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漸近理論

確率収束する確率変数列

目次

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確率収束する確率変数列

確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)に加えて、標本空間\(\Omega \)を定義域として共有する確率変数列\(\left\{X_{n}\right\} \)が与えられているものとします。つまり、この確率変数列\(\left\{ X_{n}\right\} \)の一般項は\(\Omega \)上に定義された確率変数\begin{equation*}X_{n}:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}です。また、それらとは異なる確率変数\begin{equation*}
X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が与えられているものとします。

標本点\(\omega \in \Omega \)を選べば、確率変数列\(\left\{ X_{n}\right\} \)のもとでの実現値からなる数列\(\left\{ X_{n}\left( \omega \right)\right\} \)と、確率変数\(X\)のもとでの実現値\(X\left( \omega \right) \)が得られるため、\begin{equation*}\left\vert X_{n}\left( \omega \right) -X\left( \omega \right) \right\vert
\end{equation*}を一般項とする新たな数列\begin{equation*}
\left\{ \left\vert X_{n}\left( \omega \right) -X\left( \omega \right)
\right\vert \right\}
\end{equation*}が定義可能です。これは、標本点\(\omega \)が実現した状況において、\(n\)が大きくなるにつれて、確率変数列\(\left\{X_{n}\right\} \)のもとでの実現値と確率変数\(X\)のもとでの実現値の差が変化していく様子を描写する数列です。

正の実数\(\varepsilon >0\)を選んだとき、「\(X_{n}\left( \omega \right) \)と\(X\left( \omega \right) \)の差が\(\varepsilon \)より小さい」という事象は、\begin{equation*}\left\{ \omega \in \Omega \ |\ \left\vert X_{n}\left( \omega \right)
-X\left( \omega \right) \right\vert <\varepsilon \right\}
\end{equation*}です。\(n\)を限りなく大きくした場合にこの事象が起こる確率が\(1\)へ限りなく近づく場合には、すなわち、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow \infty }P\left( \left\{ \omega \in \Omega \ |\ \left\vert
X_{n}\left( \omega \right) -X\left( \omega \right) \right\vert <\varepsilon
\right\} \right) =1
\end{equation*}が成り立つならば、\(n\)を限りなく大きくした場合に、ほとんどすべての標本点\(\omega \in \Omega \)について、\(\omega \)が実現した場合の確率変数列\(\left\{ X_{n}\right\} \)のもとでの実現値と確率変数\(X\)のもとでの実現値の差が\(\varepsilon \)より小さくなることを意味します。

最初に設定する正の実数\(\varepsilon >0\)としてどれほど小さい値を選んだ場合にも同様の主張が成り立つものとします。つまり、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0:\lim_{n\rightarrow \infty }P\left( \left\{ \omega \in
\Omega \ |\ \left\vert X_{n}\left( \omega \right) -X\left( \omega \right)
\right\vert <\varepsilon \right\} \right) =1
\end{equation*}が成り立つということです。これは、\(n\)を限りなく大きくすれば、ほとんどすべての標本点\(\omega \in \Omega \)について、\(\omega \)が実現した場合の確率変数列\(\left\{X_{n}\right\} \)のもとでの実現値と確率変数\(X\)のもとでの実現値の差が限りなく小さくなることを意味します。イプシロン・エヌ論法を用いて同じことを表現すると、\begin{eqnarray*}\forall \varepsilon &>&0,\ \forall \delta >0,\ \exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall n\in \mathbb{N} : \\
n &\geq &N\Rightarrow \left\vert P\left( \left\{ \omega \in \Omega \ |\
\left\vert X_{n}\left( \omega \right) -X\left( \omega \right) \right\vert
<\varepsilon \right\} \right) -1\right\vert <\delta
\end{eqnarray*}となります。いずれにせよ、以上の条件が成り立つ場合、確率変数列\(\left\{ X_{n}\right\} \)は確率変数\(X\)へ確率収束する(converge in probability)と言い、そのことを、\begin{equation*}X_{n}\rightarrow X\quad \text{c.p.}
\end{equation*}または、\begin{equation*}
X_{n}\overset{p}{\rightarrow }X
\end{equation*}などで表記します。その上で、このような確率変数\(X\)を確率変数列\(\left\{ X_{n}\right\} \)の確率極限(probability limit)と呼びます。以上が確率収束という収束概念にもとづく確率変数列の極限の定義です。

