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ボレル・カンテリの第1補題(事象列の上極限と下極限の確率)

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事象列の上極限

確率空間\((\Omega ,\mathcal{F},P)\)に加えて、可算個の可測事象からなる集合族\(\left\{ A_{n}\right\} _{n\in \mathbb{N} }\)が与えられているものとします。つまり、\begin{equation*}\forall n\in \mathbb{N} :A_{n}\in \mathcal{F}
\end{equation*}が成り立つということです。

事象空間\(\mathcal{F}\)は可算合併について閉じているため、番号\(n\in \mathbb{N} \)を任意に選んだとき、\(n\)番目以降の可算個の事象\(A_{n},A_{n+1},\cdots \)の和事象が可測になることが保証されます。つまり、\begin{equation*}B_{n}=\bigcup\limits_{k=n}^{+\infty }A_{k}\in \mathcal{F}
\end{equation*}が成り立つということです。事象空間\(\mathcal{F}\)は可算交叉について閉じているため、先の要領で定義された可算個の事象\(B_{1},B_{2},\cdots \in \mathcal{F}\)の積事象が可測になることが保証されます。つまり、\begin{equation*}\bigcap\limits_{n=1}^{+\infty }B_{n}\in \mathcal{F}
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\bigcap\limits_{n=1}^{+\infty }\bigcup\limits_{k=n}^{+\infty }A_{k}\in
\mathcal{F}
\end{equation*}が成り立つということです。そこで、この事象をもとの事象族\(\left\{ A_{n}\right\} _{n\in \mathbb{N} }\)の上極限(limit superior)と呼び、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow \infty }\sup A_{n}=\bigcap\limits_{n=1}^{+\infty
}\bigcup\limits_{k=n}^{+\infty }A_{k}
\end{equation*}で表記します。

標本点\(\omega \in \Omega \)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}\omega \in \lim_{n\rightarrow \infty }\sup A_{n} &\Leftrightarrow &\omega
\in \bigcap\limits_{n=1}^{+\infty }\bigcup\limits_{k=n}^{+\infty
}A_{k}\quad \because \text{上極限の定義}
\\
&\Leftrightarrow &\forall n\in \mathbb{N} :\omega \in \bigcup\limits_{k=n}^{+\infty }A_{k}\quad \because \text{積事象の定義} \\
&\Leftrightarrow &\forall n\in \mathbb{N} ,\ \exists k\in \mathbb{N} :\left( k\geq n\wedge \omega \in A_{k}\right) \quad \because \text{和事象の定義}
\end{eqnarray*}という関係が成り立ちます。つまり、事象族\(\left\{ A_{n}\right\} _{n\in \mathbb{N} }\)の上極限\(\lim \sup A_{n}\)が起こることとは、番号\(n\in \mathbb{N} \)を任意に選んだとき、\(n\)以上の何らかの番号\(k\)に関する事象\(A_{k}\)が必ず起こることを意味します。任意の番号\(n\)について同様の主張が成り立つため、これは、可算無限個の番号\(k\)に関する事象\(A_{k}\)が起こることを意味します。このような事情もあり、事象族\(\left\{ A_{n}\right\} _{n\in \mathbb{N} }\)の上極限を、\begin{equation*}\left\{ A_{n}\ \text{i.o.}\right\} =\lim_{n\rightarrow \infty }\sup A_{n}
\end{equation*}と表記することもできます。ただし、i.o.は infinity often(無限回)の略です。改めて整理すると、事象族\(\left\{A_{n}\right\} _{n\in \mathbb{N} }\)の上極限\(\lim\limits_{n\rightarrow \infty }\sup A_{n}\)とは「事象族\(\left\{ A_{n}\right\}_{n\in \mathbb{N} }\)に属する可算無限個の事象が起こる」という事象に相当します。

