単関数の標準形どうしの和のルベーグ積分
ルベーグ可測空間\(\left( \mathbb{R} ,\mathfrak{M}_{\mu },\mu \right) \)に加えて、ルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)上に定義された単関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が与えられているものとします。つまり、\(f\)はルベーグ可測関数であるとともに、その値域が有限集合\begin{eqnarray*}f\left( X\right) &=&\left\{ f\left( x\right) \in \mathbb{R} \ |\ x\in X\right\} \\
&=&\left\{ a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n}\right\}
\end{eqnarray*}であるということです。
単関数\(f\)の値域に属するそれぞれの値\(a_{k}\in f\left(X\right) \)に対して、以下の集合\begin{eqnarray*}\left\{ f=a_{k}\right\} &=&\left\{ x\in X\ |\ f\left( x\right)
=a_{k}\right\} \\
&=&f^{-1}\left( \left\{ a_{k}\right\} \right)
\end{eqnarray*}を定義すれば、\(f\)の定義域であるルベーグ集合\(X\)は、\begin{equation*}X=\bigsqcup\limits_{k=1}^{n}\left\{ f=a_{k}\right\}
\end{equation*}という形の非交和で表現されます。単関数\(f\)の標準形とは、\begin{equation*}\sum_{k=1}^{n}\left( a_{k}\cdot \chi _{\left\{ f=a_{k}\right\} }\right) :\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}と定義される関数ですが、これはもとの単関数\(f\)と一致します。ただし、\(\chi _{\left\{ f=a_{k}\right\} }\)は集合\(\left\{ f=a_{k}\right\} \)に関する特性関数です。つまり、以下の関係\begin{equation*}f=\sum_{k=1}^{n}\left( a_{k}\cdot \chi _{\left\{ f=a_{k}\right\} }\right)
\end{equation*}が成り立つため、単関数\(f\)がそれぞれの\(x\in X\)に対して定める値は、\begin{eqnarray*}f\left( x\right) &=&\left( \sum_{k=1}^{n}\left( a_{k}\cdot \chi _{\left\{
f=a_{k}\right\} }\right) \right) \left( x\right) \\
&=&\sum_{k=1}^{n}\left( a_{k}\cdot \chi _{\left\{ f=a_{k}\right\} }\right)
\left( x\right) \\
&=&\sum_{k=1}^{n}\left( a_{k}\cdot \chi _{\left\{ f=a_{k}\right\} }\left(
x\right) \right) \\
&=&a_{1}\cdot \chi _{\left\{ f=a_{1}\right\} }\left( x\right) +\cdots
+a_{n}\cdot \chi _{\left\{ f=a_{n}\right\} }\left( x\right)
\end{eqnarray*}となります。
有限な測度を持つルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)上に定義された2つの単関数\(f,g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)の値域がそれぞれ、\begin{eqnarray*}f\left( X\right) &=&\left\{ a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n}\right\} \\
g\left( X\right) &=&\left\{ b_{1},b_{2},\cdots ,b_{m}\right\}
\end{eqnarray*}である場合、これらの標準形は、\begin{eqnarray*}
f &=&\sum_{k=1}^{n}\left( a_{k}\cdot \chi _{\left\{ f=a_{k}\right\} }\right)
\\
g &=&\sum_{l=1}^{m}\left( b_{l}\cdot \chi _{\left\{ g=b_{l}\right\} }\right)
\end{eqnarray*}となります。
有限測度を持つルベーグ可測集合\(X\)上に定義された単関数\(f,g\)は\(X\)上でルベーグ積分可能であり、それらのルベーグ積分\begin{eqnarray*}\int_{X}f &=&\sum_{k=1}^{n}\left[ a_{k}\cdot \mu \left( \left\{
f=a_{k}\right\} \right) \right] \\
\int_{X}g &=&\sum_{l=1}^{m}\left[ b_{l}\cdot \mu \left( \left\{
g=b_{l}\right\} \right) \right]
\end{eqnarray*}がそれぞれ有限な実数として定まります。
以上の状況において関数\begin{equation*}
f+g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義すると、これはそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{eqnarray*}\left( f+g\right) \left( x\right) &=&f\left( x\right) +g\left( x\right)
\quad \because f+g\text{の定義} \\
&=&\left( \sum_{k=1}^{n}\left( a_{k}\cdot \chi _{\left\{ f=a_{k}\right\}
}\right) \right) \left( x\right) +\left( \sum_{l=1}^{m}\left( b_{l}\cdot
