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零事象(ほとんど確実な事象)

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事象の単調列と連続性

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条件付き確率

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零事象

確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)が与えられているものとします。つまり、事象空間\(\mathcal{F}\subset 2^{\Omega }\)は可測空間であるとともに、集合関数\(P:\mathcal{F}\rightarrow \mathbb{R} \)は確率関数であるということです。具体的には、事象空間\(\mathcal{F}\subset 2^{\Omega }\)は、\begin{eqnarray*}&&\left( M_{1}\right) \ \mathcal{F}\not=\phi \\
&&\left( M_{2}\right) \ \forall A\in \mathcal{F}:A^{c}\in \mathcal{F}
\end{eqnarray*}を満たすとともに、\(\mathcal{F}\)の任意の可算部分集合族\(\left\{ A_{n}\right\} _{n\in \mathbb{N} }\)について、\begin{equation*}\left( M_{3}\right) \ \bigcup_{n\in \mathbb{N} }A_{n}\in \mathcal{F}
\end{equation*}が成り立つとともに、集合関数\(P:\mathcal{F}\rightarrow \mathbb{R} \)は、\begin{eqnarray*}&&\left( P_{1}\right) \ \forall A\in \mathcal{F}:P\left( A\right) \geq 0 \\
&&\left( P_{2}\right) \ P\left( \Omega \right) =1
\end{eqnarray*}を満たすとともに、\(\mathcal{F}\)の任意の排反な可算部分集合族\(\left\{ A_{n}\right\}_{n\in \mathbb{N} }\)について、\begin{equation*}\left( P_{3}\right) \ P\left( \bigcup_{n\in \mathbb{N} }A_{n}\right) =\sum_{n\in \mathbb{N} }P\left( A_{n}\right)
\end{equation*}が成り立つということです。

事象\(A\subset \Omega \)が可測である場合には、すなわち、\(A\in \mathcal{F}\)が成り立つ場合には、確率関数\(P:\mathcal{F}\rightarrow \mathbb{R} \)はこの事象\(A\)に対してその確率\begin{equation*}P\left( A\right) \in \mathbb{R} \end{equation*}を定めます。以上を踏まえた上で、\begin{equation*}
P\left( A\right) =0
\end{equation*}が成り立つ場合には、すなわち、可測事象\(A\)の確率がゼロである場合には、このような事象\(A\)を零事象(zero-probability event)と呼びます。

例(空事象は零事象)
確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)を任意に選んだとき、空事象\(\phi \subset \Omega \)については、\begin{equation*}\phi \in \mathcal{F}
\end{equation*}が成り立つとともに、その確率は、\begin{equation*}
P\left( \phi \right) =0
\end{equation*}であるため、空事象\(\phi \)は零事象です。

上の例から明らかになったように、空事象は常に零事象です。その一方で、零事象は空事象であるとは限りません。以下の例より明らかです。

例(空事象ではない零事象)
標本空間が、\begin{equation*}
\Omega =\left[ 0,1\right] \end{equation*}であるものとします。\(\Omega \)上の開集合からなる開集合系を\(\mathcal{O}_{\Omega}\)で表記した上で、\(\mathcal{O}_{\Omega }\)から生成されるボレル集合族を\(\sigma \left( \mathcal{O}_{\Omega }\right) \)で表記します。その上で、事象空間を、\begin{equation*}\mathcal{F}=\sigma \left( \mathcal{O}_{\Omega }\right)
\end{equation*}と定めます。ルベーグ測度を\(\mu :\sigma \left( \mathcal{O}_{\Omega}\right) \rightarrow \mathbb{R} \)で表記します。その上で、集合関数\(P:\mathcal{F}\rightarrow \mathbb{R} \)を、\begin{equation*}P=\mu
\end{equation*}と定めます。以上のように定義される\(\left(\Omega ,\mathcal{F},P\right) \)は確率空間です。根元事象はボレル集合であるため、標本点\(\omega \in \Omega \)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\left\{ \omega \right\} \in \sigma \left( \mathcal{O}_{\Omega }\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\left\{ \omega \right\} \in \mathcal{F}
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、根元事象\(\left\{ \omega\right\} \)は可測ですが、その確率は、\begin{eqnarray*}P\left( \left\{ \omega \right\} \right) &=&\mu \left( \left\{ \omega
\right\} \right) \quad \because P\text{の定義} \\
&=&0\quad \because \text{ルベーグ測度の定義}
\end{eqnarray*}であるため、これは零事象です。根元事象\(\left\{ \omega \right\} \)は空事象\(\phi \)とは異なるため、空事象とは異なる零事象が存在することが明らかになりました。

