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漸近理論

確率変数列の平均収束と概収束の関係

目次

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平均収束と概収束の違い

確率変数列の平均収束概収束および確率収束について簡単に復習します。

確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)に加えて、標本空間\(\Omega \)を定義域として共有する確率変数列\(\left\{X_{n}\right\} \)が与えられているものとします。つまり、この確率変数列\(\left\{ X_{n}\right\} \)の一般項は\(\Omega \)上に定義された確率変数\begin{equation*}X_{n}:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}です。加えて、確率変数\begin{equation*}
X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が与えられているものとします。

確率変数列\(\left\{ X_{n}\right\} \)が確率変数\(X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)へ\(r\)次平均収束することとは、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow \infty }E\left( \left\vert X_{n}-X\right\vert ^{r}\right)
=0
\end{equation*}が成り立つことを意味します。ただし、\(r\in \mathbb{R} \)は定数であり、以下の条件\begin{equation*}r\in \lbrack 1,+\infty )
\end{equation*}を満たします。つまり、\(n\)を限りなく大きくすれば、確率変数\(X_{n}\)のもとでの実現値と確率変数\(X\)のもとでの実現値の差の\(r\)乗が平均的に\(0\)へ限りなく近づくことを意味します。このとき、\(X\)を\(\left\{ X_{n}\right\} \)の\(r\)次の平均極限と呼び、そのことを、\begin{equation*}X_{n}\rightarrow X\quad \text{r.m.}
\end{equation*}または、\begin{equation*}
X_{n}\overset{L^{r}}{\rightarrow }X
\end{equation*}などで表記します。

一方、確率変数列\(\left\{X_{n}\right\} \)が標本点\(\omega \in \Omega \)において確率変数\(X:\Omega\rightarrow \mathbb{R} \)へ各点収束することとは、\begin{equation*}\forall \omega \in A:\lim_{n\rightarrow \infty }X_{n}\left( \omega \right)
=X\left( \omega \right)
\end{equation*}が成り立つことを意味します。つまり、標本点\(\omega \)が実現した場合には、確率変数列\(\left\{ X_{n}\right\} \)の要素である確率変数\(X_{1},X_{2},X_{3},\cdots \)のもとでの実現値からなる数列\(X_{1}\left( \omega \right) ,X_{2}\left(\omega \right) ,X_{3}\left( \omega \right) ,\cdots \)が、確率変数\(X\)のもとでの実現値\(X\left( \omega \right) \)へ限りなく近づくということです。その上で、確率変数列\(\left\{ X_{n}\right\} \)が確率変数\(X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)へ概収束することとは、\(\left\{ X_{n}\right\} \)が\(X\)へ各点収束する標本点からなる事象\begin{equation*}A=\left\{ \omega \in \Omega \ |\ \lim_{n\rightarrow \infty }X_{n}\left(
\omega \right) =X\left( \omega \right) \right\}
\end{equation*}の確率が、\begin{equation*}
P\left( A\right) =1
\end{equation*}であることを意味します。つまり、ほとんどすべての標本点\(\omega \)について、\(\omega \)が実現した場合には、確率変数列\(\left\{ X_{n}\right\} \)の要素である確率変数\(X_{1},X_{2},X_{3},\cdots \)のもとでの実現値からなる数列\(X_{1}\left(\omega \right) ,X_{2}\left( \omega \right) ,X_{3}\left( \omega \right) ,\cdots \)が、確率変数\(X\)のもとでの実現値\(X\left( \omega \right) \)へ限りなく近づくということです。このとき、\(X\)を\(\left\{ X_{n}\right\} \)の概極限と呼び、そのことを、\begin{equation*}X_{n}\rightarrow X\quad \text{a.s.}
\end{equation*}または、\begin{equation*}
X_{n}\overset{a.s.}{\rightarrow }X
\end{equation*}などで表記します。

また、確率変数列\(\left\{X_{n}\right\} \)が確率変数\(X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)へ確率収束することとは、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0:\lim_{n\rightarrow \infty }P\left( \left\{ \omega \in
\Omega \ |\ \left\vert X_{n}\left( \omega \right) -X\left( \omega \right)
\right\vert <\varepsilon \right\} \right) =1
\end{equation*}が成り立つことを意味します。つまり、\(n\)を限りなく大きくすれば、ほとんどすべての標本点\(\omega \in \Omega \)について、\(\omega \)が実現した場合の確率変数列\(\left\{X_{n}\right\} \)のもとでの実現値と確率変数\(X\)のもとでの実現値の差\(\left\vert X_{n}\left( \omega \right) -X\left( \omega \right) \right\vert \)が限りなく小さくなるということです。このとき、\(X\)を\(\left\{ X_{n}\right\} \)の確率極限と呼び、そのことを、\begin{equation*}X_{n}\rightarrow X\quad \text{c.p.}
\end{equation*}または、\begin{equation*}
X_{n}\overset{p}{\rightarrow }X
\end{equation*}などで表記します。

