めます。このとき、\begin{eqnarray*}
0 &\leq &P\left( A^{c}\right) \quad \because P\text{の非負性} \\
&\leq &P\left( B\right) \quad \because A^{c}\subset B\text{および}P\text{の単調性} \\
&=&0\quad \because P\left( B\right) =0
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
P\left( A^{c}\right) =0
\end{equation*}が成り立つため、ほとんど確実な事象\(A\)の余事象の確率は\(0\)になります。加えて、\begin{eqnarray*}P\left( A\right) &=&P\left( \Omega \backslash A^{c}\right) \\
&=&P\left( \Omega \right) -P\left( A^{c}\right) \\
&=&1-0 \\
&=&1
\end{eqnarray*}となるため、ほとんど確実な事象\(A\)の確率は\(1\)になります。
\Omega =\left[ 0,1\right] \end{equation*}であり、事象空間が\(\left[ 0,1\right] \)上のボレル集合族\begin{equation*}\mathcal{F}=\mathfrak{B}\left( \left[ 0,1\right] \right)
\end{equation*}であり、集合関数\(P:\mathcal{F}\rightarrow \mathbb{R} \)としてボレル測度を採用すれば、これらの組\begin{equation*}\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right)
\end{equation*}は確率空間になります。可算個の標本点\(\omega _{1},\omega _{2},\cdots \in \Omega \)を選んだ上で、以下の差事象\begin{equation*}A=\Omega \backslash \left\{ \omega _{1},\omega _{2},\cdots \right\}
\end{equation*}を定義すると、これはほとんど確実な事象になります（演習問題）。
ほとんど確実に成り立つ（確率1で成り立つ）命題
確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)が与えられたとき、事象\(A\subset \Omega \)に対して以下の命題\begin{equation*}\forall \omega \in A:Q\left( \omega \right)
\end{equation*}が成り立つものとします。ただし、\(Q\left( \omega\right) \)は変数\(\omega \in A\)に関する命題関数です。つまり、事象\(A\)の要素であるすべての標本点\(\omega \in A\)について命題\(Q\left( \omega\right) \)が成り立つ状況を想定するということです。ただし、この事象\(A\)は可測であるとは限りません。\(A\in \mathcal{F}\)であるとは限らないということです。いずれにせよ、以上の状況において、問題としている事象\(A\)の余事象\(A^{c}=\Omega \backslash A\)が何らかの零事象の部分事象である場合には、すなわち、\begin{equation*}\exists B\in \mathcal{F}:\left[ P\left( B\right) =0\wedge A^{c}\subset B\right]
\end{equation*}が成り立つ場合には、\(Q\left( \omega \right) \)であることはほとんど確実である（almost surely）とか、\(Q\left( \omega \right) \)は確率\(1\)で成立する（hold with probaiblity one）などと言います。
問題としている事象\(A\)は可測であるとは限らないため、その余事象\(A^{c}\)もまた可測であるとは限りません。ただ、命題\(Q\left( \omega \right) \)がほとんど確実に成立する場合には、余事象\(A^{c}\)を部分事象として持つ可測な零事象\(B\)が存在することが保証されるため、余事象\(A^{c}\)が起こる確率を何らかの形で評価するのであれば、それは無視できるほど小さくなります。言い換えると、\(A\)が起こらない確率は無視できるほど小さいため、\(Q\left( \omega \right) \)はほとんど確実に成り立つと言えるということです。
特に、問題としている事象\(A\subset \Omega \)が可測である場合には、すなわち、\begin{equation*}A\in \mathcal{F}
\end{equation*}が成り立つ場合には、事象空間\(\mathcal{F}\)は補集合について閉じていることから、\begin{equation*}A^{c}\in \mathcal{F}
\end{equation*}もまた成立し、したがって確率測度\(P:\mathcal{F}\rightarrow \mathbb{R} \)はこれらの事象\(A,A^{c}\)に対して確率\begin{eqnarray*}P\left( A\right) &\in &\mathbb{R} \\
P\left( A^{c}\right) &\in &\mathbb{R} \end{eqnarray*}を定めます。このとき、\begin{eqnarray*}
0 &\leq &P\left( A^{c}\right) \quad \because P\text{の非負性} \\
&\leq &P\left( B\right) \quad \because A^{c}\subset B\text{および}P\text{の単調性} \\
&=&0\quad \because P\left( B\right) =0
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
P\left( A^{c}\right) =0
\end{equation*}が成り立つため、命題\(Q\left( \omega \right) \)が成立することが明らかではない標本点\(\omega \)からなる事象\(A^{c}\)は零事象になります。加えて、\begin{eqnarray*}P\left( A\right) &=&P\left( \Omega \backslash A^{c}\right) \\
&=&P\left( \Omega \right) -P\left( A^{c}\right) \\
&=&1-0 \\
&=&1
\end{eqnarray*}となるため、命題\(Q\left(\omega \right) \)が成立するような標本点\(\omega \)からなる事象\(A\)の確率は\(1\)になります。
\Omega =\left[ 0,1\right] \end{equation*}であり、事象空間が\(\left[ 0,1\right] \)上のボレル集合族\begin{equation*}\mathcal{F}=\mathfrak{B}\left( \left[ 0,1\right] \right)
\end{equation*}であり、集合関数\(P:\mathcal{F}\rightarrow \mathbb{R} \)としてボレル測度を採用すれば、これらの組\begin{equation*}\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right)
\end{equation*}は確率空間になります。関数\(X:\left[ 0,1\right] \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\omega \in \Omega \)に対して、\begin{equation*}X\left( \omega \right) =\frac{1}{\omega \left( 1-\omega \right) }
\end{equation*}を定めるものとします。この関数\(X\)は\(\left[ 0,1\right]\)上においてほとんど確実に定義可能です（演習問題）。
演習問題
\Omega =\left[ 0,1\right] \end{equation*}であり、事象空間が\(\left[ 0,1\right] \)上のボレル集合族\begin{equation*}\mathcal{F}=\mathfrak{B}\left( \left[ 0,1\right] \right)
\end{equation*}であり、集合関数\(P:\mathcal{F}\rightarrow \mathbb{R} \)としてボレル測度を採用すれば、これらの組\begin{equation*}\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right)
\end{equation*}は確率空間になります。可算個の標本点\(\omega _{1},\omega _{2},\cdots \in \Omega \)を選んだ上で、以下の差事象\begin{equation*}A=\Omega \backslash \left\{ \omega _{1},\omega _{2},\cdots \right\}
\end{equation*}を定義すると、これはほとんど確実な事象になることを示してください。
\Omega =\left[ 0,1\right] \end{equation*}であり、事象空間が\(\left[ 0,1\right] \)上のボレル集合族\begin{equation*}\mathcal{F}=\mathfrak{B}\left( \left[ 0,1\right] \right)
\end{equation*}であり、集合関数\(P:\mathcal{F}\rightarrow \mathbb{R} \)としてボレル測度を採用すれば、これらの組\begin{equation*}\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right)
\end{equation*}は確率空間になります。関数\(X:\left[ 0,1\right] \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\omega \in \Omega \)に対して、\begin{equation*}X\left( \omega \right) =\frac{1}{\omega \left( 1-\omega \right) }
\end{equation*}を定めるものとします。この関数\(X\)は\(\left[ 0,1\right]\)上においてほとんど確実に定義可能であることを示してください。
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