確率変数列が概収束する（ほとんど確実に収束する）ことの代替的な定義

概収束する確率変数列

確率変数列の概収束および概極限について簡単に復習します。

確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)に加えて、標本空間\(\Omega \)を定義域として共有する確率変数列\(\left\{X_{n}\right\} \)が与えられているものとします。つまり、この確率変数列\(\left\{ X_{n}\right\} \)の一般項は\(\Omega \)上に定義された確率変数\begin{equation*}X_{n}:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}です。加えて、確率変数\begin{equation*}
X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が与えられているものとします。

確率変数列\(\left\{ X_{n}\right\} \)が標本点\(\omega \in \Omega \)において確率変数\(X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)へ各点収束することとは、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow \infty }X_{n}\left( \omega \right) =X\left( \omega
\right)
\end{equation*}が成り立つことを意味します。つまり、標本点\(\omega \)が実現した場合には、確率変数列\(\left\{ X_{n}\right\} \)の要素である確率変数\(X_{1},X_{2},X_{3},\cdots \)のもとでの実現値からなる数列\(X_{1}\left( \omega \right) ,X_{2}\left(\omega \right) ,X_{3}\left( \omega \right) ,\cdots \)が、確率変数\(X\)のもとでの実現値\(X\left( \omega \right) \)へ限りなく近づくことを意味します。同じことをイプシロン・エヌ論法を用いて表現すると、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :\left( n\geq N\Rightarrow \left\vert X_{n}\left( \omega \right) -X\left(
\omega \right) \right\vert <\varepsilon \right)
\end{equation*}となります。

確率変数列\(\left\{ X_{n}\right\} \)が確率変数\(X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)へ概収束することとは、\(\left\{ X_{n}\right\} \)が\(X\)へ各点収束する標本点からなる事象\begin{equation*}A=\left\{ \omega \in \Omega \ |\ \lim_{n\rightarrow \infty }X_{n}\left(
\omega \right) =X\left( \omega \right) \right\}
\end{equation*}の確率が、\begin{equation*}
P\left( A\right) =1
\end{equation*}であることを意味します。このとき、\(X\)を\(\left\{ X_{n}\right\} \)の概極限と呼び、そのことを、\begin{equation*}X_{n}\rightarrow X\quad \text{a.s.}
\end{equation*}または、\begin{equation*}
X_{n}\overset{a.s.}{\rightarrow }X
\end{equation*}などで表記します。

概収束の概念は様々な形で表現することができます。以降で順番に解説します。

絶対値を用いた概収束の表現

標本空間\(\Omega \)上に定義された確率変数の列\(\left\{ X_{n}\right\} \)と確率変数\(X:\Omega\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられているものとします。標本点\(\omega \in \Omega \)を選べば、確率変数列\(\left\{ X_{n}\right\} \)のもとでの実現値からなる数列\(\left\{ X_{n}\left( \omega \right) \right\} \)と、確率変数\(X\)のもとでの実現値\(X\left( \omega \right) \)が得られるため、\begin{equation*}\left\vert X_{n}\left( \omega \right) -X\left( \omega \right) \right\vert
\end{equation*}を一般項とする新たな数列\begin{equation*}
\left\{ \left\vert X_{n}\left( \omega \right) -X\left( \omega \right)
\right\vert \right\}
\end{equation*}が定義可能です。これは、標本点\(\omega \)が実現した状況において、\(n\)が大きくなるにつれて、確率変数列\(\left\{X_{n}\right\} \)のもとでの実現値と確率変数\(X\)のもとでの実現値の差がどのように変化していくかを特定する数列です。

この数列\(\left\{ \left\vert X_{n}\left( \omega\right) -X\left( \omega \right) \right\vert \right\} \)が\(0\)へ収束するような標本点\(\omega \)からなる事象は、\begin{equation*}A=\left\{ \omega \in \Omega \ |\ \lim_{n\rightarrow \infty }\left\vert
X_{n}\left( \omega \right) -X\left( \omega \right) \right\vert =0\right\}
\end{equation*}ですが、この事象の確率が\(1\)であることは、確率変数列\(\left\{ X_{n}\right\} \)が確率変数\(X\)へ概収束するための必要十分条件です。

