確率変数列の平均収束と確率収束の関係

平均収束と確率収束の違い

確率変数列の平均収束と確率収束について簡単に復習します。

確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)に加えて、標本空間\(\Omega \)を定義域として共有する確率変数列\(\left\{X_{n}\right\} \)が与えられているものとします。つまり、この確率変数列\(\left\{ X_{n}\right\} \)の一般項は\(\Omega \)上に定義された確率変数\begin{equation*}X_{n}:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}です。加えて、確率変数\begin{equation*}
X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が与えられているものとします。

確率変数列\(\left\{ X_{n}\right\} \)が確率変数\(X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)へ\(r\)次平均収束することとは、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow \infty }E\left( \left\vert X_{n}-X\right\vert ^{r}\right)
=0
\end{equation*}が成り立つことを意味します。ただし、\(r\in \mathbb{R} \)は定数であり、以下の条件\begin{equation*}r\in \lbrack 1,+\infty )
\end{equation*}を満たします。つまり、\(n\)を限りなく大きくすれば、確率変数\(X_{n}\)のもとでの実現値と確率変数\(X\)のもとでの実現値の差の\(r\)乗が平均的に\(0\)へ限りなく近づくことを意味します。このとき、\(X\)を\(\left\{ X_{n}\right\} \)の\(r\)次の平均極限と呼び、そのことを、\begin{equation*}X_{n}\rightarrow X\quad \text{r.m.}
\end{equation*}または、\begin{equation*}
X_{n}\overset{L^{r}}{\rightarrow }X
\end{equation*}などで表記します。

一方、確率変数列\(\left\{X_{n}\right\} \)が確率変数\(X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)へ確率収束することとは、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0:\lim_{n\rightarrow \infty }P\left( \left\{ \omega \in
\Omega \ |\ \left\vert X_{n}\left( \omega \right) -X\left( \omega \right)
\right\vert <\varepsilon \right\} \right) =1
\end{equation*}が成り立つことを意味します。つまり、\(n\)を限りなく大きくすれば、ほとんどすべての標本点\(\omega \in \Omega \)について、\(\omega \)が実現した場合の確率変数列\(\left\{X_{n}\right\} \)のもとでの実現値と確率変数\(X\)のもとでの実現値の差\(\left\vert X_{n}\left( \omega \right) -X\left( \omega \right) \right\vert \)が限りなく小さくなるということです。このとき、\(X\)を\(\left\{ X_{n}\right\} \)の確率極限と呼び、そのことを、\begin{equation*}X_{n}\rightarrow X\quad \text{c.p.}
\end{equation*}または、\begin{equation*}
X_{n}\overset{p}{\rightarrow }X
\end{equation*}などで表記します。

平均収束する確率変数列は確率収束する

何らかの定数\(r\)について、確率変数列\(\left\{X_{n}\right\} \)が確率変数\(X\)へ\(r\)次の平均収束する場合、\(\left\{ X_{n}\right\} \)は\(X\)へ確率収束することが保証されます。

確率収束する確率変数列は平均収束するとは限らない

平均収束する確率変数列は確率収束することが明らかになりましたが、その逆は成立するとは限りません。つまり、確率収束する確率変数列は平均収束するとは限らないということです。以下の例より明らかです。

確率変数列の収束概念どうしの関係

これまで登場した確率変数列の収束概念どうしの関係を整理します。

確率変数\(\left\{ X_{n}\right\} \)と確率変数\(X\)が与えられたとき、以下の関係\begin{eqnarray*}X_{n}\overset{p.w.}{\rightarrow }X &\Rightarrow &X_{n}\overset{a.s.}{\rightarrow }X \\
X_{n}\overset{a.s.}{\rightarrow }X &\Rightarrow &X_{n}\overset{p}{\rightarrow }X \\
X_{n}\overset{L^{r}}{\rightarrow }X &\Rightarrow &X_{n}\overset{p}{\rightarrow }X
\end{eqnarray*}がいずれも成り立ちますが、それぞれの逆は成り立つとは限りません。以上より、\begin{eqnarray*}
X_{n}\overset{p.w.}{\rightarrow }X &\Rightarrow &X_{n}\overset{a.s.}{\rightarrow }X\Rightarrow X_{n}\overset{p}{\rightarrow }X \\
X_{n}\overset{L^{r}}{\rightarrow }X &\Rightarrow &X_{n}\overset{p}{\rightarrow }X
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{eqnarray*}
\text{各点収束} &\Rightarrow &\text{概収束}\Rightarrow \text{確率収束} \\
\text{平均収束} &\Rightarrow &\text{確率収束}
\end{eqnarray*}が成り立つことが明らかになりました。

演習問題