ボレル・カンテリの補題を用いた概収束の判定

上極限と下極限を用いた概収束の判定

確率変数列の概収束および概極限について簡単に復習します。

確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)に加えて、標本空間\(\Omega \)を定義域として共有する確率変数列\(\left\{X_{n}\right\} \)が与えられているものとします。つまり、この確率変数列\(\left\{ X_{n}\right\} \)の一般項は\(\Omega \)上に定義された確率変数\begin{equation*}X_{n}:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}です。加えて、確率変数\begin{equation*}
X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が与えられているものとします。

確率変数列\(\left\{ X_{n}\right\} \)が標本点\(\omega \in \Omega \)において確率変数\(X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)へ各点収束することとは、\begin{equation*}\forall \omega \in A:\lim_{n\rightarrow \infty }X_{n}\left( \omega \right)
=X\left( \omega \right)
\end{equation*}が成り立つことを意味します。つまり、標本点\(\omega \)が実現した場合には、確率変数列\(\left\{ X_{n}\right\} \)の要素である確率変数\(X_{1},X_{2},X_{3},\cdots \)のもとでの実現値からなる数列\(X_{1}\left( \omega \right) ,X_{2}\left(\omega \right) ,X_{3}\left( \omega \right) ,\cdots \)が、確率変数\(X\)のもとでの実現値\(X\left( \omega \right) \)へ限りなく近づくということです。その上で、確率変数列\(\left\{ X_{n}\right\} \)が確率変数\(X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)へ概収束することとは、\(\left\{ X_{n}\right\} \)が\(X\)へ各点収束する標本点からなる事象\begin{equation*}A=\left\{ \omega \in \Omega \ |\ \lim_{n\rightarrow \infty }X_{n}\left(
\omega \right) =X\left( \omega \right) \right\}
\end{equation*}の確率が、\begin{equation*}
P\left( A\right) =1
\end{equation*}であることを意味します。つまり、ほとんどすべての標本点\(\omega \)について、\(\omega \)が実現した場合には、確率変数列\(\left\{ X_{n}\right\} \)の要素である確率変数\(X_{1},X_{2},X_{3},\cdots \)のもとでの実現値からなる数列\(X_{1}\left(\omega \right) ,X_{2}\left( \omega \right) ,X_{3}\left( \omega \right) ,\cdots \)が、確率変数\(X\)のもとでの実現値\(X\left( \omega \right) \)へ限りなく近づくということです。このとき、\(X\)を\(\left\{ X_{n}\right\} \)の概極限と呼び、そのことを、\begin{equation*}X_{n}\rightarrow X\quad \text{a.s.}
\end{equation*}または、\begin{equation*}
X_{n}\overset{a.s.}{\rightarrow }X
\end{equation*}などで表記します。

概収束の概念は様々な形で表現可能であることを示しましたが、以下の命題はその中の1つです。

上の命題中の事象\begin{equation*}
B\left( \varepsilon \right) =\bigcup_{m\in \mathbb{N} }\bigcap_{n=m}^{+\infty }\left\{ \omega \in \Omega \ |\ \left\vert
X_{n}\left( \omega \right) -X\left( \omega \right) \right\vert <\varepsilon
\right\}
\end{equation*}は、一般項が、\begin{equation*}
A_{n}\left( \varepsilon \right) =\left\{ \omega \in \Omega \ |\ \left\vert
X_{n}\left( \omega \right) -X\left( \omega \right) \right\vert <\varepsilon
\right\}
\end{equation*}であるような事象列\(\left\{ A_{n}\left( \varepsilon \right) \right\} \)の下極限に他なりません。つまり、以下の関係\begin{equation*}B\left( \varepsilon \right) =\lim_{n\rightarrow \infty }\inf A_{n}\left(
\varepsilon \right)
\end{equation*}が成り立つということです。

同様に、上の命題中の事象\begin{equation*}
\left( B\left( \varepsilon \right) \right) ^{c}=\bigcap_{m\in \mathbb{N} }\bigcup_{n=m}^{+\infty }\left\{ \omega \in \Omega \ |\ \left\vert
X_{n}\left( \omega \right) -X\left( \omega \right) \right\vert \geq
\varepsilon \right\}
\end{equation*}は、一般項が、\begin{equation*}
A_{n}^{c}\left( \varepsilon \right) =\left\{ \omega \in \Omega \ |\
\left\vert X_{n}\left( \omega \right) -X\left( \omega \right) \right\vert
\geq \varepsilon \right\}
\end{equation*}であるような事象列\(\left\{ A_{n}^{c}\left( \varepsilon \right) \right\} \)の上極限に他なりません。つまり、\begin{equation*}\left( B\left( \varepsilon \right) \right) ^{c}=\lim_{n\rightarrow \infty
}\sup A_{n}^{c}\left( \varepsilon \right)
\end{equation*}という関係が成り立つということです。