 

零事象の部分事象は零事象

零事象の部分事象は零事象であることが保証されます。つまり、事象\(A\in \mathcal{F}\)が、\begin{equation*}P\left( A\right) =0
\end{equation*}を満たす場合、\(B\subset A\)を満たす任意の事象\(B\in \mathcal{F}\)についても、\begin{equation*}P\left( B\right) =0
\end{equation*}が成り立つということです。

命題(零事象の部分事象は零事象)
確率空間\((\Omega ,\mathcal{F},P)\)において、事象\(A\in \mathcal{F}\)が零事象であるならば、\(A\)の任意の部分事象\(B\in \mathcal{F}\)もまた零事象である。
証明

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例(空事象は零事象)
事象\(A\in \mathcal{F}\)が零事象であるものとします。空事象\(\phi \)は可測であるとともに、空事象は任意の事象の部分事象であるため\(\phi \subset A\)です。したがって上の命題より\(\phi \)は零事象です。
例(非ゼロ事象であることの判定)
事象\(A\in \mathcal{F}\)に対して、以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ B\subset A \\
&&\left( b\right) \ P\left( B\right) =0
\end{eqnarray*}をともに満たす事象\(B\in \mathcal{F}\)が存在する場合、事象\(A\)は零事象ではありません。なぜなら、以上の条件を満たす事象\(B\)が存在することは先の命題の主張と矛盾だからです。

 

零事象どうしの和事象は零事象

可算事象族\(\left\{ A_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }\subset \mathcal{F}\)の要素である事象がいずれも零事象であるものとします。つまり、\begin{equation*}\forall n\in \mathbb{N} :P\left( A_{n}\right) =0
\end{equation*}が成り立つということです。可測空間\(\mathcal{F}\)は可算合併について閉じているため、\begin{equation*}\bigcup_{n\in \mathbb{N} }A_{n}\in \mathcal{F}
\end{equation*}が成り立ち、したがって確率関数\(P:\mathcal{F}\rightarrow \mathbb{R} \)はこの和集合に対しても確率\begin{equation*}P\left( \bigcup_{n=1}^{\infty }A_{n}\right) \in \mathbb{R} \end{equation*}を定めますが、具体的には、\begin{equation*}
P\left( \bigcup_{n=1}^{\infty }A_{n}\right) =0
\end{equation*}となることが保証されます。つまり、可算個の零事象どうしの和事象もまた零集合になるということです。

命題(零事象どうしの和事象は零事象)
確率空間\((\Omega ,\mathcal{F},P)\)において、可算事象族\(\left\{A_{n}\right\} _{n=1}^{\infty }\subset \mathcal{F}\)の要素がいずれも零事象であるならば、和事象\(\bigcup_{n=1}^{\infty }A_{n}\)もまた零事象である。
証明

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例(可算集合は零事象)
先に、根元事象\(\left\{ \omega\right\} \)が零事象になるような確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)の例を提示しました。同様の確率空間において可算集合であるような事象\begin{equation*}\left\{ \omega _{1},\omega _{2},\cdots \right\}
\end{equation*}を任意に選びます。つまり、\(\left\{ \omega _{1},\omega _{2},\cdots\right\} \)は可算個の零事象の和事象であり、したがって先の命題より\(\left\{ \omega _{1},\omega _{2},\cdots \right\} \)は零事象です。

