WIIS

ルベーグ積分

有界関数のルベーグ積分とリーマン積分の関係

目次

Twitter
Mailで保存

有界閉区間上に定義された有界関数のルベーグ積分

ルベーグ可測空間\(\left( \mathbb{R} ,\mathfrak{M}_{\mu },\mu \right) \)が与えられているものとします。\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、それらを端点とする有界な閉区間\begin{equation*}\left[ a,b\right] =\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a\leq x\leq b\right\}
\end{equation*}を定義します。さらにこの区間上に定義された関数\begin{equation*}
f:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が有界であるものとします。つまり、\(f\)の値域\begin{equation*}f\left( \left[ a,b\right] \right) =\left\{ f\left( x\right) \in \mathbb{R} \ |\ a\leq x\leq b\right\}
\end{equation*}が有界な\(\mathbb{R} \)の部分集合であるということです。言い換えると、以下の条件\begin{equation*}\exists U\in \mathbb{R} ,\ \exists L\in \mathbb{R} ,\ \forall x\in \left[ a,b\right] :L\leq f\left( x\right) \leq U
\end{equation*}が成り立つということです。ただし、\(U\)は\(f\)の値域の上界であり、\(L\)は下界です。

関数\(f\)の定義域である区間\(\left[ a,b\right] \)はルベーグ可測であり、なおかつその測度\begin{equation*}\mu \left( \left[ a,b\right] \right) =b-a
\end{equation*}は有限であるため、\(f\)の\(\left[ a,b\right] \)上における上ルベーグ積分と下ルベーグ積分\begin{eqnarray*}\left( L\right) \ \overline{\int }_{\left[ a,b\right] }f &=&\inf \left\{
\int_{\left[ a,b\right] }g\in \mathbb{R} \ |\ g\text{は}f\leq g\text{を満たす単関数}\right\} \\
\left( L\right) \ \underline{\int }_{\left[ a,b\right] }f &=&\sup \left\{
\int_{\left[ a,b\right] }h\in \mathbb{R} \ |\ h\text{は}h\leq f\text{を満たす単関数}\right\}
\end{eqnarray*}がそれぞれ有限な実数として定まります。\(f\)が\(\left[ a,b\right] \)上においてルベーグ積分可能であることとは、\begin{equation*}\left( L\right) \ \overline{\int }_{\left[ a,b\right] }f=\left( L\right) \
\underline{\int }_{\left[ a,b\right] }f
\end{equation*}が成り立つことを意味します。その上で、\(f\)の\(\left[ a,b\right] \)上におけるルベーグ積分を、\begin{equation*}\left( L\right) \ \int_{\left[ a,b\right] }f=\left( L\right) \ \overline{\int }_{\left[ a,b\right] }f=\left( L\right) \ \underline{\int }_{\left[ a,b\right] }f
\end{equation*}と定めます。

 

有界閉区間上に定義された有界関数のリーマン積分

有界閉区間上に定義された有界関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \)が与えられた状況を想定します。区間\(\left[ a,b\right] \)の分割\(P=\left\{ x_{k}\right\} _{k=0}^{n}\)を選べば、\(f\)の上リーマン和は、\begin{equation*}U\left( f,P\right) =\sum_{k=1}^{n}\left( x_{k}-x_{k-1}\right) \cdot \sup
f\left( \left[ x_{k-1},x_{k}\right] \right)
\end{equation*}と定義され、\(f\)の下リーマン和は、\begin{equation*}L\left( f,P\right) =\sum_{k=1}^{n}\left( x_{k}-x_{k-1}\right) \cdot \inf
f\left( \left[ x_{k-1},x_{k}\right] \right)
\end{equation*}と定義されます。上リーマン和がとり得る値からなる集合は、\begin{equation*}
\left\{ U\left( f,P\right) \in \mathbb{R} \ |\ P\text{は}\left[ a,b\right] \text{の分割}\right\}
\end{equation*}ですが、\(f\)の\(\left[ a,b\right] \)間の上リーマン積分はこの集合の下限\begin{equation*}\left( R\right) \ \overline{\int }_{a}^{b}f\left( x\right) dx=\inf \left\{
U\left( f,P\right) \in \mathbb{R} \ |\ P\text{は}\left[ a,b\right] \text{の分割}\right\}
\end{equation*}と定義されます。一方、下リーマン和がとり得る値からなる集合は、\begin{equation*}
\left\{ L\left( f,P\right) \in \mathbb{R} \ |\ P\text{は}\left[ a,b\right] \text{の分割}\right\}
\end{equation*}ですが、\(f\)の\(\left[ a,b\right] \)間の下リーマン積分はこの集合の上限\begin{equation*}\left( R\right) \ \underline{\int }_{a}^{b}f\left( x\right) dx=\sup \left\{
L\left( f,P\right) \in \mathbb{R} \ |\ P\text{は}\left[ a,b\right] \text{の分割}\right\}
\end{equation*}と定義されます。関数\(f\)が有界である場合、上リーマン積分と下リーマン積分はそれぞれ1つの実数として定まることが保証されます。