以上を踏まえると、先の命題を以下のように表現できます。

ボレル・カンテリの第1補題を用いた概収束の判定

確率変数列\(\left\{ X_{n}\right\} \)と確率変数\(X\)が与えられたとき、任意の\(\varepsilon >0\)について、以下の事象\begin{equation*}A_{n}^{c}\left( \varepsilon \right) =\left\{ \omega \in \Omega \ |\
\left\vert X_{n}\left( \omega \right) -X\left( \omega \right) \right\vert
\geq \varepsilon \right\}
\end{equation*}を一般項とする事象列\(\left\{ A_{n}^{c}\left( \varepsilon \right) \right\} \)の上極限の確率が\(0\)であることは、すなわち、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0:P\left( \lim_{n\rightarrow \infty }\sup
A_{n}^{c}\left( \varepsilon \right) \right) =0
\end{equation*}が成り立つことは、\(\left\{ X_{n}\right\} \)が\(X\)へ概収束するための必要十分条件であることが明らかになりました。

\(\varepsilon >0\)を任意に選んだ上で、事象列\(\left\{ A_{n}^{c}\left(\varepsilon \right) \right\} \)に属するそれぞれの事象の確率をとった上で、それらの総和をとります。その総和が有限な実数として定まる場合には、すなわち、\begin{equation*}\sum_{n=1}^{+\infty }P\left( A_{n}^{c}\left( \varepsilon \right) \right)
<\infty
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\sum_{n=1}^{+\infty }P\left( \left\{ \omega \in \Omega \ |\ \left\vert
X_{n}\left( \omega \right) -X\left( \omega \right) \right\vert \geq
\varepsilon \right\} \right) <\infty
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\lim_{N\rightarrow \infty }\sum_{n=1}^{N}P\left( \left\{ \omega \in \Omega \
|\ \left\vert X_{n}\left( \omega \right) -X\left( \omega \right) \right\vert
\geq \varepsilon \right\} \right) <\infty
\end{equation*}が成り立つ場合には、上極限に関するボレル・カンテリの第1補題より、\begin{equation*}
P\left( \lim_{n\rightarrow \infty }\sup A_{n}^{c}\left( \varepsilon \right)
\right) =0
\end{equation*}が成り立ちます。したがってこの場合、\(\left\{ X_{n}\right\} \)は\(X\)へ概収束します。

ボレル・カンテリの第2補題を用いた概収束しないことの判定

確率変数列\(\left\{ X_{n}\right\} \)と確率変数\(X\)が与えられたとき、任意の\(\varepsilon >0\)について、以下の事象\begin{equation*}A_{n}^{c}\left( \varepsilon \right) =\left\{ \omega \in \Omega \ |\
\left\vert X_{n}\left( \omega \right) -X\left( \omega \right) \right\vert
\geq \varepsilon \right\}
\end{equation*}を一般項とする事象列\(\left\{ A_{n}^{c}\left( \varepsilon \right) \right\} \)の上極限の確率が\(0\)であることは、すなわち、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0:P\left( \lim_{n\rightarrow \infty }\sup
A_{n}^{c}\left( \varepsilon \right) \right) =0
\end{equation*}が成り立つことは、\(\left\{ X_{n}\right\} \)が\(X\)へ概収束するための必要十分条件であることが明らかになりました。したがって、上の命題の否定に相当する以下の命題\begin{equation*}\exists \varepsilon >0:P\left( \lim_{n\rightarrow \infty }\sup
A_{n}^{c}\left( \varepsilon \right) \right) \not=0
\end{equation*}が成り立つ場合、\(\left\{X_{n}\right\} \)は\(X\)へ概収束しません。

何らかの\(\varepsilon >0\)のもとで事象列\(\left\{ A_{n}^{c}\left( \varepsilon \right)\right\} \)は独立であるものとします。この事象列に属するそれぞれの事象の確率をとった上で、それらの総和をとります。その総和が有限な実数として定まらない場合には、すなわち、\begin{equation*}\sum_{n=1}^{+\infty }P\left( A_{n}^{c}\left( \varepsilon \right) \right)
=\infty
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\sum_{n=1}^{+\infty }P\left( \left\{ \omega \in \Omega \ |\ \left\vert
X_{n}\left( \omega \right) -X\left( \omega \right) \right\vert \geq
\varepsilon \right\} \right) =\infty
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\lim_{N\rightarrow \infty }\sum_{n=1}^{N}P\left( \left\{ \omega \in \Omega \
|\ \left\vert X_{n}\left( \omega \right) -X\left( \omega \right) \right\vert
\geq \varepsilon \right\} \right) =\infty
\end{equation*}が成り立つ場合には、上極限に関するボレル・カンテリの第2補題より、\begin{equation*}
P\left( \lim_{n\rightarrow \infty }\sup A_{n}^{c}\left( \varepsilon \right)
\right) =1
\end{equation*}が成り立ちます。したがってこの場合、\(\left\{ X_{n}\right\} \)は\(X\)へ概収束しません。

演習問題