平均収束する確率変数列
確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)に加えて、標本空間\(\Omega \)を定義域として共有する確率変数列\(\left\{X_{n}\right\} \)が与えられているものとします。つまり、この確率変数列\(\left\{ X_{n}\right\} \)の一般項は\(\Omega \)上に定義された確率変数\begin{equation*}X_{n}:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}です。また、それらとは異なる確率変数\begin{equation*}
X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が与えられているものとします。
自然数\(n\in \mathbb{N} \)を任意に選びます。その上で、それぞれの標本点\(\omega \in \Omega \)に対して、以下の実数\begin{equation*}\left\vert X_{n}-X\right\vert ^{r}\left( \omega \right) =\left\vert
X_{n}\left( \omega \right) -X\left( \omega \right) \right\vert ^{r}
\end{equation*}を値として定める新たな確率変数\begin{equation*}
\left\vert X_{n}-X\right\vert ^{r}:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義します。ただし、\(r\in \mathbb{R} \)は定数であり、以下の条件\begin{equation*}r\in \lbrack 1,+\infty )
\end{equation*}を満たすものとします。この確率変数\(\left\vert X_{n}-X\right\vert ^{r}\)が標本点\(\omega \)に対して定める値\(\left\vert X_{n}\left( \omega \right) -X\left( \omega \right) \right\vert ^{r}\)は、その標本点\(\omega \)が実現した場合の、確率変数\(X_{n}\)のもとでの実現値と確率変数\(X\)のもとでの実現値の差の\(r\)乗です。この確率変数の期待値を、\begin{equation*}E\left( \left\vert X_{n}-X\right\vert ^{r}\right)
\end{equation*}で表記します。これは、様々な標本点\(\omega \in\Omega \)が実現し得る中で、確率変数\(X_{n}\)のもとでの実現値\(X_{n}\left( \omega \right) \)と確率変数\(X\)のもとでの実現値\(X\left( \omega \right) \)の差の\(r\)乗が平均的にどれくらいであるかを表す指標です。
それぞれの自然数\(n\in \mathbb{N} \)について先の要領で確率変数\(\left\vert X_{n}-X\right\vert ^{r}\)を定義し、さらにその期待値\(E\left( \left\vert X_{n}-X\right\vert ^{r}\right) \)をとれば、この期待値を項とする数列\begin{equation*}E\left( \left\vert X_{1}-X\right\vert ^{r}\right) ,\ E\left( \left\vert
X_{2}-X\right\vert ^{r}\right) ,\ E\left( \left\vert X_{3}-X\right\vert
^{r}\right) ,\cdots
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\left\{ E\left( \left\vert X_{n}-X\right\vert ^{r}\right) \right\}
\end{equation*}が得られます。その上で、\(n\)を限りなく大きくした場合にこの数列が\(0\)へ収束するならば、すなわち、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow \infty }E\left( \left\vert X_{n}-X\right\vert ^{r}\right)
=0
\end{equation*}が成り立つ場合には、確率変数列\(\left\{ X_{n}\right\} \)は確率変数\(X\)へ\(r\)次平均収束する（convergence in \(r\)-th mean）と言います。これは、\(n\)を限りなく大きくした場合に、確率変数\(X_{n}\)のもとでの実現値と確率変数\(X\)のもとでの実現値の差の\(r\)乗が平均的に\(0\)へ限りなく近づくことを意味します。確率変数列\(\left\{ X_{n}\right\} \)が確率変数\(X\)へ平均収束することを、\begin{equation*}X_{n}\rightarrow X\quad r.m.
