有界閉区間上に定義された有界関数のルベーグ積分
実数空間\(\mathbb{R} \)および\(\mathbb{R} \)上のルベーグ可測集合族\(\mathfrak{M}_{\mu }\)に加えてルベーグ測度\(\mu :\mathfrak{M}_{\mu }\rightarrow \mathbb{R} _{+}\cup \left\{ +\infty \right\} \)からなる測度空間\begin{equation*}\left( \mathbb{R} ,\mathfrak{M}_{\mu },\mu \right)
\end{equation*}が与えられているものとします。\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を端点とする有界な閉区間\begin{equation*}\left[ a,b\right] =\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a\leq x\leq b\right\}
\end{equation*}を定義します。区間はルベーグ可測関数であるため\(\left[ a,b\right] \in \mathfrak{M}_{\mu }\)であり、なおかつその測度\begin{equation*}\mu \left( \left[ a,b\right] \right) =b-a
\end{equation*}は有限な実数です。さて、この区間上に定義された関数\begin{equation*}
f:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が有界であるものとします。つまり、\(f\)の値域\begin{equation*}f\left( \left[ a,b\right] \right) =\left\{ f\left( x\right) \in \mathbb{R} \ |\ a\leq x\leq b\right\}
\end{equation*}が有界な\(\mathbb{R} \)の部分集合であるということです。言い換えると、以下の条件\begin{equation*}\exists U\in \mathbb{R} ,\ \exists L\in \mathbb{R} ,\ \forall x\in \left[ a,b\right] :L\leq f\left( x\right) \leq U
\end{equation*}が成り立つということです。ただし、\(U\)は\(f\)の値域の上界であり、\(L\)は下界です。
関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \)は有限測度を持つルベーグ可測集合上に定義された有界関数であるため、上ルベーグ積分と下ルベーグ積分\begin{eqnarray*}\left( L\right) \ \overline{\int }_{\left[ a,b\right] }fd\mu &=&\inf
\left\{ \int_{\left[ a,b\right] }gd\mu \in \mathbb{R} \ |\ g\text{は}f\leq g\text{を満たす単関数}\right\} \\
\left( L\right) \ \underline{\int }_{\left[ a,b\right] }fd\mu &=&\sup
\left\{ \int_{\left[ a,b\right] }hd\mu \in \mathbb{R} \ |\ h\text{は}h\leq f\text{を満たす単関数}\right\}
\end{eqnarray*}がそれぞれ有限な実数として定まります。\(f\)が\(\left[ a,b\right] \)上においてルベーグ積分可能であることとは、\begin{equation*}\left( L\right) \ \overline{\int }_{\left[ a,b\right] }fd\mu =\left(
L\right) \ \underline{\int }_{\left[ a,b\right] }fd\mu
\end{equation*}が成り立つこととして定義されるとともに、\(f\)の\(\left[ a,b\right] \)上におけるルベーグ積分は、\begin{equation*}\left( L\right) \ \int_{\left[ a,b\right] }fd\mu =\left( L\right) \
\overline{\int }_{\left[ a,b\right] }fd\mu =\left( L\right) \ \underline{\int }_{\left[ a,b\right] }fd\mu
\end{equation*}と定義されます。
有界閉区間上に定義された有界関数のリーマン積分
\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を端点とする有界な閉区間上に定義された有界関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が与えられた状況を想定します。
区間\(\left[ a,b\right] \)の分割\(P=\left\{x_{k}\right\} _{k=0}^{n}\)を選べば、\(f\)の上リーマン和は、\begin{equation*}U\left( f,P\right) =\sum_{k=1}^{n}\left( x_{k}-x_{k-1}\right) \cdot \sup
f\left( \left[ x_{k-1},x_{k}\right] \right)
\end{equation*}と定義され、\(f\)の下リーマン和は、\begin{equation*}L\left( f,P\right) =\sum_{k=1}^{n}\left( x_{k}-x_{k-1}\right) \cdot \inf
f\left( \left[ x_{k-1},x_{k}\right] \right)
\end{equation*}と定義されます。上リーマン和がとり得る値からなる集合は、\begin{equation*}
\left\{ U\left( f,P\right) \in \mathbb{R} \ |\ P\text{は}\left[ a,b\right] \text{の分割}\right\}
\end{equation*}ですが、\(f\)の\(\left[ a,b\right] \)上における上リーマン積分はこの集合の下限\begin{equation*}\left( R\right) \ \overline{\int }_{a}^{b}f\left( x\right) dx=\inf \left\{
U\left( f,P\right) \in \mathbb{R} \ |\ P\text{は}\left[ a,b\right] \text{の分割}\right\}
