有界収束定理（有界なルベーグ可測関数列の極限のルベーグ積分）

一様収束する有界なルベーグ可測関数列のルベーグ積分列の極限

実数空間\(\mathbb{R} \)および\(\mathbb{R} \)上のルベーグ可測集合族\(\mathfrak{M}_{\mu }\)に加えてルベーグ測度\(\mu :\mathfrak{M}_{\mu }\rightarrow \mathbb{R} _{+}\cup \left\{ +\infty \right\} \)からなる測度空間\begin{equation*}\left( \mathbb{R} ,\mathfrak{M}_{\mu },\mu \right)
\end{equation*}が与えられているものとします。有限測度を持つルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)を任意に選びます。つまり、\begin{equation*}0\leq \mu \left( X\right) <+\infty
\end{equation*}が成り立つということです。その上で、\(X\)上に定義された有界なルベーグ可測関数からなる関数列\begin{equation*}\left\{ f_{n}\right\}
\end{equation*}を構成します。つまり、この関数列の一般項\begin{equation*}
f_{n}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}はルベーグ可測関数であるとともに、その値域\begin{equation*}
f_{n}\left( X\right) =\left\{ f\left( x\right) \in \mathbb{R} \ |\ x\in X\right\}
\end{equation*}が有界な\(\mathbb{R} \)の部分集合であるということです。

さらに、ルベーグ可測関数列\(\left\{ f_{n}\right\} \)は一様収束するものとします。つまり、関数列\(\left\{ f_{n}\right\} \)の一様極限に相当する関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が存在して、以下の条件\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall x\in X,\ \forall n\in \mathbb{N} :\left( n\geq N\Rightarrow \left\vert f_{n}\left( x\right) -f\left( x\right)
\right\vert <\varepsilon \right)
\end{equation*}が成り立つということです。有界なルベーグ可測関数列\(\left\{f_{n}\right\} \)が関数\(f\)へ一様収束する場合、\(\left\{ f_{n}\right\} \)は一様有界であるとともに\(f\)は有界なルベーグ可測関数になることに注意してください。

有限測度を持つルベーグ可測集合上に定義された有界なルベーグ可測関数のルベーグ測度は有限な実数として定まるため、ルベーグ可測関数列\(\left\{ f_{n}\right\} \)の要素であるルベーグ可測関数\(f_{1},f_{2},\cdots \)の\(X\)上におけるルベーグ積分を要素として持つ数列\begin{equation*}\left\{ \int_{X}f_{n}d\mu \right\} =\left\{ \int_{X}f_{1}d\mu
,\int_{X}f_{2}d\mu ,\cdots \right\}
\end{equation*}と、ルベーグ可測関数\(f\)の\(X\)上のルベーグ積分に相当する実数\begin{equation*}\int_{X}fd\mu
\end{equation*}がそれぞれ得られますが、以上の条件のもとでは、数列\(\left\{\int_{X}f_{n}d\mu \right\} \)は実数\(\int_{X}fd\mu \)へ収束することが保証されます。つまり、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow +\infty }\int_{X}f_{n}d\mu =\int_{X}fd\mu
\end{equation*}が成り立つということです。つまり、有界なルベーグ可測関数列が一様収束する場合、その関数列のルベーグ積分からなる数列の極限は、一様極限のルベーグ積分と一致します。

ルベーグ可測関数列\(\left\{ f_{n}\right\} \)が関数\(f\)へ一様収束する場合には\(\left\{f_{n}\right\} \)は\(f\)へ各点収束するため、\begin{equation*}\forall x\in X:\lim_{n\rightarrow +\infty }f_{n}\left( x\right) =f\left(
x\right)
\end{equation*}が成り立ちます。そこで、それぞれの\(x\in X\)に対して以下の実数\begin{equation*}\left( \lim_{n\rightarrow +\infty }f_{n}\right) \left( x\right)
=\lim_{n\rightarrow +\infty }f_{n}\left( x\right)
\end{equation*}を値として定める関数\begin{equation*}
\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }f_{n}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義すれば、これもまたルベーグ可測関数になるとともに、\begin{equation*}
\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }f_{n}=f
\end{equation*}となるため、先の主張を、\begin{equation*}
\lim_{n\rightarrow +\infty }\int_{X}f_{n}d\mu
=\int_{X}\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }f_{n}d\mu
\end{equation*}と表現することもできます。

各点収束する有界なルベーグ可測関数列のルベーグ積分列の極限

有限測度を持つルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)上に定義された有界なルベーグ可測関数からなる関数列\(\left\{f_{n}\right\} \)が関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)へ一様収束する場合には、\(f\)もまた有界なルベーグ可測関数であるともに、以下の関係\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow \infty }\int_{X}f_{n}d\mu =\int_{X}fd\mu
\end{equation*}が成り立つことが明らかになりました。

では、ルベーグ可測関数列\(\left\{ f_{n}\right\} \)が関数\(f\)へ各点収束する場合にも同様の主張は成り立つのでしょうか。一様収束する関数列は各点収束する一方で、各点収束する関数列は一様収束するとは限らないため、\(\left\{ f_{n}\right\} \)が\(f\)へ各点収束する場合にも同様の主張が成り立つのであれば、より望ましいと言えます。ただし、実際には、そのような主張は成り立つとは限りません。以下の例より明らかです。

各点収束する一様有界なルベーグ可測関数列のルベーグ積分列の極限

有限測度を持つルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)上に定義された有界なルベーグ可測関数からなる関数列\(\left\{f_{n}\right\} \)が関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)へ各点収束する一方で一様収束しない場合には、以下の関係\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow +\infty }\int_{X}f_{n}d\mu =\int_{X}fd\mu
\end{equation*}は成り立つとは限らないことが明らかになりました。一方、関数列\(\left\{ f_{n}\right\} \)を構成する個々の関数が有界であるという条件を強めて、関数列\(\left\{f_{n}\right\} \)が一様有界であることを認める場合には、すなわち、\begin{equation*}\exists M\in \mathbb{R} ,\ \forall n\in \mathbb{N} ,\ \forall x\in X:\left\vert f_{n}\left( x\right) \right\vert \leq M
\end{equation*}が成り立つ場合には、先と同様の主張が成り立ちます。具体的には以下の通りです。

演習問題