単関数の定義と具体例

単関数の定義

実数空間\(\mathbb{R} \)および\(\mathbb{R} \)上のルベーグ可測集合族\(\mathfrak{M}_{\mu }\)からなる可測空間\begin{equation*}\left( \mathbb{R} ,\mathfrak{M}_{\mu }\right)
\end{equation*}が与えられているものとします。さらに、ルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)を選んだ上で、\(X\)を定義域とする関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義します。このような関数\(f\)が\(X\)上においてルベーグ可測関数であるとともに、その値域\begin{equation*}f\left( X\right) =\left\{ f\left( x\right) \in \mathbb{R} \ |\ x\in X\right\}
\end{equation*}が有限集合である場合には、このような関数\(f\)を単関数（simple function）と呼びます。

単関数の標準形

ルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)上に定義された実数値関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が単関数であるものとします。つまり、\(f\)はルベーグ可測関数であるとともに、その値域が有限集合\begin{eqnarray*}f\left( X\right) &=&\left\{ f\left( x\right) \in \mathbb{R} \ |\ x\in X\right\} \\
&=&\left\{ a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n}\right\}
\end{eqnarray*}であるということです。

値域に属するそれぞれの値\(a_{k}\in f\left( X\right) \)に対して、\(f\)による1点集合\(\left\{a_{k}\right\} \)の逆像を、\begin{eqnarray*}\left\{ f=a_{k}\right\} &=&f^{-1}\left( \left\{ a_{k}\right\} \right) \\
&=&\left\{ x\in X\ |\ f\left( x\right) \in \left\{ a_{k}\right\} \right\}
\quad \because \text{逆像の定義} \\
&=&\left\{ x\in X\ |\ f\left( x\right) =a_{k}\right\}
\end{eqnarray*}と表記できるものと定めます。1点集合\(\left\{a_{k}\right\} \)はボレル集合であるため、すなわち\(\left\{ a_{k}\right\} \in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right) \)であるため、\(f\)がルベーグ可測関数であることから、\begin{equation*}f^{-1}\left( \left\{ a_{k}\right\} \right) \in \mathfrak{M}_{\mu }
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\left\{ f=a_{k}\right\} \in \mathfrak{M}_{\mu }
\end{equation*}が成り立ちます。以上より、\(\left\{ f=a_{k}\right\} \)はルベーグ可測集合であることが明らかになりました。そこで、この集合に関する特性関数\begin{equation*}\chi _{\left\{ f=a_{k}\right\} }:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義します。つまり、関数\(\chi _{\left\{ f=a_{k}\right\} }\)がそれぞれの\(x\in X\)に対して定める値は、\begin{eqnarray*}\chi _{\left\{ f=a_{k}\right\} }\left( x\right) &=&\left\{
\begin{array}{cl}
1 & \left( if\ x\in \left\{ f=a_{k}\right\} \right) \\
0 & \left( if\ x\not\in \left\{ f=a_{k}\right\} \right)
\end{array}\right. \quad \because \text{特性関数の定義} \\
&=&\left\{
\begin{array}{cl}
1 & \left( if\ f\left( x\right) =a_{k}\right) \\
0 & \left( if\ f\left( x\right) \not=a_{k}\right)
\end{array}\right. \quad \because \left\{ f=a_{k}\right\} \text{の定義}
\end{eqnarray*}です。ルベーグ可測集合に関する特性関数はルベーグ可測関数であるため、\(\chi _{\left\{f=a_{k}\right\} }\)はルベーグ可測集合であることに注意してください。

以上を踏まえた上で、関数\begin{equation*}
\sum_{k=1}^{n}\left( a_{k}\cdot \chi _{\left\{ f=a_{k}\right\} }\right) :\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義すると、これはそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{eqnarray*}\left( \sum_{k=1}^{n}\left( a_{k}\cdot \chi _{\left\{ f=a_{k}\right\}
}\right) \right) \left( x\right) &=&\sum_{k=1}^{n}\left( a_{k}\cdot \chi
_{\left\{ f=a_{k}\right\} }\right) \left( x\right) \quad \because \text{関数の和} \\
&=&\sum_{k=1}^{n}\left[ a_{k}\cdot \chi _{\left\{ f=a_{k}\right\} }\left(
x\right) \right] \quad \because \text{関数の定数倍} \\
&=&a_{1}\cdot \chi _{\left\{ f=a_{1}\right\} }\left( x\right) +\cdots
+a_{n}\cdot \chi _{\left\{ f=a_{n}\right\} }\left( x\right)
\end{eqnarray*}を定めます。この関数はルベーグ可測集合の定数倍の和として定義されるためルベーグ可測です。しかも、この関数はもとの単関数\(f\)と一致することが保証されます。このような事情を踏まえた上で、この関数をもとの単関数\(f\)の標準形（canonical representation of the simple function \(f\)）と呼びます。