\chi _{\left\{ g=b_{l}\right\} }\right) \right) \left( x\right) \quad
\because f,g\text{の定義} \\
&=&\sum_{k=1}^{n}\left[ a_{k}\cdot \chi _{\left\{ f=a_{k}\right\} }\left(
x\right) \right] +\sum_{l=1}^{m}\left[ b_{l}\cdot \chi _{\left\{
g=b_{l}\right\} }\left( x\right) \right]
\end{eqnarray*}を定めます。
単関数どうしの和として定義される関数もまた単関数であるため\(f+g\)は単関数であり、したがって\(X\)上におけるルベーグ積分\begin{equation*}\int_{X}\left( f+g\right)
\end{equation*}をとることができますが、これと関数\(f,g\)の\(X\)上におけるルベーグ積分の間には以下の関係\begin{equation*}\int_{X}\left( f+g\right) =\int_{X}f+\int_{X}g
\end{equation*}が成り立つことが保証されます。つまり、単関数\(f,g\)のルベーグ積分の和をとれば、それは単関数\(f+g\)のルベーグ積分と一致するということです。
g &:&\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}の標準形が、\begin{eqnarray*}
f &=&\sum_{k=1}^{n}\left( a_{k}\cdot \chi _{\left\{ f=a_{k}\right\} }\right)
\\
g &=&\sum_{l=1}^{m}\left( b_{l}\cdot \chi _{\left\{ g=b_{l}\right\} }\right)
\end{eqnarray*}であるものとする。関数\begin{equation*}
f+g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義すると、以下の関係\begin{equation*}
\int_{X}\left( f+g\right) =\int_{X}f+\int_{X}g
\end{equation*}が成り立つ。
単関数どうしの和のルベーグ積分
単関数を表現する手段は標準形に限定されません。ルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)上に定義された関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が、以下の条件\begin{equation*}
X=\bigsqcup\limits_{k=1}^{n}A_{k}
\end{equation*}を満たすルベーグ集合\(A_{1},\cdots ,A_{n}\in \mathfrak{M}_{\mu }\)と定数\(a_{1},\cdots ,a_{n}\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}f=\sum_{k=1}^{n}\left( a_{k}\cdot \chi _{A_{k}}\right)
\end{equation*}という形で表されることは、\(f\)が単関数であるための必要十分条件です。
有限な測度を持つルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)上に定義された2つの関数\(f,g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が、以下の条件\begin{eqnarray*}X &=&\bigsqcup\limits_{k=1}^{n}A_{k} \\
Y &=&\bigsqcup\limits_{l=1}^{m}B_{l}
\end{eqnarray*}を満たすルベーグ集合\(A_{1},\cdots ,A_{n},B_{1},\cdots ,B_{m}\in \mathfrak{M}_{\mu }\)と定数\(a_{1},\cdots ,a_{n},b_{1},\cdots ,b_{m}\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{eqnarray*}f &=&\sum_{k=1}^{n}\left( a_{k}\cdot \chi _{A_{k}}\right) \\
g &=&\sum_{l=1}^{m}\left( b_{l}\cdot \chi _{B_{l}}\right)
\end{eqnarray*}と表される状況を想定します。つまり、\(f\)と\(g\)は単関数であるということです。
有限測度を持つルベーグ可測集合\(X\)上に定義された単関数\(f,g\)は\(X\)上でルベーグ積分可能であり、それらのルベーグ積分\begin{eqnarray*}\int_{X}f &=&\sum_{k=1}^{n}\left[ a_{k}\cdot \mu \left( A_{k}\right) \right]
\\
\int_{X}g &=&\sum_{l=1}^{m}\left[ b_{l}\cdot \mu \left( B_{l}\right) \right]
\end{eqnarray*}がそれぞれ有限な実数として定まります。
以上の状況において関数\begin{equation*}
f+g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義すると、これはそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{eqnarray*}\left( f+g\right) \left( x\right) &=&f\left( x\right) +g\left( x\right)
\quad \because f+g\text{の定義} \\
&=&\left( \sum_{k=1}^{n}\left( a_{k}\cdot \chi _{A_{k}}\right) \right)
\left( x\right) +\left( \sum_{l=1}^{m}\left( b_{l}\cdot \chi _{B_{l}}\right)
\right) \left( x\right) \quad \because f,g\text{の定義} \\
