確率変数の定義

確率変数を導入する動機

確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)が与えられているものとします。つまり、事象空間\(\mathcal{F}\subset 2^{\Omega }\)は可測空間の公理\begin{eqnarray*}&&\left( M_{1}\right) \ \mathcal{F}\not=\phi \\
&&\left( M_{2}\right) \ \forall A\in \mathcal{F}:A^{c}\in \mathcal{F} \\
&&\left( M_{3}\right) \ \forall \left\{ A_{n}\right\} _{n\in \mathbb{N} }\subset \mathcal{F}:\bigcup_{n\in \mathbb{N} }A_{n}\in \mathcal{F}
\end{eqnarray*}を満たすとともに、確率測度\(P:\mathcal{F}\rightarrow \mathbb{R} \)は確率論の公理\begin{eqnarray*}&&\left( P_{1}\right) \ \forall A\in \mathcal{F}:P\left( A\right) \geq 0 \\
&&\left( P_{2}\right) \ P\left( \Omega \right) =1 \\
&&\left( P_{3}\right) \ \forall \text{排反な}\left\{
A_{n}\right\} _{n\in \mathbb{N} }\subset \mathcal{F}:P\left( \bigcup_{n\in \mathbb{N} }A_{n}\right) =\sum_{n\in \mathbb{N} }P\left( A_{n}\right)
\end{eqnarray*}を満たすということです。

「コインを1回投げる」という試行の標本空間が、\begin{equation*}
\Omega =\left\{ \text{表},\text{裏}\right\}
\end{equation*}であるように、試行において起こり得る標本点は数値であるとは限りません。確率に関して定量的な分析を行うためには、それぞれの標本点を数値として表現できれば何かと便利です。そこで、それぞれの標本点\(\omega \in \Omega \)に対して実数\(X\left( \omega \right) \in \mathbb{R} \)を1つずつ定める写像\begin{equation*}X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を導入し、これを確率変数（random variable）と呼びます。ただし、先述のように事象空間\(\mathcal{F}\)は可測空間の公理を満たす必要があるため、確率変数\(X:\Omega\rightarrow \mathbb{R} \)もまた公理と整合的である必要があります。つまり、\(\Omega \)から\(\mathbb{R} \)への任意の写像を確率変数として採用できるわけではないということです。では、\(\Omega \)から\(\mathbb{R} \)への写像がどのような性質を満たしていれば、それを確率変数として採用できるのでしょうか。必要な概念を整備しながら順番に解説します。

確率変数の定義

標本空間\(\Omega \)と事象空間\(\mathcal{F}\subset 2^{\Omega }\)および確率測度\(P:\mathcal{F}\rightarrow \mathbb{R} \)からなる確率空間\begin{equation*}\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right)
\end{equation*}に加えて、実数空間\(\mathbb{R} \)と\(\mathbb{R} \)上のボレル集合族\(\mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right) \)およびボレル測度\(\mu :\mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right) \rightarrow \mathbb{R} _{+}\cup \left\{ +\infty \right\} \)からなる測度空間\begin{equation*}\left( \mathbb{R} ,\mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right) ,\mu \right)
\end{equation*}が与えられているものとします。そのうえで、\(\Omega \)を定義域とする関数\begin{equation*}X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義します。つまり、それぞれの標本点\(\omega \in \Omega \)を実数\(X\left( \omega \right)\in \mathbb{R} \)へ変換する状況を想定するということです。

変換後の測度空間\(\left( \mathbb{R} ,\mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right) ,\mu \right) \)において可測な集合、すなわちボレル集合\(B\in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right) \)を任意に選びます。もとの確率空間\(\left(\Omega ,\mathcal{F},P\right) \)においてこの集合\(B\)に対応する集合は、写像\(X\)のもとでの集合\(B\)の逆像\begin{equation*}X^{-1}\left( B\right) =\left\{ \omega \in \Omega \ |\ X\left( \omega \right)
\in B\right\}
\end{equation*}です。したがって、変換後の測度空間\(\left( \mathbb{R} ,\mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right) ,\mu \right) \)において可測な集合\(B\)が与えられたとき、もとの確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)においてこの集合に対応する集合が可測であることは、以下の条件\begin{equation*}X^{-1}\left( B\right) \in \mathcal{F}
\end{equation*}が成り立つことを意味します。