余事象を用いた概収束の表現

標本空間\(\Omega \)上に定義された確率変数の列\(\left\{ X_{n}\right\} \)と確率変数\(X:\Omega\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、数列\(\left\{ \left\vert X_{n}\left( \omega \right) -X\left(\omega \right) \right\vert \right\} \)が\(0\)へ収束するような標本点\(\omega \)からなる事象は、\begin{equation*}A=\left\{ \omega \in \Omega \ |\ \lim_{n\rightarrow \infty }\left\vert
X_{n}\left( \omega \right) -X\left( \omega \right) \right\vert =0\right\}
\end{equation*}ですが、この事象の余事象の確率が\(0\)であることは、確率変数列\(\left\{ X_{n}\right\} \)が確率変数\(X\)へ概収束するための必要十分条件です。

事象の言い換えによる概収束の表現

標本空間\(\Omega \)上に定義された確率変数の列\(\left\{ X_{n}\right\} \)と確率変数\(X:\Omega\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、確率変数列\(\left\{ X_{n}\right\} \)が確率変数\(X\)へ各点収束するような標本点からなる事象は、\begin{equation*}A=\left\{ \omega \in \Omega \ |\ \lim_{n\rightarrow \infty }X_{n}\left(
\omega \right) =X\left( \omega \right) \right\}
\end{equation*}ですが、この事象を変形します。

自然数\(k\in \mathbb{N} \)を任意に選びます。このとき\(\frac{1}{k}>0\)です。一方、数列\(\left\{ \left\vert X_{n}\left(\omega \right) -X\left( \omega \right) \right\vert \right\} \)の項\(\left\vert X_{n}\left( \omega \right) -X\left( \omega \right) \right\vert \)は絶対値であるため非負です。「数列\(\left\{\left\vert X_{n}\left( \omega \right) -X\left( \omega \right) \right\vert
\right\} \)の第\(m\)項以降のすべての項が\(\frac{1}{k}\)より小さくなる」という事象、すなわち、以下の命題\begin{equation*}\forall n\in \mathbb{N} :\left( n\geq m\Rightarrow \left\vert X_{n}\left( \omega \right) -X\left(
\omega \right) \right\vert <\frac{1}{k}\right)
\end{equation*}を満たす標本点\(\omega \)からなる事象を、\begin{equation*}B_{m}\left( k\right) =\bigcap_{n=m}^{+\infty }\left\{ \omega \in \Omega \ |\
\left\vert X_{n}\left( \omega \right) -X\left( \omega \right) \right\vert <\frac{1}{k}\right\}
\end{equation*}で表記します。