例(確率収束する確率変数列)
標本空間が、\begin{equation*}
\Omega =\left\{ 0,1\right\}
\end{equation*}であり、確率変数列\(\left\{ X_{n}\right\} \)の一般項である確率変数\(X_{n}:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\omega \in \Omega \)に対して、\begin{equation*}X_{n}\left( \omega \right) =\frac{\omega }{n+1}
\end{equation*}を定めるものとします。また、確率変数\(X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\omega \in \Omega \)に対して、\begin{equation*}X\left( \omega \right) =0
\end{equation*}を定めるものとします。\(\left\{ X_{n}\right\} \)が\(X\)へ確率収束することを示します。つまり、\(\varepsilon >0\)を任意に選んだとき、数列\begin{equation*}\left\{ P\left( \left\{ \omega \in \Omega \ |\ \left\vert X_{n}\left( \omega
\right) -X\left( \omega \right) \right\vert <\varepsilon \right\} \right)
\right\}
\end{equation*}が\(1\)へ収束することを示します。この数列の一般項は、\begin{eqnarray*}&&P\left( \left\{ \omega \in \Omega \ |\ \left\vert X_{n}\left( \omega
\right) -X\left( \omega \right) \right\vert <\varepsilon \right\} \right) \\
&=&P\left( \left\{ \omega \in \Omega \ |\ \left\vert \frac{\omega }{n+1}-0\right\vert <\varepsilon \right\} \right) \quad \because \left\{
X_{n}\right\} ,X\text{の定義} \\
&=&P\left( \left\{ \omega \in \Omega \ |\ \left\vert \frac{\omega }{n+1}\right\vert <\varepsilon \right\} \right) \\
&=&P\left( \left\{ \omega \in \left\{ 0,1\right\} \ |\ \frac{\omega }{n+1}<\varepsilon \right\} \right) \quad \because \Omega =\left\{ 0,1\right\}
\text{および}n\in \mathbb{N} \\
&=&P\left( \left\{ \omega \in \left\{ 0,1\right\} \ |\ \omega <\varepsilon
\left( n+1\right) \right\} \right) \\
&=&\left\{
\begin{array}{cl}
P\left( \left\{ 0\right\} \right) & \left( if\ 0<\varepsilon \left(
n+1\right) \leq 1\right) \\
P\left( \left\{ 0,1\right\} \right) & \left( if\ 1<\varepsilon \left(
n+1\right) \right)
\end{array}\right. \\
&=&\left\{
\begin{array}{cl}
P\left( \left\{ 0\right\} \right) & \left( if\ -1<n\leq \frac{1}{\varepsilon }-1\right) \\
P\left( \left\{ 0,1\right\} \right) & \left( if\ \frac{1}{\varepsilon }-1<n\right)
\end{array}\right.
\end{eqnarray*}です。この数列の\(n\rightarrow \infty \)の場合の極限をとります。先に選んだ\(\varepsilon >0\)に対して、十分大きい任意の\(n\)について、\begin{equation*}\frac{1}{\varepsilon }-1<n
\end{equation*}となるため、十分大きい任意の\(n\)について、先の数列の第\(n\)項は、\begin{equation*}P\left( \left\{ \omega \in \Omega \ |\ \left\vert X_{n}\left( \omega \right)
-X\left( \omega \right) \right\vert <\varepsilon \right\} \right) =P\left(
\left\{ 0,1\right\} \right)
\end{equation*}となります。したがって、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow \infty }P\left( \left\{ \omega \in \Omega \ |\ \left\vert
X_{n}\left( \omega \right) -X\left( \omega \right) \right\vert <\varepsilon
\right\} \right) &=&\lim_{n\rightarrow \infty }P\left( \left\{ 0,1\right\}
\right) \\
&=&\lim_{n\rightarrow \infty }P\left( \Omega \right) \quad \because \Omega
=\left\{ 0,1\right\} \\
&=&\lim_{n\rightarrow \infty }1\quad \because P\left( \Omega \right) =1 \\
&=&1
\end{eqnarray*}となります。任意の\(\varepsilon >0\)について同様であるため、\(\left\{ X_{n}\right\} \)は\(X\)へ確率収束することが明らかになりました。

