有界関数のルベーグ積分とリーマン積分の関係

有界閉区間上に定義された有界関数のルベーグ積分

ルベーグ可測空間\(\left( \mathbb{R} ,\mathfrak{M}_{\mu },\mu \right) \)が与えられているものとします。\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、それらを端点とする有界な閉区間\begin{equation*}\left[ a,b\right] =\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a\leq x\leq b\right\}
\end{equation*}を定義します。さらにこの区間上に定義された関数\begin{equation*}
f:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が有界であるものとします。つまり、\(f\)の値域\begin{equation*}f\left( \left[ a,b\right] \right) =\left\{ f\left( x\right) \in \mathbb{R} \ |\ a\leq x\leq b\right\}
\end{equation*}が有界な\(\mathbb{R} \)の部分集合であるということです。言い換えると、以下の条件\begin{equation*}\exists U\in \mathbb{R} ,\ \exists L\in \mathbb{R} ,\ \forall x\in \left[ a,b\right] :L\leq f\left( x\right) \leq U
\end{equation*}が成り立つということです。ただし、\(U\)は\(f\)の値域の上界であり、\(L\)は下界です。

関数\(f\)の定義域である区間\(\left[ a,b\right] \)はルベーグ可測であり、なおかつその測度\begin{equation*}\mu \left( \left[ a,b\right] \right) =b-a
\end{equation*}は有限であるため、\(f\)の\(\left[ a,b\right] \)上における上ルベーグ積分と下ルベーグ積分\begin{eqnarray*}\left( L\right) \ \overline{\int }_{\left[ a,b\right] }f &=&\inf \left\{
\int_{\left[ a,b\right] }g\in \mathbb{R} \ |\ g\text{は}f\leq g\text{を満たす単関数}\right\} \\
\left( L\right) \ \underline{\int }_{\left[ a,b\right] }f &=&\sup \left\{
\int_{\left[ a,b\right] }h\in \mathbb{R} \ |\ h\text{は}h\leq f\text{を満たす単関数}\right\}
\end{eqnarray*}がそれぞれ有限な実数として定まります。\(f\)が\(\left[ a,b\right] \)上においてルベーグ積分可能であることとは、\begin{equation*}\left( L\right) \ \overline{\int }_{\left[ a,b\right] }f=\left( L\right) \
\underline{\int }_{\left[ a,b\right] }f
\end{equation*}が成り立つことを意味します。その上で、\(f\)の\(\left[ a,b\right] \)上におけるルベーグ積分を、\begin{equation*}\left( L\right) \ \int_{\left[ a,b\right] }f=\left( L\right) \ \overline{\int }_{\left[ a,b\right] }f=\left( L\right) \ \underline{\int }_{\left[ a,b\right] }f
\end{equation*}と定めます。

有界閉区間上に定義された有界関数のリーマン積分

有界閉区間上に定義された有界関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \)が与えられた状況を想定します。区間\(\left[ a,b\right] \)の分割\(P=\left\{ x_{k}\right\} _{k=0}^{n}\)を選べば、\(f\)の上リーマン和は、\begin{equation*}U\left( f,P\right) =\sum_{k=1}^{n}\left( x_{k}-x_{k-1}\right) \cdot \sup
f\left( \left[ x_{k-1},x_{k}\right] \right)
\end{equation*}と定義され、\(f\)の下リーマン和は、\begin{equation*}L\left( f,P\right) =\sum_{k=1}^{n}\left( x_{k}-x_{k-1}\right) \cdot \inf
f\left( \left[ x_{k-1},x_{k}\right] \right)
\end{equation*}と定義されます。上リーマン和がとり得る値からなる集合は、\begin{equation*}
\left\{ U\left( f,P\right) \in \mathbb{R} \ |\ P\text{は}\left[ a,b\right] \text{の分割}\right\}
\end{equation*}ですが、\(f\)の\(\left[ a,b\right] \)間の上リーマン積分はこの集合の下限\begin{equation*}\left( R\right) \ \overline{\int }_{a}^{b}f\left( x\right) dx=\inf \left\{
U\left( f,P\right) \in \mathbb{R} \ |\ P\text{は}\left[ a,b\right] \text{の分割}\right\}
\end{equation*}と定義されます。一方、下リーマン和がとり得る値からなる集合は、\begin{equation*}
\left\{ L\left( f,P\right) \in \mathbb{R} \ |\ P\text{は}\left[ a,b\right] \text{の分割}\right\}
\end{equation*}ですが、\(f\)の\(\left[ a,b\right] \)間の下リーマン積分はこの集合の上限\begin{equation*}\left( R\right) \ \underline{\int }_{a}^{b}f\left( x\right) dx=\sup \left\{
L\left( f,P\right) \in \mathbb{R} \ |\ P\text{は}\left[ a,b\right] \text{の分割}\right\}
\end{equation*}と定義されます。関数\(f\)が有界である場合、上リーマン積分と下リーマン積分はそれぞれ1つの実数として定まることが保証されます。