\end{equation*}または、\begin{equation*}
X_{n}\overset{L^{r}}{\rightarrow }X
\end{equation*}などで表記します。その上で、このような確率変数\(X\)を確率変数列\(\left\{ X_{n}\right\} \)の\(r\)次の平均極限（\(r\)-th mean limit）と呼びます。以上が平均収束という収束概念にもとづく確率変数列の極限の定義です。
\end{equation*}を満たすものとします。また、確率変数列\(\left\{ X_{n}\right\} \)の一般項である確率変数\(X_{n}:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)は、パラ―メータ\(0,\frac{1}{n}\)の一様分布にしたがうものとします。つまり、\begin{equation*}X_{n}\sim U\left( 0,\frac{1}{n}\right)
\end{equation*}です。具体的には、値域が、\begin{equation*}
X_{n}\left( \Omega \right) =\left[ 0,\frac{1}{n}\right] \end{equation*}であるとともに、確率密度関数\(f_{X_{n}}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f_{X_{n}}\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
n & \left( if\ x\in X_{n}\left( \Omega \right) \right) \\
0 & \left( otherwise\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるということです。\(r\geq 1\)を任意に選んだとき、\(\left\{ X_{n}\right\} \)が\(X\)へ\(r\)次の平均収束することを示します。確率変数\(\left\vert X_{n}-X\right\vert ^{r}:\Omega\rightarrow \mathbb{R} \)の期待値は、\begin{eqnarray*}E\left( \left\vert X_{n}-X\right\vert ^{r}\right) &=&\int_{0}^{\frac{1}{n}}\left\vert x-0\right\vert ^{r}f_{X_{n}}\left( x\right) dx \\
&=&\int_{0}^{\frac{1}{n}}x^{r}ndx \\
&=&n\int_{0}^{\frac{1}{n}}x^{r}ndx \\
&=&n\left[ \frac{1}{r+1}\cdot x^{r+1}\right] _{0}^{\frac{1}{n}} \\
&=&n\cdot \frac{1}{r+1}\cdot \frac{1}{n^{r+1}} \\
&=&\frac{1}{\left( r+1\right) n^{r}}
\end{eqnarray*}であるため、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow \infty }E\left( \left\vert X_{n}-X\right\vert ^{r}\right)
&=&\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{1}{\left( r+1\right) n^{r}} \\
&=&0\quad \because r\geq 1
\end{eqnarray*}を得ます。したがって、\(\left\{ X_{n}\right\} \)は\(X\)へ\(r\)次の平均収束することが明らかになりました。
2乗平均収束する確率変数列
平均収束の概念は定数\(r\)の値に応じて様々なバリエーションをとりますが、頻繁に使われるのが\(r=2\)の場合、すなわち\(2\)次の平均収束です。これを特に2乗平均収束（mean-square convergence）と呼びます。
改めて整理すると、確率変数列\(\left\{ X_{n}\right\} \)が確率変数\(X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)へ2乗平均収束することとは、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow \infty }E\left( \left\vert X_{n}-X\right\vert ^{2}\right)
=0
\end{equation*}が成り立つことを意味します。確率変数列\(\left\{ X_{n}\right\} \)が確率変数\(X\)へ2乗平均収束することを、\begin{equation*}X_{n}\rightarrow X\quad q.m.
\end{equation*}または、\begin{equation*}
X_{n}\overset{L^{2}}{\rightarrow }X
\end{equation*}などで表記します。その上で、このような確率変数\(X\)を確率変数列\(\left\{ X_{n}\right\} \)の2乗平均極限（mean square limit）と呼びます。
\end{equation*}を満たすものとします。また、確率変数列\(\left\{ X_{n}\right\} \)の一般項である確率変数\(X_{n}:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)については、その値域が、\begin{equation*}X_{n}\left( \Omega \right) =\left\{ 0,1\right\}
\end{equation*}であり、確率質量関数\(f_{X_{n}}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f_{X_{n}}\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
1-\frac{1}{n} & \left( if\ x=0\right) \\
\frac{1}{n} & \left( if\ x=1\right) \\
0 & \left( otherwise\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。\(\left\{ X_{n}\right\} \)が\(X\)へ2次平均収束することを示します。確率変数\(\left\vert X_{n}-X\right\vert ^{2}:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)の期待値は、\begin{eqnarray*}E\left( \left\vert X_{n}-X\right\vert ^{2}\right) &=&\left\vert
0-0\right\vert ^{2}\cdot f_{X_{n}}\left( 0\right) +\left\vert 1-0\right\vert
^{2}\cdot f_{X_{n}}\left( 1\right) \\
&=&1\cdot \frac{1}{n} \\
&=&\frac{1}{n}
\end{eqnarray*}であるため、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow \infty }E\left( \left\vert X_{n}-X\right\vert ^{2}\right)
&=&\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{1}{n} \\
&=&0
\end{eqnarray*}を得ます。したがって、\(\left\{ X_{n}\right\} \)は\(X\)へ2次平均収束することが明らかになりました。
平均収束する確率変数列
\(r=1\)の場合、すなわち\(1\)次の平均収束を特に平均収束（mean convergence）と呼びます。
改めて整理すると、確率変数列\(\left\{ X_{n}\right\} \)が確率変数\(X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)へ平均収束することとは、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow \infty }E\left( \left\vert X_{n}-X\right\vert \right) =0
\end{equation*}が成り立つことを意味します。確率変数列\(\left\{ X_{n}\right\} \)が確率変数\(X\)へ平均収束することを、\begin{equation*}X_{n}\rightarrow X\quad c.m.