以下は確率分布が与えられているケースです。

例(確率収束する確率変数列)
確率変数\(X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)の値域が、\begin{equation*}X\left( \Omega \right) =\left\{ 0,1\right\}
\end{equation*}であり、確率質量関数\(f_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f_{X}\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
\frac{2}{3} & \left( if\ x=0\right) \\
\frac{1}{3} & \left( if\ x=1\right) \\
0 & \left( otherwise\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。確率変数列\(\left\{X_{n}\right\} \)の一般項である確率変数\(X_{n}:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\omega \in \Omega \)に対して、\begin{equation*}X_{n}\left( \omega \right) =\left( 1+\frac{1}{n}\right) X\left( \omega
\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(\left\{ X_{n}\right\} \)が\(X\)へ確率収束することを示します。つまり、\(\varepsilon >0\)を任意に選んだとき、数列\begin{equation*}\left\{ P\left( \left\{ \omega \in \Omega \ |\ \left\vert X_{n}\left( \omega
\right) -X\left( \omega \right) \right\vert <\varepsilon \right\} \right)
\right\}
\end{equation*}が\(1\)へ収束することを示します。標本点\(\omega \in\Omega \)を任意に選んだとき、\begin{equation}f_{X}\left( X\left( \omega \right) \right) =\left\{
\begin{array}{cl}
\frac{2}{3} & \left( if\ X\left( \omega \right) =0\right) \\
\frac{1}{3} & \left( if\ X\left( \omega \right) =1\right) \\
0 & \left( otherwise\right)
\end{array}\right. \quad \cdots (1)
\end{equation}であることを踏まえると、先の数列の一般項は、\begin{eqnarray*}
&&P\left( \left\{ \omega \in \Omega \ |\ \left\vert X_{n}\left( \omega
\right) -X\left( \omega \right) \right\vert <\varepsilon \right\} \right) \\
&=&P\left( \left\{ \omega \in \Omega \ |\ \left\vert \left( 1+\frac{1}{n}\right) X\left( \omega \right) -X\left( \omega \right) \right\vert
<\varepsilon \right\} \right) \quad \because \left\{ X_{n}\right\} \text{の定義} \\
&=&P\left( \left\{ \omega \in \Omega \ |\ \left\vert \frac{1}{n}X\left(
\omega \right) \right\vert <\varepsilon \right\} \right) \\
&=&P\left( \left\{ \omega \in \left\{ 0,1\right\} \ |\ \frac{1}{n}X\left(
\omega \right) <\varepsilon \right\} \right) \quad \because X\left( \Omega
\right) =\left\{ 0,1\right\} \\
&=&P\left( \left\{ \omega \in \left\{ 0,1\right\} \ |\ X\left( \omega
\right) <n\varepsilon \right\} \right) \\
&=&\left\{
\begin{array}{cl}
\frac{2}{3} & \left( if\ n\varepsilon \leq 1\right) \\
1 & \left( if\ n\varepsilon >1\right)
\end{array}\right. \quad \because \left( 1\right) \\
&=&\left\{
\begin{array}{cl}
\frac{2}{3} & \left( if\ n\leq \frac{1}{\varepsilon }\right) \\
1 & \left( if\ n>\frac{1}{\varepsilon }\right)
\end{array}\right.
\end{eqnarray*}となります。この数列の\(n\rightarrow \infty \)の場合の極限をとります。先に選んだ\(\varepsilon >0\)に対して、十分大きい任意の\(n\)について、\begin{equation*}n>\frac{1}{\varepsilon }
\end{equation*}となるため、十分大きい任意の\(n\)について、先の数列の第\(n\)項は、\begin{equation*}P\left( \left\{ \omega \in \Omega \ |\ \left\vert X_{n}\left( \omega \right)
-X\left( \omega \right) \right\vert <\varepsilon \right\} \right) =1
\end{equation*}となります。したがって、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow \infty }P\left( \left\{ \omega \in \Omega \ |\ \left\vert
X_{n}\left( \omega \right) -X\left( \omega \right) \right\vert <\varepsilon
\right\} \right) &=&\lim_{n\rightarrow \infty }1 \\
&=&1
\end{eqnarray*}となります。任意の\(\varepsilon >0\)について同様であるため、\(\left\{ X_{n}\right\} \)は\(X\)へ確率収束することが明らかになりました。

 

