単関数の定義と具体例

単関数の定義

実数空間とルベーグ可測集合族からなる可測空間\(\left( \mathbb{R} ,\mathfrak{M}_{\mu }\right) \)が与えられた状況においてルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)を任意に選び、この集合上に実数値関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義します。この関数\(f\)がルベーグ可測であるとともに、その値域が有限集合\begin{eqnarray*}f\left( X\right) &=&\left\{ f\left( x\right) \in \mathbb{R} \ |\ x\in X\right\} \\
&=&\left\{ a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n}\right\}
\end{eqnarray*}である場合には、このような関数\(f\)を単関数（simple function）と呼びます。

単関数の標準形

ルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)上に定義された実数値関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が単関数であるものとします。つまり、\(f\)はルベーグ可測関数であるとともに、その値域が有限集合\begin{eqnarray*}f\left( X\right) &=&\left\{ f\left( x\right) \in \mathbb{R} \ |\ x\in X\right\} \\
&=&\left\{ a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n}\right\}
\end{eqnarray*}であるということです。

値域に属するそれぞれの\(a_{k}\in f\left( X\right) \)に対して、\(f\)の値が\(a_{k}\)と一致する\(x\)の値からなる集合\begin{eqnarray*}\left\{ f=a_{k}\right\} &=&\left\{ x\in X\ |\ f\left( x\right)
=a_{k}\right\} \\
&=&f^{-1}\left( \left\{ a_{k}\right\} \right)
\end{eqnarray*}を定義します。\(\left\{a_{k}\right\} \)はボレル集合であるため、すなわち\(\left\{ a_{k}\right\} \in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right) \)であるため、\(f\)がルベーグ可測関数であることから、\begin{equation*}f^{-1}\left( \left\{ a_{k}\right\} \right) \in \mathfrak{M}_{\mu }
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\left\{ f=a_{k}\right\} \in \mathfrak{M}_{\mu }
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、\(\left\{ f=a_{k}\right\} \)はルベーグ可測集合です。その上で、この集合に関する特性関数\begin{equation*}\chi _{\left\{ f=a_{k}\right\} }:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義します。つまり、\(\chi _{\left\{ f=a_{k}\right\} }\)がそれぞれの\(x\in X\)に対して定める値は、\begin{eqnarray*}\chi _{\left\{ f=a_{k}\right\} }\left( x\right) &=&\left\{
\begin{array}{cl}
1 & \left( if\ x\in \left\{ f=a_{k}\right\} \right) \\
0 & \left( if\ x\not\in \left\{ f=a_{k}\right\} \right)
\end{array}\right. \quad \because \text{特性関数の定義} \\
&=&\left\{
\begin{array}{cl}
1 & \left( if\ f\left( x\right) =a_{k}\right) \\
0 & \left( if\ f\left( x\right) \not=a_{k}\right)
\end{array}\right. \quad \because \left\{ f=a_{k}\right\} \text{の定義}
\end{eqnarray*}です。先の議論より\(\left\{ f=a_{k}\right\} \)はルベーグ可測集合であるため、それに関する特性関数\(\chi _{\left\{ f=a_{k}\right\} }\)はルベーグ可測関数であることに注意してください。

以上を踏まえた上で、関数\begin{equation*}
\sum_{k=1}^{n}\left( a_{k}\cdot \chi _{\left\{ f=a_{k}\right\} }\right) :\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義すると、これはそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{eqnarray*}\left( \sum_{k=1}^{n}\left( a_{k}\cdot \chi _{\left\{ f=a_{k}\right\}
}\right) \right) \left( x\right) &=&\sum_{k=1}^{n}\left( a_{k}\cdot \chi
_{\left\{ f=a_{k}\right\} }\right) \left( x\right) \quad \because \text{関数の和} \\
&=&\sum_{k=1}^{n}\left[ a_{k}\cdot \chi _{\left\{ f=a_{k}\right\} }\left(
x\right) \right] \quad \because \text{関数の定数倍} \\
&=&a_{1}\cdot \chi _{\left\{ f=a_{1}\right\} }\left( x\right) +\cdots
+a_{n}\cdot \chi _{\left\{ f=a_{n}\right\} }\left( x\right)
\end{eqnarray*}を定めます。この関数はルベーグ可測集合の定数倍の和として定義されるためルベーグ可測です。加えて、この関数はもとの単関数\(f\)と一致することが保証されます。このような事情を踏まえた上で、この関数を単関数\(f\)の標準形（canonical representation of the simple function \(f\)）と呼びます。

