単関数の定数倍のルベーグ積分

単関数の標準形の定数倍のルベーグ積分

ルベーグ可測空間\(\left( \mathbb{R} ,\mathfrak{M}_{\mu },\mu \right) \)に加えて、有限測度を持つルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)上に定義された単関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が与えられているものとします。つまり、\(f\)はルベーグ可測関数であるとともに、その値域が有限集合\begin{eqnarray*}f\left( X\right) &=&\left\{ f\left( x\right) \in \mathbb{R} \ |\ x\in X\right\} \\
&=&\left\{ a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n}\right\}
\end{eqnarray*}であるということです。

単関数\(f\)の値域に属するそれぞれの値\(a_{k}\in f\left(X\right) \)に対して、以下の集合\begin{eqnarray*}\left\{ f=a_{k}\right\} &=&\left\{ x\in X\ |\ f\left( x\right)
=a_{k}\right\} \\
&=&f^{-1}\left( \left\{ a_{k}\right\} \right)
\end{eqnarray*}を定義すれば、\(f\)の定義域であるルベーグ集合\(X\)は、\begin{equation*}X=\bigsqcup\limits_{k=1}^{n}\left\{ f=a_{k}\right\}
\end{equation*}という形の非交和で表現されます。単関数\(f\)の標準形とは、\begin{equation*}\sum_{k=1}^{n}\left( a_{k}\cdot \chi _{\left\{ f=a_{k}\right\} }\right) :\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}と定義される関数ですが、これはもとの単関数\(f\)と一致します。ただし、\(\chi _{\left\{ f=a_{k}\right\} }\)は集合\(\left\{ f=a_{k}\right\} \)に関する特性関数です。つまり、以下の関係\begin{equation*}f=\sum_{k=1}^{n}\left( a_{k}\cdot \chi _{\left\{ f=a_{k}\right\} }\right)
\end{equation*}が成り立つため、単関数\(f\)がそれぞれの\(x\in X\)に対して定める値は、\begin{eqnarray*}f\left( x\right) &=&\left( \sum_{k=1}^{n}\left( a_{k}\cdot \chi _{\left\{
f=a_{k}\right\} }\right) \right) \left( x\right) \\
&=&\sum_{k=1}^{n}\left( a_{k}\cdot \chi _{\left\{ f=a_{k}\right\} }\right)
\left( x\right) \\
&=&\sum_{k=1}^{n}\left( a_{k}\cdot \chi _{\left\{ f=a_{k}\right\} }\left(
x\right) \right) \\
&=&a_{1}\cdot \chi _{\left\{ f=a_{1}\right\} }\left( x\right) +\cdots
+a_{n}\cdot \chi _{\left\{ f=a_{n}\right\} }\left( x\right)
\end{eqnarray*}となります。

有限測度を持つルベーグ可測集合\(X\)上に定義された単関数\(f\)は\(X\)上でルベーグ積分可能であり、そのルベーグ積分\begin{equation*}\int_{X}f=\sum_{k=1}^{n}\left[ a_{k}\cdot \mu \left( \left\{ f=a_{k}\right\}
\right) \right] \end{equation*}は有限な実数として定まります。

有限測度を持つルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)上に定義された単関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)の標準形が、\begin{equation*}f=\sum_{k=1}^{n}\left( a_{k}\cdot \chi _{\left\{ f=a_{k}\right\} }\right)
\end{equation*}である状況において、実数\(\lambda \in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で関数\begin{equation*}\lambda f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義すると、これはそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{eqnarray*}\left( \lambda f\right) \left( x\right) &=&\lambda f\left( x\right) \quad
\because \lambda f\text{の定義} \\
&=&\left( \lambda \sum_{k=1}^{n}\left( a_{k}\cdot \chi _{\left\{
f=a_{k}\right\} }\right) \right) \left( x\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\lambda \sum_{k=1}^{n}\left( a_{k}\cdot \chi _{\left\{ f=a_{k}\right\}
}\right) \left( x\right) \\
&=&\lambda a_{1}\cdot \chi _{\left\{ f=a_{1}\right\} }\left( x\right)
+\cdots +\lambda a_{n}\cdot \chi _{\left\{ f=a_{n}\right\} }\left( x\right)
\end{eqnarray*}を定めます。