例(事象列の上極限)
サイコロを繰り返し振るという試行の標本点は、\begin{equation*}
\left( 3,1,5,6,3,\cdots \right)
\end{equation*}のような\(1\)から\(6\)までの整数から構成される無限列として表されます。\(n\in \mathbb{N} \)回目に出るサイコロの目を\(\omega _{n}\in \{1,2,3,4,5,6\}\)で表記するのであれば、それぞれの標本点は、\begin{equation*}\omega =\left( \omega _{1},\omega _{2},\cdots \right)
\end{equation*}と定式化されます。この試行の標本空間は、\begin{equation*}
\Omega =\{1,2,3,4,5,6\}^{\mathbb{N} }
\end{equation*}です。それぞれの番号\(n\in \mathbb{N} \)について、以下の事象\begin{equation*}A_{n}=n\text{回目に}1\text{が出る}
\end{equation*}と定義します。この事象列\(\left\{ A_{n}\right\} \)の上極限\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow \infty }\sup A_{n}=\bigcap\limits_{n=1}^{+\infty
}\bigcup\limits_{k=n}^{+\infty }A_{k}
\end{equation*}が起こることとは、番号\(n\in \mathbb{N} \)を任意に選んだとき、\(n\)回目を含め、それ以降に必ず\(1\)が出ることを意味します。これは、\(1\)が無限回出ることも意味します。

 

事象列の下極限

確率空間\((\Omega ,\mathcal{F},P)\)に加えて、可算個の可測事象からなる集合族\(\left\{ A_{n}\right\} _{n\in \mathbb{N} }\)が与えられているものとします。つまり、\begin{equation*}\forall n\in \mathbb{N} :A_{n}\in \mathcal{F}
\end{equation*}が成り立つということです。

事象空間\(\mathcal{F}\)は可算交差について閉じているため、番号\(n\in \mathbb{N} \)を任意に選んだとき、\(n\)番目以降の可算個の事象\(A_{n},A_{n+1},\cdots \)の共通部分が可測になることが保証されます。つまり、\begin{equation*}B_{n}=\bigcap\limits_{k=n}^{+\infty }A_{k}\in \mathcal{F}
\end{equation*}が成り立つということです。事象空間\(\mathcal{F}\)は可算合併について閉じているため、先の要領で定義された可算個の事象\(B_{1},B_{2},\cdots \in \mathcal{F}\)の和事象が可測になることが保証されます。つまり、\begin{equation*}\bigcup\limits_{n=1}^{+\infty }B_{n}\in \mathcal{F}
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\bigcup\limits_{n=1}^{+\infty }\bigcap\limits_{k=n}^{+\infty }A_{k}\in
\mathcal{F}
\end{equation*}が成り立つということです。そこで、この事象をもとの事象族\(\left\{ A_{n}\right\} _{n\in \mathbb{N} }\)の下極限(limit inferior)と呼び、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow \infty }\inf A_{n}=\bigcup\limits_{n=1}^{+\infty
}\bigcap\limits_{k=n}^{+\infty }A_{k}
\end{equation*}で表記します。

標本点\(\omega \in \Omega \)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}\omega \in \lim_{n\rightarrow \infty }\inf A_{n} &\Leftrightarrow &\omega
\in \bigcup\limits_{n=1}^{+\infty }\bigcap\limits_{k=n}^{+\infty
}A_{k}\quad \because \text{下極限の定義}
\\
&\Leftrightarrow &\exists n\in \mathbb{N} :\omega \in \bigcap\limits_{k=n}^{+\infty }A_{k}\quad \because \text{和事象の定義} \\
&\Leftrightarrow &\exists n\in \mathbb{N} ,\ \forall k\in \mathbb{N} :\left( k\geq n\Rightarrow \omega \in A_{k}\right) \quad \because \text{積事象の定義}
\end{eqnarray*}という関係が成り立ちます。つまり、事象族\(\left\{ A_{n}\right\} _{n\in \mathbb{N} }\)の下極限\(\lim \inf A_{n}\)が起こることとは、少なくとも1つの番号\(n\in \mathbb{N} \)について、\(n\)以上のすべての番号\(k\)に関する事象\(A_{k}\)がすべて起こることを意味します。逆に言うと、有限個の事象だけを除くことにより得られるほとんどのすべての無限個の事象が起こるということです。このような事情もあり、事象族\(\left\{ A_{n}\right\} _{n\in \mathbb{N} }\)の下極限を、\begin{equation*}\left\{ A_{n}\ \text{a.a}\right\} =\lim_{n\rightarrow \infty }\inf A_{n}
\end{equation*}と表記することもできます。ただし、a.a.は almost always(ほぼ常に)の略です。改めて整理すると、事象族\(\left\{A_{n}\right\} _{n\in \mathbb{N} }\)の下極限\(\lim\limits_{n\rightarrow \infty }\inf A_{n}\)とは「事象族\(\left\{ A_{n}\right\}_{n\in \mathbb{N} }\)に属する事象の中でも有限個の事象を除いたすべての事象が起こる」という事象に相当します。