&=&\sum_{k=1}^{n}\left[ \left( a_{k}\cdot \chi _{A_{k}}\right) \left(
x\right) \right] +\sum_{l=1}^{m}\left[ \left( b_{l}\cdot \chi
_{B_{l}}\right) \left( x\right) \right]
\end{eqnarray*}を定めます。
単関数どうしの和として定義される関数もまた単関数であるため\(f+g\)は単関数であり、したがって\(X\)上におけるルベーグ積分\begin{equation*}\int_{X}\left( f+g\right)
\end{equation*}をとることができますが、これと関数\(f,g\)の\(X\)上におけるルベーグ積分の間には以下の関係\begin{equation*}\int_{X}\left( f+g\right) =\int_{X}f+\int_{X}g
\end{equation*}が成り立つことが保証されます。つまり、単関数\(f,g\)のルベーグ積分の和をとれば、それは単関数\(f+g\)のルベーグ積分と一致するということです。
g &:&\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}が以下の条件\begin{eqnarray*}
X &=&\bigsqcup\limits_{k=1}^{n}A_{k} \\
Y &=&\bigsqcup\limits_{l=1}^{m}B_{l}
\end{eqnarray*}を満たすルベーグ集合\(A_{1},\cdots ,A_{n},B_{1},\cdots ,B_{m}\in \mathfrak{M}_{\mu }\)と定数\(a_{1},\cdots ,a_{n},b_{1},\cdots ,b_{m}\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{eqnarray*}f &=&\sum_{k=1}^{n}\left( a_{k}\cdot \chi _{A_{k}}\right) \\
g &=&\sum_{l=1}^{m}\left( b_{l}\cdot \chi _{B_{l}}\right)
\end{eqnarray*}と表されるものとする。関数\begin{equation*}
f+g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義すると、以下の関係\begin{equation*}
\int_{X}\left( f+g\right) =\int_{X}f+\int_{X}g
\end{equation*}が成り立つ。
結論をまとめます。
g &:&\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}が与えられているものとする。関数\begin{equation*}
f+g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義すると、以下の関係\begin{equation*}
\int_{X}\left( f+g\right) =\int_{X}f+\int_{X}g
\end{equation*}が成り立つ。
g &:&\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}が与えられているものとします。実数\(\alpha,\beta \in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、以下の関数\begin{equation*}\alpha f+\beta g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義します。すると、\begin{eqnarray*}
\int_{X}\left( \alpha f+\beta g\right) &=&\int_{X}\alpha f+\int_{X}\beta
g\quad \because \text{単関数の和のルベーグ積分} \\
&=&\alpha \int_{X}f+\beta \int_{X}g\quad \because \text{単関数の定数倍のルベーグ積分}
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
\int_{X}\left( \alpha f+\beta g\right) =\alpha \int_{X}f+\beta \int_{X}g
\end{equation*}を得ます。以上の性質を単関数のルベーグ積分の線形性（linearity）と呼びます。
演習問題
\end{equation*}を定義します。それに対して、以下の条件\begin{equation*}
a=x_{0}<x_{1}<\cdots <x_{n-1}<x_{n}=b
\end{equation*}を満たす有限個の点\(x_{0},x_{1},\cdots ,x_{n-1},x_{n}\in \mathbb{R} \)からなる集合\begin{equation*}P=\left\{ x_{0},x_{1},\cdots ,x_{n}\right\} =\left\{ x_{k}\right\} _{k=0}^{n}
\end{equation*}を区間\(\left[ a,b\right] \)の分割と呼びます。区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \left[ a,b\right] \)に対して定める値が、定数\(c_{1},c_{2},\cdots ,c_{n}\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
c_{1} & \left( if\ x_{0}\leq x<x_{1}\right) \\
c_{2} & \left( if\ x_{1}\leq x<x_{2}\right) \\
\vdots & \\
c_{n} & \left( if\ x_{n-1}\leq x\leq x_{n}\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}という形で表される場合、このような関数\(f\)を階段関数と呼びます。\(f\)が有限なルベーグ集合上に定義された単関数であることを確認した上で、以下の値\begin{equation*}\int_{\left[ a,b\right] }f
\end{equation*}を求めてください。
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