確率収束の代替的な定義

標本空間\(\Omega \)上の確率変数の列\(\left\{ X_{n}\right\} \)が確率変数\(X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)へ確率収束することとは、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0:\lim_{n\rightarrow \infty }P\left( \left\{ \omega \in
\Omega \ |\ \left\vert X_{n}\left( \omega \right) -X\left( \omega \right)
\right\vert <\varepsilon \right\} \right) =1
\end{equation*}が成り立つことを意味します。ここで、問題としている事象\begin{equation*}
\left\{ \omega \in \Omega \ |\ \left\vert X_{n}\left( \omega \right)
-X\left( \omega \right) \right\vert <\varepsilon \right\}
\end{equation*}の余事象が、\begin{equation*}
\left\{ \omega \in \Omega \ |\ \left\vert X_{n}\left( \omega \right)
-X\left( \omega \right) \right\vert \geq \varepsilon \right\}
\end{equation*}であることを踏まえると、確率変数列\(\left\{X_{n}\right\} \)が確率変数\(X\)へ確率収束することを、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0:\lim_{n\rightarrow \infty }P\left( \left\{ \omega \in
\Omega \ |\ \left\vert X_{n}\left( \omega \right) -X\left( \omega \right)
\right\vert \geq \varepsilon \right\} \right) =0
\end{equation*}と表現することもできます。これは、\(\varepsilon>0\)としてどのような値を選んだ場合でも数列\begin{equation*}\left\{ P\left( \left\{ \omega \in \Omega \ |\ \left\vert X_{n}\left( \omega
\right) -X\left( \omega \right) \right\vert \geq \varepsilon \right\}
\right) \right\}
\end{equation*}が\(0\)へ収束するということであるため、同じことをイプシロン・エヌ論法を用いて表現すると、\begin{eqnarray*}\forall \varepsilon &>&0,\ \forall \delta >0,\ \exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall n\in \mathbb{N} : \\
n &\geq &N\Rightarrow \left\vert P\left( \left\{ \omega \in \Omega \ |\
\left\vert X_{n}\left( \omega \right) -X\left( \omega \right) \right\vert
<\varepsilon \right\} \right) -0\right\vert <\delta
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{eqnarray*}
\forall \varepsilon &>&0,\ \forall \delta >0,\ \exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall n\in \mathbb{N} : \\
n &\geq &N\Rightarrow P\left( \left\{ \omega \in \Omega \ |\ \left\vert
X_{n}\left( \omega \right) -X\left( \omega \right) \right\vert <\varepsilon
\right\} \right) <\delta
\end{eqnarray*}となります。

命題(確率収束の代替的な定義)
確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)に加えて、標本空間\(\Omega \)上に定義された確率変数の列\(\left\{ X_{n}\right\} \)と確率変数\(X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0:\lim_{n\rightarrow \infty }P\left( \left\{ \omega \in
\Omega \ |\ \left\vert X_{n}\left( \omega \right) -X\left( \omega \right)
\right\vert \geq \varepsilon \right\} \right) =0
\end{equation*}が成り立つことは、\(\left\{ X_{n}\right\} \)が\(X\)へ確率収束するための必要十分条件である。
証明