\end{equation*}または、\begin{equation*}
X_{n}\overset{L^{1}}{\rightarrow }X
\end{equation*}などで表記します。その上で、このような確率変数\(X\)を確率変数列\(\left\{ X_{n}\right\} \)の平均極限（mean square limit）と呼びます。
\end{equation*}を満たすものとします。また、確率変数列\(\left\{ X_{n}\right\} \)の一般項である確率変数\(X_{n}:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)については、その値域が、\begin{equation*}X_{n}\left( \Omega \right) =\left\{ 0,1\right\}
\end{equation*}であり、確率質量関数\(f_{X_{n}}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f_{X_{n}}\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
1-\frac{1}{n} & \left( if\ x=0\right) \\
\frac{1}{n} & \left( if\ x=1\right) \\
0 & \left( otherwise\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。\(\left\{ X_{n}\right\} \)が\(X\)へ平均収束することを示します。確率変数\(\left\vert X_{n}-X\right\vert :\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)の期待値は、\begin{eqnarray*}E\left( \left\vert X_{n}-X\right\vert \right) &=&\left\vert 0-0\right\vert
\cdot f_{X_{n}}\left( 0\right) +\left\vert 1-0\right\vert \cdot
f_{X_{n}}\left( 1\right) \\
&=&1\cdot \frac{1}{n} \\
&=&\frac{1}{n}
\end{eqnarray*}であるため、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow \infty }E\left( \left\vert X_{n}-X\right\vert \right)
&=&\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{1}{n} \\
&=&0
\end{eqnarray*}を得ます。したがって、\(\left\{ X_{n}\right\} \)は\(X\)へ平均収束することが明らかになりました。
確率変数列は平均収束するとは限らない
確率変数列\(\left\{ X_{n}\right\} \)が確率変数\(X\)へ平均収束することは、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow \infty }E\left( \left\vert X_{n}-X\right\vert ^{r}\right)
=0
\end{equation*}が成り立つことを意味します。したがって、そもそも数列\begin{equation*}
\left\{ E\left( \left\vert X_{n}-X\right\vert ^{r}\right) \right\}
\end{equation*}が定義不可能である場合、すなわち、それぞれの確率変数\(\left\vert X_{n}-X\right\vert ^{r}\)の期待値\(E\left( \left\vert X_{n}-X\right\vert ^{r}\right) \)が有限な実数として定まらない場合、\(\left\{ X_{n}\right\} \)が\(X\)へ\(r\)次平均収束するか検討することさえできません。この場合、\(\left\{ X_{n}\right\} \)は\(X\)へ\(r\)次平均収束しないものとみなします。
任意の\(n\)について期待値\(E\left( \left\vert X_{n}-X\right\vert ^{r}\right) \)が有限な実数として定まる場合においても、確率変数列\(\left\{ X_{n}\right\} \)は確率変数\(X\)へ\(r\)次平均収束するとは限りません。以下の例より明らかです。
\end{equation*}であるとともに、確率質量関数\(f_{X_{n}}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f_{X_{n}}\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
1-\frac{1}{n} & \left( if\ x=0\right) \\
\frac{1}{n} & \left( if\ x=n\right) \\
0 & \left( otherwise\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。さて、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow \infty }f_{X_{n}}\left( 0\right) &=&\lim_{n\rightarrow
\infty }\left( 1-\frac{1}{n}\right) \quad \because f_{X_{n}}\text{の定義} \\
&=&1-0 \\
&=&1
\end{eqnarray*}が成り立つため、\(n\)を限りなく大きくした場合、確率変数\(X_{n}\)が値\(0\)をとる確率は限りなく大きくなります。したがって、確率変数列\(\left\{ X_{n}\right\} \)が何らかの確率変数\(X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)へ2乗平均収束するものと仮定するならば、すなわち、\begin{equation*}E\left( \left\vert X_{n}-X\right\vert ^{2}\right) =0
\end{equation*}が成り立つのであれば、確率変数\(X\)の候補として\(0\)だけを値としてとる確率変数を候補としても一般性は失われません。つまり、\begin{equation*}\forall \omega \in \Omega :X\left( \omega \right) =0