以上を踏まえた上で、変換後の測度空間\(\left( \mathbb{R} ,\mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right) ,\mu \right) \)において可測な集合\(B\in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right) \)を任意に選んだ場合、もとの確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)においてこの集合\(B\)の逆像が可測であることが保証されるならば、すなわち、以下の条件\begin{equation*}\forall B\in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right) :X^{-1}\left( B\right) \in \mathcal{F}
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall B\in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right) :\left\{ \omega \in \Omega \ |\ X\left( \omega \right) \in B\right\}
\in \mathcal{F}
\end{equation*}が成り立つ場合には、この写像\(X\)を確率変数（random variable）と呼びます。このとき、\(X\)は\(\mathcal{F}\)-可測（\(\mathcal{F}\)-measurable）であるとも言います。

確率変数であるための必要十分条件

ボレル集合族\(\mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right) \subset 2^{\mathbb{R} }\)は\(\sigma \)-代数であるため、\begin{equation*}\sigma \left( \mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right) \right) =\mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right)
\end{equation*}が成り立ちます。以上より、\(\mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right) \)を生成する\(\mathbb{R} \)の部分集合族が存在することが明らかになりました。

ボレル集合族\(\mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right) \)を生成する\(\mathbb{R} \)の部分集合族\(\mathcal{A}\subset 2^{\mathbb{R} }\)を任意に選びます。つまり、以下の条件\begin{equation*}\sigma \left( \mathcal{A}\right) =\mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right)
\end{equation*}を満たす\(\mathcal{A}\)を選ぶということです。先の議論より、\(\mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right) \)自身は\(\mathcal{A}\)の具体例の1つです。このような集合族\(\mathcal{A}\)の要素\(B\in \mathcal{A}\)を任意に選んだとき、もとの確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)においてその逆像が可測であることは、すなわち、\begin{equation*}\forall B\in \mathcal{A}:X^{-1}\left( B\right) \in \mathcal{F}
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall B\in \mathcal{A}:\left\{ \omega \in \Omega \ |\ X\left( \omega
\right) \in B\right\} \in \mathcal{F}
\end{equation*}が成り立つことは、写像\(X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)が確率変数であるための必要十分条件です。

区間を用いた確率変数の表現

確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)および写像\(X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)が与えられているものとします。先の命題より、以下の条件\begin{equation*}\sigma \left( \mathcal{A}\right) =\mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right)
\end{equation*}を満たす何らかの集合族\(\mathcal{A}\subset 2^{\mathbb{R} }\)について、\begin{equation*}\forall B\in \mathcal{A}:X^{-1}\left( B\right) \in \mathcal{F}
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall B\in \mathcal{A}:\left\{ \omega \in \Omega \ |\ X\left( \omega
\right) \in B\right\} \in \mathcal{F}
\end{equation*}が成り立つならば、\(X\)は確率変数になります。

ボレル集合族\(\mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right) \)は様々な区間族から生成可能です。具体例を挙げると、以下の区間族\begin{eqnarray*}\mathcal{A}_{1} &=&\left\{ \left( -\infty ,c\right] \subset \mathbb{R} \ |\ c\in \mathbb{R} \right\} \\
\mathcal{A}_{2} &=&\left\{ \left( -\infty ,c\right) \subset \mathbb{R} \ |\ c\in \mathbb{R} \right\} \\
\mathcal{A}_{3} &=&\left\{ \left[ c,+\infty \right) \subset \mathbb{R} \ |\ c\in \mathbb{R} \right\} \\
\mathcal{A}_{4} &=&\left\{ \left( c,+\infty \right) \subset \mathbb{R} \ |\ c\in \mathbb{R} \right\}
\end{eqnarray*}などに関して、\begin{equation*}
\mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right) =\sigma \left( \mathcal{A}_{1}\right) =\sigma \left( \mathcal{A}_{2}\right) =\sigma \left( \mathcal{A}_{3}\right) =\sigma \left( \mathcal{A}_{4}\right)
\end{equation*}が成り立つため、以上の事実と先の命題を利用することにより、確率変数を以下のように様々な形で表現できます。