まずは以下の補題を示します。

以上の補題を踏まえた上で、単関数の標準形は単関数と一致することを示します。

単関数の特徴づけ

ルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)上に定義された単関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)の値域が、\begin{equation*}f\left( X\right) =\left\{ a_{1},\cdots ,a_{n}\right\}
\end{equation*}である場合、それぞれの値\(a_{k}\in f\left( X\right) \)に対して、\begin{equation*}\left\{ f=a_{k}\right\} =\left\{ x\in X\ |\ f\left( x\right) =a_{k}\right\}
\end{equation*}と定めれば、\begin{equation*}
X=\bigsqcup\limits_{k=1}^{n}\left\{ f=a_{k}\right\}
\end{equation*}が成り立つとともに、\(f\)の標準形と呼ばれる以下の関数\begin{equation*}\sum_{k=1}^{n}\left( a_{k}\cdot \chi _{\left\{ f=a_{k}\right\} }\right) :\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}は\(f\)と一致することが明らかになりました。逆の主張もまた成り立ちます。具体的には以下の通りです。

ルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)が有限個のルベーグ可測集合の非交和として表されるものとします。つまり、以下の条件\begin{equation*}X=\bigsqcup\limits_{k=1}^{n}A_{k}
\end{equation*}を満たす有限個のルベーグ可測集合\(A_{1},\cdots ,A_{n}\in \mathfrak{M}_{\mu }\)が存在する状況を想定するということです。ただし、標準形の場合とは異なり、\begin{equation*}A_{k}=\left\{ f=a_{k}\right\}
\end{equation*}である必要はないため、これは標準形よりも一般的な状況を想定しています。その上で、定数\(a_{1},\cdots ,a_{n}\in \mathbb{R} \)を用いて以下の関数\begin{equation*}\sum_{k=1}^{n}\left( a_{k}\cdot \chi _{A_{k}}\right) :\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義した場合、これは単関数になることが保証されます。つまり、この関数はルベーグ可測であるとともに、その値域が有限集合になるということです。

以上の2つの命題より、ルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)上に定義された実数値関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が単関数であることを、\begin{equation*}X=\bigsqcup\limits_{k=1}^{n}A_{k}
\end{equation*}を満たすルベーグ集合\(A_{1},\cdots ,A_{n}\in \mathfrak{M}_{\mu }\)と定数\(a_{1},\cdots ,a_{n}\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}f=\sum_{k=1}^{n}\left( a_{k}\cdot \chi _{A_{k}}\right)
\end{equation*}という形で表されることとして定義できることが明らかになりました。

この命題において、ルベーグ可測集合\(A_{1},\cdots ,A_{n}\in \mathfrak{M}_{\mu }\)が互いに素であることは前提になっている一方で、定数\(a_{1},\cdots ,a_{n}\in \mathbb{R} \)の中に一致するものが存在する可能性は排除されていません。つまり、定数\(a_{1},\cdots ,a_{n}\)の中に一致するものが存在する場合でも\(f\)は単関数であるということです。

ルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、先の命題が要求する条件を満たすルベーグ可測集合\(A_{1},\cdots ,A_{n}\in \mathfrak{M}_{\mu }\)と定数\(a_{1},\cdots ,a_{n}\in \mathbb{R} \)は一意的に定まるとは限りません。単関数の標準形を構成するルベーグ集合\(\left\{f=a_{1}\right\} ,\cdots ,\left\{ f=a_{n}\right\} \in \mathfrak{M}_{\mu }\)と定数\(a_{1},\cdots ,a_{n}\in \mathbb{R} \)は明らかに先の命題が要求する条件を満たしますが、それとは異なるルベーグ可測集合\(A_{1},\cdots ,A_{n}\in \mathfrak{M}_{\mu }\)と定数\(a_{1},\cdots ,a_{n}\in \mathbb{R} \)も存在し得るため、単関数の表現は一意的に定まるとは限りません。以下の例より明らかです。

演習問題