\end{equation*}を満たす確率変数\(X:\Omega\rightarrow \mathbb{R} \)を2乗平均極限の候補とすることができます。ただし、実際には、\(\left\{ X_{n}\right\} \)はこの\(X\)へ2乗平均収束しません。実際、確率変数\(\left\vert X_{n}-X\right\vert ^{2}:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)の期待値は、\begin{eqnarray*}E\left( \left\vert X_{n}-X\right\vert ^{2}\right) &=&\left\vert
0-0\right\vert ^{2}\cdot f_{X_{n}}\left( 0\right) +\left\vert n-0\right\vert
^{2}\cdot f_{X_{n}}\left( n\right) \\
&=&n^{2}\cdot \frac{1}{n} \\
&=&n
\end{eqnarray*}であるため、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow \infty }E\left( \left\vert X_{n}-X\right\vert ^{2}\right)
&=&\lim_{n\rightarrow \infty }n \\
&=&+\infty
\end{eqnarray*}となります。したがって、確率変数列\(\left\{X_{n}\right\} \)は2乗平均収束しないことが明らかになりました。
平均収束どうしの関係
確率変数列\(\left\{ X_{n}\right\} \)が確率変数\(X\)へ\(r\)次の平均収束する場合、\(s\leq r\)を満たす任意の\(s\)についても、確率変数列\(\left\{ X_{n}\right\} \)が確率変数\(X\)へ\(s\)次の平均収束することが保証されます。
\end{equation*}を満たす実数\(r,s\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\begin{equation*}X_{n}\overset{L^{r}}{\rightarrow }X\Rightarrow X_{n}\overset{L^{s}}{\rightarrow }X
\end{equation*}が成り立つ。
\end{equation*}が成り立つということです。
演習問題
\end{equation*}です。確率変数列\(\left\{X_{n}\right\} \)の一般項である確率変数\(X_{n}:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの標本点\(\omega \in \Omega \)に対して、\begin{equation*}X_{n}\left( \omega \right) =\left\{
\begin{array}{cl}
\frac{1}{n} & \left( if\ X\left( \omega \right) \leq \frac{1}{n}\right) \\
0 & \left( otherwise\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。\(\left\{ X_{n}\right\} \)は\(X\)へ2次平均収束するでしょうか。議論してください。
\end{equation*}です。確率変数列\(\left\{X_{n}\right\} \)の一般項である確率変数\(X_{n}:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの標本点\(\omega \in \Omega \)に対して、\begin{equation*}X_{n}\left( \omega \right) =\left\{
\begin{array}{cl}
1 & \left( if\ X\left( \omega \right) \leq \frac{1}{n}\right) \\
0 & \left( otherwise\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。\(\left\{ X_{n}\right\} \)は\(X\)へ2次平均収束するでしょうか。議論してください。
\end{equation*}を定めるものとします。確率変数列\(\left\{X_{n}\right\} \)の一般項である確率変数\(X_{n}:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)の値域が、\begin{equation*}X_{n}\left( \Omega \right) =\left\{ 0,n^{\alpha }\right\}
\end{equation*}であるとともに、確率質量関数\(f_{X_{n}}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f_{X_{n}}\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
\frac{1}{n} & \left( if\ x=n^{a}\right) \\
1-\frac{1}{n} & \left( if\ x=0\right) \\
0 & \left( otherwise\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。以下の条件\begin{equation*}
\alpha <\frac{1}{2}
\end{equation*}が成り立つ場合、\(\left\{X_{n}\right\} \)は\(X\)へ2次平均収束することを示してください。
\end{equation*}であるとともに、確率質量関数\(f_{X_{n}}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f_{X_{n}}\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
1-\frac{1}{n} & \left( if\ x=0\right) \\
\frac{1}{n} & \left( if\ x=n^{2}\right) \\
0 & \left( otherwise\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。\(1\leq r<+\infty \)を満たす\(r\in \mathbb{R} \)と確率変数\(X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\(\left\{ X_{n}\right\} \)は\(X\)へ\(r\)次の平均収束しないことを示してください。
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