有限事象族\(\left\{ A_{i}\right\}_{i=1}^{n}\subset \mathcal{F}\)の要素である事象がいずれも零事象であるものとします。つまり、\begin{equation*}\forall i\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} :P\left( A_{i}\right) =0
\end{equation*}が成り立つということです。可測空間\(\mathcal{F}\)は有限合併について閉じているため、\begin{equation*}\bigcup_{i=1}^{n}A_{i}\in \mathcal{F}
\end{equation*}が成り立ち、したがって確率関数\(P:\mathcal{F}\rightarrow \mathbb{R} \)はこの和集合に対しても確率\begin{equation*}P\left( \bigcup_{i=1}^{n}A_{i}\right) \in \mathbb{R} \end{equation*}を定めますが、具体的には、\begin{equation*}
P\left( \bigcup_{i=1}^{n}A_{i}\right) =0
\end{equation*}となることが保証されます。つまり、有限個の零事象どうしの和事象もまた零集合になるということです。証明では先の命題を利用します。

命題(零事象どうしの和事象は零事象)
確率空間\((\Omega ,\mathcal{F},P)\)において、有限事象族\(\left\{A_{i}\right\} _{i=1}^{n}\subset \mathcal{F}\)の要素がいずれも零事象であるならば、和事象\(\bigcup_{i=1}^{n}A_{i}\)もまた零事象である。
証明

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例(有限集合は零事象)
先に、根元事象\(\left\{ \omega\right\} \)が零事象になるような確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)の例を提示しました。同様の確率空間において有限集合であるような事象\begin{equation*}\left\{ \omega _{1},\cdots ,\omega _{n}\right\}
\end{equation*}を任意に選びます。つまり、\(\left\{ \omega _{1},\cdots ,\omega_{n}\right\} \)は有限個の零事象の和事象であり、したがって先の命題より\(\left\{ \omega _{1},\cdots ,\omega _{n}\right\} \)は零事象です。

 

零事象との和事象

ある事象と零事象の和集合をとったとき、確率は変化しません。つまり、事象\(A\in \mathcal{F}\)と零事象\(B\in \mathcal{F}\)をそれぞれ任意に選んだとき、\begin{equation*}P\left( A\cup B\right) =P\left( A\right)
\end{equation*}が成り立つということです。

命題(零事象との和事象)
確率空間\((\Omega ,\mathcal{F},P)\)において、事象\(A\in \mathcal{F}\)と零事象\(B\in \mathcal{F}\)をそれぞれ任意に選んだとき、\begin{equation*}P\left( A\cup B\right) =P\left( A\right)
\end{equation*}が成り立つ。

証明

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零事象との差事象

ある事象と零事象の差事象をとったとき、確率は変化しません。つまり、事象\(A\in \mathcal{F}\)と零事象\(B\in \mathcal{F}\)をそれぞれ任意に選んだとき、\begin{equation*}P\left( A\backslash B\right) =P\left( A\right)
\end{equation*}が成り立つということです。

命題(零事象との差事象)
確率空間\((\Omega ,\mathcal{F},P)\)において、事象\(A\in \mathcal{F}\)と零事象\(B\in \mathcal{F}\)をそれぞれ任意に選んだとき、\begin{equation*}P\left( A\backslash B\right) =P\left( A\right)
\end{equation*}が成り立つ。

証明

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ほとんど確実に成り立つ(確率1で成り立つ)

確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)が与えられたとき、事象\(A\subset \Omega \)に対して以下の命題\begin{equation*}\left( a\right) \ \forall \omega \in A:Q\left( \omega \right)
\end{equation*}が成り立つものとします。ただし、\(Q\left( \omega\right) \)は変数\(\omega \)に関する命題関数です。つまり、事象\(A\)の要素である任意の標本点\(\omega \in A\)について命題\(Q\left( \omega \right) \)が成り立つ状況を想定するということです。この事象\(A\)は必ずしも可測であるとは限りません。つまり、\(A\in \mathcal{F}\)であるとは限らないということです。いずれにせよ、以上の状況において、問題としている事象\(A\)の余事象\(A^{c}=\Omega \backslash A\)が何らかの零事象の部分事象である場合には、すなわち、\begin{eqnarray*}&&\left( b\right) \ A^{c}\subset B \\
&&\left( c\right) \ P\left( B\right) =0
\end{eqnarray*}を満たす可測事象\(B\in \mathcal{F}\)が存在する場合には、\(Q\left( \omega \right) \)であることはほとんど確実である(almost surely)とか、\(Q\left( \omega \right) \)は確率\(1\)で成立する(hold with probaiblity one)などと言います。