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例(確率収束する確率変数列)
標本空間が、\begin{equation*}
\Omega =\left\{ 0,1\right\}
\end{equation*}であり、確率変数列\(\left\{ X_{n}\right\} \)の一般項である確率変数\(X_{n}:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\omega \in \Omega \)に対して、\begin{equation*}X_{n}\left( \omega \right) =\frac{\omega }{n+1}
\end{equation*}を定めるものとします。また、確率変数\(X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\omega \in \Omega \)に対して、\begin{equation*}X\left( \omega \right) =0
\end{equation*}を定めるものとします。先に示したように\(\left\{ X_{n}\right\} \)が\(X\)へ確率収束しますが、同じことを上の命題を用いて示します。\(\varepsilon >0\)を任意に選んだとき、数列\begin{equation*}\left\{ P\left( \left\{ \omega \in \Omega \ |\ \left\vert X_{n}\left( \omega
\right) -X\left( \omega \right) \right\vert \geq \varepsilon \right\}
\right) \right\}
\end{equation*}が\(0\)へ収束することを示します。先の数列の一般項を特定すると、\begin{eqnarray*}&&P\left( \left\{ \omega \in \Omega \ |\ \left\vert X_{n}\left( \omega
\right) -X\left( \omega \right) \right\vert \geq \varepsilon \right\}
\right) \\
&=&P\left( \left\{ \omega \in \Omega \ |\ \left\vert \frac{\omega }{n+1}-0\right\vert \geq \varepsilon \right\} \right) \quad \because \left\{
X_{n}\right\} ,X\text{の定義} \\
&=&P\left( \left\{ \omega \in \Omega \ |\ \left\vert \frac{\omega }{n+1}\right\vert \geq \varepsilon \right\} \right) \\
&=&P\left( \left\{ \omega \in \Omega \ |\ \frac{\omega }{n+1}\geq
\varepsilon \right\} \right) \quad \because \Omega =\left\{ 0,1\right\}
\text{および}n\in \mathbb{N} \\
&=&P\left( \left\{ \omega \in \Omega \ |\ \omega \geq \varepsilon \left(
n+1\right) \right\} \right) \\
&=&\left\{
\begin{array}{cl}
P\left( \left\{ 1\right\} \right) & \left( if\ 0<\varepsilon \left(
n+1\right) \leq 1\right) \\
P\left( \phi \right) & \left( if\ \varepsilon \left( n+1\right) >1\right)
\end{array}\right. \\
&=&\left\{
\begin{array}{cl}
P\left( \left\{ 1\right\} \right) & \left( if\ -1<n\leq \frac{1}{\varepsilon }-1\right) \\
P\left( \phi \right) & \left( if\ \frac{1}{\varepsilon }-1<n\right)
\end{array}\right.
\end{eqnarray*}となります。この数列の\(n\rightarrow \infty \)の場合の極限をとります。先に選んだ\(\varepsilon >0\)に対して、十分大きい任意の\(n\)について、\begin{equation*}\frac{1}{\varepsilon }-1<n
\end{equation*}となるため、十分大きい任意の\(n\)について、先の数列の第\(n\)項は、\begin{equation*}P\left( \left\{ \omega \in \Omega \ |\ \left\vert X_{n}\left( \omega \right)
-X\left( \omega \right) \right\vert <\varepsilon \right\} \right) =P\left(
\phi \right)
\end{equation*}となります。したがって、先の数列の極限は、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow \infty }P\left( \left\{ \omega \in \Omega \ |\ \left\vert
X_{n}\left( \omega \right) -X\left( \omega \right) \right\vert <\varepsilon
\right\} \right) &=&\lim_{n\rightarrow \infty }P\left( \phi \right) \\
&=&\lim_{n\rightarrow \infty }0\quad \because P\left( \phi \right) =0 \\
&=&0
\end{eqnarray*}となります。任意の\(\varepsilon >0\)について同様であるため、\(\left\{ X_{n}\right\} \)は\(X\)へ確率収束することが明らかになりました。

 

確率変数列は確率収束するとは限らない

確率変数列は確率収束するとは限りません。以下の例より明らかです。

例(確率収束しない確率変数列)
確率変数\(X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)の値域は、\begin{equation*}X\left( \Omega \right) =\left\{ 1,-1\right\}
\end{equation*}であり、確率質量関数\(f_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
\frac{1}{2} & \left( if\ x=1\right) \\
\frac{1}{2} & \left( if\ x=-1\right)\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。その上で、確率変数列\(\left\{ X_{n}\right\} \)の一般項である確率変数\(X_{n}:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\omega \in \Omega \)に対して、\begin{equation*}X_{n}\left( \omega \right) =\left( -1\right) ^{n}X\left( \omega \right)
\end{equation*}を定めるものとします。この確率変数列\(\left\{ X_{n}\right\} \)はいかなる確率変数へも確率収束しません(演習問題)。

 

確率変数列の確率極限の一意性

確率変数列が確率収束する場合、その確率極限に相当する確率変数は一意的に定まるとは限りません。ただ、\(\left\{ X_{n}\right\} \)の異なる確率極限\(X,Y\)を任意に選んだとき、それらがほとんどいたるところで等しくなることは保証されます。つまり、\(X\)が定める値と\(Y\)が定める値が一致するような事象の確率は\(1\)になること、すなわち、\begin{equation*}P\left( \left\{ \omega \in \Omega \ |\ X\left( \omega \right) =Y\left(
\omega \right) \right\} \right) =1
\end{equation*}が成り立つということです。

命題(確率極限はほとんどいたるところで等しい)
確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)に加えて、標本空間\(\Omega \)上に定義された確率変数の列\(\left\{ X_{n}\right\} \)が与えられているものとする。\(\left\{ X_{n}\right\} \)が確率収束するものとする。\(\left\{ X_{n}\right\} \)の確率極限である確率変数\(X,Y:\Omega\rightarrow \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\begin{equation*}P\left( \left\{ \omega \in \Omega \ |\ X\left( \omega \right) =Y\left(
\omega \right) \right\} \right) =1
\end{equation*}が成り立つ。