確率変数列\(\left\{ X_{n}\right\} \)が確率変数\(X\)へ概収束する場合、\(\left\{ X_{n}\right\} \)が\(X\)へ確率収束することは保証されます。つまり、\begin{equation*}X_{n}\overset{a.s.}{\rightarrow }X\Rightarrow X_{n}\overset{p}{\rightarrow }X
\end{equation*}が成り立つということです。その一方で、逆は成立するとは限りません。

確率変数列\(\left\{ X_{n}\right\} \)が確率変数\(X\)へ平均収束する場合、\(\left\{ X_{n}\right\} \)が\(X\)へ確率収束することは保証されます。つまり、\begin{equation*}X_{n}\overset{L^{r}}{\rightarrow }X\Rightarrow X_{n}\overset{p}{\rightarrow }X
\end{equation*}が成り立つということです。その一方で、逆は成立するとは限りません。

では、概収束と平均収束の間にはどのような関係が成り立つのでしょうか。

 

概収束する確率変数列は平均収束するとは限らない

確率変数列\(\left\{ X_{n}\right\} \)が確率変数\(X\)へ概収束する場合、\(\left\{ X_{n}\right\} \)は\(X\)へ平均収束するとは限りません。以下の例より明らかです。

例(概収束するが平均収束しない確率変数列)
確率変数\(X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)は、\begin{equation*}\forall \omega \in \Omega :X\left( \omega \right) =0
\end{equation*}を満たすものとします。その一方で、確率変数列\(\left\{ X_{n}\right\} \)の一般項である確率変数\(X_{n}:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)の値域が、\begin{equation*}X_{n}\left( \Omega \right) =\left\{ 0,2^{n}\right\}
\end{equation*}であるとともに、確率質量関数\(f_{X_{n}}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f_{X_{n}}\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
1-\frac{1}{n^{2}} & \left( if\ x=0\right) \\
\frac{1}{n^{2}} & \left( if\ x=2^{n}\right) \\
0 & \left( otherwise\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。\(\left\{ X_{n}\right\} \)は\(X\)へ概収束する一方で、\(r\in \lbrack1,+\infty )\)を任意に選んだとき、\(\left\{ X_{n}\right\} \)は\(X\)へ\(r\)次平均収束しません(演習問題)。

 

平均収束する確率変数列は概収束するとは限らない

確率変数列\(\left\{ X_{n}\right\} \)が確率変数\(X\)へ平均収束する場合、\(\left\{ X_{n}\right\} \)は\(X\)へ概収束するとは限りません。以下の例より明らかです。

例(平均収束するが概収束しない確率変数列)
確率変数\(X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)は、\begin{equation*}\forall \omega \in \Omega :X\left( \omega \right) =0
\end{equation*}を満たすものとします。その一方で、確率変数列\(\left\{ X_{n}\right\} \)は独立であるとともに、その一般項である確率変数\(X_{n}:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)の値域が、\begin{equation*}X_{n}\left( \Omega \right) =\left\{ 0,1\right\}
\end{equation*}であり、確率質量関数\(f_{X_{n}}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、 \begin{equation*}
f_{X_{n}}\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
1-\frac{1}{n} & \left( if\ x=0\right) \\
\frac{1}{n} & \left( if\ x=1\right) \\
0 & \left( otherwise\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。\(\left\{ X_{n}\right\} \)は\(X\)へ概収束する一方で、\(r\in \lbrack1,+\infty )\)を任意に選んだとき、\(\left\{ X_{n}\right\} \)は\(X\)へ\(r\)次平均収束しません(演習問題)。

 

概収束かつ平均収束する確率変数列

これまで登場した確率変数列の収束概念どうしの関係を整理します。

確率変数\(\left\{ X_{n}\right\} \)と確率変数\(X\)が与えられたとき、以下の関係\begin{eqnarray*}X_{n}\overset{p.w.}{\rightarrow }X &\Rightarrow &X_{n}\overset{a.s.}{\rightarrow }X \\
X_{n}\overset{a.s.}{\rightarrow }X &\Rightarrow &X_{n}\overset{p}{\rightarrow }X \\
X_{n}\overset{L^{r}}{\rightarrow }X &\Rightarrow &X_{n}\overset{p}{\rightarrow }X
\end{eqnarray*}がいずれも成り立ちますが、それぞれの逆は成り立つとは限りません。以上より、\begin{eqnarray*}
X_{n}\overset{p.w.}{\rightarrow }X &\Rightarrow &X_{n}\overset{a.s.}{\rightarrow }X\Rightarrow X_{n}\overset{p}{\rightarrow }X \\
X_{n}\overset{L^{r}}{\rightarrow }X &\Rightarrow &X_{n}\overset{p}{\rightarrow }X
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{eqnarray*}
\text{各点収束} &\Rightarrow &\text{概収束}\Rightarrow \text{確率収束} \\
\text{平均収束} &\Rightarrow &\text{確率収束}
\end{eqnarray*}が成り立つことが明らかになりました。

