有界関数のルベーグ積分（上ルベーグ積分・下ルベーグ積分）

有界関数の上ルベーグ積分

ルベーグ可測空間\(\left( \mathbb{R} ,\mathfrak{M}_{\mu },\mu \right) \)が与えられた状況において、有限測度を持つルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)を任意に選びます。つまり、ルベーグ測度\(\mu:\mathfrak{M}_{\mu }\rightarrow \mathbb{R} _{+}\cup \left\{ +\infty \right\} \)のもとで、\begin{equation*}\mu \left( X\right) <+\infty
\end{equation*}が成り立つということです。加えて、\(X\)上に定義された有界な関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が与えられている状況を想定します。つまり、\(f\)の値域\begin{equation*}f\left( X\right) =\left\{ f\left( x\right) \in \mathbb{R} \ |\ x\in X\right\}
\end{equation*}が有界な\(\mathbb{R} \)の部分集合であるということです。言い換えると、以下の条件\begin{equation*}\exists U\in \mathbb{R} ,\ \exists L\in \mathbb{R} ,\ \forall x\in X:L\leq f\left( x\right) \leq U
\end{equation*}が成り立つということです。ただし、\(U\)は\(f\)の値域の上界であり、\(L\)は下界です。

有限測度を持つルベーグ可測集合上に定義された有界関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)に対して、以下の条件\begin{equation*}\forall x\in X:f\left( x\right) \leq g\left( x\right)
\end{equation*}を満たす単関数\(g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)をとると、そのルベーグ積分\begin{equation*}\int_{X}g
\end{equation*}が有限な実数として定まることが保証されます。同様の条件を満たすすべての単関数に対してルベーグ積分をそれぞれ特定した上で、それらの値からなる集合をとり、それを、\begin{equation*}
\left\{ \int_{X}g\in \mathbb{R} \ |\ g\text{は}f\leq g\text{を満たす単関数}\right\}
\end{equation*}で表記します。仮定より\(f\)は有界であるためこの集合は下に有界な\(\mathbb{R} \)の部分集合であり、したがって、実数の連続性（下限性質）より、この集合の下限\begin{equation*}\inf \left\{ \int_{X}g\in \mathbb{R} \ |\ g\text{は}f\leq g\text{を満たす単関数}\right\}
\end{equation*}が1つの有限な実数として定まることが保証されます。そこでこれを\(f\)の\(X\)上での上ルベーグ積分（upper Lebesgue integral of \(f\) over \(X\)）と呼び、\begin{equation*}\overline{\int }_{X}f=\inf \left\{ \int_{X}g\in \mathbb{R} \ |\ g\text{は}f\leq g\text{を満たす単関数}\right\}
\end{equation*}で表記します。

上ルベーグ積分を特定する際には、以下の例のように、任意の番号\(n\in \mathbb{N} \)について\(f\leq g_{n}\)を満たす階段関数\(g_{n}\)からなる関数列\(\left\{ g_{n}\right\} \)を具体的に構成する手法が有用です。

有界関数の下ルベーグ積分

有限測度を持つルベーグ可測集合上に定義された有界関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)に対して、以下の条件\begin{equation*}\forall x\in X:h\left( x\right) \leq f\left( x\right)
\end{equation*}を満たす単関数\(h:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)をとると、そのルベーグ積分\begin{equation*}\int_{X}h
\end{equation*}が有限な実数として定まることが保証されます。同様の条件を満たすすべての単関数に対してルベーグ積分をそれぞれ特定した上で、それらの値からなる集合をとり、それを、\begin{equation*}
\left\{ \int_{X}h\in \mathbb{R} \ |\ h\text{は}h\leq f\text{を満たす単関数}\right\}
\end{equation*}で表記します。仮定より\(f\)は有界であるためこの集合は上に有界な\(\mathbb{R} \)の部分集合であり、したがって、実数の連続性（上限性質）より、この集合の上限\begin{equation*}\sup \left\{ \int_{X}h\in \mathbb{R} \ |\ h\text{は}h\leq f\text{を満たす単関数}\right\}
\end{equation*}が1つの有限な実数として定まることが保証されます。そこでこれを\(f\)の\(X\)上での下ルベーグ積分（lower Lebesgue integral of \(f\) over \(X\)）と呼び、\begin{equation*}\underline{\int }_{X}f=\sup \left\{ \int_{X}h\in \mathbb{R} \ |\ h\text{は}h\leq f\text{を満たす単関数}\right\}
\end{equation*}で表記します。