問題としている事象\(A\)は可測であるとは限らないため、その余事象\(A^{c}\)もまた可測であるとは限りません。ただ、命題\(Q\left( \omega \right) \)がほとんど確実に成立する場合には、\(A^{c}\)を部分事象として持つ可測な零事象\(B\)が存在することが保証されるため、\(A^{c}\)が起こる確率を何らかの形で評価するのであれば、それは無視できるほど小さくなります。特に、問題としている事象\(A\)が可測である場合には、すなわち、\begin{equation*}A\in \mathcal{F}
\end{equation*}が成り立つ場合には、事象空間\(\mathcal{F}\)は補集合について閉じていることから、\begin{equation*}A^{c}\in \mathcal{F}
\end{equation*}もまた成立し、したがって確率関数\(P:\mathcal{F}\rightarrow \mathbb{R} \)はこれらの事象\(A,A^{c}\)に対して確率\begin{eqnarray*}P\left( A\right) &\in &\mathbb{R} \\
P\left( A^{c}\right) &\in &\mathbb{R} \end{eqnarray*}を定めることが保証されます。その上で、\begin{eqnarray*}
0 &\leq &P\left( A^{c}\right) \quad \because P\text{の非負性} \\
&\leq &P\left( B\right) \quad \because \left( b\right) \text{および}P\text{の単調性} \\
&=&0
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
P\left( A^{c}\right) =0
\end{equation*}が成り立つため、命題\(Q\left( \omega \right) \)が成立することが明らかではない標本点\(\omega \)からなる集合\(A^{c}\)は零集合になります。加えて、\begin{eqnarray*}P\left( A\right) &=&P\left( \Omega \backslash A^{c}\right) \\
&=&P\left( \Omega \right) -P\left( A^{c}\right) \\
&=&1-0 \\
&=&1
\end{eqnarray*}となるため、命題\(Q\left(\omega \right) \)が成立するような標本点\(\omega \)からなる集合\(A\)の確率は\(1\)になります。

 

ほとんど確実な事象

確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)が与えられたとき、可測事象\(A\in \mathcal{F}\)に対して、その余事象\(A^{c}=\Omega\backslash A\in \mathcal{F}\)が何らかの零事象の部分事象である場合には、すなわち、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ A^{c}\subset B \\
&&\left( b\right) \ P\left( B\right) =0
\end{eqnarray*}を満たす可測事象\(B\in \mathcal{F}\)が存在する場合には、\(A\)をほどんど確実な事象(almost sure event)と呼びます。

事象\(A\)がほとんど確実である場合には、\(A\)は可測であることが前提になっていることに注意してください。つまり、\begin{equation*}A\in \mathcal{F}
\end{equation*}であるということです。事象空間\(\mathcal{F}\)は補集合について閉じているため、この場合、\begin{equation*}A^{c}\in \mathcal{F}
\end{equation*}もまた成立し、したがって確率関数\(P:\mathcal{F}\rightarrow \mathbb{R} \)はこれらの事象\(A,A^{c}\)に対して確率\begin{eqnarray*}P\left( A\right) &\in &\mathbb{R} \\
P\left( A^{c}\right) &\in &\mathbb{R} \end{eqnarray*}を定めることが保証されます。その上で、\begin{eqnarray*}
0 &\leq &P\left( A^{c}\right) \quad \because P\text{の非負性} \\
&\leq &P\left( B\right) \quad \because \left( b\right) \text{および}P\text{の単調性} \\
&=&0
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
P\left( A^{c}\right) =0
\end{equation*}が成り立つため、ほとんど確実な事象\(A\)の余事象の確率は\(0\)になります。加えて、\begin{eqnarray*}P\left( A\right) &=&P\left( \Omega \backslash A^{c}\right) \\
&=&P\left( \Omega \right) -P\left( A^{c}\right) \\
&=&1-0 \\
&=&1
\end{eqnarray*}となるため、ほとんど確実な事象\(A\)の確率は\(1\)になります。

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