証明

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演習問題

問題(確率収束する確率変数列)
標本空間\(\Omega \)は、\begin{equation*}\left[ 0,1\right] \end{equation*}であり、事象空間\(\mathcal{F}\)は\(\left[ 0,1\right] \)上の開集合系から生成されるボレル集合族\begin{equation*}B\left( \left[ 0,1\right] \right)
\end{equation*}であり、確率関数\(P\)はルベーグ測度\begin{equation*}\mu :B\left( \left[ 0,1\right] \right) \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}であるものとします。以上のように定義される\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)は確率空間です。標本空間\(\Omega \)上に定義された確率変数列\(\left\{ X_{n}\right\} \)の一般項である確率変数\(X_{n}:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)は、それぞれの\(\omega \in \Omega \)に対して、\begin{equation*}X_{n}\left( \omega \right) =\left\{
\begin{array}{cl}
1 & \left( if\ 0\leq \omega \leq \frac{1}{n}\right) \\
0 & \left( if\ \frac{1}{n}<\omega \leq 1\right)\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。また、確率変数\(X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\omega \in \Omega \)に対して、\begin{equation*}X\left( \omega \right) =0
\end{equation*}を定めるものとします。\(\left\{ X_{n}\right\} \)が\(X\)へ確率収束することを示してください。
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問題(確率収束する確率変数列)
確率変数列\(\left\{ X_{n}\right\} \)の一般項である確率変数\(X_{n}:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)の値域は、\begin{equation*}X_{n}\left( \Omega \right) =\left[ -\frac{1}{n},\frac{1}{n}\right] \end{equation*}であり、確率密度関数\(f_{X_{n}}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f_{X_{n}}\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
\frac{n}{2} & \left( if\ x\in X_{n}\left( \Omega \right) \right) \\
0 & \left( if\ x\not\in X_{n}\left( \Omega \right) \right)\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。また、確率変数\(X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)は、\begin{equation*}\forall \omega \in \Omega :X\left( \omega \right) =0
\end{equation*}を満たすものとします。\(\left\{ X_{n}\right\} \)は\(X\)へ確率収束することを示してください。
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問題(確率収束する確率変数列)
確率変数列\(\left\{ X_{n}\right\} \)の一般項である確率変数\(X_{n}:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)の値域は、\begin{equation*}X_{n}\left( \Omega \right) =\mathbb{R} \end{equation*}であり、確率密度関数\(f_{X_{n}}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f_{X_{n}}\left( x\right) =\frac{n}{2}e^{-n\left\vert x\right\vert }
\end{equation*}を定めるものとします。また、確率変数\(X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)は、\begin{equation*}\forall \omega \in \Omega :X\left( \omega \right) =0
\end{equation*}を満たすものとします。\(\left\{ X_{n}\right\} \)は\(X\)へ確率収束することを示してください。
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問題(確率収束しない確率変数列)
確率変数\(X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)の値域は、\begin{equation*}X\left( \Omega \right) =\left\{ 1,-1\right\}
\end{equation*}であり、確率質量関数\(f_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
\frac{1}{2} & \left( if\ x=1\right) \\
\frac{1}{2} & \left( if\ x=-1\right)\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。その上で、確率変数列\(\left\{ X_{n}\right\} \)の一般項である確率変数\(X_{n}:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\omega \in \Omega \)に対して、\begin{equation*}X_{n}\left( \omega \right) =\left( -1\right) ^{n}X\left( \omega \right)
\end{equation*}を定めるものとします。この確率変数列\(\left\{ X_{n}\right\} \)はいかなる確率変数へも確率収束しないことを示してください。
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問題(確率収束の収束先を指定する)
確率変数\(X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)を任意に選びます。確率変数列\(\left\{ Y_{n}\right\} \)の一般項である確率変数\(Y_{n}:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)は、\begin{eqnarray*}E\left( Y_{n}\right) &=&\frac{1}{n} \\
\mathrm{Var}\left( Y_{n}\right) &=&\frac{c^{2}}{n}
\end{eqnarray*}を満たすものとします。ただし、\(c>0\)です。その上で、それぞれの\(\omega \in \Omega \)に対して、\begin{equation*}X_{n}\left( \omega \right) =X\left( \omega \right) +Y_{n}\left( \omega
\right)
\end{equation*}を定める確率変数\(X_{n}:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)を定義します。この確率変数を一般項とする確率変数列\(\left\{X_{n}\right\} \)は確率変数\(X\)へ確率収束することを示してください。
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