上ルベーグ積分を特定する際には、以下の例のように、任意の番号\(n\in \mathbb{N} \)について\(h_{n}\leq f\)を満たす階段関数\(h_{n}\)からなる関数列\(\left\{ h_{n}\right\} \)を具体的に構成する手法が有用です。

上ルベーグ積分と下ルベーグ積分はそれぞれ一意的

有限測度を持つルベーグ可測集合上に定義された有界関数については、その上ルベーグ積分と下ルベーグ積分はそれぞれ一意的に定まります。

上ルベーグ積分と下ルベーグ積分の大小関係

有限測度を持つルベーグ可測集合上に定義された有界関数については、その上ルベーグ積分と下ルベーグ積分はそれぞれ一意的に定まることが明らかになりました。加えて、下ルベーグ積分の値は上ルベーグ積分の値以下になることが保証されます。

有界関数のルベーグ積分

有限測度を持つルベーグ可測集合上に定義された有界関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられた状況を想定します。先の議論より、その上ルベーグ積分と下ルベーグ積分\begin{eqnarray*}\overline{\int }_{X}f &=&\inf \left\{ \int_{X}g\in \mathbb{R} \ |\ g\text{は}f\leq g\text{を満たす単関数}\right\} \\
\underline{\int }_{X}f &=&\sup \left\{ \int_{X}h\in \mathbb{R} \ |\ h\text{は}h\leq f\text{を満たす単関数}\right\}
\end{eqnarray*}はそれぞれ有限な実数として定まります。加えて、両者の間には以下の関係\begin{equation*}
\overline{\int }_{X}f\leq \underline{\int }_{X}f
\end{equation*}が成り立ちます。さて、以上の不等式は等号で成立するとは限りません。つまり、上ルベーグ積分と下ルベーグ積分は一致するとは限らないということです。そこで、上ルベーグ積分と下ルベーグ積分が一致する場合には、すなわち、\begin{equation*}
\overline{\int }_{X}f=\underline{\int }_{X}f
\end{equation*}が成り立つ場合には、\(f\)は\(X\)上でルベーグ積分（Lebesgue integrable over \(X\)）であると言います。その上で、上リーマン積分および下リーマン積分と一致する値を、\begin{equation*}\int_{X}f
\end{equation*}で表記し、これを\(f\)の\(X\)上でのルベーグ積分（Lebesgue integral of \(f\) over \(X\)）と呼びます。

先に具体例を通じて確認したように、任意の番号\(n\in \mathbb{N} \)について\(f\leq g_{n}\)を満たす階段関数\(g_{n}\)からなる関数列\(\left\{ g_{n}\right\} \)から\(f\)の上ルベーグ積分を特定し、任意の番号\(n\in \mathbb{N} \)について\(h_{n}\leq f\)を満たす階段関数\(h_{n}\)からなる関数列\(\left\{ h_{n}\right\} \)から\(f\)の下ルベーグ積分を特定した上で、得られた情報を総合することによりルベーグ積分を特定する手法が有用です。