上リーマン積分と下リーマン積分をそれぞれ階段関数のルベーグ積分を用いて以下のように表現できます。

上リーマン積分と下リーマン積分の間に、\begin{equation*}
\left( R\right) \ \overline{\int }_{a}^{b}f\left( x\right) dx=\left(
R\right) \ \underline{\int }_{a}^{b}f\left( x\right) dx
\end{equation*}が成り立つことは、\(f\)が\(\left[ a,b\right] \)上においてリーマン積分可能であるための必要十分条件です。さらに、\(f\)の\(\left[ a,b\right] \)上におけるリーマン積分は、\begin{equation*}\left( R\right) \ \int_{a}^{b}f\left( x\right) dx=\left( R\right) \
\overline{\int }_{a}^{b}f\left( x\right) dx=\left( R\right) \ \underline{\int }_{a}^{b}f\left( x\right) dx
\end{equation*}と定まります。

リーマン積分可能な関数はルベーグ積分可能

有界閉区間上に定義された有界関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \)が与えられた状況を想定します。加えて、\(f\)は\(\left[ a,b\right] \)上でリーマン積分可能であるものとします。つまり、\(f\)の\(\left[ a,b\right] \)上における上リーマン積分と下リーマン積分\begin{eqnarray*}&&\left( R\right) \ \overline{\int }_{a}^{b}f\left( x\right) dx=\inf \left\{
U\left( f,P\right) \in \mathbb{R} \ |\ P\text{は}\left[ a,b\right] \text{の分割}\right\} \\
&&\left( R\right) \ \underline{\int }_{a}^{b}f\left( x\right) dx=\sup
\left\{ L\left( f,P\right) \in \mathbb{R} \ |\ P\text{は}\left[ a,b\right] \text{の分割}\right\}
\end{eqnarray*}に関して、\begin{equation*}
\left( R\right) \ \overline{\int }_{a}^{b}f\left( x\right) dx=\left(
R\right) \ \underline{\int }_{a}^{b}f\left( x\right) dx
\end{equation*}が成り立つ状況を想定するということです。その上で、\(f\)の\(\left[a,b\right] \)上における定積分を、\begin{equation*}\left( R\right) \ \int_{a}^{b}f\left( x\right) dx
\end{equation*}で表記します。

以上の状況のもとでは、関数\(f\)は\(\left[ a,b\right] \)上においてルベーグ積分可能であることが保証されます。つまり、\(f\)の\(\left[ a,b\right] \)上における上ルベーグ積分と下ルベーグ積分をそれぞれ、\begin{eqnarray*}&&\left( L\right) \ \overline{\int }_{\left[ a,b\right] }f=\inf \left\{
\int_{\left[ a,b\right] }g\in \mathbb{R} \ |\ g\text{は}f\leq g\text{を満たす単関数}\right\} \\
&&\left( L\right) \ \underline{\int }_{\left[ a,b\right] }f=\sup \left\{
\int_{\left[ a,b\right] }h\in \mathbb{R} \ |\ h\text{は}h\leq f\text{を満たす単関数}\right\}
\end{eqnarray*}で表記する場合、\begin{equation*}
\left( L\right) \ \overline{\int }_{\left[ a,b\right] }f=\left( L\right) \
\underline{\int }_{\left[ a,b\right] }f
\end{equation*}が成り立つということです。\(f\)の\(\left[ a,b\right] \)上におけるルベーグ積分を、\begin{equation*}\left( L\right) \ \int_{\left[ a,b\right] }f
\end{equation*}で表記するのであれば、以上の条件のもとでは、\begin{equation*}
\left( L\right) \ \int_{\left[ a,b\right] }f=\left( R\right) \
\int_{a}^{b}f\left( x\right) dx
\end{equation*}もまた成り立ちます。つまり、リーマン積分可能なルベーグ積分可能であるとともに、ルベーグ積分の値はリーマン積分のもとでの定積分と一致します。

ルベーグ積分可能な関数はリーマン積分可能であるとは限らない（ディリクレの関数）

有界閉区間上に定義された有界関数がリーマン積分はルベーグ積分可能であるとともに、ルベーグ積分はリーマン積分のもとでの定積分と一致することが明らかになりました。したがって、ルベーグ積分はリーマン積分の一般化です。

逆の主張は成り立つとは限りません。つまり、有界閉区間上に定義された有界関数がルベーグ積分可能である場合、その関数はリーマン積分可能であるとは限らないということです。以下の例より明らかです。

演習問題