ボレル可測関数の定義

ボレル可測関数

実数空間\(\mathbb{R} \)および\(\mathbb{R} \)上のボレル集合族からなる可測空間\begin{equation*}\left( \mathbb{R} ,\mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right) \right)
\end{equation*}が与えられているものとします。さらに、ボレル集合\(X\in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right) \)を任意に選んだ上で、\(X\)を定義域とする関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義します。

ボレル集合\(B\in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right) \)を選んだとき、\(f\)による\(B\)の逆像は、\begin{equation*}f^{-1}\left( B\right) =\left\{ x\in X\ |\ f\left( x\right) \in B\right\}
\end{equation*}ですが、これは\(\mathbb{R} \)の部分集合であるため、\(\mathbb{R} \)上のボレル集合であるか検討できます。つまり、以下の条件\begin{equation*}f^{-1}\left( B\right) \in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right)
\end{equation*}が成り立つか検討できます。

以上を踏まえた上で、ボレル集合\(B\in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right) \)を任意に選んだとき、\(f\)による\(B\)の逆像がボレル集合になることが保証されるのであれば、つまり、\begin{equation*}\forall B\in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right) :f^{-1}\left( B\right) \in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall B\in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right) :\left\{ x\in X\ |\ f\left( x\right) \in B\right\} \in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right)
\end{equation*}が成り立つ場合には、この関数\(f\)はボレル可測（Borel measurable）であると言います。また、ボレル可測な関数をボレル可測関数（Borel measurable function）と呼びます。

ボレル可測関数であるための必要十分条件

ボレル集合族\(\mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right) \subset 2^{\mathbb{R} }\)は\(\sigma \)-代数であるため、\begin{equation*}\sigma \left( \mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right) \right) =\mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right)
\end{equation*}が成り立ちます。以上より、\(\mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right) \)を生成する\(\mathbb{R} \)の部分集合族が存在することが明らかになりました。

ボレル集合族\(\mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right) \)を生成する\(\mathbb{R} \)の部分集合族\(\mathcal{A}\subset 2^{\mathbb{R} }\)を任意に選びます。つまり、以下の条件\begin{equation*}\sigma \left( \mathcal{A}\right) =\mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right)
\end{equation*}を満たす\(\mathcal{A}\)を選ぶということです。先の議論より、\(\mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right) \)自身は\(\mathcal{A}\)の具体例の1つです。その上で、この集合族\(\mathcal{A}\)の要素\(B\in \mathcal{A}\)を任意に選んだとき、\(f\)による\(B\)の逆像がボレル可測になることが保証されることは、つまり、\begin{equation*}\forall B\in \mathcal{A}:f^{-1}\left( B\right) \in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall B\in \mathcal{A}:\left\{ x\in X\ |\ f\left( x\right) \in B\right\}
\in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right)
\end{equation*}が成り立つことは、関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)がボレル可測であるための必要十分条件です。

区間を用いたボレル可測関数の表現

ボレル集合\(X\in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right) \)上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられているものとします。先の命題より、以下の条件\begin{equation*}\sigma \left( \mathcal{A}\right) =\mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right)
\end{equation*}を満たす何らかの集合族\(\mathcal{A}\subset 2^{\mathbb{R} }\)について、\begin{equation*}\forall B\in \mathcal{A}:f^{-1}\left( B\right) \in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall B\in \mathcal{A}:\left\{ x\in X\ |\ f\left( x\right) \in B\right\}
\in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right)
\end{equation*}が成り立つならば、\(f\)はボレル可測関数になります。

ボレル集合族\(\mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right) \)は様々な区間族から生成可能です。具体例を挙げると、以下の区間族\begin{eqnarray*}\mathcal{A}_{1} &=&\left\{ \left( -\infty ,c\right] \subset \mathbb{R} \ |\ x\in \mathbb{R} \right\} \\
\mathcal{A}_{2} &=&\left\{ \left( -\infty ,c\right) \subset \mathbb{R} \ |\ x\in \mathbb{R} \right\} \\
\mathcal{A}_{3} &=&\left\{ \left[ c,+\infty \right) \subset \mathbb{R} \ |\ x\in \mathbb{R} \right\} \\
\mathcal{A}_{4} &=&\left\{ \left( c,+\infty \right) \subset \mathbb{R} \ |\ x\in \mathbb{R} \right\}
\end{eqnarray*}などに関して、\begin{equation*}
\mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right) =\sigma \left( \mathcal{A}_{1}\right) =\sigma \left( \mathcal{A}_{2}\right) =\sigma \left( \mathcal{A}_{3}\right) =\sigma \left( \mathcal{A}_{4}\right)
\end{equation*}が成り立つため、以上の事実と先の命題を利用することにより、ボレル可測関数を以下のように様々な形で表現できます。

ボレル集合\(X\in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right) \)上に定義されたボレル可測関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられているものとします。実数\(c\in \mathbb{R} \)を任意に選べば、\(f\)による\(c\)の逆像が、\begin{equation*}f^{-1}\left( c\right) =\left\{ x\in X\ |\ f\left( x\right) =c\right\}
\end{equation*}として定まりますが、これがボレル集合になることが保証されます。つまり、\begin{equation*}
\forall c\in \mathbb{R} :f^{-1}\left( c\right) \in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right)
\end{equation*}が成り立つということです。

以上の諸命題を利用すると、ボレル可測関数を以下のように表現することもできます。

開集合を用いたボレル可測関数の表現

ボレル集合\(X\in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right) \)上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられているものとします。先の命題より、以下の条件\begin{equation*}\sigma \left( \mathcal{A}\right) =\mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right)
\end{equation*}を満たす何らかの集合族\(\mathcal{A}\subset 2^{\mathbb{R} }\)について、\begin{equation*}\forall B\in \mathcal{A}:f^{-1}\left( B\right) \in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right)
\end{equation*}が成り立つならば、\(f\)はボレル可測関数になります。

ボレル集合族\(\mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right) \)は開集合系\(\mathcal{O}\left( \mathbb{R} \right) \subset 2^{\mathbb{R} }\)から生成される集合族であるため、以下の関係\begin{equation*}\sigma \left( \mathcal{O}\left( \mathbb{R} \right) \right) =\mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right)
\end{equation*}が成り立ちます。以上の事実と先の命題を利用することにより、ボレル可測関数を以下のように表現できます。

ボレル可測関数とルベーグ可測関数の関係

ボレル集合\(X\in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right) \)上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)がボレル可測であるものとします。つまり、\begin{equation}\forall B\in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right) :f^{-1}\left( B\right) \in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right) \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立つということです。

ボレル集合はルベーグ可測であるため、ボレル集合族\(\mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right) \)とルベーグ集合族\(\mathfrak{M}_{\mu }\)の間には以下の関係\begin{equation}\mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right) \subset \mathfrak{M}_{\mu } \quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立ちます。したがって先の関数\(f\)の定義域は\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)を満たすため、\(f\)がルベーグ可測関数であるか検討できます。実際、\(\left( 1\right) ,\left( 2\right) \)より、\begin{equation*}\forall B\in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right) :f^{-1}\left( B\right) \in \mathfrak{M}_{\mu }
\end{equation*}を得るため、\(f\)はルベーグ可測でもあります。以上より、ボレル可測関数はルベーグ可測であることが明らかになりました。

先の命題の逆は成り立つとは限りません。つまり、ルベーグ可測関数はボレル可測であるとは限りません。ルベーグ可測集合はボレル集合であるとは限らないからです。

演習問題