ルベーグ積分は一意的

有限測度を持つルベーグ可測集合上に定義された有界関数がルベーグ積分可能である場合、そのルベーグ積分は一意的に定まります。

単関数のルベーグ積分との関係

有限測度を持つルベーグ可測集合上に定義された単関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられているものとします。単関数のルベーグ積分の定義にもとづく\(f\)の\(X\)上でのルベーグ積分を、\begin{equation*}\left( S\right) \ \int_{X}f
\end{equation*}で表記します。一方、有限測度を持つルベーグ可測集合上に定義された有界関数を対象に新たに定義したルベーグ積分概念にもとづく先の単関数\(f\)の上ルベーグ積分、下ルベーグ積分、ルベーグ積分をそれぞれ、\begin{eqnarray*}&&\left( B\right) \ \overline{\int }_{X}f \\
&&\left( B\right) \ \underline{\int }_{X}f \\
&&\left( B\right) \ \int_{X}f
\end{eqnarray*}で表記します。この場合、\begin{eqnarray*}
\left( S\right) \ \int_{X}f &=&\left( B\right) \ \overline{\int }_{X}f \\
\left( S\right) \ \int_{X}f &=&\left( B\right) \ \underline{\int }_{X}f
\end{eqnarray*}が成り立つため、結局、\begin{equation*}
\left( S\right) \ \int_{X}f=\left( B\right) \ \int_{X}f
\end{equation*}を得ます。つまり、有限測度を持つルベーグ可測集合上に定義された単関数は、新たに定義された意味でルベーグ積分可能であるとともに、そのルベーグ積分の値は、単関数を対象としたルベーグ積分の値と一致します。つまり、有界関数のルベーグ積分の概念は、単関数を対象としたルベーグ積分の概念の一般化です。

零集合上に定義された有界関数のルベーグ積分

零集合はルベーグ可測集合であり、その測度は\(0\)であるため、零集合は有限測度を持つルベーグ可測集合です。したがって、零集合上に定義された有界関数について、そのルベーグ積分を考えることができますが、零集合上に定義された有界関数のルベーグ積分は\(0\)になります。

特性関数を用いたルベーグ積分の表現

ルベーグ可測空間\(\left( \mathbb{R} ,\mathfrak{M}_{\mu },\mu \right) \)に加えて、有限測度を持つルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)上に定義された有界なルベーグ可測関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が与えられているものとします。つまり、\(X\)の測度は、\begin{equation*}\mu \left( X\right) <+\infty
\end{equation*}を満たすとともに、\(f\)の値域\begin{equation*}f\left( X\right) =\left\{ f\left( x\right) \in \mathbb{R} \ |\ x\in X\right\}
\end{equation*}が有界な\(\mathbb{R} \)の部分集合であるということです。

ルベーグ可測集合\(X\)に関する特性関数\(\chi _{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)を導入した上で、関数\begin{equation*}f\cdot \chi _{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義します。ルベーグ可測集合に関する特性関数はルベーグ可測であり、ルベーグ可測関数どうしの積として定義される関数はルベーグ可測であるため\(f\cdot \chi _{X}\)はルベーグ可測です。さらに、以下の関係\begin{equation*}\forall x\in X:f\left( x\right) =\left( f\cdot \chi _{X}\right) \left(
x\right)
\end{equation*}が明らかに成り立つため、以下の関係\begin{equation*}
\int_{X}f=\int_{X}f\cdot \chi _{X}
\end{equation*}が成り立ちます。では、\(f\)を\(X\)の部分集合であるようなルベーグ可測集合上でルベーグ積分する場合にも同様の関係は成立するのでしょうか。

ルベーグ可測集合\(X\)の部分集合であるようなルベーグ可測集合\(A\)を任意に選んだ上で特性関数\(\chi _{A}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を導入した上で、関数\begin{equation*}f\cdot \chi _{A}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義します。ルベーグ可測集合に関する特性関数はルベーグ可測であり、ルベーグ可測関数どうしの積として定義される関数はルベーグ可測であるため、\begin{equation*}
\int_{X}f\cdot \chi _{A}
\end{equation*}が1つの実数として定まることに注意してください。加えて、以下の関係\begin{equation*}
\left( f\cdot \chi _{A}\right) \left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
f\left( x\right) & \left( if\ x\in A\right) \\
0 & \left( if\ x\in X\backslash A\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}が明らかに成り立ちます。\(f\)は\(X\)の部分集合\(A\)上でも有界なルベーグ可測関数であるため\(A\)上でのルベーグ積分が定まりますが、これについては、以下の関係\begin{equation*}\int_{A}f=\int_{X}f\cdot \chi _{A}
\end{equation*}が成り立つことが保証されます。

演習問題