「数列\(\left\{ \left\vert X_{n}\left( \omega \right)-X\left( \omega \right) \right\vert \right\} \)の第\(m\)項以降のすべての項が\(\frac{1}{k}\)より小さい」という主張において、\(k\)を固定したまま\(m\)だけを大きくしていく場合、それに応じて条件が要求する基準が緩くなるため、主張を満たす標本点\(\omega \)は増加し、したがって事象\(B_{m}\left( k\right) \)は単調増大します。つまり、\(k\)を固定した場合、事象の列\(\left\{ B_{m}\left( k\right) \right\} \)は\(m\)に関する単調増加列であるということです。言い換えると、それぞれの\(k\in \mathbb{N} \)について、\begin{equation*}B_{m}\left( k\right) \subset B_{m+1}\left( k\right) \quad \left(
m=1,2,\cdots \right)
\end{equation*}が成り立つということです。この単調増加列\(\left\{ B_{m}\left( k\right) \right\} \)の極限を、\begin{equation*}B\left( k\right) =\lim_{m\rightarrow \infty }B_{m}\left( k\right)
\end{equation*}で表記します。極限の定義より、\(B\left( k\right) \)は「ある番号\(M\in \mathbb{N} \)が存在して、数列\(\left\{\left\vert X_{n}\left( \omega \right) -X\left( \omega \right) \right\vert
\right\} \)の第\(M\)項以降のすべての項が\(\frac{1}{k}\)より小さくなる」という事象、すなわち、以下の命題\begin{equation*}\exists M\in \mathbb{N} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :\left( n\geq M\Rightarrow \left\vert X_{n}\left( \omega \right) -X\left(
\omega \right) \right\vert <\frac{1}{k}\right)
\end{equation*}を満たす標本点\(\omega \)からなる事象に相当します。したがって、事象列\(\left\{ B\left( k\right) \right\} \)の積事象を、\begin{equation*}B=\bigcap_{k\in \mathbb{N} }B\left( k\right)
\end{equation*}で表記するのであれば、これは「どのような自然数\(k\in \mathbb{N} \)を選んだ場合でも、それに対してある番号\(M\in \mathbb{N} \)が存在して、数列\(\left\{\left\vert X_{n}\left( \omega \right) -X\left( \omega \right) \right\vert \right\} \)の第\(M\)項以降のすべての項が\(\frac{1}{k}\)より小さくなる」という事象、すなわち、以下の命題\begin{equation*}\forall k\in \mathbb{N} ,\ \exists M\in \mathbb{N} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :\left( n\geq M\Rightarrow \left\vert X_{n}\left( \omega \right) -X\left(
\omega \right) \right\vert <\frac{1}{k}\right)
\end{equation*}を満たす標本点\(\omega \)からなる事象に相当します。このとき、\begin{eqnarray*}B &=&\bigcap_{k\in \mathbb{N} }B\left( k\right) \quad \because B\text{の定義} \\
&=&\bigcap_{k\in \mathbb{N} }\lim_{m\rightarrow \infty }B_{m}\left( k\right) \quad \because B\left(
k\right) \text{の定義} \\
&=&\bigcap_{k\in \mathbb{N} }\bigcup_{m\in \mathbb{N} }B_{m}\left( k\right) \quad \because \left\{ B_{m}\left( k\right) \right\}
\text{は単調増加列} \\
&=&\bigcap_{k\in \mathbb{N} }\bigcup_{m\in \mathbb{N} }\bigcap_{n=m}^{+\infty }\left\{ \omega \in \Omega \ |\ \left\vert
X_{n}\left( \omega \right) -X\left( \omega \right) \right\vert <\frac{1}{k}\right\} \quad \because B_{m}\left( k\right) \text{の定義}
\end{eqnarray*}という関係が成立することに注意してください。ちなみに、\(B\)の余事象は、\begin{equation*}B^{c}=\bigcup_{k\in \mathbb{N} }\bigcap_{m\in \mathbb{N} }\bigcup_{n=m}^{+\infty }\left\{ \omega \in \Omega \ |\ \left\vert
X_{n}\left( \omega \right) -X\left( \omega \right) \right\vert <\frac{1}{k}\right\}
\end{equation*}です。いずれにせよ、事象\(B\)は先の事象\(A\)と一致することが保証されます。

これまで示した諸命題を踏まえると以下を得ます。

先の命題を以下のように表現することもできます。

先の命題を以下のように表現することもできます。

先の命題を以下のように表現することもできます。

先の命題を以下のように表現することもできます。

確率変数列が概収束しないことの証明

先の命題は確率変数列が概収束するための必要十分条件であるため、確率変数列が概収束しないことを示す上でも有用です。つまり、確率変数の列\(\left\{ X_{n}\right\} \)と確率変数\(X\)が与えられたとき、\(\varepsilon >0\)および\(n\in \mathbb{N} \)に対して、\begin{equation*}A_{n}\left( \varepsilon \right) =\left\{ \omega \in \Omega \ |\ \left\vert
X_{n}\left( \omega \right) -X\left( \omega \right) \right\vert <\varepsilon
\right\}
\end{equation*}と定義した上で、\begin{equation*}
\exists \varepsilon >0:\lim_{m\rightarrow \infty }P\left(
\bigcap_{n=m}^{+\infty }A_{n}\left( \varepsilon \right) \right) <1
\end{equation*}が成り立つことを示せば、\(\left\{ X_{n}\right\} \)は\(X\)へ概収束しないことを示したことになります。

同様に、\(\varepsilon >0\)および\(n\in \mathbb{N} \)に対して、\begin{equation*}\left( A_{n}\left( \varepsilon \right) \right) ^{c}=\left\{ \omega \in
\Omega \ |\ \left\vert X_{n}\left( \omega \right) -X\left( \omega \right)
\right\vert \geq \varepsilon \right\}
\end{equation*}と定義した上で、\begin{equation*}
\exists \varepsilon >0:\lim_{m\rightarrow \infty }P\left(
\bigcup_{n=m}^{+\infty }\left( A_{n}\left( \varepsilon \right) \right)
^{c}\right) >0
\end{equation*}が成り立つことを示せば、\(\left\{ X_{n}\right\} \)は\(X\)へ概収束しないことを示したことになります。

演習問題