例(事象列の下極限)
サイコロを繰り返し振るという試行の標本空間は、\begin{equation*}
\Omega =\{1,2,3,4,5,6\}^{\mathbb{N} }
\end{equation*}です。それぞれの番号\(n\in \mathbb{N} \)について、以下の事象\begin{equation*}A_{n}=n\text{回目に}1\text{が出る}
\end{equation*}と定義します。この事象列\(\left\{ A_{n}\right\} \)の下極限\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow \infty }\inf A_{n}=\bigcup\limits_{n=1}^{+\infty
}\bigcap\limits_{k=n}^{+\infty }A_{k}
\end{equation*}が起こることとは、少なくとも1つの番号\(n\in \mathbb{N} \)について、\(n\)回目を含め、それ以降には\(1\)だけが出続けることを意味します。これは、\(1\)が無限回出ることも意味します。

 

上極限に関するボレル・カンテリの第1補題

確率空間\((\Omega ,\mathcal{F},P)\)に加えて、可算個の可測事象からなる集合族\(\left\{ A_{n}\right\} _{n\in \mathbb{N} }\)が与えられているものとします。つまり、\begin{equation*}\forall n\in \mathbb{N} :A_{n}\in \mathcal{F}
\end{equation*}が成り立つということです。確率測度\(P:\mathcal{F}\rightarrow \mathbb{R} \)は個々の事象\(A_{n}\)に対して確率\(P\left( A_{n}\right) \)を定めるため、それらの総和に相当する無限級数\begin{equation*}\sum_{n=1}^{+\infty }P\left( A_{n}\right) =\lim_{N\rightarrow \infty
}\sum_{n=1}^{N}P\left( A_{n}\right)
\end{equation*}をとることができます。この無限級数の和が有限な実数として定まる場合には、すなわち、\begin{equation*}
\sum_{n=1}^{+\infty }P\left( A_{n}\right) <\infty
\end{equation*}が成り立つ場合には、事象族\(\left\{ A_{n}\right\} _{n\in \mathbb{N} }\)の上極限が起こる確率が\(0\)になることが保証されます。つまり、\begin{equation*}P\left( \lim_{n\rightarrow \infty }\sup A_{n}\right) =0
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
P\left( \bigcap\limits_{n=1}^{+\infty }\bigcup\limits_{k=n}^{+\infty
}A_{k}\right) =0
\end{equation*}が成り立つということです。つまり、事象列\(\left\{ A_{n}\right\} _{n\in \mathbb{N} }\)に属するすべての事象の確率の和が有限な実数として定まる場合には、「無限個の番号\(k\)に関して事象\(A_{k}\)が起こる」という事象が零事象になるということです。逆に言うと、この場合、有限個の番号\(k\)に関してのみ事象\(A_{k}\)が起こるということです。これをボレル・カンテリの第1補題(Borel-Cantelli lemma)と呼びます。

命題(上極限に関するボレル・カンテリの第1補題)
確率空間\((\Omega ,\mathcal{F},P)\)に加えて、可算個の可測事象\(\left\{ A_{n}\right\} _{n\in \mathbb{N} }\)が与えられているものとする。以下の条件\begin{equation*}\sum_{n=1}^{+\infty }P\left( A_{n}\right) <\infty
\end{equation*}が成り立つ場合には、\(\left\{ A_{n}\right\} _{n\in \mathbb{N} }\)の上極限について、\begin{equation*}P\left( \lim_{n\rightarrow \infty }\sup A_{n}\right) =0
\end{equation*}が成り立つ。