上リーマン積分と下リーマン積分をそれぞれ階段関数のルベーグ積分を用いて以下のように表現できます。

命題(ルベーグ積分としての上リーマン積分と下リーマン積分)
有界閉区間上に定義された有界関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \)が与えられているものとする。\(f\)の\(\left[ a,b\right] \)上におけるリーマン積分について、\begin{equation*}\left( R\right) \ \overline{\int }_{a}^{b}f\left( x\right) dx=\inf \left\{
\left( L\right) \ \int_{\left[ a,b\right] }g\in \mathbb{R} \ |\ g\text{は}f\leq g\text{を満たす階段関数}\right\}
\end{equation*}が成り立つ。また、\(f\)の\(\left[ a,b\right] \)上におけるリーマン積分について、\begin{equation*}\left( R\right) \ \underline{\int }_{a}^{b}f\left( x\right) dx=\sup \left\{
\left( L\right) \ \int_{\left[ a,b\right] }h\in \mathbb{R} \ |\ h\text{は}h\leq f\text{を満たす階段関数}\right\}
\end{equation*}が成り立つ。

証明

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

上リーマン積分と下リーマン積分の間に、\begin{equation*}
\left( R\right) \ \overline{\int }_{a}^{b}f\left( x\right) dx=\left(
R\right) \ \underline{\int }_{a}^{b}f\left( x\right) dx
\end{equation*}が成り立つことは、\(f\)が\(\left[ a,b\right] \)上においてリーマン積分可能であるための必要十分条件です。さらに、\(f\)の\(\left[ a,b\right] \)上におけるリーマン積分は、\begin{equation*}\left( R\right) \ \int_{a}^{b}f\left( x\right) dx=\left( R\right) \
\overline{\int }_{a}^{b}f\left( x\right) dx=\left( R\right) \ \underline{\int }_{a}^{b}f\left( x\right) dx
\end{equation*}と定まります。

 

リーマン積分可能な関数はルベーグ積分可能

有界閉区間上に定義された有界関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \)が与えられた状況を想定します。加えて、\(f\)は\(\left[ a,b\right] \)上でリーマン積分可能であるものとします。つまり、\(f\)の\(\left[ a,b\right] \)上における上リーマン積分と下リーマン積分\begin{eqnarray*}&&\left( R\right) \ \overline{\int }_{a}^{b}f\left( x\right) dx=\inf \left\{
U\left( f,P\right) \in \mathbb{R} \ |\ P\text{は}\left[ a,b\right] \text{の分割}\right\} \\
&&\left( R\right) \ \underline{\int }_{a}^{b}f\left( x\right) dx=\sup
\left\{ L\left( f,P\right) \in \mathbb{R} \ |\ P\text{は}\left[ a,b\right] \text{の分割}\right\}
\end{eqnarray*}に関して、\begin{equation*}
\left( R\right) \ \overline{\int }_{a}^{b}f\left( x\right) dx=\left(
R\right) \ \underline{\int }_{a}^{b}f\left( x\right) dx
\end{equation*}が成り立つ状況を想定するということです。その上で、\(f\)の\(\left[a,b\right] \)上における定積分を、\begin{equation*}\left( R\right) \ \int_{a}^{b}f\left( x\right) dx
\end{equation*}で表記します。

以上の状況のもとでは、関数\(f\)は\(\left[ a,b\right] \)上においてルベーグ積分可能であることが保証されます。つまり、\(f\)の\(\left[ a,b\right] \)上における上ルベーグ積分と下ルベーグ積分をそれぞれ、\begin{eqnarray*}&&\left( L\right) \ \overline{\int }_{\left[ a,b\right] }f=\inf \left\{
\int_{\left[ a,b\right] }g\in \mathbb{R} \ |\ g\text{は}f\leq g\text{を満たす単関数}\right\} \\
&&\left( L\right) \ \underline{\int }_{\left[ a,b\right] }f=\sup \left\{
\int_{\left[ a,b\right] }h\in \mathbb{R} \ |\ h\text{は}h\leq f\text{を満たす単関数}\right\}
\end{eqnarray*}で表記する場合、\begin{equation*}
\left( L\right) \ \overline{\int }_{\left[ a,b\right] }f=\left( L\right) \
\underline{\int }_{\left[ a,b\right] }f
\end{equation*}が成り立つということです。\(f\)の\(\left[ a,b\right] \)上におけるルベーグ積分を、\begin{equation*}\left( L\right) \ \int_{\left[ a,b\right] }f
\end{equation*}で表記するのであれば、以上の条件のもとでは、\begin{equation*}
\left( L\right) \ \int_{\left[ a,b\right] }f=\left( R\right) \
\int_{a}^{b}f\left( x\right) dx
\end{equation*}もまた成り立ちます。つまり、リーマン積分可能なルベーグ積分可能であるとともに、ルベーグ積分の値はリーマン積分のもとでの定積分と一致します。