確率変数\(X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)が与えられているものとします。実数\(c\in \mathbb{R} \)を任意に選べば、\(f\)による\(c\)の逆像が、\begin{equation*}X^{-1}\left( c\right) =\left\{ \omega \in \Omega \ |\ X\left( \omega \right)
=c\right\}
\end{equation*}として定まりますが、これが可測になることが保証されます。つまり、\begin{equation*}
\forall c\in \mathbb{R} :X^{-1}\left( c\right) \in \mathcal{F}
\end{equation*}が成り立つということです。

以上の諸命題を利用すると、確率変数を以下のように表現することもできます。

写像が生成するσ-代数

確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)および写像\(X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、\(X\)が確率変数であることを、\begin{equation*}\forall B\in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right) :X^{-1}\left( B\right) \in \mathcal{F}
\end{equation*}が成り立つこととして定義しました。さらに、以下の条件\begin{equation*}
\sigma \left( \mathcal{A}\right) =\mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right)
\end{equation*}を満たす何らかの集合族\(\mathcal{A}\subset 2^{\mathbb{R} }\)について、\begin{equation*}\forall B\in \mathcal{A}:X^{-1}\left( B\right) \in \mathcal{F}
\end{equation*}が成り立つことは、\(X\)が確率変数であるための必要十分条件であることを明らかに示しました。いずれにせよ、与えられた写像\(X\)が以上の条件を満たすことを確認するのは面倒です。そこで、確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)を構成する事象空間\(\mathcal{F}\)を別の\(\sigma \)-代数へ代替することにより、写像\(X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)が必ず確率変数になる形へ舞台を整えます。

確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)および写像\(X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)が与えられているものとします。その上で、以下のような\(\Omega \)の部分集合族\begin{eqnarray*}\sigma \left( X\right) &=&\left\{ A\in 2^{\Omega }\ |\ \exists B\in
\mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right) :A=X^{-1}\left( B\right) \right\} \\
&=&\left\{ X^{-1}\left( B\right) \in 2^{\Omega }\ |\ B\in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right) \right\}
\end{eqnarray*}を定義し、これを写像\(X\)が生成する\(\sigma \)-代数（\(\sigma \)-algebra generated by \(X\)）と呼びます。集合\(A\in2^{\Omega }\)を任意に選んだとき、\(\sigma \left( X\right) \)の定義より、\begin{equation*}A\in \sigma \left( X\right) \Leftrightarrow \exists B\in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right) :A=X^{-1}\left( B\right)
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、変換後の測度空間\(\left( \mathbb{R} ,\mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right) ,\mu \right) \)上に存在する何らかの可測事象\(B\)の逆像をすべて集めることにより得られる事象族が\(\sigma \left( X\right) \)です。

その名の通り\(\sigma \left( X\right) \)は\(\sigma \)-代数であるため、確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)の事象空間を\(\mathcal{F}\)から\(\sigma \left( X\right) \)へ変更し、それにあわせて確率測度\(P\)の定義域を\(\mathcal{F}\)から\(\sigma \left( X\right) \)へ縮小して\(\left( \Omega ,\sigma \left( X\right) ,P\right) \)としても確率空間の公理は満たされます。加えて、事象空間を\(\mathcal{F}\)から\(\sigma \left( X\right) \)へ変更することにより、写像\(X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)は確率変数になります。つまり、\begin{equation*}\forall B\in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right) :X^{-1}\left( B\right) \in \sigma \left( X\right)
\end{equation*}が成り立つということです。しかも、\(\sigma\left( X\right) \)は写像\(X\)を確率変数にする最小の\(\sigma \)-代数です。つまり、以下の条件\begin{equation*}\forall B\in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right) :X^{-1}\left( B\right) \in \mathcal{F}_{\lambda }
\end{equation*}を満たす\(\sigma \)-代数\(\mathcal{F}_{\lambda }\subset 2^{\Omega }\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\sigma \left( X\right) \subset \mathcal{F}_{\lambda }
\end{equation*}が成り立ちます。