証明

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例(上極限に関するボレル・カンテリの第1補題)
ある試行の標本空間は、\begin{equation*}
\Omega =\left\{ \text{成功},\text{失敗}\right\} ^{\mathbb{N} }
\end{equation*}であるものとします。それぞれの番号\(n\in \mathbb{N} \)について、以下の事象\begin{equation*}A_{n}=n\text{回目に成功する}
\end{equation*}と定義します。この事象列\(\left\{ A_{n}\right\} \)の上極限\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow \infty }\sup A_{n}=\bigcap\limits_{n=1}^{+\infty
}\bigcup\limits_{k=n}^{+\infty }A_{k}
\end{equation*}が起こることとは、番号\(n\in \mathbb{N} \)を任意に選んだとき、\(n\)回目を含め、それ以降に必ず成功することを意味します。これは、成功が無限回起こることも意味します。確率測度\(P:\mathcal{F}\rightarrow \mathbb{R} \)が以下の条件\begin{equation*}\forall n\in \mathbb{N} :P\left( A_{n}\right) =\frac{1}{n^{2}}
\end{equation*}を満たすものとします。つまり、\(n\)回目に成功する確率が\(\frac{1}{n^{2}}\)であるということです。このとき、\begin{eqnarray*}\sum_{n=1}^{+\infty }P\left( A_{n}\right) &=&\sum_{n=1}^{+\infty }\frac{1}{n^{2}} \\
&=&\frac{1}{6}\pi ^{2}
\end{eqnarray*}となるため、先の命題より、\begin{equation*}
P\left( \lim_{n\rightarrow \infty }\sup A_{n}\right) =0
\end{equation*}を得ます。つまり、成功するのは有限回です。

例(上極限に関するボレル・カンテリの第1補題)
サイコロを繰り返し振るという試行の標本空間は、\begin{equation*}
\Omega =\{1,2,3,4,5,6\}^{\mathbb{N} }
\end{equation*}です。それぞれの番号\(n\in \mathbb{N} \)について、以下の事象\begin{equation*}A_{n}=n\text{回目に}1\text{が出る}
\end{equation*}と定義します。この事象列\(\left\{ A_{n}\right\} \)の上極限\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow \infty }\sup A_{n}=\bigcap\limits_{n=1}^{+\infty
}\bigcup\limits_{k=n}^{+\infty }A_{k}
\end{equation*}が起こることとは、番号\(n\in \mathbb{N} \)を任意に選んだとき、\(n\)回目を含め、それ以降に必ず\(1\)が出ることを意味します。これは、\(1\)が無限回出ることも意味します。確率測度\(P:\mathcal{F}\rightarrow \mathbb{R} \)が以下の条件\begin{equation*}\forall n\in \mathbb{N} :P\left( A_{n}\right) =\frac{1}{6}
\end{equation*}を満たすものとします。つまり、サイコロに偏りがなく、各回に\(1\)の目が出る確率は\(\frac{1}{6}\)で一定であるということです。このとき、\begin{eqnarray*}\sum_{n=1}^{+\infty }P\left( A_{n}\right) &=&\sum_{n=1}^{+\infty }\frac{1}{6} \\
&=&+\infty
\end{eqnarray*}となるため、ボレル・カンテリの第1補題を利用できません。この例のように、無限級数\(\sum_{n=1}^{+\infty }P\left( A_{n}\right) \)が有限な実数として定まらない場合には、ボレル・カンテリの第2補題と呼ばれる命題を利用することになります。詳細は必要な概念が揃った段階で改めて解説します。

 