\end{equation*}として定義されます。一方、下リーマン和がとり得る値からなる集合は、\begin{equation*}
\left\{ L\left( f,P\right) \in \mathbb{R} \ |\ P\text{は}\left[ a,b\right] \text{の分割}\right\}
\end{equation*}ですが、\(f\)の\(\left[ a,b\right] \)上における下リーマン積分はこの集合の上限\begin{equation*}\left( R\right) \ \underline{\int }_{a}^{b}f\left( x\right) dx=\sup \left\{
L\left( f,P\right) \in \mathbb{R} \ |\ P\text{は}\left[ a,b\right] \text{の分割}\right\}
\end{equation*}として定義されます。
関数\(f\)が区間\(\left[ a,b\right] \)上において有界である場合、上リーマン積分と下リーマン積分はそれぞれ有限な実数として定まりますが、両者は一致するとは限りません。上リーマン積分と下リーマン積分の値が一致する場合には、すなわち、\begin{equation*}\left( R\right) \ \overline{\int }_{a}^{b}f\left( x\right) dx=\left(
R\right) \ \underline{\int }_{a}^{b}f\left( x\right) dx
\end{equation*}が成り立つ場合には、\(f\)は\(\left[ a,b\right] \)上においてダルブー積分可能であると言います。さらに、\(f\)が\(\left[ a,b\right] \)上においてダルブー積分可能であることと、\(f\)が\(\left[ a,b\right] \)上においてリーマン積分可能であることは必要十分であるとともに、この場合、\(f\)の\(\left[ a,b\right] \)上における定積分が、\begin{equation*}\left( R\right) \ \int_{a}^{b}f\left( x\right) dx=\left( R\right) \
\overline{\int }_{a}^{b}f\left( x\right) dx=\left( R\right) \ \underline{\int }_{a}^{b}f\left( x\right) dx
\end{equation*}として定まります。
ルベーグ積分としての上リーマン積分と下リーマン積分
上リーマン積分と下リーマン積分をそれぞれ階段関数のルベーグ積分を用いて以下のように表現できます。
\left( L\right) \ \int_{\left[ a,b\right] }gd\mu \in \mathbb{R} \ |\ g\text{は}f\leq g\text{を満たす階段関数}\right\}
\end{equation*}が成り立つ。また、\(f\)の\(\left[ a,b\right] \)上における下リーマン積分について、\begin{equation*}\left( R\right) \ \underline{\int }_{a}^{b}f\left( x\right) dx=\sup \left\{
\left( L\right) \ \int_{\left[ a,b\right] }hd\mu \in \mathbb{R} \ |\ h\text{は}h\leq f\text{を満たす階段関数}\right\}
\end{equation*}が成り立つ。
リーマン積分可能な関数はルベーグ積分可能
\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を端点とする有界な閉区間上に定義された有界関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が\(\left[ a,b\right] \)上でリーマン積分可能である状況を想定します。つまり、\(f\)の\(\left[ a,b\right] \)上における定積分\begin{equation*}\left( R\right) \ \int_{a}^{b}f\left( x\right) dx
\end{equation*}が有限な実数として定まるということです。この場合、\(f\)は\(\left[a,b\right] \)上においてルベーグ積分可能であるとともに、ルベーグ積分の値は定積分と一致することが保証されます。つまり、\begin{equation*}\left( L\right) \ \int_{\left[ a,b\right] }fd\mu =\left( R\right) \
\int_{a}^{b}f\left( x\right) dx
\end{equation*}が成り立つということです。
\int_{a}^{b}f\left( x\right) dx
\end{equation*}が成り立つ。
ルベーグ積分可能な関数はリーマン積分可能であるとは限らない（ディリクレの関数）
有界閉区間上に定義された有界関数がリーマン積分可能である場合にはルベーグ積分可能であるとともに、ルベーグ積分の値は定積分と一致することが明らかになりました。したがって、ルベーグ積分はリーマン積分の一般化です。
逆の主張は成り立つとは限りません。つまり、有界閉区間上に定義された有界関数がルベーグ積分可能である場合、その関数はリーマン積分可能であるとは限りません。以下の例より明らかです。
\begin{array}{cc}
1 & \left( if\ x\in \mathbb{Q} \right) \\
0 & \left( if\ x\not\in \mathbb{Q} \right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。これはディリクレの関数（Dirichlet function）と呼ばれる関数です。この関数\(f\)は\(\left[ 0,1\right] \)上においてルベーグ積分可能である一方でリーマン積分可能ではありません（演習問題）。
演習問題
\begin{array}{cc}
1 & \left( if\ x\in \mathbb{Q} \right) \\
0 & \left( if\ x\not\in \mathbb{Q} \right)\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。この関数\(f\)は\(\left[ 0,1\right]\)上においてルベーグ積分可能である一方でリーマン積分可能ではないことを示してください。
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