加えて、先に例示したように、以下の関係\begin{eqnarray*}
X_{n}\overset{a.s.}{\rightarrow }X &\Rightarrow &X_{n}\overset{L^{r}}{\rightarrow }X \\
X_{n}\overset{L^{r}}{\rightarrow }X &\Rightarrow &X_{n}\overset{a.s.}{\rightarrow }X
\end{eqnarray*}はともに成立するとは限りません。つまり、概収束は平均収束を含意せず、平均収束は概収束を含意しません。ただし、概収束かつ平均収束するケースは存在します。以下の例より明らかです。

例(概収束かつ平均収束する確率変数列)
確率変数\(X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)は、\begin{equation*}\forall \omega \in \Omega :X\left( \omega \right) =0
\end{equation*}を満たすものとします。その一方で、確率変数列\(\left\{ X_{n}\right\} \)の一般項である確率変数\(X_{n}:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)の値域が、\begin{equation*}X_{n}\left( \Omega \right) =\left\{ 0,1\right\}
\end{equation*}であるとともに、確率質量関数\(f_{X_{n}}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f_{X_{n}}\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
1-\left( \frac{1}{2}\right) ^{n} & \left( if\ x=0\right) \\
\left( \frac{1}{2}\right) ^{n} & \left( if\ x=1\right) \\
0 & \left( otherwise\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。\(\left\{ X_{n}\right\} \)は\(X\)へ概収束するとともに、\(r\in\lbrack 1,+\infty )\)を任意に選んだとき、\(\left\{ X_{n}\right\} \)は\(X\)へ\(r\)次平均収束します(演習問題)。

 

演習問題

問題(概収束するが確率収束しない確率変数列)
確率変数\(X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)は、\begin{equation*}\forall \omega \in \Omega :X\left( \omega \right) =0
\end{equation*}を満たすものとします。その一方で、確率変数列\(\left\{ X_{n}\right\} \)の一般項である確率変数\(X_{n}:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)の値域が、\begin{equation*}X_{n}\left( \Omega \right) =\left\{ 0,2^{n}\right\}
\end{equation*}であるとともに、確率質量関数\(f_{X_{n}}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f_{X_{n}}\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
1-\frac{1}{n^{2}} & \left( if\ x=0\right) \\
\frac{1}{n^{2}} & \left( if\ x=2^{n}\right) \\
0 & \left( otherwise\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。\(\left\{ X_{n}\right\} \)は\(X\)へ概収束する一方で、\(r\in \lbrack1,+\infty )\)を任意に選んだとき、\(\left\{ X_{n}\right\} \)は\(X\)へ\(r\)次平均収束しないことを示してください。
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問題(平均収束するが概収束しない確率変数列)
確率変数\(X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)は、\begin{equation*}\forall \omega \in \Omega :X\left( \omega \right) =0
\end{equation*}を満たすものとします。その一方で、確率変数列\(\left\{ X_{n}\right\} \)は独立であるとともに、その一般項である確率変数\(X_{n}:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)の値域が、\begin{equation*}X_{n}\left( \Omega \right) =\left\{ 0,1\right\}
\end{equation*}であり、確率質量関数\(f_{X_{n}}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、 \begin{equation*}
f_{X_{n}}\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
1-\frac{1}{n} & \left( if\ x=0\right) \\
\frac{1}{n} & \left( if\ x=1\right) \\
0 & \left( otherwise\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。\(r\in \lbrack 1,+\infty )\)を任意に選んだとき、\(\left\{ X_{n}\right\} \)は\(X\)へ\(r\)次平均収束する一方で、\(\left\{ X_{n}\right\} \)は\(X\)へ概収束しないことを示してください。
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問題(概収束かつ平均収束する確率変数列)
確率変数\(X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)は、\begin{equation*}\forall \omega \in \Omega :X\left( \omega \right) =0
\end{equation*}を満たすものとします。その一方で、確率変数列\(\left\{ X_{n}\right\} \)の一般項である確率変数\(X_{n}:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)の値域が、\begin{equation*}X_{n}\left( \Omega \right) =\left\{ 0,1\right\}
\end{equation*}であるとともに、確率質量関数\(f_{X_{n}}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f_{X_{n}}\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
1-\left( \frac{1}{2}\right) ^{n} & \left( if\ x=0\right) \\
\left( \frac{1}{2}\right) ^{n} & \left( if\ x=1\right) \\
0 & \left( otherwise\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。\(\left\{ X_{n}\right\} \)は\(X\)へ概収束するとともに、\(r\in\lbrack 1,+\infty )\)を任意に選んだとき、\(\left\{ X_{n}\right\} \)は\(X\)へ\(r\)次平均収束することを示してください。
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