下極限に関するボレル・カンテリの第1補題

事象列の下極限についても同様の主張が成り立ちます。具体的には以下の通りです。

確率空間\((\Omega ,\mathcal{F},P)\)に加えて、可算個の可測事象からなる集合族\(\left\{ A_{n}\right\} _{n\in \mathbb{N} }\)が与えられているものとします。つまり、\begin{equation*}\forall n\in \mathbb{N} :A_{n}\in \mathcal{F}
\end{equation*}が成り立つということです。確率測度\(P:\mathcal{F}\rightarrow \mathbb{R} \)は個々の事象\(A_{n}\)に対して確率\(P\left( A_{n}\right) \)を定めるため、それらの総和に相当する無限級数\begin{equation*}\sum_{n=1}^{+\infty }P\left( A_{n}\right) =\lim_{N\rightarrow \infty
}\sum_{n=1}^{N}P\left( A_{n}\right)
\end{equation*}をとることができます。この無限級数の和が有限な実数として定まる場合には、すなわち、\begin{equation*}
\sum_{n=1}^{+\infty }P\left( A_{n}\right) <\infty
\end{equation*}が成り立つ場合には、事象族\(\left\{ A_{n}\right\} _{n\in \mathbb{N} }\)に属する事象の余事象をとることにより得られる事象族\(\left\{A_{n}^{c}\right\} _{n\in \mathbb{N} }\)の下極限が起こる確率が\(1\)になることが保証されます。つまり、\begin{equation*}P\left( \lim_{n\rightarrow \infty }\inf A_{n}^{c}\right) =1
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
P\left( \bigcup\limits_{n=1}^{+\infty }\bigcap\limits_{k=n}^{+\infty
}A_{k}^{c}\right) =1
\end{equation*}が成り立つということです。つまり、事象列\(\left\{ A_{n}\right\} _{n\in \mathbb{N} }\)に属するすべての事象の確率の和が有限な実数として定まる場合には、「無限個の番号\(k\)に関して事象\(A_{k}\)が起こらない」という事象の確率が\(1\)になるということです。これが下極限に関するボレル・カンテリの第1補題です。

命題(下極限に関するボレル・カンテリの第1補題)
確率空間\((\Omega ,\mathcal{F},P)\)に加えて、可算個の可測事象\(\left\{ A_{n}\right\} _{n\in \mathbb{N} }\)が与えられているものとする。以下の条件\begin{equation*}\sum_{n=1}^{+\infty }P\left( A_{n}\right) <\infty
\end{equation*}が成り立つ場合には、\(\left\{ A_{n}^{c}\right\} _{n\in \mathbb{N} }\)の下極限について、\begin{equation*}P\left( \lim_{n\rightarrow \infty }\inf A_{n}^{c}\right) =1
\end{equation*}が成り立つ。

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演習問題

問題(コイン投げ)
「コインを無限回投げる状況を想定します。番号\(n\in \mathbb{N} \)に関する事象を、\begin{equation*}H_{n}=n\text{回目のコイン投げの結果は表である}
\end{equation*}と定義します。ただし、このコインは投げるごとに偏りが生じ、表が出にくくなります。その状況を、\begin{equation*}
P\left( H_{n}\right) =\left( \frac{99}{100}\right) ^{n}
\end{equation*}で表記します。つまり、\(1\)回目に表が出る確率は、\begin{equation*}P\left( H_{1}\right) =\frac{99}{100}
\end{equation*}ですが、\(2\)回目に表が出る確率は、\begin{equation*}P\left( H_{2}\right) =\left( \frac{99}{100}\right) ^{2}=\frac{9801}{10\,000}
\end{equation*}であり、\(3\)回目に表が出る確率は、\begin{equation*}P\left( H_{3}\right) =\left( \frac{99}{100}\right) ^{3}=\frac{970\,299}{1000\,000}
\end{equation*}です。以降についても同様です。さらに、\begin{equation*}
\lim_{n\rightarrow \infty }\left( \frac{99}{100}\right) ^{n}=0
\end{equation*}であるため、回数を重ねるにつれて表が出る確率は\(0\)に限りなく近づきます。各回の結果は独立であるものとします。ボレル・カンテリの補題から何らかの結論を導き出すことができるでしょうか。議論してください。
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