まずは以下の補題を示します。

以上の補題を踏まえた上で、単関数の標準形は単関数と一致することを示します。

単関数の特徴づけ

ルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)上にされた単関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)の値域が、\begin{equation*}f\left( X\right) =\left\{ a_{1},\cdots ,a_{n}\right\}
\end{equation*}である場合、それぞれの値\(a_{k}\in f\left( X\right) \)に対して、\begin{eqnarray*}\left\{ f=a_{k}\right\} &=&\left\{ x\in X\ |\ f\left( x\right)
=a_{k}\right\} \\
&=&f^{-1}\left( \left\{ a_{k}\right\} \right)
\end{eqnarray*}と定めれば、\begin{equation*}
X=\bigsqcup\limits_{k=1}^{n}\left\{ f=a_{k}\right\}
\end{equation*}が成り立つとともに、\(f\)の標準形と呼ばれる以下の関数\begin{equation*}\sum_{k=1}^{n}\left( a_{k}\cdot \chi _{\left\{ f=a_{k}\right\} }\right) :\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}は\(f\)と一致することが明らかになりました。これと逆の主張もまた成り立ちます。具体的には以下の通りです。

ルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)が有限個の可測集合の非交和として表されるものとします。つまり、以下の条件\begin{equation*}X=\bigsqcup\limits_{k=1}^{n}A_{k}
\end{equation*}を満たす有限個のルベーグ集合\(A_{1},\cdots ,A_{n}\in \mathfrak{M}_{\mu }\)が存在する状況を想定するということです。ただし、標準形の場合とは異なり、\begin{equation*}A_{k}=\left\{ f=a_{k}\right\}
\end{equation*}である必要はないため、これは標準形よりも一般的な状況を想定しています。その上で、定数\(a_{1},\cdots ,a_{n}\in \mathbb{R} \)を用いて以下の関数\begin{equation*}\sum_{k=1}^{n}\left( a_{k}\cdot \chi _{A_{k}}\right) :\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義した場合、これは単関数になることが保証されます。つまり、この関数はルベーグ可測であるとともに、その値域が有限集合になるということです。

以上の2つの命題を踏まえると、ルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)上に定義された実数値関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が単関数であることを、\begin{equation*}X=\bigsqcup\limits_{k=1}^{n}A_{k}
\end{equation*}を満たすルベーグ集合\(A_{1},\cdots ,A_{n}\in \mathfrak{M}_{\mu }\)と定数\(a_{1},\cdots ,a_{n}\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}f=\sum_{k=1}^{n}\left( a_{k}\cdot \chi _{A_{k}}\right)
\end{equation*}という形で表されることとして定義することもできます。

上の命題において、ルベーグ集合\(A_{1},\cdots ,A_{n}\in \mathfrak{M}_{\mu }\)が互いに素であることは前提になっている一方で、定数\(a_{1},\cdots ,a_{n}\in \mathbb{R} \)の中に一致するものが存在する可能性は排除されていません。つまり、定数\(a_{1},\cdots ,a_{n}\)の中に一致するものが存在する場合にも主張は成り立つということです。

ルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)上に定義された実数値関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、以上の条件を満たすルベーグ集合\(A_{1},\cdots ,A_{n}\in \mathfrak{M}_{\mu }\)と定数\(a_{1},\cdots ,a_{n}\in \mathbb{R} \)は一意的に定まるとは限りません。単関数の標準形を構成するルベーグ集合\(\left\{f=a_{1}\right\} ,\cdots ,\left\{ f=a_{n}\right\} \in \mathfrak{M}_{\mu }\)と定数\(a_{1},\cdots ,a_{n}\in \mathbb{R} \)は明らかに条件を満たしますが、それとは異なるルベーグ集合\(A_{1},\cdots ,A_{n}\in \mathfrak{M}_{\mu }\)と定数\(a_{1},\cdots ,a_{n}\in \mathbb{R} \)の組み合わせは存在するため、単関数を表現は一意的に定まるとは限りません。以下の例より明らかです。

演習問題