単関数の定数倍として定義される関数もまた単関数であるため\(\lambda f\)は単関数であり、したがって\(X\)上におけるルベーグ積分\begin{equation*}\int_{X}\lambda f
\end{equation*}をとることができますが、これと関数\(f\)の\(X\)上におけるルベーグ積分の間には以下の関係\begin{equation*}\int_{X}\lambda f=\lambda \int_{X}f
\end{equation*}が成り立つことが保証されます。つまり、単関数\(f\)のルベーグ積分の\(\lambda \)倍をとれば、それは単関\(\lambda f\)のルベーグ積分と一致することが保証されます。

単関数の定数倍のルベーグ積分

単関数を表現する手段は標準形に限定されません。ルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)上に定義された関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が、以下の条件\begin{equation*}
X=\bigsqcup\limits_{k=1}^{n}A_{k}
\end{equation*}を満たすルベーグ集合\(A_{1},\cdots ,A_{n}\in \mathfrak{M}_{\mu }\)と定数\(a_{1},\cdots ,a_{n}\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}f=\sum_{k=1}^{n}\left( a_{k}\cdot \chi _{A_{k}}\right)
\end{equation*}という形で表されることは、\(f\)が単関数であるための必要十分条件です。

有限測度を持つルベーグ可測集合\(X\)上に定義された単関数\(f\)の標準形が、\begin{equation*}f=\sum_{k=1}^{n}\left( a_{k}\cdot \chi _{A_{k}}\right)
\end{equation*}である場合、\(X\)上におけるルベーグ積分は、\begin{equation*}\int_{X}f=\sum_{k=1}^{n}\left[ a_{k}\cdot \mu \left( A_{k}\right) \right] \end{equation*}と定まるとともに、これは有限な実数として定まります。

ルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が、以下の条件\begin{equation*}X=\bigsqcup\limits_{k=1}^{n}A_{k}
\end{equation*}を満たすルベーグ集合\(A_{1},\cdots ,A_{n}\in \mathfrak{M}_{\mu }\)と定数\(a_{1},\cdots ,a_{n}\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}f=\sum_{k=1}^{n}\left( a_{k}\cdot \chi _{A_{k}}\right)
\end{equation*}と表される状況を想定します。つまり、\(f\)は単関数であるということです。実数\(\lambda \in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で関数\begin{equation*}\lambda f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義すると、これはそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{eqnarray*}\left( \lambda f\right) \left( x\right) &=&\lambda f\left( x\right) \quad
\because \lambda f\text{の定義} \\
&=&\left( \lambda \sum_{k=1}^{n}\left( a_{k}\cdot \chi _{A_{k}}\right)
\right) \left( x\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\lambda \sum_{k=1}^{n}\left( a_{k}\cdot \chi _{A_{k}}\right) \left(
x\right) \\
&=&\lambda a_{1}\cdot \chi _{A_{1}}\left( x\right) +\cdots +\lambda
a_{n}\cdot \chi _{A_{{}}}\left( x\right)
\end{eqnarray*}を定めます。

単関数の定数倍として定義される関数もまた単関数であるため\(\lambda f\)は単関数であり、したがって\(X\)上におけるルベーグ積分\begin{equation*}\int_{X}\lambda f
\end{equation*}をとることができますが、これと関数\(f\)の\(X\)上におけるルベーグ積分の間には以下の関係\begin{equation*}\int_{X}\lambda f=\lambda \int_{X}f
\end{equation*}が成り立つことが保証されます。つまり、単関数\(f\)のルベーグ積分の\(\lambda \)倍をとれば、それは単関数\(\lambda f\)のルベーグ積分と一致することが保証されます。

結論をまとめます。

演習問題