写像が確率変数であるための必要十分条件を踏まえると、写像が生成する\(\sigma \)-代数を以下のように表現できます。

繰り返しになりますが、ボレル集合族は以下の区間族\begin{eqnarray*}
\mathcal{A}_{1} &=&\left\{ \left( -\infty ,c\right] \subset \mathbb{R} \ |\ c\in \mathbb{R} \right\} \\
\mathcal{A}_{2} &=&\left\{ \left( -\infty ,c\right) \subset \mathbb{R} \ |\ c\in \mathbb{R} \right\} \\
\mathcal{A}_{3} &=&\left\{ \left[ c,+\infty \right) \subset \mathbb{R} \ |\ c\in \mathbb{R} \right\} \\
\mathcal{A}_{4} &=&\left\{ \left( c,+\infty \right) \subset \mathbb{R} \ |\ c\in \mathbb{R} \right\}
\end{eqnarray*}などから生成可能です。つまり、\begin{equation*}
\mathcal{B}=\sigma \left( \mathcal{A}_{1}\right) =\sigma \left( \mathcal{A}_{2}\right) =\sigma \left( \mathcal{A}_{3}\right) =\sigma \left( \mathcal{A}_{4}\right)
\end{equation*}が成り立ちます。以上の事実と先の命題を利用することにより、写像が生成する\(\sigma \)-代数を以下のように様々な形で表現できます。

確率変数の分布

確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)および写像\(X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)が与えられているものとします。事象空間\(\mathcal{F}\)を\(X\)が生成する\(\sigma \)-代数\(\sigma \left( X\right) \)へ制限して\(\left( \Omega ,\sigma \left( X\right) ,P\right) \)とすれば\(X\)は確率変数になるため、\begin{equation*}\forall B\in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right) :X^{-1}\left( B\right) \in \sigma \left( X\right)
\end{equation*}が成り立つことが保証されます。したがって、確率測度\(P:\sigma \left(X\right) \rightarrow \mathbb{R} \)に関して、\begin{equation*}\forall B\in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right) :P\left( X^{-1}\left( B\right) \right) \in \mathbb{R} \end{equation*}が成り立ちます。つまり、ボレル集合\(B\in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right) \)を任意に選んだとき、確率測度\(P\)は\(X\)による\(B\)の逆像\(X^{-1}\left( B\right) \)が起こる確率\(P\left( X^{-1}\left( B\right)\right) \)を常に特定するということです。そこで、これを確率変数\(X\)の値が\(B\)に属する確率として採用し、これを、\begin{equation*}P\left( X\in B\right) =P\left( X^{-1}\left( B\right) \right)
\end{equation*}で表記します。

このような事情を踏まえると、それぞれのボレル集合\(B\in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right) \)に対して、確率変数\(X\)の値が\(B\)に属する確率\begin{eqnarray*}\mu _{X}\left( B\right) &=&P\left( X\in B\right) \\
&=&P\left( X^{-1}\left( B\right) \right)
\end{eqnarray*}を特定する写像\begin{equation*}
\mu _{X}:\mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right) \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。これを確率変数\(X\)の分布（distribution）と呼びます。

確率変数\(X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)からその分布\(\mu _{X}:\mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right) \rightarrow \mathbb{R} \)を定義したとき、これは確率空間の公理\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall B\in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right) :\mu _{X}\left( B\right) \geq 0 \\
&&\left( b\right) \ \mu _{X}\left( \mathbb{R} \right) =1 \\
&&\left( c\right) \ \forall \text{排反な}B_{1},B_{2},\cdots \in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right) :\mu _{X}\left( \bigcup_{i\in \mathbb{N} }B_{i}\right) =\sum_{i\in \mathbb{N} }\mu _{X}\left( B_{i}\right)
\end{eqnarray*}を満たします。したがって、\begin{equation*}
\left( \mathbb{R} ,\mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right) ,\mu _{X}\right)
\end{equation*}は確率空間になります。

演習問題