命題(リーマン積分可能な関数はルベーグ積分可能)
\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を端点とする有界閉区間上に定義された有界関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \)が与えられているものとする。\(f\)が\(\left[ a,b\right] \)上でリーマン積分可能であるならば、\(f\)は\(\left[ a,b\right] \)上でルベーグ積分可能であるとともに、以下の関係\begin{equation*}\left( L\right) \ \int_{\left[ a,b\right] }f=\left( R\right) \
\int_{a}^{b}f\left( x\right) dx
\end{equation*}が成り立つ。

証明

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

 

ルベーグ積分可能な関数はリーマン積分可能であるとは限らない(ディリクレの関数)

有界閉区間上に定義された有界関数がリーマン積分はルベーグ積分可能であるとともに、ルベーグ積分はリーマン積分のもとでの定積分と一致することが明らかになりました。したがって、ルベーグ積分はリーマン積分の一般化です。

逆の主張は成り立つとは限りません。つまり、有界閉区間上に定義された有界関数がルベーグ積分可能である場合、その関数はリーマン積分可能であるとは限らないということです。以下の例より明らかです。

例(ディリクレの関数)
関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ 0,1\right] \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \left[ 0,1\right] \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
1 & \left( if\ x\in \mathbb{Q} \right) \\
0 & \left( if\ x\not\in \mathbb{Q} \right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。これはディリクレの関数(Dirichlet function)と呼ばれる関数です。この関数\(f\)は\(\left[ 0,1\right] \)上においてルベーグ積分可能である一方でリーマン積分可能ではありません。

 

演習問題

問題(ディリクレの関数)
関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ 0,1\right] \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \left[ 0,1\right] \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
1 & \left( if\ x\in \mathbb{Q} \right) \\
0 & \left( if\ x\not\in \mathbb{Q} \right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。この関数\(f\)は\(\left[ 0,1\right]\)上においてルベーグ積分可能である一方でリーマン積分可能ではないことを示してください。
解答を見る

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

Twitter
Mailで保存

質問とコメント

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

関連知識

ベクトル値関数のリーマン積分と定積分

有界な閉区間上に定義された有界な1変数のベクトル値関数(曲線)がリーマン積分可能であることの意味を定義するとともに、関連して定積分と呼ばれる概念を定義します。

多変数関数の多重リーマン積分可能性と定積分の定義

n次元空間上に存在する有界かつ閉な直方体領域上に定義された有界な多変数関数が多重リーマン積分可能であることの意味を定義するとともに、多重リーマン積分可能であること、ないし多重リーマン積分可能ではないことを判定する方法を解説します。

単関数の定数倍のルベーグ積分

有限な測度を持つルベーグ集合上に定義された単関数の定数倍として定義される単関数のルベーグ積分は、もとの単関数のルベーグ積分の定数倍と一致します。

単関数どうしの和のルベーグ積分

有限な測度を持つルベーグ集合上に定義された2つの単関数の和として定義される単関数のルベーグ積分は、もとの2つの単関数のルベーグ積分の和と一致します。

単関数どうしの差のルベーグ積分

有限な測度を持つルベーグ集合上に定義された2つの単関数の差として定義される単関数のルベーグ積分は、もとの2つの単関数のルベーグ積分の差と一致します。

1変数関数のリーマン積分可能性とダルブー積分可能性の関係

1変数関数がリーマン積分可能であることを定義にもとづいて確認する作業は煩雑になりがちです。関数の上積分と下積分が一致することは関数が積分可能であるための必要十分条件であり、定積分は上積分および下積分と一致することが保証されます。

単関数のルベーグ積分の単調性(単関数の絶対値のルベーグ積分)

有限な測度を持つルベーグ集合上に定義された2つの単関数がとり得る値の間に一方的な大小関係が成立する場合、両者のルベーグ積分の間にも同様の大小関係が成立します。また、単関数の絶対値のルベーグ積分は、もとの単関数のルベーグ積分の絶対値以上になります。